CÁLCULO I. Denir e calcular o centroide de uma lâmina.

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1 CÁLCULO I Prof. Mrcos Diniz Prof. André Almeid Prof. Edilson Neri Júnior Aul n o : Aplicções d Integrl: Momentos. Centro de Mss Objetivos d Aul Denir momento em relção um ponto xo e um ret. Denir e clculr o centro de mss de um conjunto de msss pontuis. Denir e clculr o centroide de um lâmin. Momento de um mss. Consideremos um ponto xo P sobre um ret e em outro dispomos um mss de m quilogrms. Sbendo que distânci entre estes pontos é de x metros, denimos o momento M de m em relção o ponto P como sendo o produto M = mx A denição de momento de mss pode ser ilustrdo n seguinte situção: Imgine um gngorr e dois grotos,um com kg e outro com 4 kg, dispostos metros do ponto de poio d gngorr. Se considerrmos o ponto de poio d gngorr como sendo o ponto P xo d noss denição nterior, então o momento de mss do groto de kg é de 9 kg.m e do segundo kg.m Sbemos que n situção presentd cim, gngorr irá bixr no ldo onde se encontr o groto de 4 kg. Isso ocorre por que o momento de mss deste é mior que o do outro. Contudo, se o groto de 4 kg se sentr metros do ponto de poio d gngorr, então gngorr crá equilibrd. Isso se dá por que os momentos de mss ds dus crinçs será igul. Após ess ilustrção, podemos generlizr situção imginndo que gngorr é um ret, por exemplo o eixo x, e que o ponto de poio é o ponto de bsciss x =. se tomrmos pontos x, x,..., x n dispostos sobre o eixo x e neles colocrmos msss m, m,..., m n, temos que o momento de mss em relção à origem é ddo por M = m x + m x m n x n = Se M = então dizemos que o sistem cim descrito está em equilíbrio. Denição. Denimos o ponto x como sendo o Centro de Mss do sistem de msss pontuis m, m,..., m n se o momento de mss em relção x é. Supondo que o sistem de msss pontuis m, m,..., m n não está em equilíbrio e que x é o centro de mss do sistem, bst trnsldrmos s msss x uniddes e clculrmos o momento de mss do sistem em relção esse novo ponto. Notemos que s distâncis x, x,..., x n são substituíds por

2 Cálculo I Aul n o (x x), (x x),..., (x n x) e ssim, como o sistem está em equilíbrio, segue que: m i (x i x) = m i x = m i x = x m i = x = m i x = m x + m x m n x n m + m m n Observemos que loclizção do centro de mss é o momento de mss em relção à origem dividido pel mss totl do sistem. Resumindo, o momento de mss em relção à origem é M = m x + m x m n x n mss totl do sistem é m = m + m m n e o centro de mss é x = M m Exemplo. Considere o eixo x e supondo que nos pontos de bsciss x =, x =, x = 4 e x = 7, dispomos msss de,, e quilogrms, respectivmente. Determine o centro de mss do sistem. e Note que M = = 4 m = = 4 x = Supondo que um sistem de msss pontuis m,..., m n está loclizdo nos pontos x,..., x n, segue d segund lei de Newton que forç totl do sistem é dd por O torque em relção à origem é ddo por F = m + m m n = m T = (m )x + (m )x (m n )x n = M Desse modo o clculr o centro de grvidde do sistem, notmos que T F = M m = M m = x o centro de grvidde e o centro de mss possuem mesm loclizção. Prof. Mrcos Diniz Prof. André Almeid Prof. Edilson Neri Júnior

