Draft-v Autómatos finitos. 4.1 Autómatos finitos determinísticos

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1 4 Autómtos finitos Neste cpítulo vmos introduzir outrs estruturs que permitem crcterizr s lingugens regulres. A principl vntgem, dests novs estruturs, sore representção com expressões regulres é de terem, nturlmente, ssocido um lgoritmo que test (em tempo liner) pertenç de um plvr à lingugem que representm. Pr lém dest crcterístic, expressividde prente dos utómtos, isto é, fcilidde com que somos cpzes de os escrever, é muito mior do que ds expressões regulres. 4. Autómtos finitos determinísticos Definição 4. (DFA) Um utómto finito determinístico (DFA) é um quintúplo ordendo hq,,, q,fi em que: Q é um conjunto finito, não vzio, que chmmos o conjunto dos estdos; é um conjunto finito, não vzio, que constitui o lfeto do utómto; é um função totl q, com q 2 Q, éoestdo inicil; : S! S, chmd função de trnsição; F, com F Q, éoconjunto dos estdos finis. Um DFA é muits vezes representdo informlmente por um digrm, por um digrfo com estdos e rcos etiquetdos. Os rcos dos utómtos costumm designr-se por trnsições. Exemplo 4.2 O utómto A = h{q,q }, {, },, q, {q }i com (q,)=q (q,)=q (q,)=q (q,)=q, é representdo pelo seguinte digrm: 33

2 q q O estdo inicil é mrcdo com um set entrr no nó respectivo e os estdos finis com um dupl linh. Uslmente tmém se descreve função de trnsição por um tel onde cd colun corresponde um símolo e cd linh um estdo. Os estdos iniciis são mrcdos com um set e os finis com?. Neste cso, seri! q q q?q q q. Informlmente, pr verificrmos se um dd plvr pertence à lingugem definid por um ddo utómto, se um plvr é reconhecid ou ceite pelo utómto, procedemos d seguinte form:. Começmos por nos situr no estdo inicil do utómto. Aquele que tem, por convenção, um pequen set pontr pr ele. 2. Pr cd um ds letrs d plvr, e por ordem, pssmos pr o estdo do utómto pr o qul pont trnsição com o nome d letr em cus, prtir do estdo em que estmos. 3. Qundo esgotmos s letrs d plvr, usndo o procedimento do psso nterior, o estdo em que nos encontrmos determin o sucesso, ou não, d ceitção d plvr: se o estdo for finl (um dqueles que está representdo com linh dupl) plvr é ceite, e não o é, cso contrário. Pr definir rigorosmente este processo e ssim otermos um definição forml d lingugem ssocid um DFA, comecemos por definir indutivmente, pr cd utómto, seguinte extensão nturl de : em que : Q? -! Q (8q) (q 2 Q ) (q, ) =q) (8q 8 8 ) ((q 2 Q ^ 2 ^ 2? ) ) (q, ) = ( (q, ), )). Definição 4.3 (Lingugem representd por um DFA) Sej A = hq,,, q,fi um DFA. A lingugem L(A) representd por A define-se como (4.) L(A) ={ 2? (q, ) 2 F}. (4.2) Exemplo 4.4 A plvr pertence à lingugem definid pelo utómto A (Exemplo 4.2) porque (q,) = ( (q,),)= (q,) = ( (q,),)= (q,) = ( (q,),)= (q,) = q 2 F. A plvr não pertence à mesm lingugem porque (q,) = ( (q,),)= (q,) = ( (q,),)= (q,) = q /2 F. 34

3 Exercício 3 Sej B lingugem ds plvrs de lfeto {, } que representm em inário números múltiplos de 5.. Descreve um utómto finito determinístico que reconheç est lingugem. 2. Pr o utómto encontrdo, prov que o mesmo reconhece lingugem B. Exercício 3 Consider o utómto finito representdo n figur. q q q 2. Constrói um descrição forml pr este utómto como um tuplo A = hq,,, q,fi; 2. Indic quis ds seguintes plvrs são ceites por este utómto:,, e ; 3. Diz (em português) qul propriedde que um plvr de {, }? têm de ter pr ser ceite por este utómto. Exercício 32 Consider os seguintes utómtos finitos do lfeto = {, }, com s funções de trnsição dds por: A = h{q,q },, A,q, {q }i B = h{q,q,q 2 },, B,q, {q,q 2 }i A(q,)=q A (q,)=q A(q,)=q A (q,)=q B(q,)=q B (q,)=q 2 B(q,)=q 2 B (q 2,)=q. Represent cd um dos utómtos por um digrfo. 2. Diz quis ds seguintes plvrs são ceites por lgum dos utómtos: 3. Diz quis s lingugens reconhecids pelos utómtos. Definição 4.5 (Equivlênci de utómtos) Dois utómtos dizem-se equivlentes se representrem mesm lingugem. Por vezes, por comodidde, relx-se um pouco definição de DFA não exigindo que função : Q! Q sej totl. Ou sej, permitindo que pr lgum estdo não estej definid trnsição pr lgum símolo. Um utómto finito determinístico deste tipo A = hq,,, q,fi em que função de trnsição não é totl, normlmente designdo como não completo, consider-se como revitur do DFA completo, 35

