O Teorema do Ponto Fixo de Banach e Algumas de Suas Consequências

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1 JCABrt. Nots pr um Curso de Físic-Mtemátic. Versão de 21 de junho de 219. Cpítulo /2423 Cpítulo 28 O Teorem do Ponto Fixo de Bnch e Algums de Sus Consequêncis Conteúdo S 28.1 O Teorem de Ponto Fixo de Bnch Generlizções do Teorem de Ponto Fixo de Bnch Diverss Aplicções do Teorem de Ponto Fixo de Bnch Aplicção Equções Numérics. O Método de Newton Aplicção Sistems Lineres. O Método de Jcobi Aplicção às Equções Integris de Fredholm e de Volterr Aplicções à Teori ds Equções Diferenciis Ordináris O Teorem de Picrd-Lindelöf Generlizndo o Teorem de Picrd-Lindelöf. Soluções Globis Um Teorem de Comprção de Soluções de EDO s O Teorem d Função Implícit e o Teorem d Função Invers O Teorem d Função Implícit O Teorem d Função Invers APÊNDICES A O Lem de Grönwll ej X um conjunto não-vzio e f : X X um função de X em X. Muits vezes, em problems práticos e teóricos, estmos interessdos em encontrr os pontos x X que são levdos em si mesmos pel função f, ou sej, os pontos x X tis que x = fx. Os pontos que stisfzem ess equção são chmdos de pontos fixos d trnsformção f e equção cim é denomind equção de ponto fixo. Veremos bixo vários exemplos de equções desse tipo, tnto no contexto de equções numérics qunto no de equções integris e diferenciis. N prátic, dd um função f, pode figurr-se difícil sber se sequer existe um ponto fixo pr el. Muits vezes estmos interessdos em sber quntos pontos fixos há e, frequentemente, gostrímos de grntir que há um e pens um ponto fixo de um dd função chmd unicidde d solução. Teorems que nos grntm existênci e, por vezes, unicidde de soluções de equções de ponto fixo são chmdos de teorems de ponto fixo. Há vários teorems de tl tipo n litertur mtemátic, como por exemplo, o Teorem de Ponto Fixo de Bnch 1, o Teorem de Ponto Fixo Brouwer 2, o Teorem do Ponto Fixo de Schuder 3 e vários outros, todos com pressupostos distintos sobre o conjunto X e sobre função f. Sej, por exemplo, o disco fechdo D n de R n : } D n := {x 1,..., x n R n x x2 n 1. O chmdo Teorem do Ponto Fixo de Brouwer firm que tod função contínu n topologi usul de D n em D n tem pelo menos um ponto fixo. Aqui unicidde nem sempre pode ser grntid: pense no exemplo ds rotções em R 3 em torno de um eixo que pss pel origem. Todo ponto o longo do eixo de rotção é levdo em si mesmo pel rotção e é, portnto, um ponto fixo d mesm. O Teorem do Ponto Fixo de Schuder firm que se X é um subconjunto convexo e compcto 4 de um espço de 1 Stefn Bnch Luitzen Egbertus Jn Brouwer Juliusz Pwel Schuder Pr definição d noção de compcidde e sus proprieddes, vide Seção 34.3, págin Bnch então tod função contínu n topologi d norm de X em X tem um ponto fixo não-necessárimente único. Aqui trtremos de um teorem de ponto fixo extremmente útil conhecido como Teorem de Ponto Fixo de Bnch, que é válido em espços métricos completos. De fto, este é de longe o teorem de ponto fixo com mis plicções, sendo que su influênci se estende os domínios ds equções integris, ds equções diferenciis, ds equções numérics em C, d Análise Numéric e de muits outrs áres d Mtemátic pur e plicd. N Seção , págin 1446, trtmos de plicções do Teorem de Ponto Fixo de Bnch à teori ds equções diferenciis ordináris. N Seção 21.1, págin 115, trtmos de um importnte plicção do Teorem de Ponto Fixo de Bnch à teori ds equções diferenciis prciis, sber, usmos o mesmo pr obter solução gerl de equções diferenciis prciis de tipo hiperbólico com coeficientes constntes em dus dimensões. O Teorem de Ponto Fixo de Bnch foi estbelecido por Bnch em Um ds rzões de su importânci reside no fto de fornecer, junto com seu enuncido, um método itertivo proximtivo pr determinção do ponto fixo, método este que é muito eficiente. Outr rzão é o fto de o teorem reunir condições que grntem unicidde do ponto fixo. Vmos o seu enuncido O Teorem de Ponto Fixo de Bnch Teorem 28.1 Teorem de Ponto Fixo de Bnch Sej M um conjunto dotdo de um métric d e suponh M completo em relção d. Sej A um subconjunto fechdo de M e sej T : A A um função de A em A. Vmos então supor que exist um número q com q < 1 tl que pr todos os pontos x e y de A vlh Então, equção de ponto fixo d Tx, Ty qdx, y x = Tx, 28.2 tem solução em A e ess solução é únic. Além disso, pr qulquer x A, sequênci x n = Tx n 1, n 1, obtid plicndo-se repetidmente T prtir de x, converge rpidmente o ponto fixo x n métric d. A sber, tem-se que dx n, x qn dx1, x. 1 q 28.3 Um função T : A A tl que existe um número q com q < 1 e tl que pr todos os pontos x e y de A vlh desiguldde 28.1 é dit ser um contrção em relção à métric d. A constnte q é por vezes denomind constnte de Lipschitz 6. O teorem cim firm que tod contrção em um espço métrico completo tem um, e somente um, ponto fixo. É tmbém importnte frisr que o teorem fornece tmbém um método itertivo de determinção proximd do ponto fixo, sendo que, por 28.3, proximção é tnto melhor qunto mis iterções forem feits. Mis dinte presentremos um teorem nálogo o Teorem 28.1 no qul condição de contrção é enfrquecid. Vide Teorem 28.2, págin Vmos primeiro provr o Teorem 28.1 pr depois vermos vários exemplos de seu uso. Prov do Teorem Como A é um subconjunto fechdo de um espço métrico completo, então A é tmbém completo em relção à mesm métric vide Proposição 27.9, págin 139, ou equivlentemente, Proposição 29.12, págin Pr simplificr notção denotremos por T n n-ésim composição de T consigo mesm: T } T {{}. Definimos n então pr um x A rbitrário x n = T n x, n N. Vmos gor provr que {x n} é um sequênci de Cuchy em A. Pr isso sejm m e n dois números nturis 5 S. Bnch Sur les opértions dns les ensembles bstrits et leurs pplictions ux équtions intégrles. Fund. Mth. 3, Rudolf Otto Sigismund Lipschitz Ess denominção provém d noção de função Lipschitz-contínu. Vide, e.g., págin 1548.

