Autômato Finito. Autômato Finito Determinístico. Autômato Finito Determinístico

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1 Autômto Finito Prof. Yndre Mldondo - 1 Prof. Yndre Mldondo e Gomes d Cost yndre@din.uem.r Autômto Finito Determinístico Prof. Yndre Mldondo - 2 AFD - modelo mtemático p/ definição de lingugem Cráter reconhecedor Modelm tmém sistems de estdos finitos Exemplo clássico: prolem HLCR (Hopcroft e Ullmn) Autômto Finito Determinístico Prof. Yndre Mldondo - 3 Prolem: um homem quer trvessr um rio levndo consigo um loo, um cr e um repolho e no ote só cem ele e mis um dos outros três. Exemplos de possíveis estdos do sistem: <HLCR-0> - todos n mrgem esquerd <L-HCR> - loo n mrgem esquerd, cr e repolho n direit Entrds do sistem: h - homem trvess o rio sozinho l - homem trvess o rio com o loo c - homem trvess o rio com cr r - homem trvess o rio com o repolho 1

2 Autômto Finito Determinístico Prof. Yndre Mldondo - 4 Ojetivo: <HLCR-0> <0-HLCR> Representção por digrm: círculos representm estdos rcos representm ção ou trnsição (de um estdo p/ outro) O estdo finl é mrcdo por um círculo duplo As resposts p/ o prolem são s sequêncis de ções que levm do estdo inicil pr o finl Início HLCR-0 c c LR-HC h h l HLR-C l r r Prof. Yndre Mldondo - 5 Digrm representndo o prolem HLCR. 0-HLCR c c R-HLC c c c HCR-L r r l HC-LR h C-HLR h L-HRC c HLC-R l Autômto Finito Determinístico Prof. Yndre Mldondo - 6 Exemplo de sistem que pode ser representdos dest form: Forno de micro-onds Entrds: port ert ou fechd, comndos fornecidos pelo cozinheiro trvés do pinel, sinl do timer que expir. Estdos: erto, esperndo por comndos, cozinhndo, desligdo. 2

3 Definições Básics Prof. Yndre Mldondo - 7 Um AFD A define um lingugem L(A) sore um lfeto Σ Cráter reconhecedor, o contrário ds grmátics estudds que tinhm cráter gerdor dd um cdei x, el pertence L(A)? Definições Básics Prof. Yndre Mldondo - 8 Um strção de um AFD um ceç de leitur extri sequencilmente o conteúdo de um fit (string) um luz de ceitção que cende somente se cdei pertencer lingugem representd pel AFD exemplos de cdeis ceits em HLCR: chrclhc, ccchllrclllhccc,... Simulção Definições Básics Prof. Yndre Mldondo - 9 Definição Mtemátic de um AFD Um AFD é um quíntupl <Σ, S,, δ, F>, onde: Σ é o lfeto de entrd S é um conjunto finito não vzio de estdos é o estdo inicil, S δ é função de trnsição de estdos, definid δ: S x Σ S F é o conjunto de estdos finis, F S 3

4 Definições Básics Prof. Yndre Mldondo - 10 Um cdei x pr ser ceito, deve levr do estdo pr lgum estdo pertencente F A função δ determin como são s trnsições de estdos. El lev um pr <s, > onde s é um estdo e um letr do lfeto num estdo s δ(s, ) = s Definições Básics Prof. Yndre Mldondo - 11 Então, ddo um AFD A=<Σ,S,,δ,F> e cdei x= n Σ *, o utômto prte de. Ao processr 1 pss pr o estdo δ(, 1 ). Ao processr 2 pss pr δ(δ(, 1 ), 2 ), e ssim por dinte té processr n. Nesse ponto o utômto estrá num estdo R qulquer. Se R F então cdei x L(A). Definições Básics Prof. Yndre Mldondo - 12 Finito: numero de estdos envolvidos no sistem é finito Determinístico: estelece que pr um cdei x L(A), só existe um únic seqüênci de estdos no AFD A pr processá-l. 4

