Fundamentos da Eletrostática Aula 08. O Potencial Elétrico. O Potencial Elétrico

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1 O Potencil Elétrico Fundmentos d Eletrostátic Aul 8 O Potencil Elétrico Prof Alex G Dis Prof Alysson F Ferrri Imgine ue desejmos mover um crg teste de um ponto té um ponto b em um região do espço onde existe um cmpo elétrico E (r) A forç elétric sobre crg é, em cd ponto, dd por F (r) = E (r), e pr efetivmente mover prtícul, deve-se exercer sobre el um forç suciente pelo menos pr compensr uel exercid pelo cmpo elétrico, ou sej, F plic (r) = E (r) O trblho mínimo ue precismos exercer sobre prtícul, pr movê-l, é ddo por um integrl de cminho, W b = ˆ b F plic d l = ˆ b E d l (Este é o trblho mínimo pois sempre podemos exercer um forç mior sobre prtícul, ue chegrá em b com mior energi cinétic; como você deve estr imginndo, estmos cminhndo em direção o conceito de energi potencil, e por isso não ueremos incrementr energi cinétic d prtícul) W b é justmente energi potencil ssocid à forç eletrostátic Podemos gor provr o importnte fto de ue est forç é conservtiv Pr tnto, clculmos o trblho feito sobre prtícul pr levá-l de pr b pelo cminho γ, e depois trzê-l de volt de b pr pelo cminho γ 2, como n gur NH28 - Fundmentos d Eletrostátic - 29t NH28 - Fundmentos d Eletrostátic - 29t

2 Temos: W b + W b = ˆ b (γ ) ˆ b (γ 2 ) usndo o teorem de Stokes, W b mostrr ue o cmpo elétrico é irrotcionl + W b A expressão mis gerl pr o cmpo elétrico é, E (r) = ˆ E d l E d l = E d l, γ=γ γ 2 ˆ = ( E) d, S onde S é um superfície tendo γ como bord Clculndo explicitmente E, vmos r r r r 3d, onde d pode ssumir diferentes forms, conforme o tipo de distribuição de crg ue estmos considerndo, 8 >< d = >: P i iδ 3 `r r i d3 V ρ `r d 3 V σ `r d λ `r dl (distribuição de crgs pontuis) (distribuição contínu de crgs) (distribuição de crgs num superfície) (distribuição de crgs num linh) Clculndo E, supondo ue podemos trocr ordem entre integrção e derivção, E (r) = ˆ r r r r 3! d Lembre do ue você demonstrou n List : (fv) = f V V f «r r Portnto: r r 3 = r r 3 `r r `r r r r 3 Agor: `r r = e r r r r 3 = 3 r r! r r r r 3 = E = 5 Dí, concluímos ue Isto nos permite concluir, já ue os cminhos γ e γ 2 são rbitrários, ue γ pr uluer curv fechd γ E d l =, Isto signic ue integrl de linh de E independe do cminho, o ue é o mesmo ue dizer ue F é um forç conservtiv (lembre-se ue F e E diferem pens pel multiplicção pel crg de teste ) Se F é conservtiv, então pode-se denir um função energi potencil U tl ue F = U D mesm form, pode-se encontrr um cmpo esclr ϕ (r) tl ue E = ϕ Isto tmbém segue do Teorem de Helmholtz ue foi citdo n ul 4 Segundo este teorem, E = E (r) = ϕ (r) NH28 - Fundmentos d Eletrostátic - 29t 2 NH28 - Fundmentos d Eletrostátic - 29t 3

3 Não é difícil escrever explicitmente um fórmul pr função ϕ, prtindo de ˆ b ˆ b E d l = ϕ d l = ϕ (r b ) ϕ (r ), ue podemos reescrever, mudndo convenientemente os nomes ds vriáveis, como ϕ (r) = E d l + ϕ ` Um vez cdo um ponto referencil, eução cim dene um função ue só depende de r O ue grnte isso é justmente o fto d integrl de E não depender de cminho Note ue, por construção, o ponto referencil é tl ue ϕ ` = Dest form, obtemos, ϕ (r) = E d l usndo d l = drˆr + rdθ ˆθ + r sin θdφ ˆφ, ϕ (r) = E `r d l = = = ˆr r 2 dr r 2 " r # drˆr + rdθ ˆθ + r sin θdφ ˆφ Somos livres pr escolher o ponto de referênci, ms o potencil ssume um form mis simples se escolhemos no innito, di ϕ (r) = r Se crg não estiver n origem, ms sim n posição r, rref = rref, e onde integrção é feit sobre uluer cminho ligndo r ϕ (r) = r r, (potencil eletrostático de um crg pontul) Por exemplo, pr o cmpo de um crg pontul loclizd n origem, E (r) = ˆr r 2, e, como você já fez n list, é fácil vericr ue E (r) = ϕ (r) = r r r r 3 NH28 - Fundmentos d Eletrostátic - 29t 4 NH28 - Fundmentos d Eletrostátic - 29t 5

