Linguagens Formais Capítulo 5: Linguagens e gramáticas livres de contexto

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1 Lingugens ormis Cpítulo 5: Lingugens e grmátics livres de contexto José Lucs Rngel, mio Introdução Vimos no cpítulo 3 definição de grmátic livre de contexto (glc) e de lingugem livre de contexto (llc). As regrs de um glc são d form A α, onde α é um cdei qulquer de terminis e nãoterminis, possivelmente vzi. Como vimos, o que crcteriz grmátic livre de contexto é propriedde de que o símbolo não terminl A pode ser substituído pel cdei α do ldo direito d regr, onde quer que A ocorr, independentemente do contexto, isto é, do resto d cdei que está sendo derivd. Por ess rzão, é possível representr derivções em glc's trvés de árvores de derivção: pr usr regr A α, crescentmos à árvore, como filhos de A, nós correspondentes os símbolos de α Árvores de derivção Um árvore de derivção é um árvore compost d seguinte mneir: riz tem como rótulo o símbolo inicil S d grmátic. cd nó rotuldo por um nãoterminl A corresponde um regr de A. Se regr for A X 1 X 2... X m, os filhos do nó são rotuldos, d esquerd pr direit, por X 1, X 2,..., X m. (cd um dos X i pode ser um terminl ou um nãoterminl.) um nó rotuldo por um terminl é sempre um folh d árvore, e não tem filhos. Os nós interiores d árvore são sempre (rotuldos por) nãoterminis. Se um nó rotuldo pelo nãoterminl A for plicd regr A ε, consider-se o nó como interior, embor ele tenh zero filhos. N representção gráfic d árvore, é costume indicr, neste cso, os zero filhos trvés de um nó ε, que não contribui pr o resultdo d árvore. Um sub-árvore de um árvore de derivção é um nó d árvore com todos seus descendentes, s rests que os conectm e seus rótulos. Um sub-árvore sempre corresponde um derivção prcil, prtir do símbolo que rotul riz d subárvore. O resultdo de um árvore de derivção é cdei formd pelos terminis (que precem como folhs d árvore), lidos d esquerd pr direit. Note que ordenção dos filhos de cd nó é fundmentl pr que se poss definir ordenção ds folhs d árvore. xemplo 5.1: Sej grmátic G, dd por sus regrs: S AB A A ε B Bbb ε A árvore de derivção pr sequênci bb está representd n ig. 1. O resultdo d árvore é bb, sendo s regrs escolhids de cordo com derivção S B AB AB B Bbb bb. J. L. Rngel Lingugens ormis 5-1

2 S A B A B b b A ε ig. 1 - Árvore de derivção de bb eorem 5.1: Sej G = (N, Σ, P, S) um glc. ntão, pr qulquer cdei x Σ*, x L(G) se e somente se existe um árvore de derivção A n grmátic G, cujo resultdo é x. Demonstrção: Bst observr correspondênci entre substituição de nãoterminis pelos ldos direitos de sus regrs n derivção e crição dos filhos correspondentes n árvore. Usndo ess correspondênci é possível construir um árvore de derivção cujo resultdo é x prtir de um derivção S * x; é possível tmbém construir um derivção S * x prtir de um árvore de derivção cujo resultdo é x. Os detlhes d demonstrção são deixdos como exercício. Observção. A prtir de um derivção. só é possível construir um árvore; entretnto, n direção opost, é possível construir váris derivções, dependendo d ordem em que os nós são considerdos. O xemplo 5.2 mostr lgums ds váris derivções que correspondem à mesm árvore. Derivções esquerds e direits. Diz-se que um derivção é um derivção esquerd (leftmost derivtion) se cd psso d derivção o nãoterminl A escolhido pr plicção de um regr A α for sempre quele que fic mis à esquerd. Simetricmente, fl-se em derivção direit (rightmost derivtion) se o nãoterminl escolhido é sempre o que estiver mis à direit. xemplo 5.2: Sej grmátic G 0 bixo, dd por sus regrs. (st grmátic será usd em vários exemplos, no que se segue. * ( ) Considere cdei x = *(). emos bixo três derivções de: * * * *() *() *() *() *() *() *() *() *() * *() *() *() *() *() *() *() *() *() * * * *() *() *() *() *() *() *() *() J. L. Rngel Lingugens ormis 5-2