5 Exemplo de Autômto: Prof. Yndre Mldondo - 13 V=<Σ, S,, δ, F> onde: Σ = {, } S = {,,, S f } = - estdo inicil F = {S f } S 0 δ (, ) = δ (, ) = S f δ (, ) = S f δ (, ) = Exercícios Prof. Yndre Mldondo - 14 Ddos os seguintes utômtos: c c S f Identifique lingugem ssocid cd um; Descrev s funções de trnsição de cd um (exceto pr o terceiro digrm); {..z}, {A..Z} S f {..z}, {A..Z}, {0..9} Definições Básics Prof. Yndre Mldondo - 15 Exemplo: Modelgem de um vending mchine que ceit moeds de 5, 10 e 25 centvos. O preço do produto que el entreg é 30 centvos. 5

6 Definições Básics Prof. Yndre Mldondo - 16 Prtindo do estdo inicil (0 centvos) deveremos reconhecer seqüêncis que nos levem estdos finis (vlor inserido >= 30 centvos) Podemos chmr o utômto de V Prof. Yndre Mldondo - 17 Assim: V=<Σ, S,, δ, F> onde: Σ = {5, 10, 25} - cd um destes símolos (ou letrs) represent um ção S = {<0c>, <5c>, <10c>, <15c>, <20c>, <25c>, <30c>, <35c>, <40c>, <45c>, <50c>} - cd estdo indic qunto foi depositdo = <0c> - estdo inicil F = {<30c>, <35c>, <40c>, <45c>, <50c>} - estdo onde entrd é válid e o produto pode ser lierdo Prof. Yndre Mldondo - 18 Delt é definid como: δ(<0c>, 5) = <5c> δ(<0c>, 10) = <10c> δ(<0c>, 25) = <25c> δ(<5c>, 5) = <10c> δ(<5c>, 10) = <15c> δ(<5c>, 25) = <30c> δ(<10c>, 5) = <15c> δ(<10c>, 10) = <20c> δ(<10c>, 25) = <35c>... 6

7 Prof. Yndre Mldondo - 19 Tel de trnsição de estdos δ <0c> <5c> <10c> <25c> <5c> <10c> <15c> <30c> <10c> <15c> <20c> <35c> <15c> <20c> <25c> <40c> <20c> <25c> <30c> <45c> <25c> <30c> <35c> <50c> <30c> <35c> <40c> <45c> <50c> Teste de cdeis: simulção Digrm de trnsições Prof. Yndre Mldondo - 20 Algoritmo do AFD Prof. Yndre Mldondo - 21 Início Estdo Atul Estdo Inicil; Pr I vrir do Símolo inicil d fit té o símolo finl Fç Se Existe δ (Estdo Atul, I) Então Estdo Atul δ (Estdo Atul, I); Senão REJEITA; Se Estdo Atul é estdo finl Então ACEITA; Senão REJEITA; Fim. 7

8 Autômto Finito Não Determinístico - AFND Prof. Yndre Mldondo - 22 Modelo mtemático semelhnte o AFD; Condições mis flexíveis; Podem hver múltiplos cminhos pr processr um cdei; Definição forml Prof. Yndre Mldondo - 23 Definição Mtemátic de um AFND Um AFND é um quíntupl <Σ, S,, δ, F>, onde: Σ é o lfeto de entrd S é um conjunto finito não vzio de estdos é um conjunto não vzio de estdos iniciis, S δ é função de trnsição de estdos, definid δ: S x Σ ρ(s) F é o conjunto de estdos finis, F S AFND Prof. Yndre Mldondo - 24 Σ, S e F são os mesmos do AFD; er um único estdo em AFD. Em AFND é um conjunto com pelo menos um estdo inicil; Então em AFD S, e em AFND S; Um AFND pode ter mis de um estdo tivo (corrente) num instnte; Inicilmente, todo estdo de são tivdos; 8

9 AFND Prof. Yndre Mldondo - 25 Alterntivs pr processr um únic cdei; Se o processmento de um cdei não levr o estdo finl por um cminho, deve-se tentr por outros cminhos (se houverem); Se lgum dos cminhos possíveis levr cdei x um estdo finl, então el fz prte d lingugem definid pelo utômto. AFND Prof. Yndre Mldondo - 26 A cdei é rejeitd se prtir de nenhum estdo inicil for possível tingir um estdo finl o término do processmento; A função δ gor é definid S x Σ ρ(s), onde cd elemento do contrdomínio (ρ(s)) é um conjunto de estdos pertencentes S; AFND Exemplo d função: δ(s,) = {R, T} Prof. Yndre Mldondo - 27 S Se o estdo S estiver tivo e letr for processd, então tnto R qunto T pssrm estr tivos; R T 9