4 Uniddes (sistem MKS) F, unidde de forç: Newton N E = F Newton, unidde de cmpo elétrico: = `N Coulomb C dϕ E d l, unidde de potencil: Newton metro = Joule C = volt (V ) Coulomb Observe ue se o ponto de referênci fosse escolhido de mneir diferente, de modo ue ϕ (r) = ϕ (r) ϕ `, com ϕ ` = constnte, ind ssim terímos ϕ (r b ) ϕ (r ) = ϕ (r b ) ϕ (r ) ϕ (r) = ˆ r r d No cso de um distribuição supercil e liner de crg, bst considerr distribuição proprid, ou ϕ (r) = ˆ ϕ (r) = ˆ r r σ `r d, r r λ `r dl A dição de um constnte o potencil é irrelevnte tmbém pr determinção de E prtir de ϕ, ϕ = ϕ Outr observção ser feit é ue, do princípio d superposição, o cmpo produzido por um coleção de crgs, 2,, loclizds nos pontos r, r 2, é ddo por E = E (r) + E 2 (r) +, e o mesmo princípio vle pr o potencil, ϕ (r) = E `r d l = ϕ (r) + ϕ 2 (r) + Pr um conjunto de crgs pontuis i, loclizds nos pontos r i, ϕ (r) = X i r r i, generlizndo pr um distribuição uluer de crg d, i Em noss presentção, determinmos ϕ (r) trvés de um integrl de cminho de E (r) A plen utilidde de ϕ (r) contudo está no cminho contrário: em determinds condições, podemos clculr mis simplesmente ϕ (r), sem conhecer E (r), e então determinr E (r) prtir de ϕ (r) Lembremos lei de Guss em su form diferencil, Como E (r) = ϕ (r), E (r) = ρ (r) ε E (r) = ( ϕ (r)) = 2 ϕ (r) = ρ (r) ε Obtemos ssim um eução diferencil ue relcion o potencil diretmente com distribuição de crgs presentes no problem Este tipo de eução é conhecid por Eução de Poisson: NH28 - Fundmentos d Eletrostátic - 29t 6 NH28 - Fundmentos d Eletrostátic - 29t 7

5 Eução de Poisson Problem 2 ϕ (r) = ρ (r) ε Um cso prticulr, muito importnte, é undo ρ (r) = num dd região do espço; í, o potencil ϕ obedece à eução de Lplce Eução de Lplce Problem: Determinr o potencil eletrostático dentro e for de um esfer mciç de rio R com densidde de crg ρ (r) = r α, com r R, um constnte diferente de zero e α Vmos presentr dus resoluções pr este mesmo problem 2 ϕ (r) = Ds nosss conclusões nteriores, r r = r r r r 3, 2 r r = 4πδ3 `r r, podemos escrever solução d eução de Poisson como já ue 2 ˆ ϕ (r) = ˆ r r ρ `r d 3 V, «r r ρ (r) d3 V = ˆ 2 = = ρ (r) ε «ρ r d 3 V r r ˆ h 4πδ 3 r r i ρ r d 3 V Logo: Primeir solução: Pr proveitr simetri esféric d distribuição de crgs, vmos colocr origem do referencil no centro geométrico d esfer, e orientr o eixo dos z de tl form ue r = zẑ Por outro ldo, r = r ˆr Lembrmos expressão explícit de ˆr : ˆr = sin θ cos φ ˆx + sin θ sin φ ŷ + cos θ ẑ r r = r 2 + (r ) 2 2r r = z 2 + (r ) 2 2zr cos θ NH28 - Fundmentos d Eletrostátic - 29t 8 NH28 - Fundmentos d Eletrostátic - 29t 9