2 JCABrt. Nots pr um Curso de Físic-Mtemátic. Versão de 21 de junho de 219. Cpítulo /2423 JCABrt. Nots pr um Curso de Físic-Mtemátic. Versão de 21 de junho de 219. Cpítulo /2423 quisquer tis que m < n. Então, usndo desiguldde tringulr n m vezes temos o seguinte: dx m, x n dx m, x m+1+dx m+1, x n dx m, x m+1+dx m+1, x m+2+dx m+2, x n. dx m, x m+1+dx m+1, x m+2+ +dx n 1, x n. Pel propriedde de contrção, temos que dx, x +1 = d Tx 1, Tx qdx 1, x q dx, x 1. Dí dx m, x n q m +q m q n 1 dx, x 1 e, portnto, dx m, x n q m 1+q +...+q n 1 m dx, x 1 q m q dx, x 1 = qm dx, x1. 1 q = Isso prov que {x n} é um sequênci de Cuchy, pois q m pode ser feito rbitrrimente pequeno tomndo m grnde, pr qulquer n > m. Como {x n} é um sequênci de Cuchy em A e A é completo, deve hver x em A, único, o qul sequênciconverge. Temos sempre, usndo desiguldde tringulr, que Tomndo n > m, temos dx, x m dx, x n+dx n, x m. dx, x m dx, x n+ qm dx, x1. 1 q Como x n se proxim de x pr n grnde, podemos fzer o termo dx, x n rbitrrimente pequeno, tomndo n grnde, sem lterr os demis. Dí, concluímos que dx, x m qm dx, x q Ess últim desiguldde mostr que x m de fto se proxim exponencilmente rápido de x. Vmos gor provr que x, o limite d sequênci {x n}, é um ponto fixo. Pr isso clculemos dx, Tx. Teremos, pel desiguldde tringulr d x, Tx dx, x m+1+d x m+1, Tx, pr todo m. Usndo 28.4 e contrtividde de T teremos, d x, Tx qm+1 1 q dx, x1+qdxm, x qm+1 1 q dx, x1+ qm+1 1 q dx, x1 = 2qm+1 dx, x1. 1 q Como m é rbitrário podemos fzer m e obtemos d x, Tx =, o que implic que x = Tx. Por fim, rest-nos provr que x é o único ponto fixo de T. Pr tl, vmos supor que hj um outro: x = Tx. Terímos, usndo contrtividde, que dx, x = d Tx, Tx qdx, x, ou sej, 1 qdx, x. Como q < 1 isso implic dx, x =, que implic x = x. Isso complet prov do Teorem de Ponto Fixo de Bnch. Um recíproc pr o Teorem de Ponto Fixo de Bnch Suponhmos que M sej um conjunto dotdo de um métricd e suponhmos que tod contrçãot : M M possu um ponto fixo único. Podemos inferir disso que M é completo em relção d? Em outrs plvrs, vle um recíproc proteoremdepontofixode Bnch? Essquestãofoievem sendobstnteestuddnliterturmtemáticesu respost é gerlmente não. Contrexemplos, ssim como condições dicionis pr vlidde d recíproc e referêncis à litertur pertinente podem ser encontrds em: Márton Eleke, On converse to Bnch s Fixed Point Theorem, rxiv: v1, August 31, Generlizções do Teorem de Ponto Fixo de Bnch Nest seção lidremos com dus extensões do Teorem de Ponto Fixo de Bnch, um trtndo de um cso onde condição de contrtividde q < 1 não é estritmente stisfeit e outro onde plicção T não é contrtiv, ms lgum potênci de T o é. Esse segundo cso será relevnte n discussão ds equções integris de Volterr, ssim como n presentção de teorems de existênci e unicidde de soluções de problems de vlor inicil em equções diferenciis ordináris, tems trtdos mis dinte. A condição que q < 1 é crucil pr demonstrção do Teorem 28.1 e sem el sus conclusões podem não mis ser válids. Vejmos o seguinte exemplo, citdo em diversos livros-texto. Sej M = 1, com métric usul dx, y = x y e sej T : M M dd por Tx = x+x 1. Então, vle pr todo x e y M, x y, d Tx, Ty < dx, y. De fto, pr 1 x < y, y y Ty Tx = T tdt = 1 1t y x x 2 dt < dt = y x, x pois 1 t 2 < 1 pr t > 1, sendo ess melhor estimtiv possível. Assim, Ty Tx < y x, como querímos provr. Note gor, porém, que T não tem nenhum ponto fixo. De fto, Tx = x signific x+x 1 = x, ou sej, x 1 =, o que não é possível se x 1,. Em espços métricos compctos, porém, condição de contrção q < 1 pode ser enfrquecid preservndo essencilmente os mesmos resultdos do Teorem Esse é o conteúdo do Teorem 28.2, dinte. Enfrquecendo condição de contrtividde. Aplicções em compctos Sej M um conjunto dotdo de um métric d. Recordemos 7 que A M é dito ser compcto se e somente se possuir propriedde de Bolzno 8 -Weierstrss 9 : tod sequênci em A possui um subsequênci convergente em A em relção à métric d. Por um teorem gerl Teorem 34.11, págin 165, o fto de A ser compcto em um espço métrico implic que A é fechdo, completo e limitdo. O seguinte teorem é devido Edelstein 1. Teorem 28.2 Sej M um conjunto dotdo de um métric d. Sej A M compcto n topologi induzid em M pel métric d e sej T : A A um função de A em A. Vmos supor que vlh condição d Tx, Ty < dx, y 28.5 pr todos x, y A com x y. Então, equção de ponto fixo x = Tx tem solução em A e ess solução é únic. 7 Pr definição d noção de compcidde e sus proprieddes, vide Seção 34.3, págin Bernrd Plcidus Johnn Nepomuk Bolzno Krl Theodor Wilhelm Weierstrß M. Edelstein, An extension of Bnch s contrction principle. Proc. Am. Mth. Soc , 7 1. M. Edelstein, On fixed nd periodic points under contrctive mppings. J. London Mth. Soc ,

3 JCABrt. Nots pr um Curso de Físic-Mtemátic. Versão de 21 de junho de 219. Cpítulo /2423 JCABrt. Nots pr um Curso de Físic-Mtemátic. Versão de 21 de junho de 219. Cpítulo /2423 Comentário. O fto de A ser suposto compcto fz com que sej dispensável supor que M sej completo, pois A o é. Vide Teorem 34.11, págin 165. Prov do Teorem Observemos em primeiro lugr que se T possuir um ponto fixo, este é único. De fto, sejm x, y A tis que Tx = x e Ty = y. Se x y, vleri dx, y = d Tx, Ty < dx, y, o que é um desiguldde impossível. Logo x = y. Pels hipóteses, pr x A sequênci x n = T n x de elementos de A tem o menos um subsequênci convegente um elemento x A. Vmos provr que esse x é um ponto fixo de T, ou sej, x = Tx. Vmos supor que Tx x e mostrr que isso lev um contrdição. Sej x nk, k N, um subsequênci que converge x d sequênci x n = T n x, ou sej, que stisfz propriedde: pr todo ǫ > existe Kǫ tl que dx nk, x ǫ pr todo k Kǫ. Por 28.5, d Tx, Tx nk dx, x nk iguldde se dndo pens se x = x nk, o que implic que xnk, Tx nk converge x, Tx em A 2 A A se x nk converge x. Sej r := d Tx, x /3. Pr todo k Kr vle dx, x nk r e pel desiguldde tringulr, 3r = dtx, x d Tx, Tx nk +d Tx nk, x nk +dxnk, x Logo, pr todo k Kr, r d Tx nk, x nk, ou sej, dx, x nk +d Tx nk, x nk 2r +d Tx nk, x nk. d Tx, x 3d Txnk, x nk Sej gord := {x, x, x A} A 2, o conjunto digonl de A 2 e defin-se em A 2 \D função F : A 2 \D, dd por Fx, y := d Tx, Ty. dx, y Provemosem primeiro lugr que F é contínu em A 2 \D. De fto, d desiguldde tringulr segue que d Tx, Ty d Tx, Tx +d Tx, Ty +d Ty, Ty Portnto, d Tx, Ty d Tx, Ty d Tx, Tx +d Ty, Ty 28.5 dx, x +dy, y. Anlogmente, prov-se que d Tx, Ty d Tx, Ty dx, x +dy, y. Ambs s relções mostrm que d Tx, Ty d Tx, Ty dx, x +dy, y, o que prov que d Tx, Ty é contínu em A 2, pois se o pr x, y converge o pr x, y, então d Tx, Ty converge d Tx, Ty. Demonstr-se nlogmente tome T = id que função dx, y é contínu em A 2 e isso mostr que F é contínu em A 2 \D. Pel hipótese 28.5 vle Fx, y < 1 pr todos x, y A 2 \D. Como, por hipótese Tx x, o pr x, Tx não pertence D e, portnto, F x, Tx está definido. Sej r > e B r bol fechd de rio r em A 2 \D centrd em x, Tx : { B r := x, y A 2 \D dx, x r e d y, Tx } r. Por ser contínu, F ssume um vlor máximo f em B r. Escolhendo r pequeno o suficiente, podemos grntir que f < 1 pr r pequeno f vle proximdmente F x, Tx < 1. Assim, pr todo x, y B r tem-se Como x nk, Tx nk converge x, Tx, concluímos que pr todo l grnde o suficiente, digmos l L, vle xnl, Tx nl B r. Assim, por 28.7 devemos ter ou sej, Temos, ssim, que d x nl+1, Tx nl+1 = d T n l+1 x, T n l+1+1 x d Tx nl, T Tx nl fd x nl, Tx nl, dx nl+1, x nl+2 fdx nl, x nl d T nl+1 x, T nl+2 x = dx nl+1, x nl fdx nl, x nl+1 = fd x nl, Tx nl. Acim, n pssgem d primeir pr segund linh, usmos n l+1 n l 1 vezes condição Provmos, portnto, que d x nl+1, Tx nl+1 fd x nl, Tx nl pr todo l L. Por indução, isso implic que pr todo k l L vle d x nk, Tx nk f k l d x nl, Tx nl. Fixndo l, isso implic que lim k d x nk, Tx nk =, pois f < 1. Por 28.6, isso contrdiz hiptótese que d Tx, x, completndo prov. Enfrquecendo condição de contrtividde. Potêncis contrtivs Antes de trtrmos ds importntes plicções do Teorem de Ponto Fixo de Bnch equções integris vmos um outr pequen generlizção do mesmo. Est nos será útil, por exemplo, qundo trtrmos d equção integrl de Volterr. Ocorre por vezes que um plicção T, como discutid cim, não é um contrção, ms lgum de sus potêncis o é. Nesse cso, podemos tmbém grntir os mesmos resultdos do Teorem de Ponto Fixo de Bnch. Temos o seguinte: Proposição 28.1 Sej M um conjunto dotdo de um métric d e suponh M completo em relção d. Sej A um subconjunto fechdo em M e sej T um função de A em A, T : A A. Vmos supor que exist um número m N tl que plicção T m sej um contrção, cujo ponto fixo, único, é x A existênci e unicidde de tl ponto fixo são grntids pelo Teorem de Ponto Fixo de Bnch, Teorem Então, T tmbém tem um ponto fixo único, sber, o mesmo x. Prov. Pr provr que x é tmbém ponto fixo de T, notemos que, como x = T m x, temos tmbém que Tx = T m+1 x = T m Tx. Isso diz que Tx é ponto fixo de T m. Pelo Teorem de Ponto Fixo de Bnch este último é x e é único. Dí Tx = x. Or, isso diz precismente que x é ponto fixo de T. Provemos gor que x é tmbém o único ponto fixo de T. Pr tl, suponh que hj um outro: y. Então, y = Ty. Dqui tirmos que Ty = T 2 y. Juntndo s dus vemos que y = Ty = T 2 y. Repetindo esse procedimento, chegmos y = Ty = T 2 y = = T m y. Isso diz que y é ponto fixo de T m. Agor, pels hipóteses, o único ponto fixo de T m é x. Logo y = x. d Tx, Ty fdx, y. 28.7

4 JCABrt. Nots pr um Curso de Físic-Mtemátic. Versão de 21 de junho de 219. Cpítulo /2423 JCABrt. Nots pr um Curso de Físic-Mtemátic. Versão de 21 de junho de 219. Cpítulo / Diverss Aplicções do Teorem de Ponto Fixo de Bnch Nest seção discutiremos diversos usos do Teorem de Ponto Fixo de Bnch, em problems plicdos e teóricos, um dos mis relevntes sendo o teorem de existênci e unicidde de soluções de problems de vlor inicil em equções diferenciis ordináris em espços de Bnch, que discutiremos n Seção , págin Aplicção Equções Numérics. O Método de Newton Equções numérics Vmos lguns exemplos simples de plicções do Teorem de Ponto Fixo de Bnch. Sej ret rel e seguinte equção de ponto fixo em R: x = λ cosx, onde < λ < 1 é um constnte dd. Terá ess equção um solução? Será el únic? Como Tx := λcosx é um função de R em R, podemos dotr em R métric usul em relção à qul R é completo. Em fce do Teorem de Ponto Fixo de Bnch questão nturl é sber se T é um contrção. Vmos provr que isso é verdde. d Tx, Ty = λ y cosx cosy = λ sent dt λ x y = λdx, y, x pois sent 1. Assim, vemos que T é um contrção com q = λ. O Teorem de Ponto Fixo de Bnch nos firm então que, prtindo-se de qulquer número rel x, s iterds sucessivs de T convergem o número x, ponto fixo de T: x n = λcos λcos λcos λcosx. }{{} n vezes No cso λ = 1/2, o estudnte que tenh um simples clculdor é estimuldo determinr que o ponto fixo é x, E Exercício. Nesse cso, tomndo por exemplo x =, estime o erro d proximção se prrmos pós 3 iterções. E Exercício. O que contece n equção de ponto fixo cim se λ > 1? A solução permnece únic? Fç gráficos ds funções x = x e bx = λcosx pr esclrecer ess questão. E Exercício. Use o Teorem de Ponto Fixo de Bnch pr mostrr que, em,, equção x = e x tem um e somente um solução. Qul é el, proximdmente? Use pr tl o método itertivo sugerido pelo Teorem do Ponto Fixo de Bnch e estime o erro pós 4 iterções. O mp logístico Sej M = R com métric usul dx, y = x y e sej A =, 1]. Considere função Tx = x1 x, onde é um constnte rel. É fácil ver que pr, 4] função T lev pontos de A em pontos de A, pois, pr x, 1] vle Tx /4. A equção de ponto fixo Tx = x é x1 x = x, que tem como soluções x α = e x β = 1/. A primeir solução pertence A, ms segund só pertence A se 1. No cso = 1 temos x α = x β =. Concluímos que função T tem um único ponto fixo em A se, 1] e dois pontos fixos distintos se 1, 4]. Pr, 4] nlisemos ess plicção sob o ponto de vist de Teorem de Ponto Fixo de Bnch. É fácil ver que T x = 1 2x pr x A. Logo, com x y 1, d Tx, Ty = Tx Ty y y = T t dt T t dt < x y = dx, y. x x Logo, pr, 1 função T é um contrção e, pelo Teorem de Ponto Fixo de Bnch, tem um e somente um ponto fixo, que vimos ser x α =. O fto de T possuir tmbém pens um ponto fixo qundo = 1 o mesmo x α =, qunto temos d Tx, Ty < dx, y pr x y, não é explicdo pelo Teorem de Ponto Fixo de Bnch, ms sim pelo Teorem 28.2, págin Pr > 1 não podemos mis grntir contrtividde e, de fto, consttmos que T tem dois pontos fixos em A pr 1, 4]. Consideremos, 4]. Prtindo de um ponto x A podemos definir um sequênci de pontos x n+1 = Tx n A. Aevoluçãox n Tx n = x n+1, n N, éfrequentementedenomindmp logístico. Omplogísticofoioriginlmente introduzido pelo biólogo Robert My 11, em 1976, como um modelo pr evolução de populções sob certos ftores limitntes de crescimento. N região contrtiv < 1 sequênci x n converge o ponto fixo x α =. N região 1 < < 3, já for d contrtividde e d vlidde do Teorem do Ponto Fixo de