O Teorema do Ponto Fixo de Schauder e Aplicação às EDFR

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1 O Teorem do Ponto Fixo de Schuder e Aplicção às EDFR Cristino dos Sntos e Márci Richtielle 2 de dezembro de 215 Resumo Vmos presentr um importnte resultdo sobre existênci de ponto fixo pr plicções compcts e descreveremos como este resultdo é utilizdo pr grntir existênci de soluções de Equções Diferenciis Funcionis com Retrdmento (EDFR). Plvrs Chve: Operdores Compctos, Ponto Fixo, Equções Diferenciis Funcionis com Retrdmento. Introdução Apresentremos neste trblho construção do Teorem do Ponto Fixo de Schuder e pr isto utilizremos lguns resultdos referentes às plicções compcts. Este importnte teorem é utilizdo pr obtenção de outros resultdos dentro d Mtemátic e d Mtemátic Aplicd. Pr exemplificr, veremos um plicção dentro d Teori Básic ds Equções Diferenciis Funcionis com Retrdmento sobre existênci de solução, lém disso, ele tmbém pode ser utilizdo pr grntir existênci de soluções periódics pr lgum clsse de EDFR. 1 Resultdos Preliminres Inicilmente vmos presentr definição de Operdor Compcto, um exemplo e lguns resultdos importntes pr o bom desenvolvimento deste trblho. Antes de definirmos os Operdores Compctos relembremos do seguinte resultdo: Teorem 1 As seguintes firmções respeito de um espço métrico M são equivlentes: 1 - M é compcto. 2 - Todo subconjunto infinito de M possui um ponto de cumulção. Trblho relizdo como prte do projeto de Inicição Científic Fpesp, Processo: 212/ sob orientção d Prof. Dr. Mrt Cilene Gdotti. Emil: bolsist FAPESP. Estudnte do Curso de Bchreldo em Mtemátic, Unesp - Rio Clro. Emil: bolsist BAAE do IGCE. Estudnte do Curso de Bchreldo em Mtemátic, Unesp - Rio Clro. 1

2 3 - Tod sequênci em M possui um subsequênci convergente. 4 - M é completo e totlmente limitdo. Como plicção diret deste Teorem temos o seguinte Corolário: Corolário 2 Ddo um subconjunto X de um espço métrico completo M, são equivlentes s seguintes proprieddes: 1 - X é reltivmente compcto em M, isto é, X é compcto. 2 - Tod sequênci de pontos de X possui um subsequênci convergente em M. 3 - X é totlmente limitdo. As provs dos resultdos descritos cim podem ser encontrds em [3]. Definição 3 Sejm E e F espços normdos, dizemos que plicção k : E F contínu é compct ou completmente contínu se pr todo X E limitdo, k(x) é reltivmente compcto. Apresentmos gor um teorem (vej referênci [4]) que mostr lterntivs equivlentes de verificr que um plicção liner é compct. Teorem 4 Sejm E e F espços normdos e k : E F um plicção liner; são equivlentes s seguintes proprieddes: 1 - k é compct. 2 - Tod sequênci limitd de pontos (x n ) de E contém um subsequênci (x nr ) tl que sequênci (k(x nr )) é convergente em F. 3 - k lev bol unitári B de E num conjunto reltivmente compcto de F. Demonstrção: (1) = (2) Sendo {x n ; n N} um subconjunto limitdo de E e k compct, então {k(x n ); n N} é um subconjunto reltivmente compcto de F. Assim, do Corolário 2 segue que sequênci (k(x n )) possui um subsequênci convergente em F. (2) = (3) D hipótese segue que tod sequênci (x n ) B contém um subsequênci (x nr ) tl que (k(x rn )) é convergente em F. Isto equivle dizer que o conjunto k(b) é reltivmente compcto, pelo Corolário 2. (3) = (1) Sej L E um conjunto limitdo, então existe > tl que L.B = B(), onde B() é bol de rio, e ssim, k(l) k(b). Segue que k(l) é reltivmente compcto pois k(b) o é, ssim k(b) é reltivmente compcto. Exemplo 5 Sejm E e F espços normdos e k : E F contínu. compcto então k é compcto. Se E é De fto, pois ddo um sequênci limitd rbitrári (x n ) E temos, pel compcidde de E, que (x n ) possui subsequênci (x nr ) convergente, e pel continuidde de k segue que (k(x nr )) é convergente e, portnto, k é compcto. 2

