1. Sejam R e S duas relações entre os conjuntos não vazios E e F. Então mostre que

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1 2 List de exercícios de Álgebr 1. Sejm R e S dus relções entre os conjuntos não vzios E e F. Então mostre que ) R 1 S 1 = (R S) 1, b) R 1 S 1 = (R S) 1. Solução: Pr primeir iguldde, temos que (, b) R 1 S 1 (, b) R 1 e (, b) S 1 (b, ) R e (b, ) S (b, ) R S (, b) (R S) 1. Pr segund iguldde, (, b) R 1 S 1 (, b) R 1 ou (, b) S 1 (b, ) R ou (b, ) S (b, ) R S (, b) (R S) Suponh R e S dus relções (não vzis) sobre um conjunto não vzio E. Mostre que ) se R e S são reflexivs então, R S tmbém é reflexiv, b) se R e S são simétrics então, R S tmbém é simétric, c) se R, ou S, é ntissimétric então, R S tmbém é ntissimétric, e d) se R e S são trnsitivs então, R S tmbém é trnsitiv. Solução: Suponh primeirmente R e S reflexivs. Pr cd x E temos d reflexividde de R e S, que (x, x) R e tmbém (x, x) S, e portnto (x, x) R S, mostrndo reflexividde de R S. Suponh gor R e S simétrics. Se R S é vzi, é simétric. Suponh R S não vzi. Sej então (x, y) R S. Dest form, (x, y) R e (x, y) S, e d simetri de R e S, temos que (y, x) R e (y, x) S, donde (y, x) R S mostrndo simetri de R S. Suponh R ou S nti-simétrics. Se R S é relção vzi, então é ntissimétric. Se R S, então sej (x, y) R S, tl que, (y, x) R S tmbém. E então, (x, y) R com (y, x) R e (x, y) S com (y, x) S. Sendo R ou S ntissimétric, segue que x = y, mostrndo que R S é ntissimétric tmbém. 1

2 Suponh R e S dus relções trnsitivs. Se R S é vzi então é trnsitiv. Se R S é não vzi, então sejm (x, y), (y, z) R S. Mostrremos que (x, z) R S. De (x, y), (y, z) R S, temos que (x, y), (y, z) R e (x, y), (y, z) S, e d trnsitividde de R e S, segue que (x, z) R e tmbém (x, z) S, e então (x, z) R S, provndo que R S é trnsitiv. Isto encerr est demonstrção. 3. Se R e S são dus relções (não vzis) sobre um conjunto não vzio E, então ) Se R ou S são reflexivs então, R S tmbém é reflexiv, b) Se R e S são simétrics então, R S tmbém é simétric, Mostre tmbém (dndo contr-exemplos) que não há grntis que R S sej ntissimétric e trnsitiv, mesmo se R e S forem. Solução: Suponh primeirmente R ou S reflexivs. Pr cd x E temos d reflexividde de R ou de S, que (x, x) R ou (x, x) S. De qulquer form (x, x) R S, mostrndo reflexividde de R S. Suponh gor R e S simétrics. Se R S é vzi, então é simétric. Suponh que R S não é vzi, e então, consideremos (x, y) R S. Dest form, (x, y) R ou (x, y) S, e d simetri de R e de S, temos que (y, x) R ou (y, x) S, e então (y, x) R S, que mostr simetri de R S. Pr os contr-exemplos, considere E = {0, 1, 2} e s relções R = {(0, 0), (0, 1), (1, 1)} e S = {(0, 0), (1, 0), (1, 1)} definids sobre E. Clrmente R e S são ntissimétrics. No entnto, R S = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)}, não é ntissimétric, pois (1, 0) e (0, 1) estão em R S. Tomndo gor R = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)} e S = {(0, 0), (0, 2), (2, 0), (2, 2)}, que são clrmente dus relções trnsitivs. Temos então, R S = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (2, 0), (2, 2)} e como vemos, (1, 0), (0, 2) R S, e no entnto (1, 2) R S. Logo, R S não é trnsitiv. 4. Se R é um relção não vzi sobre um conjunto E, mostre que ) R é reflexiv, se e somente se, R 1 é reflexiv, b) R é simétric, se e somente se, R 1 é simétric, c) R é ntissimétric, se e somente se, R 1 é ntissimétric, d) R é trnsitiv, se e somente se, R 1 é trnsitiv. 2

