Draft-v Autómatos mínimos. 6.1 Autómatos Mínimos

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1 6. Autómtos Mínimos 6 Autómtos mínimos Dd um lingugem regulr L, muitos são os utómtos determinísticos que representm. Sej A L o conjunto dos utómtos tis que (8A)(A 2A L =) L(A) =L). Os utómtos de A L não têm todos o mesmo número de estdos e portnto pergunt que nturlmente surge é d existênci de um utómto mínimo (no sentido de ter o número mínimo de estdos) e do processo d su otenção. O teorem de Myhill-Nerode (pág.??) sujere que tl utómto existe ssim como present um crcterizção desse utómto que conduz à su construção. Ddo um utómto, comecemos por eliminr os estdos que não são cessíveis prtir do estdo inicil, ssim como queles dos quis não se pode chegr um estdo finl. Trivilmente, est operção não lter lingugem reconhecid pelo utómto inicil (e só pode fzer diminuir o seu número de estdos!). Nest secção, menos que sej explícitmente dito o contrário, considerremos sempre utómtos que form removidos todos os estdos pelo processo nterior. A idei por de trás d minimizção de um DFA é de eliminr estdos que representem (à luz do teorem de Myhill-Nerode) mesm fmíli de plvrs. Sej A = hs,,, s,fi. Em vez de tentrmos contruir directmente um utómto com o menor número de estdos, comecemos por estelecer quis os pres de estdos que são intrinsecmente diferentes, que representm diferentes lingugens e portnto não pssiveis de serem colpsdos num mesmo estdo no novo utómto que queremos construir. Chmemos estes pres distinguíveis. Semos que os estdos finis e os estdos não finis são, com certez, distinguíveis, pois os primeiros representm lingugens que contêm " o que não é o cso dos segundos. Comecemos, então, por definir seguinte relção, N S 2, dos estdos de S que semos, à prtid, serem distinguíveis: N = {(s, s ) 2 S 2 s 2 F _ s 2 F}. (6.) Pr lém destes pres de estdos, dois estdos, s e s, são distinguíveis se pr um ddo símolo,,s respectivs imgens por, (s, ) e (s, ), forem distinguíveis. Isto corresponde dicionr N os pres que stisfzem seguinte propriedde: P(X) : (8s, s 2 S 9 2 (( (s, ), (s, )) 2 X) ) ((s, s ) 2 X)). (6.2) 7

2 Consideremos, gor, o fecho de P pr N, F P (N). Est nov relção F P (N), relcion pres de estdos,(s, s ), pr os quis existe um plvr,, tlque( (s, ), (s, ) 2 F P (N)), ou sej ((s, s ) 2 F P (N)) () (9 )( (s, ) 2 F _ (s, ) 2 F). (6.3) Exercício 3 Provr proposição contid n fórmul (6.3). Sej R relção complementr de F P (N). ArelçãoR éumrelçãodeequivlênci,stverque (s, s ) 2 R () (s, s ) 62 F P (N) () (8 2? )( (s, ), (s, )) 62 F P (N) () (8 2? )( (s, ) 2 F () (s, ) 2 F). Lem 6. Ddo um utómto A = hs,,, s o,fi consideremos um novo utómto A m = hs/r,, m, [s ],F m i em que R é relção de equivlênci de indistiguiilidde sore S otid como cmos de descrever, e m : S/R -! s/r ([s], ) 7-! [ (s, )] F = {[s] 2 S/R s 2 F}, onde [s] represent, como costume, clsse de equivlênci de R ques pertence. Então L(A) = L(A m ). Dem. Sej um plvr ceite por A, então de equivlênci, se tem então (6.4) (s, ) 2 F (por 4.3), ms como, pr qulquer relção (8s)(s 2 [s]), m([s ], )=[ (s, )] 2 F m. Logo L(A) L(A m ). Suponhmos gor que = 2 l 2L(A m ) (com, 2,..., l 2 ), ou sej m([s ], 2 l) 2 F m. Sejm s,s,...,s l tis que m([s i- ], i) = [s i ], pr i 2 [, l], e tomemos s,s,...,s l com s = s, tis que (s i-, i)=si, pr i 2 [, l]. D definição de m (6.4) result que, pr todo o i 2 [, l], si 2 [s i] (por indução sore l). Pel definição de R, cd um ds sus clsses de equivlênci, [s], ou estão integrlmente contids em F, ou são disjunts de F. Pelo que ou sej 2L(A). Logo L(A) =L(A m ). (s, )=s l 2 F, Teorem 6.2 (utómto mínimo) Sej A um DFA, existe um DFA, A m, tl que (L(A m )=L(A)) ^ (8B (L(B) =L(A) ) A m pple B )). (6.5) Este utómto mínimo, A m, é o único que stisfz (6.5). 72