10 AFND Prof. Yndre Mldondo - 28 Se seguirmos por R e não chegrmos um estdo finl, podemos tentr por T; Se lgum ds lterntivs levr um estdo finl, cdei é reconhecid; Se nenhum lterntiv levr um estdo finl, cdei é rejeitd; AFND Prof. Yndre Mldondo - 29 Ao processr um letr, tods s trnsições rotulds com quel letr, prtir de todos os estdos tivos serão efetuds; Então, podemos novmente oservr que podemos ter vários estdos tivos o mesmo tempo, o contrário dos AFD s. Simulção1 Simulção2 Prof. Yndre Mldondo - 30 AFND AFD Equivlênci entre AFD e AFND A clsse dos AFD s é equivlente à clsse dos AFND s. Assim, pr todo AFD existe um AFND equivlente e vice-vers. Exemplo:, L(A) = {w w {,} * w possui como sufixo} S 0 S S 1 2 S f S 0 S S 1 2 S f 10

11 Exercício Prof. Yndre Mldondo - 31 Constru um AFD e um AFND pr seguinte lingugem: L(A) = {w w {,} * w possui como suplvr},, AFND AFD S 0 S 1 S f S f, Trnsformção de AFND em AFD Prof. Yndre Mldondo - 32 Pr todo AFND existe um AFD equivlente; Ddo um AFND A=<Σ, S,, δ, F>, define-se o AFD A d =<Σ, S d, S d 0, δd, F d > equivlente d seguinte form: S d = ρ(s) S d 0 = Conjunto de tods s cominções de estdos de S F d : tods s cominções de estdos de S d que possui como componente lgum estdo de F; Sej Q S d, δ d (Q,) vi levr à um estdo que corresponde à cominção de todos os estdos que podem ser lcnçdos o processr o símolo prtir de qulquer componente de Q. Trnsformção de AFND em AFD Exemplo 1 Ddo o AFND: Cri-se inicilmente um estdo pr cd cominção possível de estdos do AFND. Prof. Yndre Mldondo - 33, S f Estelece-se como estdo inicil cominção correspondente o conjunto de estdos iniciis do AFND S f S f Estdos finis: todos que possuem em su cominção lgum dos estdos finis do AFND 11

12 Trnsformção de AFND em AFD Prof. Yndre Mldondo - 34 Crição ds trnsições: δ d (Q,) será igul o estdo que correspond à cominção de todos os estdos que formm o conjunto δ(q,);, S f S f S f Trnsformção de AFND em AFD Prof. Yndre Mldondo - 35 Exercício: É possível prever quntos estdos serão formdos em um AFD otido prtir de um AFND? 2 Q pr um AFD com função de trnsição totl; 2 Q -1 pr um AFD com função de trnsição prcil; Onde Q é o número de estdos do AFND. Mostre como ficri o AFD do exemplo 1 com função de trnsição totl. Trnsformção de AFND em AFD Prof. Yndre Mldondo - 36 Durnte trnsformção de um AFND em um AFD podem ser cridos estdos que fiquem isoldos do(s) estdo(s) inicil(is); Estes podem simplesmente ser elimindos; Exercício: trnsforme o AFND descrito seguir em AFD.,, AFND S 0 S 1 S f 12

13 Minimizção de AFD Prof. Yndre Mldondo - 37 Dois AFD s A e B são equivlentes, denotdo por A B, se L(A)=L(B); Um utômto mínimo pr um lingugem regulr L é um utômto com o menor número de estdos possível que ceit L; Um AFD A=<Σ, S A, A, δ A, F A > é dito mínimo se pr qulquer AFD B=<Σ, S B, B, δ B, F B > tl que A B, temos que S A S B. Minimizção de AFD Prof. Yndre Mldondo - 38 Pré-requisitos pr minimizção: O Autômto deve ser determinístico; Não pode ter estdos incessíveis prtir do estdo inicil; A função de trnsição deve ser totl (tods s síds devem ser prevists pr todos os estdos). Pr este último requisito, muits vezes é necessário introduzir um estdo S trsh pr lnçr s trnsições não prevists originlmente. Minimizção de AFD Prof. Yndre Mldondo - 39 A estrtégi consiste fundir estdos equivlentes * num mesmo estdo; Pr isto, são identificdos estdos nãoequivlentes e, por exclusão, encontrse os equivlentes; Utiliz-se um tel tringulr que possui um cruzmento pr cd pr de estdos distintos do utômto (incluindo S trsh qundo este é crescentdo). * Dois estdos são equivlentes se, o processrem um mesm cdei, mos chegm estdos finis, ou mos chegm estdos não finis. 13