4 A = hq [ {q },,,q,fi em que q /2 Q edefinindo :(Q [ {q }) -! S [ {q } (q, ) 7-! Exemplo 4.6 O seguinte utómto não completo é revitur deste outro utómto ( completo) (q, ) qundo (q, ) está definido q nos outros csos. q q q 2 q q q 2 Exercício 33 Descreve um utómto finito que reconheç lingugem ds plvrs de {, }? que.... não têm nenhum ; 2. são diferentes de ; 3. contêm pelo menos lgum e lgum ; 4. têm comprimento não inferior 2; 5. não contêm como suplvr-plvr; 6. terminm em ; 7. terminm em ms não em ; 8. têm pelo menos dois consecutivos; q 9. terminm em e têm pelo menos dois consecutivos;. têm um número ímpr de ou um número pr de ;,. têm no máximo um pr de e um pr de consecutivos; 2. são representção inári de inteiros positivos múltiplos de 4; 3. são representção inári de inteiros positivos múltiplos de 2 ms não de 3; 4. contêm (lgures) pelo menos três seguidos, ms não contêm dois ou mis seguidos 5. se têm lgum pr de djcentes, este prece ntes de qulquer pr de djcentes; 6. não terminm em nem em ; 7. têm igul número de e e nenhum seu prefixo tem um número de que excede em dois o número de, nem um número de que excede em dois o número de (4.3) 36

5 Exercício 34 Sej A = hq,,, q,fi um utómto finito determinístico e q um estdo de A, tlque (q, )=q, 8 2. Mostr por indução no comprimento de, que8 2?, (q, ) =q. Exercício 35 Descreve um utómto finito determinístico que reconheç lingugem L ds plvrs de lfeto {, } em que não ocorrem sequêncis pres de s imeditmente à esquerd de sequêncis ímpres de s. Exercício 36 Sej L lingugem ds plvrs de lfeto {, } que representm em inário números múltiplos de 5.. Descreve um utómto finito determinístico que reconheç est lingugem. 2. Pr o utómto encontrdo, prov que o mesmo reconhece lingugem L. 4.. O utómto complementr Dd um lingugem representd por um expressão regulr, é reltivmente difícil encontrr expressão regulr que represent su lingugem complementr. Est operção é prticulrmente simples se se trtr de utómtos determinísticos finitos. Exemplo 4.7 Consideremos lingugem, L, ds plvrs de lfeto = {, } que correspondem representções ináris de inteiros múltiplos de 3. Um DFA que represente L pode ser o representdo pelo seguinte digrm: q 5 q q 2 q A lingugem complementr dest, L, lingugem ds plvrs que correspondem inteiros que não são múltiplos de 3, será lingugem gerd pelo utómto nterior, ms em que os estdos finis e estdos não finis form trocdos. Ou sej:, q 4 q 3, 37

6 q 5 q q 2 q Clro que este reconhece como pertencendo L pesr de este não representr um número em inário. Ms isso é consequênci d form como definimos lingugem. Teorem 4.8 (complementr dum lingugem dd por um DFA) O complementr de um lingugem dd por um DFA é tmém um lingugem representável por um DFA. Pr lém disso se L = L(A) pr um DFA completo A = hq,,, q,fi, então lingugem complementr L = L(A) com, A = hq,,, q,s\ Fi. Dem. A demonstrção é trivil pois, pel Definição 4.3, 4..2 O utómto produto q 4 q 3 2 L, 62 L, (q, ) 62 F, (q, ) 2 S \ F, 2L(A). Sejm A = hs,,,i,f i e A 2 = hs 2,, 2,i 2,F 2 i dois utómtos finitos determinísticos. Vmos construir um utómto produto A 3 que vi simulr o funcionmento simultâneo de A e A 2. Est construção vi permitir encontrr um DFA que represente L(A ) [L(A 2 ), o mesmo se pssndo pr L(A ) \L(A 2 ). Formlmente, A 3 = hs 3,, 3,i 3,F 3 i onde, S 3 = S S 2 = {(q,q 2 ) q 2 S e q 2 2 S 2 } i 3 = (i,i 2 ) 3((q,q 2 ),) = ( (q,), 2(q 2,)) 8 q 2 S,q 2 2 S 2,2 AdefiniçãodeF 3 indicrá se lingugem de A 3 será intersecção ou reunião ds lingugens de A edea 2. Se definirmos F 3 = F F 2 = {(q,q 2 ) q 2 F ^ q 2 2 F 2 } O utómto A 3 vi ceitr um plvr se e só se A e A 2 tmém ceitrem, i.e., L(A ) \ L(A 2 )= L(A 3 ). 38

7 Exercício 37 Mostr por indução em, que8 2?, 3 ((q,q 2 ), )=( (q, ), 2(q 2, )) Proposição 4.9 L(A 3 )=L(A ) \ L(A 2 ). Dem. 2 L(A 3 ) () 3(i 3, ) 2 F 3 () 3((i,i 2 ), ) 2 F F 2 () ( (i, ), 2(i 2, )) 2 F F 2 () (i, ) 2 F ^ 2(i 2, ) 2 F 2 () 2 L(A ) ^ 2 L(A 2 ) () 2 L(A ) \ L(A 2 ). Como no cso d construção por suconjuntos pr otenção de um utómto finito determinístico equivlente um não determinístico (ver Secção 4.2), construção d função de trnsição pode só envolver os estdos do utómto produto que são tingíveis do estdo inicil. Exemplo 4. Consider os seguintes utómtos finitos determinísticos: A A 2, c, q q q q, c? ( + )? (( + c)+? ( + c))?? Como os utómtos não têm o mesmo lfeto, ntes de clculr o utómto produto é necessário trnsformr o primeiro utómto sem mudr lingugem representd por ele. q q c A A 2 q 2 c,, c,, c q q Sejm então A = hs, {,, c},,q,,f ) e A 2 = hs 2, {,, c}, 2,q,,F 2 i onde S = {q,q,q 2 }, S 2 = {q,q }, F = {q }, F 2 = {q }, e s funções de trnsição e 2 são respectivmente, c! q q q q 2?q q q q 2 q 2 q 2 q 2 q 2, c 2 c! q q q q?q q q q 39