3 Dem. Sej A m o utómto definido no Lem 6. e provemos que A m é mínimo, no sentido que qulquer outro DFA B com menos estdos que A m não é equivlente A. Sej então B = hs,,,s,f i um DFA com B < A m = n. Pel form como A m foi construído, semos que pr qulquer pr de estdos existe um plvr que é testemunh que esses estdos não são equivlentes, ou sej (8i, j)(i, j 2 [, n - ] ^ i 6= j =) (9 i,j 2? ( ([s i ], i,j ) 2 F m _ ([s j ], i,j ) 2 F m ))). Como nestes utómtos todos os estdos são cessíveis prtir do estdo inicil (ver oservcão d págin 7), podemos tomr, por outro ldo,,,..., n- tis que ([s ], i )=[s i], pr i 2 [, n - ]. Como S <ntemos, pelo Princípio de Dirichlet (ver.) que Ms então enqunto (9k, k )(k, k 2 [, n - ] ^ k 6= k ^ (s, k)= (s, k ). Pelo que L(A m ) 6= L(B). LogoA m é mínimo. ( k k,k 2L(A m )) _ ( k k,k 2L(A m))) ( k k,k 2L(B)) () ( k k,k 2L(B)). Provemos gor que A m é único ( menos de renomeção de estdos). Suponhmos que pr um outro DFA A = hs,,,s,fi se tem A m = A = n. Pr cd pr de estdos deste utómto, si,s j, tem que existir um plvr que sej testemunh d su não equivlênci, porque senão seri possível, plicndo o método plicdo A, oter um utómto equivlente com menos estdos, que pelo que cmos de provr, teri que ser não equivlente A m. Sejm então i,j 2?, com i, j 2 [, n - ], s referids testemunhs de não equivlênci pr os estdos de A, ou sej Agor, ou temos (8i, j)((i, j 2 [, n - ] ^ i 6= j) =) ( (s i, i,j ) 2 F _ (s j, i,j ) 2 F )). (8, )(, 2? =) ( m ([s ], )= m ([s ], )) () ( (s, )= (s, ))), e então é possível renomer os estdos de A por form se ter (8 )(8i)( 2? ^ i 2 [, n - ] =) ( m ([s ], )=[s i ] () (s, )=s i)) e os dois utómtos são iguis. Ou (8i)(i 2 [, n - ] =) (([s i ] 2 F m ) () (s i 2 F ))) (9, )(, 2? ^ (( m ([s ], )= m ([s ], )) _ ( (s, )= (s, ))) e então, podemos conctenndo ests plvrs, e, s testemunhs proprids, provr que L(A m ) 6= L(A ). 6.. O lgoritmo de Moore O lgoritmo de Moore, normlmente triuído Huffmn [Huf55] e Moore [Moo56], corresponde exctmente à construção d relção F P (N) referid no Lem 6.. Vejmos um exemplo. 73

4 Exemplo 6.3 Consideremos, então o DFA representdo pelo digrm seguinte. s 4 s 7 s 5 s 6 s 3 s s s 2 e encontremos o utómto determinístico mínimo equivlente utilizndo o procedimento indicdo n demonstrção nterior. Comecemos por mrcr como distinguíveis todos os pres com um estdo finl e outro não finl. A tel seguinte enumer os elementos de N. s s 2 s 3 s 4 s 5 s 6 s 7 s s s 2 s 3 s 4 s 5 s 6 Comecemos tentr encontrr mis elementos pr crescentr à relção, pr oter o seu fecho. Sej N relção N [ (s, s ) 9 2 (s, ) 2 N _ (s, ) 2 N. 74