Bnch, sequênci converge o ponto fixo x β x α torn-se um ponto fixo repulsivo, sendo que n região 2 < < 3 ess convergênci é lent. Pr 3 < < ,45 sequênci torn-se oscilnte, oscilndo entre dois vlores fixos. Di pr frente, oscilção se dá sucessivmente entre 4, 8, 16 etc. pontos, à medid que cresce. A prtir de 3,57 estbelece-se um regime cótico, com sequênci x n preenchendo densmente subconjuntos de Cntor do intervlo, 1]. O mp logístico é protótipo de um sistem dinâmico discreto exibindo comportmento cótico. Tlvez o estudnte poss se divertir escrevendo progrms que exibm s proprieddes descrits no prágrfo cim. Pr mis detlhes sobre o mp logístico, vide e.g. 167] ou 7]. O método de Newton pr zeros de funções O bem conhecido método de Newton 12 de determinção de zeros de funções reis 13 pode ser estuddo sob luz do Teorem de Ponto Fixo de Bnch. Sej f : R R um função d qul desejmos determinr um zero, ou sej, um solução d equção fχ =. Notemos que ess equção equivle trivilmente à equção χ = χ fχ f χ, pelo menos se f χ. Colocdo dess form o problem torn-se um problem de ponto fixo pr plicção T : R R definid por Tx := x fx f x. Isso motiv seguinte proposição. Proposição 28.2 Se f for pelo menos dus vezes diferenciável, então f possuirá um zero χ, único, num ddo intervlo, b] se existir λ com λ < 1 tl que fxf x f x 2 λ, pr todo x, b], 28.9 e se fx f x 1 λα, 28.1 onde x := +b 2 e α := b 2. Nesse cso, tem-se χ = limn xn, onde sequênci xn, b] é determind itertivmente por x n+1 = x n fxn f x, n, n sendo x, b], rbitrário. Ter-se-á, χ x n λn Tx x λn b, n λ 1 λ Se dotrmos x = x teremos ind χ x n αλ n, n, por Lord Robert McCredie My, Bron My of Oxford, A referênci o rtigo originl de My é: My, Robert M., Simple mthemticl models with very complicted dynmics. Nture : Sir Isc Newton Pr motivção geométric do método de Newton, vide discussão à págin 1437 sobre Figur 28.1.

5 JCABrt. Nots pr um Curso de Físic-Mtemátic. Versão de 21 de junho de 219. Cpítulo /2423 JCABrt. Nots pr um Curso de Físic-Mtemátic. Versão de 21 de junho de 219. Cpítulo /2423 Not. A condição 28.9 pressupõe f x em, b]. Como veremos bixo, condição 28.9 é importnte por grntir contrtividde de T, enqunto que 28.1 é suficiente pr grntir que T leve pontos de, b] em, b], podendo ser eventulmente substituíd por outr condição que grnt o mesmo. Notemos, por fim, que o método de Newton funcion mesmo sob condições mis frcs sobre função f, nesse cso for do contexto do Teorem de Ponto Fixo de Bnch. A convergênci ds iterções pode, então, ser mis lent que quel grntid em Vide pr tl qulquer bom livro de Cálculo Numérico. Prov. Sejm x, y, b]. Tem-se Ty Tx = y fy fx f x+ y f x = y x d t ft ] dt f dt = t y x ftf t f t 2 dt. fx n fx Assim, 28.9 grnte que Ty Tx λ y x. χ x n+1 x n Isso estri dizendo-nos que T é um contrção. Precismos, porém, grntir que T leve pontos de, b] em, b]. Isso equivle grntir que Tx x α pr todo x, b], ou sej, pr todo x tl que x x α. Um mneir de impor isso usndo 28.9 é supor válid condição De fto, Tx x = Tx Tx fx f x Tx Tx + fx f x por 28.9 por 28.1 pois x, b] = α. λ x x + fx f x λ x x +1 λα λα+1 λα Com isso, provmos que T é um contrção que mpei o espço métrico completo, b] em si mesmo. O Teorem de Ponto Fixo de Bnch grnte o resto. E Exercício-Exemplo. Usndo o método de Newton determine um vlor proximdo pr 2 clculndo o zero positivo de fx = x 2 2. As iterções serão xn+1 = Txn com Tx = x2 +2. Que intervlo, b] é conveniente dotr? O que ocorre próximo 2x x = e por que? Prtindo-se, por exemplo, de x = 2 obtem-se os vlores sucessivos 3/2, 17/12, 577/48. Esse último vlor proxim 2 com um erro de Note que esse procedimento fornece proximções de 2 por números rcionis. E Exercício-Exemplo. Fç o mesmo pr 3. O método de Newton pode ser motivdo geometricmente pel Figur A linh ret que pss pelo ponto x n, fx n tngenci o gráfico d função f. Su inclinção é, portnto, f x n. Assim, o ponto x n+1 indicdo n figur vle x n+1 = x n fxn f xn verifique!. Repetindo-se o procedimento prtir do ponto xn+1 proximmo-nos mis ind do zero χ de f. No método de Newton usul, ret tngente tem um inclinção diferente cd psso: f x n. Um método lterntivo, por vezes denomindo método de Newton simplificdo, consiste em usr rets de inclinção fix, tl como n Figur Ness situção, o problem de determinr o zero χ de f equivle o problem de ponto fixo x = Tx com Tx = x 1 γ fx. Figur 28.1: Iterção no método de Newton. O ponto χ é um zero de f. A linh ret tngenci o gráfico de f no ponto x n, fx n e su inclinção é f x n. O ponto em que ess ret cort o eixo horizontl determin x n+1. E Exercício. Usndo o Teorem de Ponto Fixo de Bnch estude esse problem de ponto fixo e determine condições suficientes sobre função f e sobre inclinção γ pr grntir existênci de um zero único de f em um intervlo, b]. O método de Newton simplificdo, descrito cim, pode ser empregdo mesmo em situções ns quis f não é diferenciável n região de interesse. E Exercício-desfio. Generlize o método de Newton usndo prábols tngentes, o invés de rets tngentes. Assum, se o desejr, que função f ser considerd é o menos dus vezes diferenciável. O método de Newton descrito cim pode ser generlizdo pr funções de R n em R n, ms não trtremos disso qui Aplicção Sistems Lineres. O Método de Jcobi Considere-seo problem de determinr soluçãodo sistem liner Ax = b, onde A MtC, n e b C n são ddos e x C n é solução procurd. Nturlmente, solução únic existirá se e somente se deta e será dd por x = A 1 b. Se for procurd um solução numéric concret pode ser computcionlmente custoso obter explicitmente invers de A, dd dificuldde que os métodos de determinção de inverss de mtrizes podem oferecer, especilmente no cso de mtrizes de ordem elevd. Sob luz do Teorem do Ponto Fixo de Bnch discutiremos qui um método, denomindo método itertivo de Jcobi 14, que mostr em certos csos ser reltivmente eficz, envolvendo custos computcionis reltivmente bixos, especimente se sistems de processmento prlelo estiverem à disposição. Um hipótese do método é suposição que os elementos d digonl de A sejm não-nulos: A ii, i {1,..., n}. Sej D mtriz digonl compost pelos elementos d digonl de A: D := diga 11,..., A nn. Pel hipótese, temos detd. Com isso, podemos escrever A = D +A D = D 1 B, onde B := D 1 D A = 1 D 1 A. Assim, equção Ax = b equivle equção x = Bx + c, onde c := D 1 b. O interesse nisso reside no fto de que ess nov versão do sistem liner, sber, equção x = Bx + c, pode ser encrd como um equção de ponto fixo pr trnsformção T : C n C n definid por Ty := By +c. Sej um norm vetoril em C n, com qul definimos métric d x, y := x y. Pelo Teorem do Ponto Fixo de Bnch, condição de contrtividde de T consiste no requerimento que Bx y q x y pr todos x, y C n, onde q é um constnte stisfzendo q < 1. Considerndo-se norm mtricil ssocid ess norm 14 Crl Gustv Jcob Jcobi