8 Pr o utómto produto A 3 = hs 3, {,, c}, 3, (q,q ),F 3 i,tem-se S 3 = {(q,q ), (q,q ), (q 2,q ), (q,q ), (q,q ), (q 2,q )} e função delt 3 é dd por 3 c! (q,q ) (q,q ) (q,q ) (q 2,q ) (q,q ) (q,q ) (q,q ) (q 2,q ) (q 2,q ) (q 2,q ) (q 2,q ) (q 2,q ). (q,q ) (q,q ) (q,q ) (q 2,q ) (q,q ) (q,q ) (q,q ) (q 2,q ) (q 2,q ) (q 2,q ) (q 2,q ) (q 2,q ) Se o utómto produto representr intersecção ds lingugens de A e A 2, temos que F 3 = F F 2 = {(q,q )}. O digrm do utómto produto A 3 é: (q,q ) (q,q ) (q,q ) c A 3 c c (q,q ) (q 2,q ) (q 2,q ), c O utómto A 3 ceit lingugem constituíd pels plvrs de lfeto {,, c} que têm lgum, terminm em e não têm c s. Se num utómto produto se modificr o vlor de F 3 podemos oter um utómto que reconhece reunião ds lingugens de A e A 2. O utómto A 3 ceit um plvr se pelo menos um dos utómtos A ou A 2 ceitr: F 3 = {(q,q 2 ) q 2 F ou q 2 2 F 2 }. c, c Proposição 4. L(A 3 )=L(A ) [ L(A 2 ). 4

9 Exercício 38 Demonstr Proposição 4.. Exemplo 4.2 Pr o exemplo do Exercício 4. pr se oter um utómto pr reunião d lingugens, A 3, st considerr o conjunto de estdos finis constituído pelos pres em que pelo menos um dos estdos sej finl, O digrm do utómto d reunião A 3 fic: F 3 = {(q,q ), (q,q ), (q,q ), (q 2,q )}. (q,q ) (q,q ) (q,q ) c A 3 c c (q,q ) (q 2,q ) (q 2,q ) Exemplo 4.3 Consider os seguintes utómtos finitos determinísticos:, c c, c A A 2 q q q q q 2,, q 2,, A função de trnsição pr o utómto produto é: 4

10 3! (q,q ) (q,q 2 ) (q 2,q ) (q,q 2 ) (q 2,q 2 ) (q 2,q 2 ) (q 2,q ) (q 2,q 2 ) (q 2,q 2 ) (q 2,q 2 ) (q 2,q 2 ) (q 2,q 2 ) O utómto pr intersecção A \ reconhece lingugem {} \ {} (ou sej, ;) e o d reunião A [, reconhece lingugem {} [ {}. Os digrms pr o utómto d intersecção e d reunião, são respectivmente: A \ A [ (q,q ) (q,q 2 ),, (q 2,q ) (q 2,q 2 ), (q,q ) (q,q 2 ), (q 2,q ) (q 2,q 2 ) Exercício 39 Exemplific tods s construções nteriores considerndo s lingugens A = {} e B = {} de lfeto {, } e os respectivos utómtos. 4.2 Autómtos finitos não determinísticos (NFA) Muits vezes, pr fcilidde forml de demonstrção ou por um expressividde mis evidente, optmos por outro tipo de utómtos finitos, os utómtos não determinísticos, pr representr lingugens regulres. Estes, como vmos ver, têm um composicionlidde evidente, tornndo s operções elementres ds expressões regulres (conctenção, disjunção e fecho de Kleene) em trnsformções simples nest clsse de utómtos. Em vez de termos um utómto, em que não temos que tomr decisões sore qul o cminho que vmos tomr o ler um plvr, pssmos ter um utómto em que de um estdo, e lendo um ddo símolo, podemos ir pr diversos estdos. Mesmo o estdo em que começmos ler um plvr pode não ser único. Um NFA pode ter um conjunto não singulr de estdos iniciis e o estdo que se us pr começr ler um plvr é um ds escolhs que temos que fzer. Definição 4.4 (NFA) Um utómto finito não determinístico (NFA) é um quíntuplo ordendo hs,,, I, Fi em que: S é um conjunto finito, não vzio, que chmmos o conjunto dos estdos; é um conjunto finito, não vzio, que constitui o lfeto;,, é um função prcil : S! P(S), chmd função de trnsição; 42

11 I, com I S e I 6= ;, é o conjunto de estdos iniciis; F, com F S, é o conjunto dos estdos finis. Exemplo 4.5 Consider o NFA A = h{q,q }, {, },, {q }, {q }i com (q,)={q,q } (q,)={q }, q q Como o estdo do utómto, resultnte d leitur de um plvr, pss ser então dependente d (ou ds) escolh(s) que tenhmos feito o longo desse processo, dizemos que um plvr é ceite por um NFA, se existir um conjunto de escolhs que nos conduz um estdo finl. Pr cptr est possiilidde de escolh dos diversos percursos que podemos percorrer com leitur de um mesm plvr, função de trnsição de um NFA, não fz corresponder cd pr (estdo, letr) um só novo estdo ms sim um conjunto de estdos. A função de trnsição estendid vi fzer corresponder pr cd plvr, não um conjunto de estdos pr cd estdo de prtid, ms um conjunto de estdos pr cd conjunto de estdos que represent s diverss situções resultntes ds diferentes possíveis escolhs té í feits. Então, d mesm form que foi feito pr os utómtos determinísticos (DFA) podemos definir um função de trnsição estendid : P(S)? -! P(S) com seguinte definição recursiv: (8X) (X 2P(S) ) (X, ) =X) (8X 8 8 ) ((X 2P(S) ^ 2 ^ 2? ) ) (X, ) = ( [ s2x Em prticulr, pr qulquer X 2P(S) e 2, temos que (X, )= S s2x Podemos então definir lingugem representd por um NFA. (s, (s, ). ), )). Definição 4.6 (Lingugem representd por um NFA) Sej A = hs,,, I, Fi um NFA. A lingugem L(A) representd por A define-se como em que é definid como trás. (4.4) L(A) ={ 2? (I, ) \ F 6= ;}, (4.5) Um outr formulção pode ser dd est Definição 4.6 que, por vezes, se torn stnte cómod pr provr certs proposições. Em vez de utilizrmos os possíveis conjuntos de estdos correspondentes àvliçãosucessivde (I, ), podemos referir directmente o conjunto de estdos que conduzem, com sucesso, vlição de um plvr de um estdo inicil um estdo finl. Lem 4.7 Sej A = hs,,, I, Fi um NFA e = ?, é condição necessári e suficiente pr que 2L(A), que (9q,q,...,q 2 S) (q 2 I ^ q 2 F ^ (8i 2 [, [ q i 2 (q i-, i))). (4.6) Dem. A demonstrção si direct, d Definição 4.6 e do enuncido do lem. 43

