UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA. Andréa Costa Nascimento

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1 UNIVERSIDDE FEDERL DE MINS GERIS INSTITUTO DE CIÊNCIS EXTS DEPRTMENTO DE MTEMÁTIC ndré Cost Nscimento Dus mneirs diferentes de demonstrr Relção de Euler pr poliedros convexos, vist no ensino médio Belo Horizonte 0

2 Dus mneirs diferentes de demonstrr Relção de Euler pr poliedros convexos, vist no ensino médio ndré Cost Nscimento Monogrfi presentd o Deprtmento de Mtemátic do Instituto de Ciêncis Exts d Universidde Federl de Mins Geris, como requisito prcil pr obtenção do título de Especilist em Educção Básic. Professor Orientdor: Jorge Sbtucci Belo Horizonte 0

3 Dus mneirs diferentes de demonstrr Relção de Euler pr poliedros convexos, vist no ensino médio ndré Cost Nscimento BNC EXMINDOR Prof. Jorge Sbtucci (Orientdor) UNIVERSIDDE FEDERL DE MINS GERIS Profª. Crmen Ros Girldo Vergr UNIVERSIDDE FEDERL DE MINS GERIS Prof. Frncisco Dutenhefner UNIVERSIDDE FEDERL DE MINS GERIS Belo Horizonte, 0.

4 RESUMO O objetivo deste trblho é o de presentr de dus mneirs diferentes relção de Euler, estudd no ensino médio. presentremos condições necessáris e suficientes pr que um poliedro que stisfç relção de Euler sej convexo. Mostrremos tmbém existênci de cinco tipos de poliedros de Pltão. Plvrs-chve: Poliedros, Relção de Euler, Poliedros de Pltão.

5 5 BSTRCT The objective of this work is to present in two different wys the reltion of Euler, studied in high school. We will present necessry nd sufficient conditions for polyhedron tht stisfies the Euler reltion to be convex. We will lso show the existence of five types of polyhedr of Pltão. Keywords: Polyhedr, Reltion s Euler, Polyhedr of Pltão.

6 SUMÁRIO INTRODUÇÃO... 7 CPÍTULO PRELIMINRES... 8 CPÍTULO DEMONSTRÇÃO...0. Demonstrção usndo som dos ângulos internos ds fces tringulds de um poliedro...0. Demonstrção usndo método d indução finit sobre o número de fces de um superfície poliédric convex limitd Demonstrção em um superfície poliédric limitd convex bert Demonstrção em um superfície poliédric limitd convex fechd...9 CPÍTULO CONDIÇÕES NECESSÁRIS E SUFICIENTES PR EXISTENCI DE UM POLIEDRO CONVEXO Condições necessáris pr existênci de um poliedro convexo Condições suficientes pr existênci de um poliedro convexo... 5 CPÍTULO POLIEDROS DE PLTÃO... 0 PÊNDICE... 5 CONCLUSÃO... 7 BIBLIOGRFI... 8

7 7 INTRODUÇÃO Este trblho foi desenvolvido com o objetivo de demonstrr de dus mneirs diferentes que em um poliedro convexo com F fces, rests e V vértices vle relção F V, conhecid no ensino médio como relção de Euler. Inicilmente presentmos um resumo d monogrfi. No cpítulo são presentdos conceitos e definições que serão utilizdos nos cpítulos posteriores. No cpítulo presentmos dus demonstrções d relção de Euler. N primeir seção presentmos um demonstrção trvés d som dos ângulos internos ds fces tringulds de um poliedro convexo. N segund seção presentmos um demonstrção utilizndo o método d indução finit sobre o número de fces de um superfície poliédric convex limitd bert e sobre o número de fces de um superfície poliédric convex limitd fechd. No cpítulo presentmos condições necessáris e suficientes pr que um poliedro convexo exist. N primeir seção presentmos s condições necessáris e n segund seção s condições suficientes pr existênci de um poliedro convexo. O cpítulo present um demonstrção d existênci de cinco e, somente cinco, poliedros de Pltão. No pêndice presentmos poliedros não convexos que stisfzem relção de Euler e outros que não stisfzem. Por último, presento um conclusão.

8 8 Cpítulo Preliminres seguir serão presentds lgums definições que usremos o longo deste trblho. Definição. Um superfície poliédric limitd convex é reunião de um número finito de polígonos plnos e convexos, tis que: Dois desses polígonos nunc estejm num mesmo plno; Cd ldo de um polígono não está em mis que dois polígonos; O plno de cd polígono deix os demis num mesmo semi-espço. Definição. superfície poliédric que possui rest livre, ou sej, ldos de polígonos que estão em somente um fce, formm um linh poligonl fechd, pln ou não, chmds de contorno. Ests superfícies são s superfícies que possuem contorno são denominds poliédrics limitds convexs berts. Definição. superfície poliédric limitd convex que não possui rest livre, ou sej, não possuem contorno são denominds de Superfícies poliédrics limitds convexs fechds. Definição. Um poliedro é um superfície poliédric limitd fechd formd pel reunião de um número limitdo n (n ) de polígonos. Em um poliedro temos que sus fces são os polígonos que formm su superfície, s rests são s rests dos polígonos e seus vértices são os vértices dos polígonos.

