Potencial Elétrico. Evandro Bastos dos Santos. 14 de Março de 2017

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1 Potencil Elétrico Evndro Bstos dos Sntos 14 de Mrço de Energi Potencil Elétric Vmos começr fzendo um nlogi mecânic. Pr um corpo cindo em um cmpo grvitcionl g, prtir de um ltur h i té um ltur h f, diferenç de energi potencil grvitcionl entre os dois pontos será hf U f U i = m g d l. (1) h i Fzendo o produto esclr( g d l = gdl cos π) e resolvendo integrl, temos que U f U i = mgh, (2) que é nosso resultdo conhecido pr energi potencil grvitcionl. No cso do cmpo elétrico temos um situção nálog hf U f U i = qe d l. (3) h i em que trocmos o cmpo grvitcionl pelo cmpo elétrico e mss pel crg elétric. É importnte lembrr que integrl cim é um integrl de linh, porém como o cmpo elétrico (ssim como o cmpo grvitcionl) é conservtivo, pr ess integrl não import o cminho. Então escolhendo o melhor cminho (linh ret) e fzendo que U i = 0 no infinito, pois no infinito crg elétric está livre de cmpo (E ltimes 1 r 2 ), temos que r U(r) = qe d l. (4) que é interpretdo como energi necessári pr trzer crg de um ponto muito distnte té um ponto r próximo. Se for entre dus crgs pontuis, temos que: U(r) = 1 qq 0 r (5) Exemplo: Um elétron está posiciondo em um região do espço. Qul o trblho necessário pr trzer um pósitron (q=+e) do infinito té posição de 2m de distânci? Expresse su respost com melhor unidde ou subunidde que se dequr o vlor finl. 1

2 1.1 Sistem de prtículs Assim como vimos n forç elétric, qundo temos diverss crgs (q 1, q 2, q 3,..., q n ) gerndo um cmpo elétrico, que fz um forç sobre um crg q 0, terímos forç sobre el sendo: F 0 = 1 E o cmpo elétrico nesse ponto, seri: E(r) = 1 q i q 0 (r i r 0 ) 2 (6) q i (r i r) 2 (7) No cso d energi potencil elétric, vle mesm relção, sendo portnto energi de interção entre n prtículs, 2 Potencil Elétrico U = 1 q i q 0 (r i r 0 ). (8) O potencil elétrico nos judrá no cálculo do cmpo elétrico, pois eles estão intimmente ligdos. Sendo, por vezes, mis fácil clculr o potencil elétrico e em seguid o cmpo elétrico prtir dele. Imgine um cmpo elétrico gerdo por um crg Q, o ser colocd um crg de prov q em seu espço de tução podemos perceber que, conforme combinção de sinis entre s dus crgs, est crg q, será tríd ou repelid, dquirindo movimento, e consequentemente Energi Cinétic. Lembrndo d energi cinétic estudd em mecânic, sbemos que pr que um corpo dquir energi cinétic é necessário que hj um energi potencil rmzend de lgum form. Qundo est energi está ligd à tução de um cmpo elétrico, é chmd Energi Potencil Elétric ou Eletrostátic, simbolizd por E p. E p = KQq r A unidde usd pr energi potencil é o joule (J). Pode-se dizer que crg gerdor produz um cmpo elétrico que pode ser descrito por um grndez chmd Potencil Elétrico (ou eletrostático). De form nálog o Cmpo Elétrico, o potencil pode ser descrito como o quociente entre energi potencil elétric e crg de prov q. Ou sej: (9) Logo V = E p q (10) V = KQ r 2 (11)