3 Vmos gor construir um operdor compcto, pr isto considere E = C([, b], C) e F = C([c, d], C) e sej K : [c, d] [, b] C um função contínu. Pr todo x E definimos y = k(x) F por y(t) = k(x)(t) = K(t, s)x(s)ds, t [c, d]. Pr determinr que k é compcto vmos demonstrr que k(b) é um subconjunto reltivmente compcto de F, onde B é bol unitári em E. Pelo Teorem de Arzelá-Ascoli, ver referênci [5], é suficiente demonstrr que: C. i) k(b) é equicontínuo. ii) Pr todo t [c, d] o conjunto {k(b)(t )} = {k(x)(t ); x B} é limitdo em Demonstrção de i): D continuidde uniforme de K segue que ddo ε > existe δ > tl que pr todo s [, b] e t 1, t 2 [c, d] com t 1 t 2 < δ temos: De = K(t 1, s) K(t 2, s) < ε. y(t 1 ) y(t 2 ) = K(t 1, s)x(s)ds K(t 2, s)x(s)ds = [K(t 1, s) K(t 2, s)]x(s)ds K(t 1, s) K(t 2, s) x(s) ds, segue-se então que pr t t < δ e x B k(x)(t) k(x)(t ) K(t, s) K(t, s) x(s) ds ε ε sup x(s) (b ) < ε(b ), s [,b] pois x = sup x(t) < 1, o que prov equicontinuidde de k(b). t b Demonstrção de ii): Pr todo x B e t [c, d] temos: k(x)(t ) K(t, s) x(s) ds M, x(s) ds onde M é um constnte que pode depender de t, concluindo prov. 2 Teorem do Ponto Fixo de Schuder Vmos gor desenvolver o Teorem do Ponto Fixo de Schuder, pr isto trremos primeiro lgums definições e resultdos preliminres, cujs demonstrções podem ser encontrds em [1]. Definição 6 Um espço topológico Y tem propriedde do ponto fixo (fpp) se tod plicção contínu f : Y Y tem um ponto fixo, isto é, existe y Y tl que f(y) = y.

4 Teorem 7 - Ponto Fixo de Brouwer. A bol unitári fechd B n em R n tem fpp. Teorem 8 - Ponto Fixo de Brouwer Generlizdo. Um subconjunto Q de R n convexo e compcto tem fpp. Teorem 9 Um espço vetoril rel de dimensão finit n é linermente homeomorfo o R n. Definição 1 Sejm X um espço normdo rel e F = {x 1,..., x n } um subconjunto finito de X. Então con(f ), envoltóri convex de F, é definid por: con(f ) = t j x j ; t j, t j = 1. j=1 A envoltóri convex con(f ) está contid no espço vetoril [F ] o qul é chmdo gerdo de F e é definido pelos pontos x X que podem ser escritos n form x = n j=1 jx j pr j R e x j F. Evidentemente, [F ] é um espço vetoril de dimensão menor ou igul n. Observe que con(f ) é fechdo e limitdo; de fto, note que ddo x con(f ) temos: x = n j=1 t jx j mxj x j e note tmbém que con(f ) é imgem invers do conjunto {1} pel função contínu: f : [F ] R onde f(x) = n j=1 t j. Resultdo 11 Se F = {x 1,..., x n } está contido em um conjunto convexo C de um espço normdo X, então con(f ) está contid em C. Assim, con(f ) é interseção de todos os subconjuntos convexos de X contendo F. Demonstrção: Usndo indução no número de pontos em F, segue que o Resultdo é trivil pr F com pens um ponto. Vmos ssumir que o Resultdo é válido pr conjuntos F com n 1 pontos. Agor, sej C um subconjunto convexo de X contendo F e sej x = n j=1 t jx j con(f ). Assim, devemos mostrr que x C. Se t n = 1 então x = x n pois t j = 1 e está provdo. Cso contrário, x pode ser escrito n form [ t1 x = (1 t n ) x t ] n 1 x n 1 + t n x n = (1 t n )x + t n x n 1 t n 1 t n j=1 Sej F = {x 1,..., x n 1 }, então x con(f ) pois: t t n = 1 t t n 1 = 1 t n t 1 1 t n + + t n 1 1 t n = 1. Assim, pel hipótese de indução x C e como C é convexo e t n [, 1[ segue que x C. Definição 12 Pr todo ε >, um ε net, que denotremos por S, em um espço métrico X é um subconjunto de X com propriedde que todo ponto de X está o lcnce ε de lgum ponto de S, isto é, x X, s S tl que d(x, s) < ε. Pr dizer mesm cois, mis precismente, dizemos que um subconjunto S de X é um ε net se X é união de tods B(s, ε), com s S. Definição 13 Dizemos que um espço métrico X é totlmente limitdo se existe um ε net finito pr X.