9 9 Definição.5 Poliedro convexo é um superfície poliédric limitd fechd convex formd pel reunião de um número limitdo de n polígonos convexos, com n, tis que: - dois polígonos não pertençm um mesmo plno; - cd ldo do polígono sej comum somente dois polígonos; - cd plno que contenh um polígono, deix os demis num mesmo semi-espço. Definição. Um poliedro convexo é regulr qundo ele present s seguintes crcterístics: - sus fces são polígonos regulres e congruentes, - os ângulos poliédricos são congruentes Definição.7 Um poliedro convexo é chmdo poliedro de Pltão, se stisfz s seguintes condições: ) Tods s sus fces presentm o mesmo número (n) de rests; b) Todos os ângulos poliédricos possuem o mesmo número (m) de rests;

10 0 Cpítulo Demonstrções d Relção de Euler pr Poliedros convexos. Relção de Euler pr poliedros convexos diz que: Pr todo poliedro convexo, vle relção F V em que V é o número de vértices, é o número de rests e F é o número de fces do poliedro.. demonstrção seguir foi presentd pelo Professor Zorostro zmbuj Filho, em []. Est demonstrção é feit prtir d tringulção ds fces do poliedro, clculndo som dos respectivos ângulos ds fces tringulres ssim obtids, e será presentd em dus etps: N primeir etp será clculd som dos ângulos internos dos triângulos que compõem tringulção escolhid; e n segund etp, será clculd som dos ângulos de cd vértice do poliedro prtir de su projeção em um plno. Ests etps ficrão mis clrs no desenvolvimento dest seção. Pr ilustrr ess demonstrção, utilizremos um cubo, tomndo o cuiddo pr que ess demonstrção não fique prticulrizd por este poliedro. Sej P um poliedro convexo, e por r um ret que não sej prlel nenhum ds fces de P. Consideremos gor um plno H, perpendiculr à ret r, tl que não tenh pontos em comum com P e deix este em um dos semiespços determindos por H. O plno H será chmdo plno horizontl e o semiespço que contém P chmremos de semi-espço superior. Considerndo s rets prlels r, que serão chmds de rets verticis, temos que, um ret verticl rbitrári poderá intersectr o poliedro convexo P em, no máximo, dois pontos.

11 Cd ret verticl que intersect o poliedro convexo P, intersect o plno H em um único ponto. Este ponto será chmdo de sombr do ponto de interseção ou dos pontos de interseção d verticl com P. Representremos por ds sombrs dos pontos de P. P ' o conjunto O conjunto desss sombrs form um polígono convexo em H. Os pontos que formm o contorno deste polígono serão representdos por ', que é sombr de um poligonl fechd prente. Cd ponto de formd por rests de P, que é chmd de contorno ' é sombr de um único ponto de P e cd ponto interior P ' é sombr de dois pontos de P, os pontos mis distntes de H serão chmdos de pontos ilumindos e os pontos mis próximos H serão chmdos de pontos sombrios. Dentre s diverss possibiliddes de posição pr o cubo, com o objetivo de obtermos um melhor visulizção dest demonstrção, escolhemos um n qul ele sej colocdo de modo que o vértice e o vértice C ' estejm em um mesm ret verticl, que não sej prlel nenhum ds fces. Lembrndo que est escolh não prticulriz demonstrção. Dess form teremos: - poligonl ' B' BCDD ' ' form o contorno prente;

12 - s fces ' B' B, ' D' D e BCD ficm iluminds; - s fces DD ' C' C, CC ' B' B e ' B' C' D ficm sombris. Temos então três conjuntos distintos de pontos de P que são os pontos ilumindos, os pontos sombrios e os pontos do contorno prente.

13 Consideremos P união do conjunto dos pontos ilumindos de P com o contorno prente. Dess form, temos que, cd ponto de P ' é sombr de um único ponto de P, crcterizndo um correspondênci biunívoc entre P e P '. Sej P união do conjunto dos pontos sombrios de P com o contorno prente. Dess form, temos que, cd ponto de P ' é sombr de um único ponto de P, crcterizndo um correspondênci biunívoc entre P e P '. Pr noss demonstrção, vmos decompor cd fce do poliedro em fces tringulds trçndo digonis em cd um dels, prtir de um vértice, e chmremos cd um desses triângulos de fces. o trçrmos um digonl em um fce, ltermos os números de F e de, pois cd um destes umentm em um unidde, e o número de V permnece constnte. pós tringulção de tods s fces temos que os umentos do número de fces ( e número de rests () se cncelm e relção F V se mntém.