3 5. Considere sobre o conjunto E = R relção xry x 2 y 2 = 0. Verifique se R é reflexiv, simétric, ntissimétric e trnsitiv. Solução: Ddo qulquer x E = R temos clrmente que x 2 x 2 = 0 e d definição d relção segue que xrx. R é então reflexiv. Sejm x, y E = R tis que xry, isto é, x 2 y 2 = 0. Multiplicndo mbos os membros por 1 temos que y 2 x 2 = 0 e portnto yrx. R é então simétric. Sejm x, y E = R tis que xry e tmbém yrx. Então x 2 y 2 = 0 e tmbém y 2 x 2 = 0. Então temos (de qulquer um ds igulddes) que x 2 = y 2. Ms isto não grnte que x = y, ms sim que x = ±y. Portnto pode ocorrer que x = y. Isto nos permite construir pres ordendos (x, y) em R com (y, x) R e x y. Como exemplo (1, 1), ( 1, 1) R. Segue que R não é ntissimétric. Suponh x, y, z E = R tis que xry e yrz, isto é, x 2 y 2 = 0 e tmbém y 2 z 2 = 0. Segue que x 2 z 2 = (x 2 y 2 ) + (y 2 z 2 ) = = 0, donde temos que xrz. Segue que R é trnsitiv. 6. Sej E = { 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3} e defin relção dd por x y x + x = y + y. Mostre que é um relção de equivlênci. Determine E. 7. Sej E = R e defin relção dd por x y x + y = y + x. Mostre que é um relção de equivlênci. Determine 2, 1, 0, 1, 2. Generlize determinndo x pr todo x E = R. 8. Suponh que i é unidde imginári dos números complexos, isto é, i é tl que i 2 = 1. Considere o conjunto dos números inteiros Z e relção definid por b i = i b. Mostre que é um relção de equivlênci. Determine Z. 9. Considere um função f : R R. Defin relção sobre R por x y f(x) = f(y). 3

4 Mostre que é um relção de equivlênci. Determine 1 e 2 no cso em que f(x) = x 2. Mostre que, f é injetor, se e somente se, x = {x} pr todo x R. 10. Considere um função f : R R definid em todo o conjunto R. Defin relção sobre R por x y yf(x) = xf(y). Mostre que é um relção de equivlênci sobre R. 11. Considere E o conjunto de todos os vetores em R n e relção, definid sobre E, dd por u v u = αv pr lgum α R. Mostre que é um relção de equivlênci em E. Solução: Pr todo u E, temos u = 1u e portnto u u e isto grnte reflexividde de. Ddos gor u, v E tis que u v então u = αv pr lgum α R. Neste cso, v = 1 α u com 1 α R e segue que v u, mostrndo simetri de. Sejm u, v, w E com u v e v w, isto é, u = αv e v = βw pr lgum α, β R. Dest form u = αv = α(βw) = (αβ)w e como (αβ) R temos que u w, e segue trnsitividde de. em E. Dest form, é reflexiv, simétric e trnsitiv, e portnto relção de equivlênci 12. Sej R o conjunto dos números reis e defin neste conjunto relção dd por x y (x y) = 2kπ pr lgum k Z. Mostre que é um relção de equivlênci. Est relção é conhecid como relção de equivlênci trigonométric, um vez que, se x y, então, sen(x) = sen(y) e cos(x) = cos(y). Solução: Pr cd x R, temos x x = 0 = 2 0 π, e então x x e é reflexiv. Ddos x, y R com x y, então x y = 2kπ, pr lgum k Z. y x = 2kπ = 2( k)π, e como k Z, temos que y x, e é simétric. Dest form, Sejm x, y, z R tis que x y e y z. Então (x y) = 2(k 1 )π, e tmbém (y z) = 2(k 2 )π, pr lgum k 1, k 2 Z. Temos então (x z) = (x y)+(y z) = 2k 1 π+2k 2 π = 2(k 1 +k 2 )π, e como (k 1 + k 2 ) Z, temos que x z, donde é trnsitiv. Segue que é relção de equivlênci. 13. Sej M n (R) o conjunto ds mtrizes qudrds de ordem n 2 cujos elementos são números reis. Defin relção dd por A B existe M M n (R) invertível, tl que, A = M B M 1. 4