5 Teorem 14 - Projeção de Schuder. Sej K um subconjunto compcto de um espço normdo X, com métric d induzid pel norm. Ddo ε >, existe um subconjunto finito F de X e um plicção P : K con(f ) chmd Projeção de Schuder, tl que d(p (x), x) < ε pr todo x K. Demonstrção: Como K é compcto segue do Teorem 1 que K é totlmente limitdo, ssim existe um ε net finito, sej tl conjunto F = {x 1,..., x n }. Pr i = 1,..., n defin s funções φ i : K R por φ i (x) = ε d(x, x i ) se x B(x i, ε) e φ i (x) = cso contrário. Definindo, φ como φ(x) = n φ i(x) temos que φ(x) >, x K, pois F é um ε net pr K. Definimos então Projeção de Schuder por: P (x) = φ i (x) φ(x) x i, que é contínu pois os φ i são. Observe que P (x) con(f ) pois, φ i (x) φ(x) = 1 φ(x) E ssim, φ i (x) d(p (x), x) = φ(x) x i x = pois φ i (x) = se x i x ε. φ i (x) = φ(x) φ(x) = 1. φ i (x) φ(x) x i φ i (x) φ(x) x i x < φ i (x) φ(x) x = φ i (x) φ(x) (x i x) φ i (x) φ(x) ε = ε, De cordo com o Teorem 8 um subconjunto fechdo, limitdo (e ssim compcto) e convexo de um espço euclidino de dimensão finit tem propriedde do ponto fixo. De modo gerl, em espços normdos subconjuntos fechdos e limitdos não necessrimente são compctos. Vmos ilustrr exibindo um exemplo(ver [4]) de um subconjunto fechdo, limitdo e convexo de um espço normdo que não possui propriedde do ponto fixo. Exemplo de Kkutni: Considere o espço de Hilbert X = l 2 que consiste de tods s sequêncis reis x = (x 1, x 2,...) tis que série j=1 x2 j sej convergente. E norm definid neste cso é: x = x 2 j. A bol unitári C em X, isto é, o conjunto de pontos x X tis que x 1, é certmente fechd, limitd e convex. Se definirmos ( ) f(x) = f((x 1, x 2,...)) = 1 x 2, x 1, x 2,... e clculrmos j=1 f(x) = ( 1 x 2) 2 + x x = (1 x 2 ) + x 2 = 1 5

6 vemos que f plic o conjunto C em si mesmo, n verdde, n esfer unitári S C. Est função f : C S C é contínu, pois podemos escrevê-l como composição de funções que obvimente são contínus. Ms, f não tem ponto fixo. Pois cso contrário, existiri x = (x 1, x 2,...) com f(x ) = x e então x = f(x ) = 1. Ms, pel definição de f terímos f(x ) = f(x 1, x 2,...) = (, x 1, x 2 ) = x = (x 1, x 2,...) e isto implic que = x 1, x 1 = x 2 e ssim em dinte, e portnto terímos que x seri sequênci nul, o que é um contrdição. Teorem 15 - Ponto Fixo de Schuder. Sej C um subconjunto fechdo, limitdo e convexo de um espço normdo e sej f : C C um plicção compct, então f tem um ponto fixo. Demonstrção: D hipótese temos que f(c) é compcto, denote f(c) por K. Pr cd número nturl n, sej F n um 1 n net finito pr o compcto K e sej P n : K con(f n ) Projeção de Schuder. Agor, F n está contido em K que por su vez está contido em C já que f(c) C e C é fechdo. Assim, do Resultdo 11 convexidde de C implic que con(f n ) C. Defin f n : con(f n ) con(f n ) pel restrição de f à con(f n ) e compondo com P n, f n = P n f. Como [F n ] tem dimensão finit e con(f n ) é fechdo e limitdo em [F n ] temos que con(f n ) é compcto. Assim, do Teorem 8 temos que f n possui ponto fixo, sej y n con(f n ) um deles. Como K é compcto sequênci (f(y n )) possui subsequênci convergente, qul será denotd tmbém por (f(y n )). Chmemos o limite dest subsequênci de y e note que y C pois C é fechdo. Mostrremos que y é um ponto fixo de f. O rgumento depende d propriedde de proximção d Projeção de Schuder, que neste cso stisfz: Qundo tommos x = f(y n ) temos: d(p n (x), x) < 1 n. d(p n (f(y n )), f(y n )) = d(f n (y n ), f(y n )) < 1 n. Então sequênci (f n (y n )) = (y n ) deve convergir pr o mesmo ponto que f(y n ) converge, o qul chmmos de y. Finlmente, observe que, d continuidde de f e do fto de y n y, f(y n ) f(y), portnto, d unicidde do limite temos que f(y) = y. Corolário 16 - Ponto Fixo de Brouwer Muito Generlizdo Um subconjunto convexo e compcto de um espço normdo tem fpp. Demonstrção: Segue diretmente do Teorem 15 e do Exemplo 5. 3 Aplicção às EDFR Antes de exibirmos plicção do Teorem de Schuder, é preciso introduzirmos s notções e definições que serão necessáris o bom entendimento de um EDFR. Primeirmente, presentmos definição de equção diferencil funcionl com retrdmento e pr isto vmos considerr r > e