14 Pr primeir etp d demonstrção, usremos que o poliedro P possui então F fces tringulds, como s definids nteriormente. Como cd fce possui três rests e cd rest é comum dus fces temos que F. Como som dos ângulos internos de um tringulo é igul 80 º ou rdinos, som S ds fces de P será obtemos F F F F, então, F F e ssim: S ( S F S F. Dess form, como F F F e F, gor, pr segund etp d demonstrção vmos considerr s regiões iluminds, s sombris e o contorno prente projetdos em H. Vmos utilizr que som dos ângulos internos d sombr de um polígono, como foi projetdo, é igul à som dos ângulos internos deste polígono. Nest segund etp d demonstrção considermos s fces tringulds. em H ; Representremos por: S som dos ângulos internos ds fces tringulds iluminds, projetds

15 em H ; e S som dos ângulos internos ds fces tringulds sombris, projetds 5 S som S S. Pr o cálculo de S e S, vmos utilizr som dos ângulos vértice vértice ds fces tringulds projetds em H, ou sej, serão considerds s sombrs dos vértices que estão projetdos no interior de P ' e s sombrs dos vértices projetdos que estão no contorno. Consideremos por V 0, o número de vértices do contorno projetdos em H ; por V, o número de vértices ilumindos projetdos em H ; e por V o número de vértices sombrios projetdos em H e V V0 V V. Consideremos os vértices de P que estão projetdos no interior de P '. som desses ângulos é igul rdinos. Consideremos os vértices de P que estão projetdos no contorno de P ', som desses ângulos é igul V ), pois o número de vértices projetdos no contorno é igul o número de ldos do polígono formdo pels sombrs. ( 0 N figur o ldo presentmos um ilustrção ds fces tringulds iluminds de prente P e o contorno projetdos em H. sombr do vértice, é um ponto ilumindo interior P ' e está sendo representdo por. Representdos por ', B ', B, C, D e D ', s sombrs dos vértices D e ', D ', pontos do contorno de B ', B, C, P '. Nest figur presentmos um ilustrção ds fces tringulds sombris de P e o contorno

16 prente projetdos em H. Representmos por C ', sombr de vértice C ', ponto sombrio interior P ' e representmos por, B ', B, C, D e D ', s sombrs dos vértices ', pontos do contorno de B ', B, C, D e P '. D ', Podemos, então, escrever que S V ( ). V0 De mneir semelhnte obtemos que S V ( ). V0 S Teremos, então: S V V ( V0 ) V ( 0 ) S S V ( V V ) ( 0 ) S S V ( V V 0) S S. V Logo, S S S e S S V, ou sej, S V. D primeir etp temos que S V. Portnto, V F. S F e dest sbemos que Donde, V F e, consequentemente, F V. Concluímos ssim, primeir demonstrção do Teorem de Euler, segundo o Professor Zorostro, [].

17 7. Nest seção presentremos um demonstrção do Teorem de Euler em que utilizremos o método de indução finit sobre o número de fces de um superfície poliédric convex limitd... Nest subseção presentremos demonstrção em um superfície poliédric limitd convex bert. Teorem. Em tod superfície poliédric limitd convex bert, S, em que F, e V são respectivmente o número de fces, o número de rests e o número de vértices dess superfície tem-se relção F V. Nest demonstrção, utilizremos o método de indução finit sobre o número de fces d superfície. ldos. Sej F. Neste cso teremos um polígono plno convexo, digmos de n Sbemos que em um polígono o número de ldos coincide com o número de vértices, ou sej, V n, n *. F Substituindo estes vlores n relção cim teremos: V n n F V Logo, verificmos que relção é verddeir pr F. Vmos supor que relção sej verddeir pr um superfície poliédric limitd convex bert que tenh F ' ' V' F ' fces, ' rests e V ' vértices, ou sej,, vmos então mostrr que est relção tmbém é verddeir pr um superfície poliédric convex bert de F ' fces.

18 8 dmitindo que crescentndo um nov fce à superfície S est permneç bert, neste cso temos que os números de rests e vértices tmbém serão lterdos e deverão ser considerdos os seus créscimos. Devemos considerr os números de rests e de vértices coincidentes com s já existentes nest superfície S. Sej p o número de rests d fce que crescentmos e q o número de rests coincidentes com fce já existente. Teremos então um nov superfície com F fces, rests e V vértices, de modo que noss nov relção será: F F' ' p q V V ' p ( q ) Substituindo esses novos vlores n relção F V, temos: F V F' ( ' p q) V ' p ( q ) F ' ' p q V' p q F ' ' V' Como F V F' ' V ', e por hipótese de indução F ' ' V', concluímos que relção não se lter o crescentrmos um nov fce. Então fic estbelecid que relção F V é verddeir. Se o crescentrmos um nov fce à superfície S, de modo que est fique fechd, neste cso teremos relção F V, como veremos n seção seguir.

19 .. Nest subseção presentremos demonstrção em um superfície poliédric limitd convex fechd. 9 Consideremos gor um superfície poliédric convex fechd, P, em que F, e V, sejm respectivmente, os números de fces, rests e vértices dess superfície temos o: Teorem : Em um superfície poliédric convex fechd, P, seguinte relção é stisfeit: F V. o retirrmos um fce dess superfície P obtemos F fces, tornndo- um superfície poliédric bert. Os números de rests e de vértices não serão lterdos, pois, fce retird d superfície fechd contém s mesms rests e vértices d superfície bert. Então nest superfície bert, que tem com rests e V vértices tem-se F V, de cordo com o teorem. F fces, Do citdo nteriormente temos que: F F, e V V. Dess form, teremos: F V e, consequentemente, F V. Então, concluímos que relção F V, se verific pr um superfície poliédric convex fechd.