12 Exercício 4 Demonstr o Lem 4.7. O lem seguinte mostr que leitur de um plvr tnto pode ser feit d esquerd pr direit como d direit pr esquerd. Lem 4.8 Sej A = hs,,, I, Fi um NFA e 2? com = pr lgum 2? e 2. Então, pr qulquer conjunto de estdos X S, (X, ) = ( (X, ), ). Dem. A demonstrção segue por indução sore o comprimento de. Se = proposição não fz sentido, pelo que comecemos por provr pr de comprimento unitário, ou sej pr 2. Nesse cso temos trivilmente que, pr qulquer conjunto de estdos X, (X, ) = ( (X, ), ). Suponhmos, então, que pr qulquer plvr, com <n,sesetiver = então, pr qulquer conjunto de estdos X, (X, )= ( (X, ), ). Sejentão um plvr tl que = n e =. Então sej 2 e 2? tl que =. Então = com <n. Então (X, ) = (X, = ( (X, = ( ( (X, = ( (X, ) = ( (X, ), ). ), ) (pel definição de (4.4)) ), ), ) (pel hipótese de indução) ), ) (pel definição de (4.4)) Portnto o Lem é válido pr qulquer plvr de qulquer comprimento. Definição 4.9 (lingugem revers) Sej L um lingugem de lfeto, er :?!? função dd pel seguinte definição indutiv (ver 2.): (8 )( 2 [ {} ) R = ) (8 8 ) (( 2 ^ 2? ) ) ( ) R = R ). A lingugem L R é lingugem de lfeto, definid como: L R = { 2? R 2 L}. Definição 4.2 (utómto reverso) Sej A = hs,,, I, Fi um NFA, definimos como o seu utómto reverso, o NFA A R = hs,, R,F,Ii com Proposição 4.2 Sej A um NFA, então R : S -! P(S) (s, ) 7-! {x 2 S (x, ) 3 s} L(A) R = L(A R ). Dem. A demonstrção é trivil, usndo o Lem

13 Exemplo 4.22 Consideremos o NFA (neste cso té um DFA) ddo pelo digrm seguinte, que represent lingugem ds plvrs de lfeto = {, } que têm como prefixo: q q q 2 q 3, A lingugem ds plvrs, com o mesmo lfeto, que têm como sufixo, tem o seguinte NFA como representnte., q q q 2 q 3 Exercício 4 Demonstr Proposição 4.2. Teorem 4.23 (Método de construção de suconjuntos) Sej A um utómto finito não determinístico, então existe um utómto finito determinístico A tl que L(A) =L(A ). Dem. Sej A = hs,,, I, Fi o NFA. Consideremos o DFA A = hp(s),, e F = {X S X \ F 6= ;} : P(S) -! P(S) (X, ) 7-! [ s2x (s, ).,I,F i em que É trivil verificr que este novo DFA está em definido. Necessitmos de provr somente equivlênci entre os dois utómtos. Comecemos por definir : P(S)?! P(S), indutivmente, como (X, ) = X (X, ) = ( (X, ), ), e provemos, por indução sore o comprimento de ( 2? ), que (I, ) = Se =, e portnto =, tem-se, pel definição, que (I, ). (I, ) =I = (I, ). Suponhmos então que (8 ( <n =) (I, ) = (I, ))). 45

14 Sej 2? com = n. Então = pr lgum 2? com = n -. Logo L(A) =L(A ). (I, ) = (I, ) = ( (I, ), ) (pelo Lem 4.8) = ( (I, ), ) (pel hipótese de indução) [ (s, ), A (pel definição de ) = s2 (I, ) [ s2 (I, ) = ( (I, ), ) = (I, ) = (I, ) (s, ) (pel definição de ) Exemplo 4.24 Consideremos o NFA representdo pelo seguinte digrm: q q q 2 q 3 q 4 Este utómto represent lingugem ds representções ináris que correspondem inteiros que não são múltiplos de 3, conctend com lingugem ds plvrs que começm com um etêmum número ímpr de s. Pr otermos um DFA equivlente este NFA, prossigmos com construção dos suconjuntos que result do Teorem nterior. Tem-se {q } {q } {q } {q } {q 2 } {q,q 3 } {q 2 } {q } {q 2,q 3 } {q,q 3 } {q,q 4 } {q,q 3 } {q 2,q 3 } {q,q 4 } {q 2,q 3 } {q,q 3 } {q 2,q 4 } {q,q 3 } {q,q 4 } {q,q 3 } {q,q 4 } {q,q 4 } {q 2,q 3 } {q,q 3,q 4 } {q 2,q 4 } {q,q 3 } {q 2,q 3,q 4 } {q,q 3,q 4 } {q,q 3,q 4 } {q,q 3,q 4 } {q,q 3,q 4 } {q 2,q 3,q 4 } {q,q 3,q 4 } {q 2,q 3,q 4 } {q,q 3,q 4 } {q 2,q 3,q 4 } 46