5 Mostre que é um relção de equivlênci. Solução: Pr mostrr reflexividde suponh A M n (R) um mtriz rbitrári. Como mtriz identidde de ordem n, I M n (R) é invertível e stisfz iguldde A = I A I 1, então A A. Pr simetri, sejm A, B M n (R) de form que A B. Então d definição d relção, temos que existe um mtriz M pertencente M n (R), invertível que stisfz A = M B M 1, ou equivlentemente, multiplicndo M 1 pel esquerd e M pel direit, M 1 A M = B. Como tmbém M = (M 1 ) 1, existe portnto um mtriz invertível, que é precismente M 1 que stisfz B = M 1 A (M 1 ) 1, donde B A. Pr trnsitividde, sejm A, B, C M n (R) de form que A B e tmbém B C. Então existem mtrizes M, N M n (R) invertíveis de form que A = M B M 1, e B = N C N 1, e portnto A = M (N C N 1 ) M 1 = (M N) C (N 1 M 1 ) = (M N) C (M N) 1 Como M e N são invertíveis, então M N é ind invertível. Segue portnto que A C. 14. Sej S o conjunto de tods s sequêncis de números reis, isto é, Considere relção, definid em S por, S = {( n ) n N ; k R, k N}. ( n ) (b n ) lim n n b n = 0. Mostre que é um relção de equivlênci em S. Solução: Primeirmente, é clro que pr qulquer sequênci ( n ), temos lim n n = 0, e então, ( n ) ( n ), donde é reflexiv. 5

6 Sejm gor, ( n ) e (b n ), tis que ( n ) (b n ), isto é, lim n b n = 0. Como lim b n n = lim n b n = 0, então fic mostrdo que (b n ) ( n ) e que é simétric. Pr finlizr, considere ( n ), (b n ) e (c n ), três sequêncis tis que, ( n ) (b n ) e (b n ) (c n ). Temos então, lim n b n = 0 e lim b n c n = 0. Usndo desiguldde tringulr, temos que, 0 lim n c n lim n b n + b n c n = lim n b n + lim b n c n = 0, e ssim segue que lim n c n = 0, mostrndo que ( n ) (c n ) e trnsitividde d relção. Isto conclui est demonstrção. 15. Suponh R relção sobre o conjunto Q dos rcionis dd por xry (x y) Z. Mostre que R é um relção de equivlênci. Constru s clsses 1, 5, 1 2 e 1, 3. Solução: Pr qulquer x Q, temos x x = 0 Z, e então xrx pr todo x Q, donde R é reflexiv. Ddos x, y Q com xry, temos então que x y Z. Ms ssim, (y x) = (x y) Z tmbém. Segue que yrx, e R é simétric. Ddos x, y, z Q com xry e yrz, temos (x y) Z, e tmbém (y z) Z. Ms ssim, (x z) = (x y) + (y z) Z, donde xrz e R é trnsitiv. Decorre que R é relção de equivlênci. Além disso, 1 = {x Q; (1 x) Z} = Z 5 = {x Q; (5 x) Z} = Z 0, 5 = {x Q; (0, 5 x) Z} = {k + 0, 5; k Z} 1, 3 = {x Q; (1, 3 x) Z} = {k + 0, 3; k Z}. 16. Sobre o conjunto M = {( c b d ) } ;, b, c, d { 1, 0, 1}, considere relção de equivlênci A B se e somente se det(a) = det(b). ( ) 1 1. Determine M 1 1. Determine 6