6 JCABrt. Nots pr um Curso de Físic-Mtemátic. Versão de 21 de junho de 219. Cpítulo /2423 JCABrt. Nots pr um Curso de Físic-Mtemátic. Versão de 21 de junho de 219. Cpítulo /2423 fx n fx problems de Físic-Mtemátic equção integrl de Fredholm, por exemplo, surge no problem de Sturm-Liouville. Vide Cpítulo 18, págin 864 e trtremos de exemplos de plicções dinte. A rzão de trtrmos ds mesms qui está n possibilidde de utilizrmos o Teorem de Ponto Fixo de Bnch pr estudr existênci de soluções. O mesmo teorem fornece, tmbém neste cso, um poderoso método itertivo de solução, de grnde importânci prátic. Pr um introdução à teori ds equções integris, vide tmbém 281] e 361]. Pr um trtmento extensivo d equção integrl de Volterr, vide 25]. Antes de trtrmos desss equções integris, vmos discutir um condição que usremos dinte. fx n+1 fx n+2 χ x n+2 x n+1 x n rctn γ A condição de Lipschitz Sej f : R R um função. f é dit stisfzer condição de Lipschitz 17 em tod ret rel se existir um constnte M tl que, pr todos x e x em R tenhmos fx fx M x x. Figur 28.2: Alterntiv o método de Newton. As linhs rets não são tngentes o gráfico de f, são tods prlels, tods com inclinção fix γ. Os pontos em que esss rets cortm o eixo horizontl são os pontos d iterção. vetoril, definid d form usul como Mu M := sup u C u n u pr M MtC, n, temos Bx y B x y. Assim, se B < 1, vemos que s condições do Teorem do Ponto Fixo de Bnch são stisfeits e solução únic do problem será dd pelo limite d iterção x k+1 = Bx k +c, k, com x rbitrário. Ess iterção convergirá o ponto fixo de T, que é solução de Ax = b. Esse é o método itertivo de Jcobi tmbém denomindo método de Guss-Jcobi por lguns utores. Não confundir com um outro método muito similr, denomindo método de Guss-Seidel. E Exercício. Mostre que s iterds são dds por xk+1 = B k+1 x + 1+B +B 2 + +B k c = B k+1 x + 1 B k+1 1 B 1 c = 1 B 1 c+b k+1 x 1 B 1 c Note-se que 1 B = D 1 A, que possui invers, pels hipóteses. Como, pel hipótese de contrção, limk B k =, constte que limk xk = 1 B 1 c = A 1 b, que é solução esperd. E Exercício. Em princípio, pr termos stisfeit condição de contrtividde, qulquer norm vetoril pode ser dotd. Por exemplo, norm z := mx { z1,..., zn }, onde zj são s componentes de z C n. Mostre que, pr ess norm, condição B < 1 é grntid pelo conjunto de n condições n Akk > Akj, k = 1,..., n. Esse conjunto de condições é denomindo dominção digonl d mtriz A Aplicção às Equções Integris de Fredholm e de Volterr j=1 j k No Cpítulo 19, págin 98, introduzimos lgums equções integris de interesse e discutimos lguns métodos de solução. N presente seção discutiremos métodos itertivos de solução de dois tipos de equções integris, s chmds equções integris de Fredholm 15 de segundo tipo e s equções integris de Volterr 16 de segundo tipo. Ambs surgem em 15 Erik Ivr Fredholm Vito Volterr Note que tod função que stisfz condição de Lipschitz pr lgum M é necessrimente um função contínu por que?. Pr que um função stisfç condição de Lipschitz há um condição suficiente que é útil. Sej f : R R um função diferenciável e tl que f y M, pr lgum M e pr todo y R. Então, f stisfz condição de Lipschitz. Pr provr isso, notemos que, pelo teorem fundmentl do cálculo, vle Dí, fx fx = x fx fx = f ydy. x f ydy x Aqui tommos x < x, sem perd de generlidde. f y dy x Mdy = M x x. E Exercício. Mostre que s funções sen e cos stisfzem condição de Lipschitz. Qul M pode ser dotdo pr mbs? E Exercício. Mostre que função fy = y2 não pode stisfzer condição de Lipschitz em tod ret rel. Sugestão: x 2 y 2 M x y implic x+y M pr x y. E Exercício. Mostre que função fy = y 1/3 não pode stisfzer condição de Lipschitz em tod ret rel. Sugestão: tome x = e mostre que relção x 1/3 M x não pode ser válid pr todo x R com M fixo qulquer. Um função que stisfz condição de Lipschitz é dit ser Lipschitz-contínu. Pr demonstrção de resultdos é muito útil, por vezes, veremos exemplos dinte mostrr-se que um função dd é Lipschitz-contínu. A condição discutid cim tem, liás, um generlizção d qul não fremos uso qui. Um função f : R R é dit ser Hölder 18 -contínu se existirem M e γ > tis que pr todos x e x em R vlh fx fx M x x γ. A condição de ser Lipschitz-contínu é o cso prticulr deste qundo γ = 1. As equções integris de Fredholm Sej I o intervlo, b] d ret rel com e b ddos e < b e sejm dus funções f : I R e K : I I R R que considerremos contínus em seus domínios de definição. Sej λ R, constnte. 17 Rudolf Otto Sigismund Lipschitz Otto Ludwig Hölder

7 JCABrt. Nots pr um Curso de Físic-Mtemátic. Versão de 21 de junho de 219. Cpítulo /2423 JCABrt. Nots pr um Curso de Físic-Mtemátic. Versão de 21 de junho de 219. Cpítulo /2423 A chmd equção integrl de Fredholm de segundo tipo, ou simplesmente equção integrl de Fredholm, é seguinte equção integrl: b ux = fx+λ K x, y, uy dy. Acim u : I R é função incógnit. Note que K, que é chmd de núcleo d equção integrl, é um função de três vriáveis e que incógnit uy prece n posição de seu terceiro rgumento, dentro d integrl. Sej C I coleção de tods s funções contínus de I em R. Já vimos nteriormente Proposição27.7, págin 1381 que C I é um espço métrico completo em relção à métric d h, l = sup hx lx, x I onde h e l pertencem C I. Sej T plicção que lev C I em si mesmo dd por b Thx = fx+λ K x, y, hy dy. Note que se h é um função contínu em I então Th tmbém é um função contínu em I. A equção integrl de Fredholm pode ser então entendid como equção de ponto fixo em C I dd por u = Tu. É nturl, portnto, procurr condições que fçm de T um contrção no espço métrico completo C I, pois ssim poderemos evocr o Teorem de Ponto Fixo de Bnch. É neste momento que condição de Lipschitz se fz útil. Vmos supor que função K stisfç condição de Lipschitz pr terceir vriável: vmos supor que existe M tl que pr todo x, y I e todos z e z R vlh Kx, y, z Kx, y, z M z z Então, pelo menos no cso em que λ Mb < 1, plicção T é um contrção em C I com relção à métric d dd. Pr provr isso, usmos que, pr dus funções h, l C I temos