20 Cpítulo Condições necessáris e suficientes pr existênci de um poliedro convexo. 0 Nos cpítulos nteriores form presentds dus demonstrções do Teorem de Euler pr poliedros convexos. Mostrremos nest seção que ddos três números nturis pr F, e V tis que relção F V sej stisfeit, não é suficiente pr grntir que exist um poliedro convexo com estes vlores. Por exemplo, consideremos um poliedro que tenh vértices, fces e 8 rests. o substituirmos esses vlores n relção obtemos 8, temos que relção é stisfeit, porém não existe poliedro convexo com os vlores ddos. Isso será mostrdo mis dinte, n págin 5. existênci. presentremos então condições necessáris e suficientes pr su. Primeirmente vmos presentr s condições necessáris pr existênci de um poliedro convexo, pr tnto devemos considerr s seguintes relções: ) Relção entre o número de fces e número de rests de um poliedro convexo Inicilmente considerremos um poliedro cujs fces presentm menores números de rests possíveis. Isto é, fces tringulres. Então sej P um poliedro convexo como, por exemplo: Vle observr que em qulquer poliedro convexo cd rest pertence extmente dus fces e, em prticulr pr fces tringulres, somndo-se tods

21 s rests, teremos que ests serão contds dus vezes e nesse cso temos que F, onde F é o número totl de fces e é o número totl de rests deste poliedro. Se o poliedro P presentr um fce não tringulr, como por exemplo, em um pirâmide de bse qudrngulr, neste cso, o poliedro present um fce com rests, e teremos relção: F F, em que fces com qutro rests. F F F ( F F F ) F represent fces com rests e F represent F F, em que F represent o número de fces ns quis form contds rests. ssim F. Se o poliedro convexo presentr mis de um fce não tringulr, relção será: 5 F F 5F... nf n, em que F n represent o número de fces com número n de rests. ( F F F5... Fn ) F F5... ( n ) F n F F F5... ( n ) F n, em que F represent o número de fces ns quis form contds rests. ssim F. Então, ddo um poliedro convexo com um ou mis fces não tringulres, temos que o dobro do número de rests deste poliedro será mior que o triplo do número de fces.

22 relção Como mostrdo nteriormente, em um poliedro de fces tringulres vle F e de fces não tringulres vle relção F, temos como condição necessári pr que o poliedro convexo exist relção F. (I) b) Relção entre o número de rests e o número de vértices de um poliedro convexo. Inicilmente considerndo um poliedro P em que cd vértice sej ponto comum três rests. Exemplo: Vle observr que em qulquer poliedro convexo cd rest é comum dois vértices e, somndo-se tods s rests, ests serão contds dus vezes e teremos que V. Se o poliedro P possuir lgum vértice no qul incid mis de três rests, como por exemplo, em um pirâmide de bse hexgonl teremos: V V, em que V vértice no qul incidm seis rests. rests. V V V ( V V V ) V represent vértices nos quis incidm três rests e, V V, em que V represent o totl de vértices nos quis incidm três ssim V. Se o poliedro convexo presentr mis de um vértice no qul incidm um número de rests mior que, relção será:

23 V V 5V... nv n, em que V n represent o número de vértice com 5 n números de rests. ( V V V5... Vn ) V V 5... ( n ) V n V V V 5... ( n ) V n, em que V represent o número totl de vértices nos quis incidm rests. Logo, V. Ou sej, ddo um poliedro convexo com um ou mis vértices nos quis incidm mis de três rests, temos que o dobro do número de rests deste poliedro será mior que o triplo do número de vértices. Como mostrdo nteriormente, em um poliedro no qul em todos os vértices incidm rests vle relção V e com vértices nos quis incidm mis de rests vle relção V, temos como condição necessári que o poliedro convexo exist relção V. (II ) c) gor vmos utilizr s relções obtids em (I) e (II ) e relção de Euler Como em um poliedro convexo, vle relção F V ou F V, usndo est e relção (I), obtemos: V F V V F V V, ou sej, V. (III ) nlogmente, usndo Relção de Euler e relção (II ), obtemos F. (IV ) Com s relções (II ) e (III ), temos que: V, donde,. Então pr que um poliedro convexo com F fces, rests e V vértices exist, concluímos que é necessário que sej stisfeit Relção de Euler, que o

24 poliedro presente o número de rests tl que, e que sejm stisfeits s seguintes relções: V e F. Temos então o seguinte teorem: Existe um poliedro convexo com V vértices, com rests e F fces se, (i) (ii) F V (iii) (iv) F V De cordo com ests condições podemos verificr que retomndo o exemplo citdo n págin 0, podemos verificr que os vlores de F, de e de V stisfzem condição (i), pois, porém não stisfzem s condições (iii) e (iv). Substituindo, ns condições, o vlor de 8, obtemos que,7 F 5, e,7 V 5,, ou sej, os vlores possíveis pr os números de fces e vértices serim F 5 e V 5, o que não condiz com os vlores ddos no exemplo. Vmos considerr um poliedro com 0 rests e utilizndo s relções (i), (ii), (iii) e (iv) podemos verificr então os possíveis vlores pr os números de fces e vértices deste poliedro. V 0 V V V V F 0 F F.0 Com os vlores obtidos pr os números de fces e de vértices podemos encontrr, por exemplo, o seguinte poliedro: F F 0 0