3 Cálculo I Aul n o Consideremos gor um conjunto de n prtículs com msss m, m,..., m n disposts nos pontos (x, y ), (x, y ),..., (x n, y n ). O momento do sistem em relção o eixo x é ddo por M x = m y + m y m n y n = m i y i e em relção o eixo y é M y = m x + m x m n x n = Por cálculos semelhntes os efetudos pr o cso unidimensionl, o centro de mss (x, y) possui coordends x = M y m e y = M x m Exemplo. Clcule o centro de mss do sistem de objetos que tem mss, 4 e 8 quilogrms nos pontos (, ), (, ) e (, ), respectivmente. e Note que M x =. + 4.( ) +.8 = M y =.( ) = 9 m = = Então o centro de mss desse sistem é o ponto x = 9 e y = = ( ) 9, Centro de Mss de um lâmin.. Consideremos gor um lâmin (plc pln) como n gur bixo com densidde uniforme ρ que ocup um região do plno. Desejmos encontrr o centro de mss dess lâmin, chmdo centroide ou centro geométrico. Pr isso, utilizremos o princípio d simetri que nos diz que se um região R é reetid em relção um ret l, então o seu centroide só pode está loclizdo ness ret. Dess form, podemos entender que o centroide de um retângulo é o seu centro. Além disso, precismos notr que os momentos de dus regiões sem interseção é igul som dos momentos ds regiões individuis. Suponh que região em questão está loclizd entre s rets x = e x = b, cim do eixo x e bixo do gráco d função y = f(x), sendo f um função contínu. Dividindo o intervlo [, b] em n subintervlos com extremiddes = x, x, x,..., x n = b e de mesmo comprimento, sber x = b n Prof. Mrcos Diniz Prof. André Almeid Prof. Edilson Neri Júnior

4 Cálculo I Aul n o Tomndo em cd subintervlo [x i, x i ] o ponto médio x i, ddo por x i = x i + x i, i =,,...n podemos trçr sobre região R n retângulos cuj bse é o intervlo [x i, x i ] e ltur será dd por f(x i ), i =,,..., n. E como sbemos que o centroide de um retângulo é o seu centro, segue que o centroide do i-ésimo retângulo é o ponto como ilustrdo bixo: C i = ( x i, ) f(x i), i =,,..., n Dess form, áre do i-ésimo retângulo é dd por A i = f(x i ) x e, su mss é dd por m i = ρa i = ρf(x i ) x () O momento do i-ésimo retângulo (R i ) em relção o eixo y é o produto de su mss pel distânci entre C i e o eixo y que é x i. M y (R i ) = = ρx i f(x i ) x Agor, somndo os momentos dos retângulos em relção o eixo y, temos que M y M y (R i ) = ρx i f(x i ) x Aumentndo o número de retângulos formdos, obtemos um proximção cd vez melhor pr M y. Sendo ssim, M y = lim n ρx i f(x i ) x = ρ xf(x) dx Pr clculr M x, utilizmos cálculo semelhntes os efetudos cim, contudo, devemos lembr que distânci de C i pr o eixo x é f(x i). Portnto, M x (R i ) = m i f(x i) = ρ[f(x i)] x M x = lim n ρ[f(x i)] x = ρ Pssndo o limite pr n em (), obtemos que m = ρ f(x) dx [f(x)] dx Prof. Mrcos Diniz Prof. André Almeid Prof. Edilson Neri Júnior 4

5 Cálculo I Aul n o Usndo rgumentos semelhntes os d seção nterior, temos que s coordends do centroide d região R são dds por x = M y m = ρ xf(x) dx = xf(x) dx A onde A = f(x) dx. y = M x m = ρ ρ ρ f(x) dx [f(x)] dx f(x) dx = A [f(x)] dx Exemplo. Encontre o centroide de um lâmin de densidde uniforme ρ limitd pelo gráco d função f(x) = 4 x e o eixo x. Note que lâmin possui um simetri em relção o eixo y. pelo princípio de simetri, x =. Agor, devemos determinr y. Pr isso, tomemos um prtição do intervlo [-,] igulmente espçd, com x sendo esse espçmento, e dotemos o i-ésimo retângulo R i gerdo pelo procedimento borddo no início d seção, notemos que mss do i-ésimo retângulo é dd por Sendo ssim, mss d lâmin é dd por m(r i ) ρf(x i ) x = ρ(4 x i ) x m = ρ = ρ f(x) dx (4 x ) dx ] = ρ [4x x = ρ Agor, distânci do seu centro desse retângulo R i o eixo x é y i = f(x i), isto é, E com isso, y i = f(x i) = 4 x i M x (R i ) m i y i = ρ(4 x i ) 4 x i M x = lim n + = lim n + x = ρ(6 8x i + x 4 i ) x M x (R i ) ρ(6 8x i + x 4 i ) x ρ = (6 8x + x 4 ) dx = ρ ) (6x 8x + x = 6ρ Prof. Mrcos Diniz Prof. André Almeid Prof. Edilson Neri Júnior