5 Então, ( (s,), (s,)) = (s 4,s 2 ) 2 N ) (s,s ) 2 N ( (s,), (s 2,)) = (s,s 2 ) 62 N ^ ( (s,), (s 2,)) = (s 4,s 3 ) 62 N ( (s,), (s 5,)) = (s,s 2 ) 62 N ^ ( (s,), (s 5,)) = (s 4,s 6 ) 62 N ( (s,), (s 7,)) = (s 4,s 5 ) 2 N ) (s,s 7 ) 2 N ( (s,), (s 2,)) = (s 2,s 3 ) 2 N ) (s,s 2 ) 2 N ( (s,), (s 5,)) = (s 2,s 6 ) 2 N ) (s,s 5 ) 2 N ( (s,), (s 7,)) = (s,s 7 ) 62 N ^ ( (s,), (s 7,)) = (s 2,s 5 ) 62 N ( (s 2,), (s 5,)) = (s 2,s 2 ) 62 N ^ ( (s 2,), (s 5,)) = (s 2,s 6 ) 62 N ( (s 2,), (s 7,)) = (s 3,s 5 ) 2 N ) (s 2,s 7 ) 2 N ( (s 3,), (s 4,)) = (s 6,s 5 ) 2 N ) (s 3,s 4 ) 2 N ( (s 3,), (s 6,)) = (s,s 7 ) 62 N ^ ( (s 3,), (s 6,)) = (s 6,s 3 ) 62 N ( (s 4,), (s 6,)) = (s 5,s 3 ) 2 N ) (s 4,s 6 ) 2 N ( (s 5,), (s 7,)) = (s 6,s 5 ) 2 N ) (s 5,s 7 ) 2 N. A tel de N é então seguinte. s s 2 s 3 s 4 s 5 s 6 s 7 s s s 2 s 3 s 4 s 5 s 6 Tentemos crescentr mis elementos, gor fzendo N 2 = N [ (s, s ) 9 2 (s, ) 2 N _ (s, ) 2 N. Então, e escrevendo somente s clonclusões positivs, temos. Que result n seguinte tel. ( (s,), (s 2,)) = (s 4,s 3 ) 2 N ) (s,s 2 ) 2 N 2 ( (s,), (s 5,)) = (s,s 2 ) 2 N ) (s,s 5 ) 2 N 2. s s 2 s 3 s 4 s 5 s 6 s 7 s s s 2 s 3 s 4 s 5 s 6 Um ciclo seguinte pr tentr crescentr mis pres, gor N 3, mostr-se infrutífero, pelo que o fecho pr quel propriedde P(X) (d demonstrção de 6.), já foi tingido. A relção 75

6 complementr dest tem então s seguintes clsses de equivlênci {{s }, {s,s 7 }, {s 2,s 5 }, {s 3,s 6 }, {s 4 }}. O utómto mínimo otido é então o seguinte O lgoritmo de Brzozowski {s 4 } {s 2,s 5 } {s } {s,s 7 } {s 3,s 6 } Tlvez o mis surpreendente dos loritmos de minimizção de utómtos sej o que se deve Brzozowski [Brz62]. Não tnto pel su performnce, que no pior cso pode ser exponencil, ms pel simplicidde de descrição e pel não trivilmente evidente rzão do seu funcionmento. A prov d correcção do lgoritmo, que qui será presentd, segue, em termos geris, presentd no rtigo de Chmprnud et l [JMCP2]. Sej A um utómto finito, denotemos por R(A) o utómto reverso como o otido n Proposição 4.2. Semos, pel mesm proposição que L(A) R = L(R(A)). E portnto, plicndo mis um vez o mesmo resultdo, que L(R(R(A)) = L(A). Denotemos, gor, por D(A) o utómto determinístico otido pelo método d construção de suconjuntos do Teorem Então é fácil verificr, ddo um utómto finito A, que, por um ldo, D(R(D(R(A)))) é um utómto determinístico, e por outro, L(D(R(D(R(A))))) = L(A). Lem 6.4 Sej A um NFA e A = D(A) o utómto determinístico equivlente otido pel construção dd pelo Teorem Sej q um qulquer estdo de A. A lingugem direit de q é união ds lingugens direits dos estdos de A que compõem q. Teorem 6.5 (Brzozowski) Sej A um utómto finito, não necessrimente determinístico, o utómto é o utómto determinístico mínimo equivlente o utómto A. D(R(D(R(A)))) (6.6) Exemplo 6.6 Consideremos o seguinte utómto A: 76

7 O utómto R(A) é então s s s s s 5 s 2 s 3 s 5 s 2 s 3, Pr otermos D(R(A)) procedemos como o indicdo no Teorem 4.23.,! {s 2,s 3,s 4 } {s 2,s 3,s 4 } {s,s }?{s,s } {s,s } ; e o utómto otido, chmndo s = {s 2,s 3,s 4 } e s = {s,s },é Agor, R(D(R(A))) vem s s s s s 4 s 4 que já é determinístico, pelo que coincide com D(R(D(R(A)))), e portnto está encontrdo o DFA mínimo equivlente A. 77