3 Note que primeir derivção é um derivção esquerd, e segund é um derivção direit. ods s três derivções correspondem à mesm árvore de derivção, presentd n igur 2. Como se pode observr, em tods els precem s mesms regrs, plicds nos mesmos lugres, vrindo pens ordem em que s regrs são plicds. * ( ) ig. 2- Árvore de derivção de *() Como tods s derivções correspondentes à mesm árvore de derivção descrevem mesm form de construção d cdei derivd - s mesms regrs plicds nos mesmos lugres - considermos que form de construção d cdei pode ser representd pel árvore ou por um derivção esquerd, ou por um derivção direit. ntretnto, se existem dus ou mis árvores de derivção (dus ou mis derivções esquerds, dus ou mis derivções direits), pr mesm cdei, considermos que grmátic não define de form únic mneir pel qul cdei é derivd, e dizemos que grmátic é mbígu. xemplo 5.3: Sej grmátic G 1, dd por sus regrs: * ( ) Pode-se verificr que G 1 é equivlente G 0, vist no exemplo 5.2 cim. ntretnto, diferentemente de G 0, G 1 é um grmátic mbígu. Considere, por exemplo cdei *. As dus derivções (esquerds) bixo correspondem dus árvores de derivção distints. * * * * * * * * A construção ds dus árvores fic como exercício. Um lingugem livre de contexto cujs grmátics são tods mbígus é chmd um grmátic inerentemente mbígu. xemplo 5.4: Sejm L 1 = { i b j c k i=j } e L 2 = { i b j c k j=k }. A lingugem L definid por L = L 1 L 2 é inerentemente mbígu. As lingugens L 1 e L 2 não são inerentemente mbígus, como se pode ver pels sus respectivs grmátics G 1 e G 2. J. L. Rngel Lingugens ormis 5-3

4 G 1 : S 1 C b ε C c C ε G 2 : S 2 A V A A ε V b V c ε É fácil construir um exemplo G de grmátic mbígu pr L, prtir de G 1 e G 2 : G: S S 1 S 2 S 1 C b ε C c C ε S 2 A V A A ε V b V c ε Pr verificr que G é mbígu, bst observr que tods s cdeis pertencentes à interseção M = L 1 L 2 = { i b j c k i=j=k } podem ser derivds de dus forms distints, dependendo d regr inicil escolhid pr derivção. Por exemplo, bbcc pode ser obtid por um ds dus derivções esquerds bixo: S S 1 C bc bbc bbc bbcc bbccc bbcc S S 2 AV AV AV V bvc bbvcc bbcc Nturlmente, isto prov pens que G é mbígu, e não que tods s grmátics de L são mbígus. st demonstrção não será incluíd qui. Observmos tmbém que M não é um llc. Isto será visto no xemplo Simplificção de grmátics livres de contexto Não existe possibilidde de simplificção de grmátics livres de contexto, no mesmo sentido d minimizção de utomtos finitos vist nteriormente. É, entretnto possível fzer um simplificção que elimin todos os símbolos e regrs inúteis d grmátic. Podemos dizer que um símbolo terminl é inútil qundo não prece em lgum cdei d lingugem; podemos dizer que um símbolo não terminl é inútil qundo não prece em lgum derivção de lgum cdei d lingugem. Um regr é inútil contém lgum símbolo inútil. m lguns csos, grmátic é mbígu, e lgums regrs podem ser removids sem que lingugem se ltere, ms pode não ficr clro qul regr deve ser considerd inútil. Por exemplo, se tivermos 1, 2. S A X Y C 3. X B C 4. Y A B há dus mneirs de gerr ABC prtir de S. Quis s regrs que devem ser retirds? 1 e 3 ou 2 e 4? nto fz. ods s simplificções que podem ser feits, entretnto, não lterm essênci de um grmátic: pens tornm mis limp. Algums trnsformções de grmátics vism obter um grmátic equivlente à inicil que tem lgum form prticulr, por exemplo, que simplifique demonstrção de lgum teorem. Pr ver lguns lgoritmos pr simplificção ou trnsformção de grmátics sugerimos mesm referênci citd nteriormente. J. L. Rngel Lingugens ormis 5-4