25 5 Como já presentmos s condições necessáris pr existênci do poliedro convexo, vmos obter suficiênci ds mesms.. Nest seção vmos presentr condições suficientes pr existênci de um poliedro convexo. Mostrremos que ddos vlores pr V, e F, tis que stisfçm s relções de (i) (iv) d seção., já citds nteriormente, podemos firmr que existe um poliedro convexo com tis vlores, que poderá ser obtido trvés de certs trnsformções plicds outros poliedros que chmremos de primitivos. Representremos qulquer poliedro por ( V,,, em que V é o seu número de vértices, o número de rests e F o número de fces. Vmos considerr os seguintes poliedros convexos: primitivos. Estes poliedros stisfzem às relções de (i) (iv) e serão chmdos de

26 Mostrremos que prtir deles podemos efetur créscimos nos números de fces, de vértices e de rests, que representremos por [ V,, F], e obter o poliedro ( V,, tl que, ( V,, ( V', ', F') x [ V,, F ] y [ V,, F ] ( V xv yv, x y, F x F y F ), em que x e y representm números inteiros não negtivos, stisfç s relções de (i) (iv), e sej convexo. Vmos plicr o créscimo [,, ] nos poliedros primitivos de form que s rests serem crescentds incidm com os vértices já existentes e com o vértice crescentdo. Sendo crescentds o poliedro dus fces tringulres. iremos obter: Dess form, plicndo um vez este créscimo os poliedros primitivos - Com o primitivo (,,), temos: ( V,, (,, ) [,, ] (,, ) (5,9,) ; (i) 9 Substituindo estes vlores ns relções de (i) (iv), temos que: (ii) 9 5 (iii) Portnto, 5 8. (iv) Portnto, convexo. Então podemos verificr que este poliedro stisfz às relções, portnto, é - Com o primitivo ( 5,8,5 ), temos: ( V,, (5,8,5) [,,] (,,7). - E com o primitivo (,0,), temos;

27 7 ( V,, (,0,) [,, ] (7,,8). De mneir nálog o relizdo no poliedro ( 5,9,), podemos provr que os poliedros (,,7 ) e ( 7,,8) tmbém são convexos. Um esboço dos poliedros obtidos é: Com os novos vlores nos números de rests, fces e vértices, observmos que são stisfeits s relções de (i) (iv). Se efeturmos um segund vez este créscimo os primitivos, obtemos: - Com o primitivo (,,), temos: ( V,, (,, ) [,,] (,, ) (,,8) ; (i) Substituindo estes vlores ns relções de (i) (iv), temos que: (ii) 8 (iii).8.. Portnto, 8. (iv)... Portnto, 8 8. Então podemos verificr que este poliedro stisfz às relções de (i) (iv), portnto, é convexo. - Com o primitivo ( 5,8,5 ), temos:

28 8 ( V,, (5,8,5) [,, ] (7,,9). - E com o primitivo (,0,), temos: ( V,, (,0,) [,, ] (8,,0). De mneir nálog o relizdo no poliedro ( 5,9,), podemos provr que os poliedros ( 7,,9) e ( 8,,0) tmbém são convexos. Podemos relizr o créscimo [,, ] qulquer poliedro primitivo, inúmers vezes. Observmos que os novos vlores encontrdos pr o número de vértices, de rests e de fces tmbém stisfzem à relção. Consideremos, por exemplo, um trnsformção obtid trvés deste créscimo plicdo x vezes o poliedro primitivo (,,), teremos então o poliedro ( x, x, x), e podemos observr que os novos vlores pr os números de vértices, de rests e de fces stisfzem às relções, pois, (i) x (ii) x x x (iii) x ( x) ( x). E portnto, x x x. (iv) x ( x) ( x). Portnto, x x x. Outr possível trnsformção pode ser relizd efetundo o créscimo que denotremos por [,,]. Nest, crescentremos os poliedros primitivos dois vértices, três rests e um fce. E será relizd de modo que s dus rests serem crescentds incidm com um vértice já existente e os vértices serem crescentdos estejm ns extremiddes de rests tmbém já existentes, crescentndo ssim o poliedro um nov fce tringulr. iremos obter: Dess form, plicndo um vez este créscimo os poliedros primitivos,

29 9 - Com o primitivo (,,), temos: ( V,, (,, ) [,,] (,, ) (,9,5) ; (i) 9 Substituindo estes vlores ns relções de (i) (iv), temos que: (ii) 5 9 (iii) Portnto, (iv) Portnto, Então podemos verificr que este poliedro stisfz às relções de (i) (iv), portnto, é convexo. - Com o primitivo ( 5,8,5 ), temos: ( V,, (5,8,5) [,,] (7,,). - E com o primitivo (,0,), temos: ( V,, (,0,) [,,] (8,,7). De mneir nálog o relizdo no poliedro (,9,5), podemos provr que os poliedros ( 7,, ) e ( 8,,7) tmbém são convexos. Um esboço dos poliedros obtidos é:

30 Estes novos poliedros presentm números de vértices, rests e fces tis que stisfzem às relções de (i) (iv). 0 plicndo-se um segund vez este créscimo os primitivos, iremos obter: - Com o primitivo (,,), temos: ( V,, (,, ) [,,] (,, ) (8,,) ; Substituindo estes vlores ns relções de (i) (iv), temos que: (i) (ii) 8 (iii)... Portnto, 8 8. (iv).8.. Portnto, 8. Então podemos verificr que este poliedro stisfz às relções de (i) (iv), portnto, é convexo. - Com o primitivo ( 5,8,5 ), temos: ( V,, (5,8,5) [,,] (9,,7). - E com o primitivo (,0,), temos: ( V,, (,0,) [,,] (0,,8). De mneir nálog o relizdo no poliedro ( 8,,), podemos provr que os poliedros ( 9,,7) e ( 0,,8) tmbém são convexos. Podemos relizr o créscimo [,,] qulquer um dos poliedros primitivos inúmers vezes, observmos que os novos vlores encontrdos pr o número de vértices, de rests e de fces tmbém stisfzem à relção.

31 Consideremos, por exemplo, este créscimo sendo plicdo y vezes o poliedro primitivo (,,), teremos então os novos vlores ( y, y, y), e podemos observr que stisfz s relções, pois, (i) y (ii) y y y (iii) y ( y) ( y). Portnto, y y y. (iv) y ( y) ( y). Portnto, y y y. presentremos seguir um trnsformção obtid trvés d combinção liner entre estes dois créscimos presentdos nteriormente, qulquer um dos poliedros primitivos. plicndo um vez est trnsformção os poliedros primitivos, iremos obter: - Com o primitivo (,,), temos: ( V,, (,, ) [,, ] [,,] (,, ) (7,,7) ; (i) Substituindo estes vlores ns relções de (i) (iv), temos que: (ii) 7 7 (iii).7.. Portnto, 8. (iv).7.. Portnto, 8. Então podemos verificr que este poliedro stisfz às relções de (i) (iv), portnto, é convexo. - Com o primitivo ( 5,9,5), temos: ( V,, (5,9,5) [,,] [,,] (8,,8). - E com o primitivo (,0,), temos:

32 ( V,, (,0,) [,, ] [,,] (9,,9). De mneir nálog o relizdo no poliedro ( 7,,7), podemos provr que os poliedros ( 8,,8) e ( 9,,9) tmbém são convexos. Com est trnsformção, obtemos novos poliedros conforme figurs bixo. Podemos observr que os novos vlores encontrdos pr os números de vértices, de rests e de fces stisfzem às relções de (i) (iv). Consideremos então os créscimos [,, ] sendo plicdo x vezes e [,,] sendo plicdo y o poliedro primitivo (,,) teremos então um novo poliedro com os seguintes vlores ( x y, x y, x y) e podemos observr que estes vlores stisfzem às relções. (i) x y (ii) x y x y x y (iii) x y ( x y) ( x y), logo x y x y x y (iv) x y ( x y) ( x y), logo x y x y x y

33 Iremos demonstrr gor que ddos vlores pr V, e F, tis que stisfçm s relções de (i) (iv), podemos firmr que este poliedro foi obtido trvés d combinção liner dos dois créscimos presentdos. Representremos este poliedro por: ( V,, ( V', ', F') x[,, ] y[,,], onde V ', ' e F ' representm os números de vértices, de rests e de fces de um poliedro primitivo. Pr um demonstrção vmos considerr ( V,, (,, ) x[,, ] y[,,], em que x e y são números inteiros não negtivos que stisfzem o sistem. V F x x x y y y ou sej, x x x y y y V F ( I ) ( II ) ( III ) Podemos perceber que equção (II ) pode ser obtid prtir d som entre s equções (I) e (III ), pois x y x y V F x y V F 8 8 (IV ) Então considerremos um sistem com s equções (I) e (III ). Resolvendo o sistem cim, obtemos F V x e V F y. Vmos mostrr que x e y são relmente números inteiros e positivos. De (IV ), observemos que o número de rests do poliedro primitivo é um número divisível por três, ou sej, teremos que k, k. Primeirmente vmos mostrr que x é um número inteiro.

34 F V F V V ( F V) V, usndo relção de Euler, obtemos ( ) V, como k, então k V k V (k V), que é um múltiplo de, logo x é inteiro. Mostrremos gor que x e um número não negtivo. Utilizndo relção de Euler em que V F, temos: F V F ( F F ( ) ) F ( ), ms pel relção (iii) temos que F ( ) 0, logo x é não negtivo. F, então De mneir nálog, mostrremos que y é um número inteiro e em seguid que é um número não negtivo. V F V F F ( V F ( ) F F k F (k, que é um múltiplo de, logo y é inteiro. Mostrremos gor que y e um número não negtivo. Pr tnto vmos utilizr relção de Euler em que V F V ( V) V ( ) F V, então: V ( ), como pel relção (iv), temos que V ( ) 0, logo y é não negtivo. V, então Pr um outro exemplo d demonstrção vmos considerr gor