3 A unidde dotd, no SI pr o potencil elétrico é o volt (V), em homengem o físico itlino Alessndro Volt, e unidde design Joule por coulomb (J/C). Qundo existe mis de um prtícul eletrizd gerndo cmpos elétricos, em um ponto P que está sujeito tods estes cmpos, o potencil elétrico é igul à som de todos os potenciis cridos por cd crg, ou sej: V = V 1 + V 2 + V V n (12) 2.1 Superfícies Equipotenciis Um mneir muito utilizd pr se representr potenciis é trvés de equipotenciis, que são linhs ou superfícies perpendiculres às linhs de forç, ou sej, linhs que representm um mesmo potencil. Pr o cso prticulr onde o cmpo é gerdo por pens um crg, ests linhs equipotenciis serão circunferêncis, já que o vlor do potencil diminui uniformemente em função do umento d distânci (levndo-se em cont um representção em dus dimensões, pois cso representção fosse tridimensionl, os equipotenciis serim representdos por esfers ocs, o que constitui o chmdo efeito csc de cebol, onde qunto mis intern for csc, mior seu potencil). Figur 1: Linhs equipotenciis Um resultdo interessnte é que se tods s crgs em um condutor estão em repouso, e como já vimos els vão per superfície, então ess superfície é um equipotencil. 2.2 Diferenç de Potencil Considere dois pontos de um cmpo elétrico, A e B, cd um com um posto um distânci diferente d crg gerdor, ou sej, com potenciis diferentes. Se quisermos sber diferenç de potenciis entre os dois devemos considerr distânci entre cd um deles. 3

4 Figur 2: Diferenç de potencil entre pontos Então teremos que su tensão ou d.d.p (diferenç de potencil) será express por U e clculd por: 3 Cálculo do Potencil Elétrico U = V 1 V 2 (13) U = KQ KQ r 1 r 2 (14) Sendo o potencil elético pr um distribuição discret ddo por em que V = U q 0 (15) U = 1 então o potencil elétrico é simplesmente q i q 0 (r i r 0 ). (16) V = 1 i q i r i. (17) Porém se s crgs estiverem distribuíds infinitesimlmente é conveniente escrever V = 1 dq r (18) que é muito precido com o que vimos pr o cmpo elétrico. Como o integrndo tem um gru menor do que no cso do cmpo elétrico, esse cálculo pode ser ligeirmente mis fácil. 4

5 3.1 Potencil Elétrico prtir do Cmpo Elétrico Nosso objetivo, no entnto, é clculr o potencil elétrico prtir do cmpo elétrico. Se forç sobre um crg q 0 é dd por O trblho dess forç entre dois pontos e b é F = q 0 E. (19) W b = W b = F d l (20) q E d l. (21) Como o trblho entre dois pontos é diferenç de energi entre eles, temos que Então W b q 0 = V V b. (22) V V b = E d l (23) é diferenç de potencil entre os pontos e b, qundo um cmpo elétrico E ge n região do espço. Perceb, portnto, que o Volt é N C m. No cso de um elétron em um região de potencil 1V, terá su energi como sendo U = qv (24) U = C 1V (25) pode ser escrito simplesmente como U = 1eV (um elétron-volt). Portnto unidde ev é unidde de energi! Exemplo: Considere um próton, em um região de cmpo elétrico E = îv/m. Clcule: () A forç sobre o próton. (b) O trblho do cmpo sobre o próton, pr levr do ponto A(0,0) té o ponto B(3m,3m) (c) A ddp entre os pontos A e B. 4 Grdiente de Potencil Já vimos que V V b = E d l. (26) Queremos, gor, determinr o cmpo elétrico prtir do potencil conhecido. A vrição de potencil pode ser escrit como 5

6 Então V V b = dv. (27) Portnto, dv = E d l. (28) dv = E d l. (29) Clculndo o produto esclr dv = (E x dx + E y dy + E z dz). (30) Por exemplo, se não há dependênci com y e z, temos que Pr y e z temos forms nálogs. dv = Exdx (31) Ex = V x (32) Então Ey = V y Ez = V z (33) (34) ( V E = x, V y, V ), (35) z portnto, Ou sej, o cmpo elétrico é o grdiente do potencil elétrico. E = V. (36) 5 Exercícios Hllidy 8ed: 3, 2, 14, 15 Hllidy 9ed: 1, 2, 12, 17 6