6 Queremos clculr ϕ (r) = ˆ = ρ ˆ 2π ρ `r r r d3 V ˆ π ˆ R `r α z 2 + (r ) 2 2zr cos θ = ρ ˆ π ˆ R `r 2+α sin θ (2π) dr z dθ 2 + (r ) 2 2zr cos θ r 2 sin θ dr dθ dφ «e ϕ (r) = 2ε Ponto dentro d esfer = ε z ˆ R r 2+α 2 z dr "`r 3+α#R 3 + α = R 3+α ε 3 + α z Começmos fzendo integrl em θ : ˆ π sin θ dθ z = 2 + (r ) 2 2zr cos θ» π zr z 2 + (r ) 2 2zr cos θ = «zr z 2 + (r ) 2 + 2zr z 2 + (r ) 2 2zr = zr «(z + r ) 2 (z r ) 2 = zr z + r z r Note ue z e r são sempre positivos, ms o resultdo de z r é diferente se z < r (ponto r dentro d esfer) ou se z > r (ponto r for d esfer) Ponto for d esfer z > r For d esfer, sempre vle ue z > r e portnto Temos ssim, zr `z + r z r = 2 z, z r = z r Neste cso, z < R, ms como r vi de R, precismos seprr o cso em ue r < z e em ue r > z:»ˆ z ϕ (r) = 2ε r 2+α z + r z r zr dr ˆ R + z = ρ»ˆ z r 2+α 2ε ˆ R # r 2+α z + r z r zr dr zr z + r z + r dr # r 2+α zr z + r r + z dr + z = ρ " ˆ 2 z r ˆ # 2+α R dr + r 2+α 2 2ε z z r dr = ρ " z 3+α!# ε z 3 + α + R2+α 2 + α z2+α 2 + α = ρ " R 2+α ε 2 + α z 2+α # (2 + α) (3 + α) Note ue escolhemos inicilmente o referencil tl ue ϕ (r) é n verdde só NH28 - Fundmentos d Eletrostátic - 29t NH28 - Fundmentos d Eletrostátic - 29t

7 função de z Est escolh judou o cálculo, ms é clro ue o resultdo vle pr uluer ponto r for do eixo dos z, bstndo substituir z por r, distânci do ponto considerdo té origem Podemos escrever, portnto: Potencil elétrico 8 < ϕ (r) = h : ε (2+α) R 3+α ε 3+α r R 2+α r2+α (3+α) (for d esfer) i (dentro d esfer) temos 2 (r) = A (α + 3) (α + 2) r α = r α, ε A = ε (α + 3) (α + 2) Pr determinr B, vmos exigir ue (r) sej nito n origem, neste cso, B = Finlmente, () = C e portnto, (r) = ε (α + 3) (α + 2) rα+2 + () Segund solução Vmos resolver eução de Poisson 2 ϕ (r) = ρ (r) ε pr encontrr o potencil ϕ (r) Primeiro, note ue, pel simetri d distribuição de crg, ϕ só pode depender de r, ou sej, ϕ (r) = ϕ (r) Escrevendo explicitmente o Lplcino em coordends esférics, Temos dus regiões considerr: Dentro d Esfer (r < R) Neste cso, temos Vmos tentr o nstz: 2 ϕ (r) = «r 2 ϕ r 2 r r 2 ϕ (r) = ε r α (r) = Ar α+2 + B r + C, For d Esfer (r > R) Neste cso, temos Vmos tentr o nstz: 2 ϕ (r) = ϕ f (r) = B r + C, Como é usul, vmos colocr o zero do potencil no innito, ou sej, Logo, lim ϕ f f (r) = C = C = ϕ f (r) = B r Pr determinr B, temos ue justr s dus soluções no ponto de interfce r = R Vmos exigir continuidde de ϕ no ponto r = R, ou sej, (R) = ε (α + 3) (α + 2) Rα+2 + () = ϕ f (R) = B R B = ε (α + 3) (α + 2) Rα+3 + R () NH28 - Fundmentos d Eletrostátic - 29t 2 NH28 - Fundmentos d Eletrostátic - 29t 3

8 Temos um eução envolvendo B e () Pr determiná-los, precismos de outr eução independente, e vmos encontrá-l derivndo ϕ pr encontrr o cmpo elétrico e exigir continuidde de E Lembre-se, em coordends esférics, ϕ (r) = ϕ r ˆr + ϕ ˆθ r θ + ϕ r sin θ φ ˆφ Logo: E d (r) = (r) E d (r) = ε (α + 3) rα+ˆr E f (r) = ϕ f (r) E f (r) = B r 2 ˆr E d (Rˆr) = E f (Rˆr) ε (α + 3) Rα+3 = B Fic ssim determindo B ; substituindo n eução nterior, () = B R + ε (α + 3) (α + 2) Rα+2 = = ε (α + 3) Rα+2 + ε (α + 3) (α + 2) Rα+2 ε (α + 2) Rα+2 Potencil elétrico (r) = ε (α + 3) (α + 2) rα+2 + ε (α + 2) Rα+2» = R α+2 ε (α + 2) ϕ f (r) = (α + 3) rα+2 ε (α + 3) Rα+3 r Aplicndo o grdiente sobre os potenciis cim obtidos, encontrmos os correspondentes cmpos eletrostáticos, ue são os mesmos ue obtivemos n ul 7, usndo lei de Guss Cmpo Elétrico E d (r) = E f (r) = ε (α + 3) rα+ˆr ε (α + 3) Rα+3 ˆr r 2 Determinmos tods s constntes, cndo ssim perfeitmente determinds s soluções NH28 - Fundmentos d Eletrostátic - 29t 4 NH28 - Fundmentos d Eletrostátic - 29t 5