15 O estdo inicil é o estdo {q }, e são finis todos os estdos cujo nome pertence q 4. O digrm do DFA resultnte é, então, o seguinte. {q } {q } {q 2 } {q 2,q 3 } {q,q 3 } {q,q 3 } {q,q 4 } {q,q 4 } {q 2,q 4 } {q,q 3,q 4 } {q,q 3,q 4 } {q 2,q 3,q 4 } Exercício 42 Consider os utómtos finitos não-determinísticos representdos pelos seguintes digrms: A: B: Diz quis ds seguintes plvrs são ceites por A ou B: Exercício 43. Constrói um utómto finito não-determinístico que reconheç lingugem do lfeto = {, } ds plvrs com um n terceir posição contr do fim. 2. Consider o seguinte utómto finito não-determinístico representdo pelo seguinte digrm: 47

16 , Converte, pel construção dos suconjuntos, o utómto num utómto finito determinístico. 3. Sej A o utómto finito de lfeto {,, c} representdo pelo digrm seguinte.,, c 2 3 ) Qul é lingugem reconhecid pelo utómto A? Porquê? ) Usndo o método d construção de suconjuntos, determin um utómto determinístico que sej equivlente A. c) Record que se um ddo utómto determinístico hs,,, q,fi em que é um função totl (não encrv), reconhece L, então o utómto hs,,, q,s\ Fi reconhece? \ L (isto é, lingugem complementr de L). Por que é que lingugem reconhecid pelo utómto seguinte não é complementr d lingugem reconhecid por A?,, c Autómtos não determinísticos com trnsições por (NFA) Por vezes, sej pel su expressividde intrínsec sej por fcilitr construções formis, usmos NFAs que dmitem trnsições por. À clsse destes utómtos designmos normlmente por NFA. Num NFA, de um estdo seu não só podem prtir trnsições por um mesmo símolo pr diversos estdos (como num NFA) como podem existir trnsições pr outros estdos, que em vez de consumirem um crcter de, consomem. Qundo do estdo q temos um trnsição por pr o estdo q 2,isso signific que qundo chegmos q ( vindos de outro estdo) podemos optr por ir (ou não) pr o estdo q 2, sem que pr isso tenhmos que consumir lgum crcter. Exemplo 4.25 O NFA seguinte represent o Fecho de Kleene d lingugem ds representções ináris dos inteiros congruentes com 2, módulo 3. 48

17 q q q 2 Definição 4.26 (NFA) Um utómto finito não-determinístico com trnsições por (NFA) éum quíntuplo ordendo hs,,, I, Fi em que S é um conjunto finito, não vzio, que chmmos o conjunto dos estdos; é um conjunto finito, não vzio, que constitui o lfeto; é um função prcil : S [ {}! P(S), chmd função de trnsição; I, com I S e I 6= ;, é o conjunto de estdos iniciis; F, com F S, é o conjunto dos estdos finis. O conceito de Fecho por, seguir formlizdo, corresponde o conjunto de estdos que se podem tingir prtir de um ddo estdo vijndo somente por trnsições por. Definição 4.27 (Fecho por de um conjunto de estdos) Sej A = hs,,, I, Fi um NFA, esej X S um conjunto de estdos de A. Definimos indutivmente o seguinte conjunto: F (X) = X, F (X) = [ (s, ), s2x [ F n (X) = (s, ). Então o fecho por de X (F (X)) fic definido como: s2f n- (X) F (X) = [ n F n (X). Como se trt de um utómto finito, isto é, com um número finito de estdos, este conjunto está trivilmente em definido. Qundo X = {s} tmém se denomin F (X) por fecho por de s e pode-se designr por F (s). Exemplo 4.28 Considerndo o NFA do Exemplo 4.25 podemos clculr F ({q }). Tem-se F ({q }) = {q }, F ({q }) = (q,) = {q,q 3 }, F 2 ({q }) = (q,) [ (q 3,) = {q } q 3 49

18 Donde, F ({q })= S 2 n= Fn ({q })={q,q,q 2 }. Pr definir formlmente lingugem representd por um NFA, comecemos, como fizemos pr os NFA, por estender função de trnsições. Então, sej A = hs,,, I, Fi um NFA, definimos como com seguinte definição recursiv: : P(S)? -! P(S) (8X)(X 2P(S) ) (X, ) =F (X)), [ (8X 8 8 )((X 2P(S) ^ 2 ^ 2? ) ) (X, ) = F ( (s, com F (X) como está definido em Definição 4.29 (lingugem representd por um NFA) Sej A = hs,,, I, Fi um NFA. A lingugem, L(A), representd por A define-se como em que e F são definidos como trás. s2x )), L(A) ={ 2? (F (I), ) \ F 6= ;}, (4.7) Podemos, como fizemos pr conversão de NFAs em DFAs, plicr definição de lingugem representd por um NFA pr oter um lgoritmo que encontre um DFA equivlente. Em vez disso, vmos usr definição de fecho por de um estdo pr oter um trnsformção de um NFA num NFA equivlente. Teorem 4.3 Ddo um NFA A,existeumNFA,A, tl que L(A) =L(A ). Dem. Sej A = hs,,, I, Fi onfa. Consideremos o NFA A = hs,, : S -! P(S) (s, ) 7-! [ s 2F (s) (s, ) A.! ),,F (I),Fi em em que ONFAA está trivilmente em definido, e equivlênci dos utómtos segue directmente ds definições ds lingugens representds por estes utómtos, respectivmente 4.29 e 4.6. Em muitos csos, e em especil pr simplificr s demonstrções, é conviniente considerr NFAs com um só estdo inicil e um só estdo finl. O Lem seguinte mostr que tl é sempre possível. Lem 4.3 Sej A = hs,,, I, Fi um NFA, existeumnfa, A = hs,,,i,f i, equivlente A, tl que:. tem somente um estdo inicil I = {s }; 2. não há trnsições que cheguem do estdo inicil (8s 2 S 8 2 )(s 62 (s, ) ^ s 62 (s, )); 3. tem somente um estdo finl F = {s f }; 4. não há trnsições que prtm do estdo finl ( (s f,)=;) ^ (8 2 (s f, )=;). 5