donde tirmos que Logo, b Thx Tlx = λ K x, y, hy K x, y, ly ] dy, Thx Tlx λ b K x, y, hy K x, y, ly dy b λ M hy ly dy λ Mb suphy ly = λ M b d h, l y I d Th, Tl = sup Thx Tlx λ M b d h, l. x I Assim, vimos que, sob s hipóteses cim, T é um contrção se λ < 1/Mb. Ess condição, se stisfeit, grnte, pelo Teorem de Ponto Fixo de Bnch, que há um e somente um função u em C I que é solução d equção integrl de Fredholm. Com isso, solução pode ser proximd exponencilmente, n métric d prtindo-se de qulquer u C I trvés d sequênci iterd u n = Tu n 1, n N. A condição suficiente pr termos contrtividde λ Mb < 1 é tmbém um condição sobre função K e sobre o intervlo I. Note-se que não há qulquer restrição à função f, lém d que sej contínu. E Exercício. Mostre que equção integrl de Fredholm 1 ux = 2cosx+ sen x+ yuy dy, x, 1], 2 tem um solução únic em C, 1]. Sugestão: neste cso função K é Kx, y, z = sen x+ yz certo?. Mostre que 2 mesm é Lipschitz-contínu em relção z com M = 1/2. Pr tl estude derivd prcil de K em relção z e mostre que zkx, y, z 1/2 pr todo x, y I e todo z R. As equções integris de Volterr A chmd equção integrl de Volterr de segundo tipo, ou simplesmente equção integrl de Volterr, é seguinte equção integrl: ux = fx+ K x, y, uy dy. Acim u : I R, I :=, b] com b > é função incógnit e f e K são definids tl como no cso ds equções integris de Fredholm. Note que K, que é chmd de núcleo d equção integrl, é um função de três vriáveis e que incógnit uy prece n posição de seu terceiro rgumento, dentro d integrl. Note tmbém que equção integrl de Volterr difere d equção integrl de Fredholm pelo precimento de mis um dependênci em x, sber, no limite superior do intervlo de integrção. Sej T plicção que lev C I em si mesmo dd por Thx = fx+ K x, y, hy dy. Note que se h é um função contínu em I então Th tmbém é um função contínu em I. A equção integrl de Volterr pode ser então entendid como equção de ponto fixo em C I dd por u = Tu. Como no cso d equção integrl de Fredholm, poderímos procurr condições que fçm de T um contrção no espço métrico completo C I pois, ssim, poderímos novmente evocr o Teorem de Ponto Fixo de Bnch. Todvi, como veremos, podemos qui proceder de um modo diferente do cso d equção de Fredholm e obter condições mis frcs pr grntir existênci de solução. O que fremos não é procurr condições que grntm que T sej um contrção, ms provremos que T m o é, pr lgum m >. Assim, poderemos evocr generlizção do Teorem de Ponto Fixo de Bnch fornecid n Proposição 28.1, págin Pr tl, procedemos como ntes e ssumimos ser função K Lipschitz-contínu em relção à terceir vriável, ou sej, que vlh condição descrit em Dqui tirmos, pr x I, Thx Tlx = K x, y, hy K x, y, ly ] dy, donde segue que Thx Tlx K x, y, hy K x, y, ly dy M hy ly dy Mx sup hy ly = Mx d h, l. y I A diferenç entre ess últim expressão e expressão correspondente pr equção de Fredholm é que qui surge o ftor x, que ind depende de x, o invés do ftor constnte b. Como se verá no que segue, ess diferenç é importnte. Vmos gor provr por indução que pr todo n N tem-se T n hx T n lx M nx n d h, l, x I n!

8 JCABrt. Nots pr um Curso de Físic-Mtemátic. Versão de 21 de junho de 219. Cpítulo /2423 JCABrt. Nots pr um Curso de Físic-Mtemátic. Versão de 21 de junho de 219. Cpítulo /2423 Como já vimos que isso é verdde pr n = 1, ssummos que ess relção é válid pr um certo n genérico. Então, T n+1 hx T n+1 lx x, K y, T n hy K x, y, T ly n dy M T n hy T n ly dy M M ny n dy d h, l n! = M n+1x n+1 d h, l, n+1! o que prov pr todo n N, por indução. Assim, temos tmbém que d T n h, T n l M nb n d h, l, n N. n! Note-se gor que, pr quisquer M, e b fixos, existe n grnde o suficiente tl que Mb ] n n! por que?. Assim, pr um tl n, T n será um contrção. Pel generlizção do Teorem de Ponto Fixo de Bnch fornecid pel Proposição 28.1, págin 1434, vemos que T tem tmbém um ponto fixo único. Isso grnte existênci e unicidde ds soluções d equção de Volterr em C I. Note-se que, qui, foi suficiente ssumir que K stisfç relção descrit em 28.13, não hvendo restrições o vlor do produto Mb, o contrário do que ocorreu no cso d equção de Fredholm. Equções diferenciis de segund ordem e s equções integris de Volterr Vmos qui trtr de mostrr lgums plicções ds equções integris de Volterr à resolução de problems muito frequentemente encontrdos em Físic envolvendo equções diferenciis de segund ordem com certs condições iniciis dds. Pr tl, fremos uso d seguinte identidde, válid pr qulquer função φ que sej pelo menos dus vezes diferenciável em R: φt = φt + φt t t + t t φt dt < 1 E Exercício. Prove ess identidde. Sugestão: use s identiddes e use integrção por prtes. φt = φ+ φt dt e φt = φ+ t φt dt Pr ilustrr o uso que podemos fzer d identidde 28.16, vmos considerr bem conhecid equção do pêndulo simples θt = g l sen θt pr g > e l > com condições iniciis θ = θ e θ = ω. Substituindo o ldo direito em temos que é um equção integrl de Volterr não-liner pr θ. θt = θ +ω g t t t sen θt dt, l E Exercício. Constte que o núcleo dess equção integrl Kt, t, z = g l t t senz stisfz condição de Lipschitz n terceir vriável pr t e t contidos em qulquer intervlo finito T, T], < T <. Deste último exercício concluímos que equção do pêndulo simples, com s condições iniciis dds, tem solução únic em qulquer intervlo finito T, T], < T <. E Exercício. Clcule s dus primeirs proximções pr solução d equção integrl seguindo o procedimento itertivo sugerido pelo Teorem do Ponto Fixo de Bnch. Tome como ponto de prtid função identicmente nul: θt. Você consegue, olhndo o resultdo do cômputo ds dus primeirs proximções, interpretr fisicmente o que els representm? E Exercício. Sej conhecid equção do pêndulo simples no limite de pequens oscilções: θt = g l θt, com condições iniciis θ = φ e θ = ω. Usndo trnsforme- em um equção integrl de Volterr e resolv- pelo método itertivo, tomndo como ponto de prtid função identicmente nul: θt. Pr tl, determine n-ésim iterd θn g extmente e mostre que mesm converge um cert combinção liner de cosωt e senωt, onde ω =. Pr tl você precisrá l lembrr-se d série de Tylor ds funções sen e cos. Um outr ilustrção do uso ds equções integris de Volterr, e su resolução vi Teorem de Ponto Fixo de Bnch, pode ser encontrd no estudo ds equções diferenciis lineres de segund ordem não-homogênes com coeficientes não necessrimente constntes üt+t ut+btut = ct, com condições iniciis dds do tipo u = u e u = v. Tis