7 C = C([ r, ], R n ) = {φ = (φ 1,, φ n ) : [ r, ] R n contínu } o espço de Bnch ds funções contínus definids em [ r, ] tomndo vlores em R n com topologi d convergênci uniforme. Designmos norm de um elemento φ C como φ = φ(θ). sup r θ Definição 17 Se σ R, A e x C([σ r, σ + A], R n ), então pr todo t [σ, σ + A], definimos x t C por x t (θ) = x(t + θ), r θ. Vej figur seguir que ilustr função x t. x t x(t) σ r t r σ t σ + A Definição 18 Se D é um subconjunto de R C e f : D R n é um função dd, então dizemos que relção ẋ(t) = f(t, x t ) (3..1) é um equção diferencil funcionl com retrdmento. Desejmos enftizr est equção definid por f escrevendo EDFR(f). Definição 19 Um função x é um solução d equção (3..1), se existirem σ R, A > tis que x C([σ r, σ + A), R n ), (t, x t ) D e x(t) stisfz (3..1) pr t [σ, σ + A). Pr σ R, φ C denotremos x(σ, φ, f) como sendo solução d equção (3..1) pr t [σ r, σ + A) com função inicil φ em σ, ou sej, x σ (σ, φ, f) = φ. Enunciremos lguns lems necessários pr construção do teorem sobre existênci de solução. As provs podem ser encontrds em [2]. Lem 2 Se σ R, φ C são ddos e f é contínu, então encontrr um solução pr equção (3..1) em (σ, φ) é equivlente resolver equção integrl: x σ = φ e x(t) = φ() + t σ f(s, x s )ds, t σ. Pr provr existênci de solução é conveniente introduzirmos um função φ e um equção integrl ssocid el. Pr qulquer (σ, φ) R C, considere função φ C([σ r, ), R n ) definid por: φσ = φ φ (t + σ) = φ(), t. Suponh que x é um solução d equção (3..1) pssndo por (σ, φ) e que x(t + σ) = φ (t + σ) + y(t), (3..2) 7