14 Minimizção de AFD Supondo um utômto com S = {,,..., S n-1, S n, S trsh } Prof. Yndre Mldondo S n S trsh... S n-1 S n Estdos não equivlentes serão sinlizdos, o finl do processo, os cruzmentos em rnco deverão indicr estdos equivlentes. Minimizção de AFD Prof. Yndre Mldondo - 41 Inici-se mrcção pelos estdos trivilmente não-equivlentes; Dois estdos são trivilmente nãoequivlentes se um é finl e o outro não; Minimizção de AFD Exemplo Considere o seguinte AFD e su tel de cruzmentos de estdos: Prof. Yndre Mldondo - 42 Estdos trivilmente não-equivlentes 14

15 Minimizção de AFD Prof. Yndre Mldondo - 43 Análise dos pres ind não mrcdos: Verificr se cd pr de estdos não mrcdo lev, o processr um mesmo símolo, à estdos nãoequivlentes; Nest etp os pres serão mrcdos com o símolo. Minimizção de AFD Prof. Yndre Mldondo - 44 Análise dos pres ind não mrcdos: {, }? δ(, )= δ(, )= {, }? δ(, )= δ(, )= {, }? {, } {, } Minimizção de AFD Análise dos pres ind não mrcdos: {, }? δ(, )= δ(, )= δ(, )= δ(, )= {, }? Prof. Yndre Mldondo - 45 {, } {, } {, } 15

16 Minimizção de AFD Prof. Yndre Mldondo - 46 Análise dos pres ind não mrcdos: {, }? δ(, )= δ(, )= {, } = δ(, )= δ(, )= {, }? {, } {, } {, } Minimizção de AFD Prof. Yndre Mldondo - 47 Análise dos pres ind não mrcdos: {, }? δ(, )= δ(, )= {, } = δ(, )= δ(, )= {, } = {, } Minimizção de AFD Prof. Yndre Mldondo - 48 Análise dos pres ind não mrcdos: {, }? δ(, )= δ(, )= {, }? δ(, )= δ(, )= {, }? {, } 16

17 Minimizção de AFD Prof. Yndre Mldondo - 49 Análise dos pres ind não mrcdos: {, }? δ(, )= δ(, )= {, }? δ(, )= δ(, )= {, }? {, } {, } Minimizção de AFD Prof. Yndre Mldondo - 50 Conclusão Não foi identificd não-equivlênci entre os pres: x e x ; Assim, estes pres podem ser fundidos em um único estdo; Minimizção de AFD Fusão dos pres x e x: Prof. Yndre Mldondo - 51 x3,, x5 17

18 Minimizção de AFD Prof. Yndre Mldondo - 52 Critério usdo pr mrcção dos estdos não-equivlentes: Pr cd pr {S u, S v } não mrcdo e pr cd símolo Σ, suponh que δ(s u, )=R u e δ(s v, )=R v : Se R u = R v, então S u e S v são equivlentes e, pr o símolo não deve ser mrcdo; Se R u R v e o pr {R u, R v } não está mrcdo, então {S u, S v } é incluído em um list prtir de {R u, R v } pr posterior nálise; Se R u R v e o pr {R u, R v } está mrcdo, então: {S u, S v } é não equivlente e deve ser mrcdo; Se {S u, S v } enceç um list de pres, então todos os pres d list devem ser mrcdos. Minimizção de AFD Prof. Yndre Mldondo - 53 N unificção de estdos equivlentes: Conjuntos de estdos finis equivlentes podem ser unificdos como um único estdo finl; Conjuntos de estdos não-finis equivlentes podem ser unificdos como um único estdo não-finl; Se lgum dos estdos equivlentes é inicil, então o correspondente estdo unificdo é inicil. Biliogrfi Prof. Yndre Mldondo - 54 MENEZES, Pulo Bluth. Lingugens Formis e Autômtos. Porto Alegre: Editor Sgr-Luzztto, 1998; DELAMARO, Márcio Edurdo. Lingugens Formis e Autômtos. UEM, 1998; HOPCROFT, J. E., ULLMAN, J. D. e MOTWANI, R. Introdução à Teori de Autômtos, Lingugens e Computção. Rio de Jneiro: Editor Cmpus,