19 Um utómto que verifique ests proprieddes denomin-se normlizdo. Dem. Se o utómto A já estiver ns condições requerids, nd há demonstrr. Cso isso não conteç, sej S = S [ {s,s f }, com s,s f 62 S. Fçmos I = {s } e F = {sf } e tomemos como extensão de : S -! S s 2 S, 2 [ {} (s, ) 7-! (s, ) (s,) 7-! F (I) s 2 F (F) (s, ) 7-! {s f}. 4.4 Sistems de Equções de Lingugens Sej A = hq,,, I, Fi um NFA (ou NFA ou DFA). A lingugem esquerd de um estdo q de A é o conjunto de plvrs que levm o utómto dum estdo inicil esse estdo. De modo nálogo lingugem direit é o conjunto de plvrs que são ceites pelo utómto se começr funcionr nesse estdo, i.e. é lingugem do utómto hq,,, {q},fi Formlmente temos, Definição 4.32 (lingugem direit) Sej A = hq,,, I, Fi um utómto finito e q um seu estdo. A lingugem direit de q é D s = { 2? (q, ) 2 F }. Definição 4.33 (lingugem esquerd) Sej A = hq,,, I, Fi um utómto finito e q um seu estdo. A lingugem esquerd de q é E q = { 2? q 2 (I, ) }. As lingugens esquerds de qulquer utómto finito stisfzem um sistem de equções de lingugens. Teorem 4.34 Sej A = hq,,, I, Fi um utómto finito onde Q = {q,...,q n } e = {,..., Sej E qi lingugem esquerd de cd estdo q i 2 Q esej Então temos que E ij = [ q i2 (q k, j) E qk. E qi = Temos tmém que L(A) = S q i2f E q i. S S j2 E ij { j }, se q i /2 I j2 E ij { j } [ {}, se q i 2 I. Dem. Sej 2E qi pr lgum estdo q i /2 I. Então, por definição q i 2 (I, ). Como q i não é inicil tem pelo menos um letr, sej = j com j 2 e 2?. Então existe um q k 2 (I, ) tl que q i 2 (q k, j). Temos então que 2 E qk E ij. Logo 2 E ij { j } o que mostr que E qi S j2 E ij { j }. Mostremos gor outr inclusão. Suponhmos que 2 E ij { j } pr lgum j 2 e q i 2 Q. Então = j com 2 E ij,istoé,existeq k tl que 2E qk, com q k 2 (I, ) (4.8) k}. (4.9) 5

20 etmémq i 2 (q k, j). Então q i 2 ( (I, ), j) = (I, ). Concluímos, ssim, que 2E qi,oque mostr que S j2 E ij { j } E qi. Se q i 2 I então por definição q i 2 (I, ) o que mostr que 2E qi. Finlmente é evidente que 2L(A) se e só se existe um estdo finl q i 2 F tl que 2E qi. Exemplo 4.35 Considerndo o NFA do Exemplo 4.24 temos s seguintes igulddes e L(A) =E s4. E s = E s {} [E s {} [ {} E s = E s2 {} [E s {} E s2 = E s {} [E s2 {} E s3 = E s4 {} [ (E s [E s2 [E s3 ){} E s4 = E s3 {} [E s4 {} As lingugens direits de qulquer utómto finito stisfzem tmém um sistem de equções de lingugens. Teorem 4.36 Sej A = hs,,, I, Fi um utómto finito onde S = {q,...,q n } e = {,..., D qi lingugem direit de cd estdo q i 2 S esej [ L ij = D qk. Então temos que D qi = Temos tmém que L(A) = S q i2i D q i. S S q k2 (q i, j) j2 { j} L ij, se q i /2 F j2 { j} L ij [ {}, se q i 2 F. k}. Sej (4.) Dem. Sej 2D qi pr lgum estdo q i /2 F. Então, por definição (q i, ) \ F 6= ;. Como q i não é finl tem pelo menos um letr, sej = j com j 2 e 2?. Então existe um q k 2 (q i, j) tl que (q k, ) \ F 6= ;. Temos então que 2D qk L ij. Logo 2 { j }L ij o que mostr que D qi S j2 { j} L ij. Mostremos gor outr inclusão. Suponhmos que temos 2 { j }L ij pr lgum j 2 e q i 2 S. Então = j com 2 L ij,istoé,existeq k 2 (q i, j) tl que 2D qk. Por definição, (q k, ) \ F 6= ;. Como (q i, )= ( (q i, j), ), temos que (q k, ) (q i, ) e portnto (q i, ) \ F 6= ;. Concluímos, ssim, que 2D qi, o que mostr que S j2 { j} L ij D qi. Se q i 2 F então por definição q i 2 (q i,) o que mostr que 2D qi. Finlmente é evidente que 2L(A) se e só se existe um estdo inicil q i 2 I tl que 2D qi. Exemplo 4.37 Considerndo o NFA do Exemplo 4.24 temos s seguintes igulddes D s = {}D s [ {}D s D s = {}D s2 [ {}(D s [D s3 ) D s2 = {}D s [ {}(D s2 [D s3 ) D s3 = {}D s4 [ {}D s3 D s4 = {}D s3 [ {}D s4 [ {} 52