8 pr t r. Assim, do Lem 2 temos que y stisfz y(t) = t f(σ + s, φ σ+s +y s )ds, t. (3..3) Reciprocmente, se y é um solução de (3..3), então é possível obter um solução x d equção (3..1) por (3..2). Portnto, encontrr um solução pr equção (3..1) é equivlente encontrr α > e um função y C([ r, α], R n ) tl que equção (3..3) estej stisfeit pr t α. Se V é um subconjunto de R C, denotremos C(V, R n ) como sendo clsse de tods s funções f : V R n que são contínus e C (V, R n ) C(V, R n ) o subconjunto de funções limitds contínus de V pr R n. O espço C (V, R n ) é Bnch com norm f V = sup f(t, φ). (t,φ) V Definição 21 Pr quisquer α, β R, definimos: I α = [, α], B β = {ψ C; ψ β} e A(α, β) = {y C([ r, α], R n ); y =, y t B β, t I α }. Lem 22 Suponh Ω R C berto, W Ω compcto e f C(Ω, R n ). Então existe um vizinhnç V Ω de W tl que f C (V, R n ), existem U C (V, R n ) um vizinhnç de f e constntes positivs M, α e β tis que f(σ, φ) < M pr (σ, φ) V e f U. Tmbém, pr todo (σ, φ ) W, temos (σ + t, φ σ +t +y t ) V, pr t I α e y A(α, β). Lem 23 Suponh que Ω R C é um conjunto berto, W Ω é compcto e f C(Ω, R n ) é dd. Considere tmbém s vizinhnçs U e V e s constntes M, α, β que form obtids no Lem 22. Se T : W U A(α, β) C([ r, α], R n ) definid por, t [ r, ] T (σ, φ, f, y)(t) = t f(σ + s, φ σ+s +y s )ds, t I α. Então T é contínu e existe um conjunto compcto K C([ r, α], R n ) tl que T : W U A(α, β) K. Tmbém, se Mα β, então T : W U A(α, β) A(α, β). O Teorem de Existênci de Solução que demonstrremos dinte é um plicção do Teorem do Ponto Fixo de Schuder. Teorem 24 (Existênci de Solução) Suponh Ω R C um conjunto berto e f C(Ω, R n ). Se (σ, φ) Ω, então existe um solução d EDFR(f ) pssndo por (σ, φ). Mis ind, se W Ω é compcto e f C(Ω, R n ), então existe um vizinhnç V Ω de W tl que f C (V, R n ), existe um vizinhnç U C (V, R n ) de f e existe α > tis que pr qulquer (σ, φ) W, f U, existe um solução x(σ, φ, f) d EDFR(f) pssndo por (σ, φ) em [σ r, σ + α]. 8

9 Demonstrção: Pr mostrr que existe solução d EDFR pssndo por (σ, φ), consideremos W = {(σ, φ)}. Logo, W é compcto. Assim, pelo Lem 23, podemos definir plicção T : W U A(α, β) C([ r, α], R n ) contínu. Consideremos plicção T ((σ, φ), f, ) : A(α, β) C([ r, α], R n ) definid por:, t [ r, ] T (σ, φ, f, y)(t) = t f(σ + s, φ σ+s +y s )ds, t I α. Mostremos que temos stisfeits tods s condições do Teorem 15. Ou sej, mostremos que A(α, β) é fechdo, limitdo e convexo em C([ r, α], R n ) e que plicção T : A(α, β) A(α, β) é completmente contínu, lembrndo pelo Lem 23 que podemos escolher s constntes M, α e β de form que Mα β. Afirmção 1: A(α, β) = {y C([ r, α], R n ); y =, y t B β, t I α } é um conjunto limitdo. De fto, sej y A(α, β) rbitrário. Então tem-se y t B β, t I α y t β, t I α e ssim θ [ r, ] y(t + θ) β y β. Portnto, A(α, β) é limitdo. Afirmção 2: A(α, β) é fechdo em C([ r, α], R n ). Considere (y i ) um sequênci convergente em A(α, β), isto é, y i y em C([ r, α], R n ). Mostremos que y A(α, β). Com efeito, como y i y, então ddo ɛ >, n N tl que n n y i y < ɛ y i (t) y(t) < ɛ, t I α. Em prticulr pr n = n, temos: y n y < ɛ y n (t) y(t) < ɛ, t I α y n t () y t () < ɛ, t I α. Assim, y = y y n + y n y y n + yn = y y n < ɛ. Note que y n =, pois y n A(α, β). Portnto, y < ɛ. Como ɛ é rbitrário segue que y =. Agor, y t = y t y n t + y n t y t y n t + y n t < ɛ + β, t I α, ɛ >. Como ɛ é rbitrário segue que y t β, t I α. Logo, y t B β, o que implic y A(α, β). Portnto, A(α, β) é fechdo em C([ r, α], R n ). Afirmção 3: A(α, β) é convexo. Devemos mostrr que se y 1, y 2 A(α, β), então o segmento (1 )y 1 + y 2, está contido em A(α, β), [, 1]. De fto, fixndo [, 1] qulquer, temos ((1 )y 1 + y 2 ) (θ) = ((1 )y 1 )(θ) + (y 2 )(θ) = (1 )y 1 (θ) + y 2 (θ) = + =, pois y 1, y 2 A(α, β) pr r θ, t =. Portnto, ((1 )y 1 + y 2 ) =. E, ((1 )y 1 + y 2 ) t = (1 )y 1 t + y 2 t (1 )y 1 t + y 2 t = = (1 ) y 1 t + y 2 t (1 )β + β = (1 + )β = β. Portnto, ((1 )y 1 + y 2 ) t B β, t I α. Assim, ((1 )y 1 + y 2 ) A(α, β), [, 1]. Portnto, A(α, β) é convexo. Afirmção 4: A plicção G = T (σ, φ, f, ) : A(α, β) A(α, β) é completmente contínu. Com efeito, T já é contínu pelo Lem 23 e portnto, T (σ, φ, f, ) é contínu. Sej A A(α, β) limitdo. Mostremos que G(A) = T (σ, φ, f, A) tem fecho compcto, ou sej, bst mostrr que G(A) é reltivmente compcto. Pr isto, provemos que: 9