5 O exemplo seguir procur esclrecer lguns dos conceitos menciondos. xemplo 5.5: Um grmátic com regrs e símbolos inúteis. Sej grmátic Símbolos não terminis cessíveis: 1, 2, 3: S A B A C B D 4, 5: A A 6, 7: B b B b 8, 9: C c D d C 10, 11: Y y z Z 12, 13: Z z y Y m derivções prtir de S podem precer S A B C D (regrs 1, 2, 3). Símbolos não terminis produtivos: Derivções que levm cdeis de terminis: A (regr 5), B (regr 7), Y (regr 10), Z (regr 11), S (regr 1, já que A e B são produtivos.) Logo, todos os nãoterminis, exceto S A B são inúteis. Retirndo tods s regrs que fzem referênci nãoterminis inúteis, temos: 1: S A B 4, 5: A A 6, 7: B b B b Os símbolos restntes podem ser considerdos inúteis: C D Y Z c d y z O lem do bombemento pr lingugens livres de contexto. Vmos exminr gor um resultdo que nos permitirá provr que lgums lingugens não são livres de contexto. O resultdo é conhecido como Lem do Bombemento, ou Pumping Lemm, e é semelhnte o resultdo correspondente visto pr lingugens regulres. eorem 5.2: Lem do Bombemento. Sej L um llc. ntão, existe um número n, que só depende de L, tl que qulquer cdei z de L com comprimento mior ou igul n pode ser decompost de mneir que z = uvwxy e vx 1 vwx n pr todo i 0, uv i wx i y pertence L. Demonstrção (simplificd). Se L é um llc, existe um glc G tl que L(G)=L. Se z tem um comprimento suficientemente longo, não será possível gerr z sem que n derivção de z ocorr um não terminl A repetido, de form que prtir de A é derivd um cdei que contém outr ocorrênci de A. Pr que isto ocorr, s dus ocorrêncis de A devem estr num mesmo cminho d riz d árvore de derivção té s folhs. (Cdeis mis curts podem ser gerds sem que ess repetição conteç.) Atrvés (possivelmente) de um rerrumção dos pssos d derivção, temos ou sej, S * uay * uvaxy * uvwxy J. L. Rngel Lingugens ormis 5-5

6 S * uay, A * vax, A * w Portnto, podemos derivr i=0: uwy S * uay * uwy i=1: uvwxy S * uay * uvaxy * uvaxy * uvwxy i=2: uvvwxxy S * uay * uvaxy * uvvaxxy * uvvwxxy i=3: uvvvwxxxy S * uay * uvaxy * uvvaxxy * uvvvaxxxy * uvvvwxxxy Um demonstrção complet do Lem do Bombemento pode ser encontrd n referênci citd. Observção. A recíproc do Lem do Bombemento não é verddeir, isto é, existem lingugens que não são livres de contexto, ms que tem propriedde d decomposição. xemplo 5.6: Considere grmátic G 0, cdei z = *(), e árvore de derivção correspondente z (xemplo 5.2), reproduzid n igur 3. Podemos ver que existem vários csos de repetição de nãoterminis d form indicd no teorem cim. Por exemplo, vmos considerr s dus ocorrêncis de indicds pels sets: * ( ) ig. 3- Árvore de derivção de *() emos: *, * *(), *. Ou sej, u = ε, v = *(, w =, x = ), y=. Ou sej, s seguintes cdeis devem ser d lingugem: J. L. Rngel Lingugens ormis 5-6

7 i=0: uwy i=1: uvwxy *( ) i=2: uv 2 wx 2 y *( *( ) ) i=3: uv 3 wx 3 y *( *( *( ) ) ) xercício 5.2: (Ver xemplo 5.3) 1. Constru árvores de derivção pr s cdeis uv i wx i y, pr i=0, 1, 2, 3, observndo que esss árvores são construíds de pedços d árvore de derivção de x. (Nem todos esses pedços são sub-árvores.) 2. Verifique tods s combinções de nãoterminis repetidos que stisfzem s condições do teorem, e quis s decomposições possíveis pr cdei z. 3. stime o vlor de n pr lingugem considerd. xercício 5.3: Considere llc L={ x x R x {, b}* } { b } e cdei z = bb. stime n pr ess lingugem. Determine tods s decomposições possíveis de z, de cordo com o teorem. xemplo 5.7: Vmos gor mostrr que L = { m b m c m n 0 } não é livre de contexto, usndo o teorem cim. A demonstrção é por contrdição: suporemos que L é livre de contexto, e deduziremos um bsurdo. Se L é llc, L stisfz o teorem cim pr lgum n. Suponh que cdei z= k b k c k é suficientemente long: z n. ntão z pode ser decompost, z = uvwxy, de form que pr qulquer i, z i = uv i wx i y pertence L. A contrdição está em que qulquer decomposição, existem cdeis z i que não pertencem L: ou tem o número errdo de 's, b's, e c's, ou precem símbolos for d ordem - b - c: s combinções b, cb e c não podem ocorrer em L. Pr eliminr tods s decomposições: se v e x não tem o mesmo número de 's, b's e c's, lgum z i terá números diferentes dos três símbolos; se v e x tem o mesmo número de 's, b's e c's, devemos ter v = j e x = b j c j, ou v = j b j e x=c j. No primeiro cso, z 2 contém x 2 = b j c j b j c j, que contém combinção cb, que não ocorre em L; no segundo cso, de form semelhnte, ocorre combinção b. Logo, L não é um llc. xercício 5.4: Mostre que lingugem { x x x {, b}* } não é um llc. Not: primeir versão deste cpítulo contou com colborção de Luiz Crlos Cstro Guedes (mio 1999) J. L. Rngel Lingugens ormis 5-7

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