21 e L(A) =D s. 4.5 Equivlênci entre Lingugens Regulres e Lingugens Aceites por Autómtos Finitos As lingugens ceites por utómtos finitos são precismente s lingugens regulres, i.e. s descrits por expressões regulres. Teorem 4.38 (Kleene[Kle56]) Um lingugem é reconhecível por um utómto finito se e só se for regulr. Ou sej, o conjunto ds lingugens representds pels expressões regulres é o mesmo que o representdo por DFA. Pr demonstrção deste teorem é necessário mostrr que: Qulquer lingugem descrit por um expressão regulr é ceite por um utómto finito. Qulquer lingugem ceite por um utómto finito é descrit por um expressão regulr. Existem vários modos de conversão entre estes dois modelos. Vmos pr cd cso nlisr lguns e indicr quis s sus crcterístics e vntgens De Expressões Regulres pr Autómtos Finitos Neste cso temos de demonstrr que: Teorem 4.39 Sej L um lingugem representd por um expressão regulr r, L = L(r)), então existe um DFA A, tl que L = L(A). Pretendemos oter pr cd expressão regulr r um DFA equivlente. Alguns dos métodos convertem expressão regulr r num utómto finito não determinístico equivlente, NFA. Como, pelo Teorem 4.23 presentdo n Secção 4.2, podemos trnsformr este NFA num DFA, temos construído o utómto pretendido. As conversões distinguem-se ind pelo fcto dos NFAs otidos terem ou não trnsições por. Temos, entre outros, os seguintes lgoritmos ( que hitulmente se ssoci um utómto com o mesmo nome): Algoritmo de Thompson: produz um NFA. Algoritmo de Brzozowski: produz um DFA, denomindo utómto de derivvs. Algoritmo de Glushkov: produz um NFA, denomindo utómto de posições. Algoritmo de Antimirov: produz um NFA, denomindo utómto de derivds prciis. Vmos considerr os dois primeiros: lgoritmo de Thompson e lgoritmo de Brzozowski Algoritmo de Thompson O lgoritmo de Thompson [Tho68] constrói um NFA indutivmente n definição ds expressões regulres. Pr cd regr indutiv d Definição 3.2, e supondo que temos um NFA correspondente cd um ds expressões regulres (se for esse o cso) constituintes, mostrmos como se pode construir um NFA que corresponde à expressão regulr finl. Construmos então cd um dos NFAA r correspondentes cd 53

22 um ds expressões regulres r otids pels regrs de 3.2. Em cd cso supomos conhecido o lfeto,. De notr, que depois d plicção de cd psso deste método, o utómto resultnte está normlizdo como indicdo no Lem 4.3, isto é, possui um só estdo finl do qul não prtem trnsições, ssim como um estdo inicil o qul não cheg qulquer trnsição. Pelo que fic ssegurd plicilidde recursiv do método. i) r = ; A ; : ii) r = A : iii) r =, 2 A : s s iv) r = r + r 2 A r+r 2 : v) r = r r 2 A rr 2 : vi) r = r? A r? : s s s A r s s A s r2 s A s r s A s r2 s s s A r s s O Algo- Proposição 4.4 (Correção do Algoritmo de Thompson) Sej r um expressão regulr. ritmo de Thompson produz um NFA A r tl que L(r) =L(A r ). s Dem. A correção de cd um ds construções é simples à luz d definição de lingugem ssocid um expressão regulr (ver tmém Definição 3.2). i) r = ; Neste cso L(r) =; e A ; = h{s },,, {s }, ;i. Como o conjunto de estdos finis é vzio temos L(A ; )=; = L(r).. ii) r = Neste cso L(r) ={} e A = h{s },,{s },, {s }i. Como função de trnsição não está definid pr nenhum pr (estdo,símolo), ms o estdo inícil é finl temos, pel definição de,quel(a )={} = L(r). 54

23 iii) r =, 2 Neste cso L(r) ={ } e A = h{s,s },,{s,s },, {s }i, com (s, i = {s }. Pel função de trnsição esendos um estdo finl, temos que L(A )={ } = L(r). iv) r = r + r 2 Sej A r = hs,,, {s }, {s }i e A r 2 = hs,,, {s }, {s )= L(r ) [L(r 2 ) e, por hipótese de indução, L(r ) = L(A r ) e L(r 2 ) = L(A r2 ). Sej A r = hs,,, {s }, {s }i, com S = S [ S [ {s,s } função é definid por: (s,)={s,s } (s,)={s } e (s,)={s } pr s 2 S e 2 [ {}, (s, )= (s, ). pr s 2 S e 2 [ {}, (s, )= (s, ). Queremos provr que L(r) =L(A r ). Se 2L(r) então 2L(r ) ou 2L(r 2 ), e por hipótese de indução 2L(A r ) ou 2L(A r2 ), respectivmente. Se 2L(A r ) então ({s }, ) {s }. E, do mesmo modo, se 2L(A r 2 ) então c ({s }, ) {s }. Em mos os csos, como F ({s })=F ({s })={s }, temos que 2L(A r ). Suponhmos que 2L(A r ). Então, (F ({s }), )= ({s } [ F ({s}) [ F ({s }), ) (F ({s }), ) F ({s }) = {s } Anlogmente, se 2L(A r2 ). Logo L(A r ) [L(A r2 ) L(A r ). Sej 2L(A r ). Então pel definição de lingugem ceite por um NFA, (F ({s }), ) \ {s } 6= ; implic que (F ({s }), )={s }. Suponhmos, por surdo, que 62 L(A r ) e 62 L(A r2 ). Então, (F ({s }), ) 6= {s } e c (F ({s }), ) 6= {s }. Os estdos s e s são os únicos estdos finis de A r e A r2, respectivmente, e dos únicos que se pode chegr s em A r (e sem consumir símolos). Isto é, não se poderi ter s 2 (F ({s }), ) já que (F ({s }), )= ({s,s }, ) e portnto tinhmos /2L(A r ) (surdo!). = F ( (F ({s }), )) [ F ( (F ({s }), )) Ms então L(A r ) L(A r )[L(A r2 ). Concluímos que L(A r )=L(A r )[L(A r2 )=L(r )[L(r 2 )= L(r + r 2 )=L(r). v) r = r r 2 Sej A r = hs,,, {s }, {s }}i e A r 2 = hs,,, {s }, {s }}i. Temos que L(r) =L(r ) L(r 2 ) e, por hipótese de indução, L(r )=L(A r ) e L(r 2 )=L(A r2 ). Sej A r = hs [ S,,, {s }, {s }i, com função é definid por: (s,)={s } Pr s 2 S e 2 [ {}, (s, )= (s, ). Pr s 2 S e 2 [ {}, (s, )= (s, ). 55