10 (i) G(A) é uniformemente limitdo: Sbemos que G(y) : [ r, α] R n é dd por:, t [ r, ] G(y)(t) = t f (σ + s, φ σ+s +y s )ds, t I α. Sej y A. Como A A(α, β) é limitdo, então existe M > tl que y < M e y t < β, t I α e y =. Note que pelo Lem 22, (σ + s, φ σ+s +y s ) V e y A(α, β) pr s [, α]. Logo, o conjunto U = {(σ + s, φ σ+s +y s ); y A(α, β), s [, α]} V e f é limitd em V. Portnto, f é limitd no conjunto U. Assim, existe k > tl que f (σ + s, φ σ+s +y s ) < k. Portnto, t G(y)(t) = f (σ + s, t φ σ+s +y s )ds f (σ + s, φ σ+s +y s ) ds α f (σ + s, φ σ+s +y s ) ds α k = αk. Note que αk não depende de y. Portnto, G(y) é uniformemente limitdo. Observe tmbém que {G(A)(t), t I α } = {G(y)(t), t I α, y A} R n é limitdo, o que implic que {G(A)} é fechdo e limitdo em R n. Logo, {G(A)} é compcto. (ii) G(A) é equicontínuo. De fto, ddo ɛ > e y A, existe δ < ɛ k tl que, se t < δ, então G(y)(t) G(y)() t Portnto, G(A) é equicontínuo. f (σ + s, φ σ+s +y s ) ds (i) t k ds = t k < ɛ k k = ɛ, y A. Assim, por (i) e (ii) e usndo o Teorem de Ascoli-Arzelá, segue que G(A) é compcto. Portnto, G é completmente contínu. Assim, pelo Teorem do Ponto Fixo de Schuder, existe y A(α, β) tl que T (σ, φ, f, y)(t) = y(t), t [ r, α]. Isto é, t f y(t) = (σ + s, φ σ+s +y s )ds, t I α y = Como, encontrr y é equivlente resolver { ẋ(t) = f (t, x t ) x σ = φ, segue que existe solução pr EDFR(f ). De modo mis gerl, ddo W Ω compcto e f C(Ω, R n ), temos pelo Lem 22 que existe um vizinhnç V Ω tl que f C (V, R n ) e existe um vizinhnç U de f, U C e constntes α, β tis que, se (σ, φ) W então (σ + t, φ σ+t +y t ) V pr t I α e y A(α, β). Portnto, pr cd f U, podemos definir T (σ, φ, f, ) : A(α, β) A(α, β) com ponto fixo, ou sej, com solução. Como querímos demonstrr. 1

11 4 Conclusão A Teori dos Operdores Compctos tem su importânci n construção de resultdos d Análise Funcionl e tmbém de resultdos em outrs subáres d Mtemátic, como por exemplo, o Teorem do Ponto Fixo de Schuder que por su vez tem su plicção n Teori ds Equções Diferenciis Funcionis com Retrdmento. Referêncis [1] ROBERT, F.B. - A Topologicl Introduction to Nonliner Anlysis, Birkhäuser Boston, [2] HALE, J.K. - Introduction to Functionl Differentil Equtions, Springer- Verlg New York, [3] HÖNIG, C.S. - Análise Funcionl e Aplicções vol.1 e vol.2, IME-USP, 197. [4] KREYSZIG, E. - Introductory Functionl Anlysis with Applictions, Wiley Clssics Librry, [5] LIMA, L.E. - Espços Métricos, IMPA,

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