7 Solução: Observe que, como cd um ds entrds d mtriz possui três possibiliddes, o conjunto M possui 81 elementos isto é 81 mtrizes qudrds (de ordem 2). Pr determinr M temos que determinr s clsses destes 81 elementos, e isto quer dizer verificr pr cd um destes 81 elementos, quis dos outros 80 elementos estão relciondos. Clro que isto é muito trblhoso (pr não dizer humnmente impossível). Observemos que, dd um mtriz A M, temos que Então vmos trçr outr estrtégi. Ā = {X M; X A} = {X M; det(x) = det(a)}. Dest form, precismos verificr pens quis s possibiliddes pr os determinntes dests 81 mtrizes. Como, b, c, d { 1, 0, 1} então d, bc { 1, 0, 1} e portnto d bc { 2, 1, 0, 1, 2}. Só existem portnto 5 possibiliddes pr o determinnte e então existirão pens 5 clsses, desde que consigmos encontrr um mtriz pr cd um dos possíveis determinntes. Escolhemos então {( ) ( ) ( ) ( ) ( )} M = ,,,, Considere o conjunto F = C([, b], R) ds funções contínus de [, b] R em R. Considere relção de homotopi de funções, isto é, f g se e somente se f é homotópic g, ou ind, f g se e somente se existe um fmíli de funções ϕ : [, b] [0, 1] R, de form que ϕ(x, t) é contínu em t pr qulquer x [, b], ϕ(x, 0) = f(x) e ϕ(x, 1) = g(x). Mostre que relção, de homotopi de funções, é um relção de equivlênci. Solução: Dd um função f F, tommos fmíli ϕ(x, t) = f(x), pr todo t [0, 1]. Então, fmíli ϕ é contínu em t pois é constnte pr t, e pr cd t, ϕ se reduz f que é contínu. Como tmbém ϕ(x, 0) = f(x) e ϕ(x, 1) = f(x), pr todo x X. Segue que f f pr tod f F, e é reflexiv. Sejm f, g F com f g. Logo, existe um homotopi ϕ entre f e g, isto é, existe um fmíli de funções contínus, ϕ : [, b] [0, 1] R, de form que ϕ(x, 0) = f(x) e ϕ(x, 1) = g(x). Consideremos então fmíli ψ : [, b] [0, 1] R, construíd por ψ(x, t) = ϕ(x, 1 t), pr todo x [, b], e todo t [0, 1]. Dest form, fmíli ψ é contínu, pois fmíli ϕ é contínu, e t 1 t é um plicção contínu. A compost é contínu então. Além disso, ψ(x, 0) = ϕ(x, 1 0) = ϕ(x, 1) = g(x), e ψ(x, 1) = ϕ(x, 1 1) = ϕ(x, 0) = f(x). D definição de homotopi, ψ é um homotopi entre g e f, e então g f e portnto, é simétric. Dds f, g, h F tis que, f g e g h, existem então dus fmílis de plicções contínus, ϕ, η : [, b] [0, 1] R de form que ϕ(x, 0) = f(x), ϕ(x, 1) = g(x) = η(x, 0) e η(x, 1) = h(x). Construímos então fmíli, ψ : [, b] [0, 1] R, dd por { ϕ(x, 2t) se 0 t 1 ψ(x, t) = 2 1 η(x, 2t 1) se 2 < t 1, e então temos que, ψ está bem definid em [, b] e em [0, 1], é contínu, pois t 2t, t 2t 1, ϕ e η são tods contínus pr t 1 2. Em t = 1 2, temos que ψ(x, t) ϕ(x, 1) = g(x) pel 7

8 esquerd, e ψ(x, t) η(x, 0) = g(x) pel direit. Logo ψ é contínu pr todo t [0, 1]. Além disso, ψ(x, 0) = ϕ(x, 0) = f(x), e tmbém ψ(x, 1) = η(x, 2 1) = η(x, 1) = h(x), mostrndo que ψ é um homotopi entre f e h, e portnto f h, donde é trnsitiv. Segue que é relção de equivlênci. 18. Considerndo o conjunto F = C([, b], R) ds funções contínus definids no intervlo [, b], e relção, definid em F, dd por f g Mostre que é um relção de equivlênci. f(x) g(x) dx = 0. Solução: Pr cd f F, temos e então f f, donde é reflexiv. f(x) f(x) dx = 0dx = 0, Dds f, g F tis que f g, então f(x) g(x) dx = 0, e portnto, donde g f, e então é simétric. g(x) f(x) dx = Dds f, g, h F, com f g e g h, temos f(x) g(x) = 0, Assim, f(x) g(x) dx = 0, e tmbém g(x) h(x) dx = 0. 0 Segue que f(x) h(x) dx = f(x) g(x) + g(x) h(x) dx f(x) g(x) dx + f(x) h(x) = 0, e então f h, e é trnsitiv. Segue que é relção de equivlênci. g(x) h(x) dx = Considere o conjunto E = N N e sobre E defin (m, n) (, b) m + b = + n. Mostre que é um relção de equivlênci em E. 20. Sej R um relção reflexiv sobre um conjunto não vzio E. Mostre que R é um relção de equivlênci se, e somente se, R = R R 1. 8