6 Cálculo I Aul n o Dess form, obtemos que y = M x m 6ρ = ρ = 8 Exemplo 4. Encontre o centroide d região delimitd pels curvs y = cos(x), y =, x = e x = π. A áre d região é A = cos(x) dx = sen(x) π = E dess form, x = A = xf(x) dx x cos(x) dx = x sen(x) π = π. + cos(x) π = π pi sen(x) dx E tmbém, y = A = = = [f(x)] dx cos (x) dx ( + ) cos(x) ( x + 4 sen(x) ) π o centroide d região é = π 8 ( π, π ). 8 Exemplo. Encontre o centroide de um plc semicirculr de rio r. Consideremos que plc está dispost d seguinte form: Prof. Mrcos Diniz Prof. André Almeid Prof. Edilson Neri Júnior 6

7 Cálculo I Aul n o Desse modo, f(x) = r x e r x r. Note que pelo princípio d simetri, não há necessidde de determinr o x porque, região é simétric em relção o eixo y, logo, o centro de mss deve estr sobre esse eixo, o que nos grnte que x =. Usndo substituição: A = r r f(x) dx = r r r x dx = r x dx r x = r sen(θ), dx = r cos(θ) dθ x = θ =, x = r θ = π temos que r A = = = r r x dx = r r cos(θ)r cos(θ) dθ cos (θ) dθ ( + ) cos(θ) dθ = r θ + r sen(θ) π = πr r y = [f(x)] dx A r r = ( r x ) dx πr = r πr (r x ) dx = πr r x x r = ) (r r πr = r πr = 4r π Prof. Mrcos Diniz Prof. André Almeid Prof. Edilson Neri Júnior 7

8 Cálculo I Aul n o Se região R estiver entre s curvs y = f(x) e y = g(x), onde f(x) g(x), pr todo x (, b), podemos utilizr os mesmos rgumentos utilizdos nteriormente pr mostrr que o centro de mss d região R é ddo por x = A y = A x[f(x) g(x)] dx () ([f(x)] [g(x)] ) dx () Exemplo 6. Encontre o centroide d região limitd pelos grácos ds funções f(x) = 4 x e g(x) = x+. Primeirmente, determinremos s interseções dos dois grácos. Note que, 4 x = x + x + x = x = ou x = Agor, clculndo áre d região, temos que A = = (4 x x ) dx ( x x + ) dx = x x + x = 9 clculndo s coordends do centroide, temos que x = 9 = 9 = 9 = x(4 x x ) dx ( x x + x) dx ) ( x4 4 x + x Então, o centroide dess região é y = = 9 9 ([4 x ] [x + ] ) dx ( 6 8x + x 4 x 4x 4 ) dx = ( x 4 9x 4x + ) dx 9 = [ ] x 9 x x + x = (, ). Prof. Mrcos Diniz Prof. André Almeid Prof. Edilson Neri Júnior 8

9 Cálculo I Aul n o Exemplo 7. Encontre o centroide d região limitd por cim pel ret y = x e pel prábol y = x por bixo. Note que A = (x x ) dx = x x x = A = 6 x(x x ) dx (x x ) dx ( ) x = 6 x4 4 = = 6 y = A ((x) (x ) ) dx = (x x 4 ) dx 6 ( ) x = x logo, o centroide d região é Resumo = (, ). Fç um resumo dos principis resultdos vistos nest ul. Aprofundndo o conteúdo Lei mis sobre o conteúdo dest ul n seção 8. do livro texto. Sugestão de exercícios Resolv os exercícios d seção 8. do livro texto. Prof. Mrcos Diniz Prof. André Almeid Prof. Edilson Neri Júnior 9

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