equções são muito frequentemente encontrds em problems de Físic-Mtemátic e o estudnte certmente já s viu surgir, por exemplo, em Mecânic Clássic. Nosso objetivo é trnsformr o problem de determinr solução u d equção diferencil com condições iniciis cim no problem de resolver um equção integrl de Volterr equivlente. Há mis de um mneir de se obter um tl equção integrl prtir de Pr o propósito de demonstrr existênci e unicidde d solução, com condições pouco exigentes sobre s funções, b e c, vmos considerr primeiro um equção integrl pr ü. Um outr equção integrl diretmente pr u será vist depois. Vmos supor qui que hj um intervlo fechdo finito I = T, T], < T <, onde s funções, b e c que precem cim sejm contínus. Pelo teorem fundmentl do cálculo e pel identidde 28.16, temos que ut = v + üt dt, ut = u +v t+ t t üt dt Substituindo-se em u e u pelo ldo direito de e 28.2, respectivmente, teremos onde e üt = ft+ Kt, t üt dt, ft := ct btt+tv btu Kt, t := t btt t E Exercício. Verifique tudo isso.

9 JCABrt. Nots pr um Curso de Físic-Mtemátic. Versão de 21 de junho de 219. Cpítulo /2423 JCABrt. Nots pr um Curso de Físic-Mtemátic. Versão de 21 de junho de 219. Cpítulo /2423 A equção é clrmente um equção de Volterr liner pr ü que, pels hipóteses de continuidde sobre s funções, b e c, possui solução únic no intervlo I, ddo que nesse intervlo K é limitdo por que?. A função u pode ser então obtid integrndo-se dus vezes solução ü d equção ou usndo-se novmente identidde O que vimos cim pode ser então resumido no seguinte teorem: Teorem 28.3 Sejm s funções, b e c contínus no intervlo I = T, T], T >. Então, nesse intervlo, solução d equção diferencil liner de segund ordem não-homogêne com condições iniciis dds do tipo u = u e u = v, existe e é únic. üt+t ut+btut = ct, É notável que sej suficiente exigir tão pouco só continuidde dos coeficientes pr grntir-se existênci e unicidde d equção cim. Há funções contínus que não são diferenciáveis em prte lgum você conhece um exemplo? ou mesmo lgums que são crescentes ms têm derivd nul quse em tod prte função de Cntor trtd no cpítulo de teori d medid é um exemplo e mesmo com tis funções nos coeficientes de tem-se grntid existênci e unicidde d solução. Pr um outro trtmento d equção usndo chmd série de Dyson, vide Cpítulo 13. A equção integrl é um equção pr ü. O leitor pode estr se perguntndo se não podemos ter um equção integrl diretmente pr u. A respost é positiv. Fzendo mis um vez uso d identidde 28.16, temos ] ut = u +v t+ t t t ut bt ut +ct dt Integrndo-se por prtes o termo com t t t ut, obtemos onde gor e ut = ft+ Kt, t ut dt, ft := u +tv +u + t t ct dt Kt, t := t +t t t bt E Exercício. Verifique isso. Novmente, se, e b forem contínus no intervlo I, ssim como função t t ct dt, então existênci e unicidde d solução d equção trtd estrão grntids no mesmo intervlo I. Note-se que qui podemos dmitir t tmbém csos em que c não é contínu, desde que t t ct dt o sej. E Exercício. Sej equção do pêndulo simples forçdo no limite de pequens oscilções θt+ω 2 θt = ft onde f represent menos de um constnte um forç extern dependente do tempo. Considere o cso em que f é periódic de período T >, ft = ft+nt, n Z, com f dd no intervlo, T por f, se t T/2, ft =, se T/2 < t < T. Trnsforme ess equção em um equção integrl de Volterr equivlente e mostre como mesm pode ser resolvid itertivmente. E Exercício. O mesmo pr equção do pêndulo simples forçdo com mesm f dd cim. θt+ω 2 sen θt = ft Aplicções à Teori ds Equções Diferenciis Ordináris Iremos gor trtr de lgums ds mis importntes plicções do Teorem de Ponto Fixo de Bnch, sber, à teori ds equções diferenciis ordinárisedo s. O principl resultdo que obteremos é o célebre Teorem de Picrd-Lindelöf que fornece condições suficientes pr existênci e unicidde de soluções de EDO s. Obteremos tmbém resultdos sobre dependênci de soluções com relção condições iniciis e prâmetros. Trtremos de equções diferenciis de um clsse bstnte gerl, sber, equções diferenciis em espços de Bnch, de modo incluir sistems de equções diferenciis ordináris definids em R n e C n. O leitor é conviddo um leitur prévi do Cpítulo 11, págin 53, que trt de tis ssuntos de form introdutóri O Teorem de Picrd-Lindelöf Est subseção foi escrit conjuntmente com Dniel A. Cortez Um ds principis plicções do Teorem de Ponto Fixo de Bnch dá-se, tlvez, no contexto de espços de funções, mis precismente, qundo o mesmo é empregdo n teori ds equções diferenciis ordináris EDOs. Como veremos, o Teorem de Ponto Fixo de Bnch é crucil pr demonstrção de um fmoso teorem sobre existênci e unicidde de soluções de problems de vlor inicil em EDOs, devido Picrd 19 e Lindelöf 2 que gor presentremos. Um outro importnte teorem de existênci não unicidde de soluções de problems de vlor inicil em EDOs é o Teorem de Peno, discutido n Seção , págin Antes de entrrmos nos detlhes técnicos, gostrímos de fzer um pequen not históric: originlmente, demonstrção de existênci e unicidde de soluções de problems de vlor inicil em EDOs é devid Lindelöf. Entretnto, o método que plicremos qui pr su demonstrção, fzendo uso explícito do Teorem de Ponto Fixo de Bnch, é devido Picrd 21. Esses trblhos dtm d décd de 9 do Século XIX. No que segue, procurremos presentr um versão bstnte gerl do teorem sobre existênci e unicidde de soluções de problems de vlor inicil em EDOs válido pr equções definids em espços de Bnch B. Consideremos, sber, o seguinte tipo de equção diferencil de primeir ordem ẋt = f t, xt, onde t R e x : R B represent um função de um vriável rel ssumindo vlores em um espço de Bnch B. Acim, f : R B B é um função de t R e x B sobre qul suporemos certs hipóteses convenientes de continuidde etc. O leitor deve ter em mente o cso em que B = R ou B = C, qundo equção cim represent um equção de primeir ordem de um função rel complex desconhecid xt, ou o cso em que B = R n ou B = C n, qundo equção cim represent um sistem de equções de primeir ordem de um vetor rel complexo desconhecido de n componentes: xt = x 1t,..., x nt. Tis sistems form discutidos no Cpítulo 11, págin 53. Um problem de vlor inicil consiste num equção diferencil ordinári, como dd cim, mis um condição inicil xt = x, 28.3 onde t R e x B são ddos. Com ess pequen definição, estmos prontos pr enuncir o teorem de existênci e unicidde de Picrd-Lindelöf: 19 Chrles Émile Picrd Ernst Leonrd Lindelöf Chmdo de Método ds proximções sucessivs.