35 ( V,, (,0,) x[,, ] 5 y[,,], em que x e y são números inteiros e não negtivos que stisfzem o sistem. V F 0 x y x y x y ou sej, x x x y y y V F 0 ( I ) ( II ) ( III ) Podemos perceber que equção (II ) pode ser obtid prtir d som entre s equções (I) e (III ), pois x y x y V F x y V F 0 (V ) Então considerremos um sistem com s equções (I) e (III ). Resolvendo o sistem cim, obtemos F V x e V F y. Vmos mostrr que x e y são relmente números inteiros e positivos. De (V ), vmos observr que nest demonstrção, o número de rests do poliedro primitivo deix resto qundo divido por três, ou sej, teremos que k, k. Vmos mostrr que x é um número inteiro. F V F V V ( F V) V, usndo relção de Euler, obtemos ( ) V, como k, então k V k V (k V), que é um múltiplo de, logo x é inteiro. Mostrremos gor que x e um número não negtivo. Pr tnto vmos utilizr relção de Euler em que V F, então:

36 x F V F ( F 8, como pel relção (iii) temos que F 8 F, segue que Então x, o que implic que x 0,. Ms x é inteiro, como provmos nteriormente, então o inteiro mis próximo e mior que é 0, logo x 0. De mneir nálog, mostrremos que y é um número inteiro e em seguid que é um número não negtivo. V F V F F ( V F ( ) F k F k F (k, que é um múltiplo de, logo y é inteiro. Mostrremos gor que y e um número não negtivo. Pr tnto vmos utilizr relção de Euler em que F V, então: y V F V ( V) V 8 V ( ), pel relção (iv), temos que V 8 V, então Logo, y, o que implic que y 0,. Ms y é inteiro, como provmos nteriormente, então o inteiro mis próximo e mior que é 0, logo y 0.

37 7 Vmos considerr gor ( V,, (5,8,5) x[,,] y[,,], em que x e y são números inteiros e não negtivos que stisfzem o sistem. V F x x x y y y ou sej, x x x y y y V F ( I ) ( II ) ( III ) Podemos perceber que equção (II ) pode ser obtid prtir d som entre s equções (I) e (III ), pois x y x y V 5 F 5 x y V F (VI ) Então considerremos um sistem com s equções (I) e (III ). Resolvendo o sistem cim, obtemos F V 5 x e V F 5 y. Vmos mostrr que x e y são relmente números inteiros e positivos. De (VI ), vmos observr que nest demonstrção, o número de rests do poliedro primitivo deix resto qundo divido por três, ou sej,teremos que k, k. Vmos mostrr que x é um número inteiro. F V 5 F V V 5 ( F V) V 5, usndo relção de Euler, obtemos ( ) V 5, como k, então k 8 V 5 k V (k V ), que é um múltiplo de, logo x é inteiro.

38 8 Mostrremos gor que x e um número não negtivo. Vmos utilizr relção de Euler em que V F, então: x F V 5 F ( 5 F 7, F ( ), pel relção (iii) temos que F Então x, o que implic que x 0,. 7 F, segue que Ms x é inteiro, como provmos nteriormente, então o inteiro mis próximo e mior que é 0, logo x 0. De mneir nálog, mostrremos que y é um número inteiro e em seguid que é um número não negtivo. V F 5 V F F 5 ( V F 5, usndo relção de Euler, teremos ( ) F 5, como k, então k 8 F 5 k F (k F ), que é um múltiplo de, logo y é inteiro. Mostrremos gor que y e um número não negtivo. Pr tnto vmos utilizr relção de Euler em que F V, então: y V F 5 V ( V) V 7 5 V ( ), como pel relção (iv), temos que V Logo, y, o que implic que y 0,. 7 V, então

39 Ms y é inteiro, como provmos nteriormente, então o inteiro mis próximo 9 e mior que é 0, logo y 0. Concluímos então que ddos V, e F então existe um poliedro convexo com estes vlores se, e somente se, forem stisfeits às relções de (i) (iv), e este poliedro obtido prtir de um combinção liner de créscimos nos números de fces, de rests e de vértices plicds os poliedros primitivos será representdo por: ( V,, ( V', ', F') x[,,] y[,,], onde V ', ' e F ' representm os números de vértices, de rests e de fces de um poliedro primitivo e x e y são números inteiros e não negtivos.

40 0 Cpítulo Os cinco poliedros de Pltão Pltão. seguir demonstrremos que existem cinco, e somente cinco, poliedros de Pr isto, considerremos definição de poliedros de Pltão citd no Cpítulo. Relembrmos que V é o seu número de vértices, o número de rests e F o número de fces, sendo ssim: ) Como o número F fce do poliedro possui n rests (n ) e cd rest é comum pens dus fces, temos então que: n. F, o que implic que F. (I) n b) Como o número V vértice possui m rests (m ) e cd rest é comum pens vértices, m. V, o que implic que V. (II ) m c) F V. (III ) Substituindo s relções (I) e (II ) n relção (III ), obtemos: n m Dividindo-se por, obtemos: n m. (IV ) Como sbemos que n e m, podemos escrever s seguintes relções, n e m. Substituindo n relção (IV ), obtemos:

41 Portnto. nlisndo os vlores possíveis pr n (número de rests de cd fce) e m (número de rests coincidentes em cd vértice), temos que, se n e m, ou sej, n e m, simultnemente, terímos relção (IV ), obtemos: n e m, substituindo n 0 0 positivo. Portnto, 0, o que contrdiz relção (IV ), pois, é um número Bsendo-se n relção (IV ) e substituindo os vlores de n podemos encontrr os seguintes vlores pr m : Pr n m m Temos m, o que implic m. Portnto, teremos que os possíveis vlores pr m serão m 5, m ou m. Pr n m

42 m m. Temos m, o que implic m. Portnto, o vlor possível pr m será Pr n 5 5 m 0 m Temos então, m será m. m 0, o que implic m,. Portnto, o vlor possível pr Pr n m m Neste cso, teremos como resultdo, este resultdo não condiz com condição de que m. m, o que implic em m, porém Temos então que os possíveis vlores de n são:, ou 5. E com isso, os possíveis vlores pr m são:, ou 5. Com os vlores de n e m obtidos cim, podemos encontrr os possíveis vlores de rests, de fces F e de vértices V. Pr encontrrmos os vlores de, bst substituirmos os vlores de n e m n relção (IV ): Pr n e m, teremos:

43 , logo. Pr n e m, teremos:, logo. Pr n e m 5, teremos: 0 5, logo 0. Pr n e m, teremos, logo. Pr n 5 e m, teremos 5 0, logo 0. Com estes vlores podemos construir seguinte tbel:

44 Utilizndo os vlores de m, n e presentdos n tbel. e s relções (I) e (II ), podemos encontrr os vlores de F e V e ssim determinr os poliedros de Pltão. Pltão. Podemos concluir então, que são cinco e pens cinco tipos de poliedros de

45 5 pêndice: Poliedros não convexos que stisfzem ou não relção de Euler. Ddo um poliedro qulquer com F fces, rests e V vértices podemos verificr se os números de fces, de rests e de vértices stisfzem relção F V. Observmos que, pr lguns poliedros est relção se mostr verddeir, ms, pr outros poliedros não. Os poliedros nos quis est relção se verific verddeir são chmdos de poliedros Eulerinos. Neste trblho presentmos demonstrções em que ddo um poliedro convexo vle relção F V. Sendo então todo poliedro convexo um poliedro Eulerino. Porém podemos encontrr poliedros nos quis seus respectivos números de fce, rests e vértices sejm tis que stisfçm relção, ms não são poliedros convexos. Observem os poliedros bixo: Temos que estes poliedros não são convexos, ms stisfzem à relção de Euler. Estes são então poliedros Eulerinos. Um simples comentário. Suponh que nestes poliedros sus fces sejm de borrch. o injetrmos r no seu interior seu formto se ssemelh um esfer. Como exemplo, temos s figurs e. Temos tmbém poliedros nos quis relção de Euler não se verific. São poliedros não Eulerinos e podemos observr que considerndo seus números de fce, de vértices e de rests, temos que F V 0 (figurs 5 e 7) ou F V 0 (figurs, e ).

46 Consideremos os poliedros nos quis F V 0, e vmos imginr que sus fces sejm de borrch. o injetrmos r no seu interior seu formto se ssemelh um toro, ou sej, se ssemelh um câmr de r de um pneu.

47 7 CONCLUSÃO Este trblho teve como objetivo demonstrr de dus mneirs relção de Euler pr poliedros convexos. lém disso, present condições necessáris e suficientes pr que um poliedro que stisfç relção de Euler sej convexo. Demonstrção que, té então, eu desconheci. lgums dificulddes surgirm no decorrer do trblho. Tive dificulddes em compreender prte d demonstrção presentd pelo Professor Wgner []. elborção deste trblho foi muito importnte. Foi primeir vez que relizei um trblho que exigisse tnt dedicção e isto me permitiu rever e consolidr certos conteúdos, orgnizr e escrever um trblho deste nível. Meu orientdor teve grnde importânci pr que eu tingisse meu objetivo, estndo sempre presente. Com muit pciênci, incentivo e conselhos, me judou enfrentr os obstáculos encontrdos. credito que este trblho sirv de poio estudntes do ensino médio, à formção de estudntes do curso de grdução e ou de especilizção que gostem de mtemátic, e especilmente geometri, e uxilie melhor compreensão d relção de Euler presentd no ensino médio, ms não demonstrd ou justificd su vercidde.

48 8 BIBLIOGRFI [] Filho, Zorostro zmbuj; Demonstrção do Teorem de Euler pr Poliedros convexos. Revist do Professor de Mtemátic; n. 0, 98. [] Dolce, Osvldo; Pompeo, José Nicolu; Fundmentos de Mtemátic Elementr, Cpítulo 7, vol. 0, ª edição, Editor Sriv S.. Livreiros Editores, São Pulo, 00. [] Wgner, Edurdo; F V. Existe o Poliedro?; Revist do Professor de Mtemátic, n. 7, 00. [] Lim, Elon Lges; Meu Professor de Mtemátic e outrs históris, 99. [5] Oliveir, Mário de; Mtemátic Modern, vol., Livrri Cultur Brsileir Editor, 97. [] Wgner, Edurdo, Poliedros. Julho. 00. Disponível em: cesso em: 09 de julho de 0.