10 JCABrt. Nots pr um Curso de Físic-Mtemátic. Versão de 21 de junho de 219. Cpítulo /2423 JCABrt. Nots pr um Curso de Físic-Mtemátic. Versão de 21 de junho de 219. Cpítulo /2423 Teorem 28.4 Teorem de Picrd-Lindelöf. Existênci e unicidde de soluções Sej f : R B B nãoidenticmente nul e contínu n região fechd } R R :=,b,,x {t, x R B : t t, x x b, pr certos vlores > e b >, onde represent norm do espço de Bnch B. Clro é que f é limitd em R. Sej c > definid por c := sup ft, x t, x R Suponh ind que f sej Lipschitz-contínu em R com relção o seu segundo rgumento, ou sej, existe um constnte k tl que pr todos t, x e t, y R vlh ft, x ft, y k x y Então, pelo menos no intervlo fechdo t β, t +β], onde { β := min, } b, c o problem de vlor inicil descrito pels relções ẋt = f t, xt com xt = x present um solução, qul é únic. Um condição suficiente pr que condição de Lipschitz cim se cumpr é que yft, y exist em todo R e lá sej limitd, em cujo cso constnte de Lipschitz seri dd por k := sup yft, y. t, y R Antes de presentrmos demonstrção, gostrímos de notr que existem diversos outros teorems que grntem existênci e unicidde de solução de problems de vlor inicil como os discutidos cim com condições distints, ms eventulmente mis específics, sobre função f. Pr um list mis mpl de diversos teorems sobre existênci e/ou unicidde de solução pr EDOs, vide 5]. N Seção 11.3, págin 543, presentmos exemplos de plicção do Teorem de Picrd-Lindelöf e exemplos nos quis o mesmo não se plic, tendo por consequênci inexistênci ou não-unicidde d solução. Descrevmos gor técnic ser utilizd em noss demonstrção. O primeiro psso consiste em convertermos equção diferencil em um equção integrl, definindo-se pr isso um trnsformção T. Em seguid, sob s hipóteses do teorem, mostrremos que existe um cert potênci d trnsformção T, digmos T m, m 1, tl que T m é um contrção. Feito isso, utilizndo o Teorem de Ponto Fixo de Bnch em su versão generlizd Proposição 28.1, págin 1434, concluiremos existênci e unicidde do ponto fixo pr trnsformção T, o qul será justmente solução de nosso problem. Fremos uso ness demonstrção, de dois resultdos prévios, que escrevemos sob form de dois lems. O primeiro deles, é Proposição 27.7, págin 1381, que recordmos qui. Lem 28.1 Sej C, b], B o espço ds funções contínus definids no compcto, b] R ssumindo vlores no espço e Bnch B. Então, C, b], B é um espço de Bnch em relção à métric do supremo, definid por d f, g := sup ft gt, t, b] pr f, g C, b], B. Isso segue do Corolário 27.2, págin A demonstrção é tmbém idêntic à d Proposição 27.7, págin 1381, e não precis se repetid qui. O segundo lem que utilizremos é o seguinte. Lem 28.2 Sejm, b] R e pr κ > fixo, sej C C, b], B o subespço de C, b], B formdo pels funções x :, b] B tis que xt x κ, t, b] Então, C é um subespço fechdo de C, b], B. Prov. Tudo o que precismos fzer é mostrr que qulquer sequênci convergente x n de elementos de C converge pr um x que tmbém está em C se você não entendeu rzão dess firmção, confir Proposição 27.9 d págin 139, ou, equivlentemente, Proposição 29.12, págin De fto, como x n C pr todo n N, temos xnt x κ, t, b]. Já que ess expressão não depende de t, podemos escrever d x n, x = sup xnt x κ t I Por outro ldo, como por hipótese sequênci x n converge pr x, então, ddo ε >, existe N ε > tl que pr todo n > N ε vle: d xn, x ε Vmos gor utilizr desiguldde tringulr: d x, x d x, x n +d xn, x ε+κ, onde, n últim desiguldde, fizemos uso ds relções e Um vez que é verddeir pr qulquer ε >, concluímos então que x t x sup x t x = d x,x κ, t, b], t, b] mostrndo que x tmbém pertence C. Prov do Teorem Sej J o intervlo t β, t +β] R e considere o espço CJ, B ds funções contínus em J ssumindo vlores em B, dotdo com métric do supremo. Considere ind o subespço C CJ, B formdo pelo conjunto ds funções xt tis que xt x cβ, t J Pelo Lem 28.1, sbemos que CJ, B é um espço de Bnch. Por outro ldo, do Lem 28.2 vemos que o subespço C é fechdo em CJ, B. Logo, d Proposição 27.9 d págin 139 ou equivlentemente, d Proposição 29.12, págin 1482, concluímos imeditmente que C tmbém é um espço métrico completo. Ess é um conclusão importnte d qul fremos uso dinte. Definmos gor um trnsformção T pel seguinte relção: Txt := x + f τ, xτ dτ Vmos mostrr que T é um plicção que lev C em C, ou sej, T : C C. De fto, pr τ J e xτ C, como cβ b, concluímos de que τ, xτ R. Logo curv J τ τ, xτ R B é contínu e está inteirmente contid n região R, onde f é contínu por hipótese. Assim, J τ f τ,xτ B é contínu e su integrl estrá bem definid. Concluímos dí que T pode ser plicd funções de C. Agor vmos mostrr que Tx é novmente um elemento em C. Utilizndo relção de limitção d função f no retângulo R, tem-se pr x C, t Txt x = f τ, xτ dτ f τ, xτ dτ c t cβ, provndo que Tx dist de x menos que cβ, um ds condições definidores do conjunto C. Rest-nos provr que Tx é contínu cso x C. Pr tl, já vimos que pr x C fixo, J τ f τ, xτ B é igulmente contínu e, portnto, limitd, ou sej, existe N x > tl que f τ, xτ N x pr todo τ J. Logo, pr t, t J, com t t Txt Txt = f τ, xτ dτ t f τ, xτ dτ Nx t t. t