24 Queremos provr que L(r) =L(A r ). Sej 2L(r). Então existem, 2? tl que 2L(r ) e 2L(r 2 ).Tem-seque 2L(A r ) e 2L(A r2 ). Como no cso nterior, tem-se que ({s }, )={s } e c ({s }, )={s }. Então, Logo, 2L(A r ) e, ssim, L(r) L(A r ). (F {s }, )= (F {s }, ) = ( (F {s }, ), ) = (F ({s }), ) = (F ({s }), ) = {s } Sej gor 2L(A r ). Então semos que (F {s }, )={s }. Ao reconhecer plvr temos de pssr necessrimente pelo estdo s.sej oprefixode tl que (F ({s }), )= (F ({s }), )={s }. (4.) Não consumindo mis símolos d plvr pode-se pssr, por trnsições por, proestdo s e continur reconhecer o resto d plvr, sej.tem-seque (F ({s }), )= (F ({s }), )={s }. (4.2) Podemos concluir que = tl que 2L(A r ) e 2L(A r2 ),oqueprovquel(a r ) L(A r )L(A r2 )=L(r )L(r 2 )=L(r). vi) r = r? Sej A r = hs,,, {s }, {s }}i e, por hipótese de indução, L(r )=L(A r ). Sej A r = hs [ {s,s },,, {s }, {s }i, com função é definid por: (s,)={s } (s,)={s } (s,)={s } (s,)={s } Pr s 2 S e 2 [ {}, (s, )= (s, ). Temos que F (s ) {s,s,s,s }, F (s ) {s,s,s } e F (s ) {s,s,s }. Queremos provr que L(r) =L(A r ). Sej 2L(r). Se = então, pel definição de, e F (s ),éimeditoque 2L(A r ). Senão, existe n>tl que 2L(r ) n,istoé, =... n tl que i 2L(r ), pple i pple n. Provmos por indução em n, que 2L(A r ).Sen =, então 2L(A r ) e considerndo F (s ) e F (s ) tem-se que 2L(A r). Suponhmos que propriedde se verific pr 2L(r ) m,pr m<n.se 2L(r ) n,então = tl que 2L(r) e 2L(r ) (n-). Como no cso pr n =, tem-seque 2L(A r ), e considerndo o fecho por de s e hipótese de indução tem-se que 2L(A r ). Concluímos que L(r) L(A r ). Sej gor 2L(A r? ).Se = ou 2L(A r ), é imedito pel construção de A r que 2L(r). Cso contrário, = tl que 2 L(A r ) e tem de ter um prefixo 2 L(A r ). Continundo este processo concluí-se que existe n>tl que =... n tl que i 2L(A r ), isto é, i 2L(r ), i pple pple n. Então 2L(r? ). E, concluindo, L(A r? ) L(r? ). 56

25 Exemplo 4.4 Consider expressão regulr (+)(? +? +? )?. Podemos considerr os seguintes su-utómtos: A : A : A? : A? : A + : A? : Denotndo por A? +? +? o utómto otido pel união de A?, A? e A?, e considerndo mis um vez s construções pr conctenção e o fecho de Kleene, otemos o utómto?, correspondente à expressão regulr dd: A (+)(? +? +? ) A s + A s s? +? +? s s Exemplo 4.42 Se plicrmos o método nterior pr oter o utómto não determinístico que reconhece lingugem correspondente à expressão regulr ( + )? ( + ), otemos (depois de eliminds lgums trnsições por e respectivos estdos, pr simplificr): 57

26 s s 2 s 7 s 8 s s 4 s Derivds e Algoritmo de Brzozowski s 3 A noção de derivd dum expressão regulr em relção um símolo, corresponde um representção d lingugem que se otém qundo se retir esse símolo do início ds plvrs d lingugem que expressão regulr represent. Ddo um símolo 2 e um lingugem L? podemos definir lingugem quociente de L por : s 6 - L = { 2 L} (4.3) Começmos por ssocir cd expressão regulr r um função que indic se L(r) contém ou não plvr vzi,. Definição 4.43 (Prte constnte dum expressão regulr) Sej () : RE! RE função constnte que dd um expressão regulr r se define do seguinte modo: (r) = se 2L(r), ; cso contrário. Lem 4.44 A prte constnte (r), dum expressão regulr r pode-se determinr indutivmente pels seguintes regrs: () = (;) =( )=;, < se (r )=, (r + r 2 )= se (r : 2 )=, ; cso contrário. (r.r 2 )= se (r )=(r 2 )=, ; cso contrário. (r? )= Exercício 44 Prov, por indução n estrutur dum expressão regulr, o lem nterior, Lem Definição 4.45 (Derivd de um expressão regulr por um símolo) Sej r um expressão regulr e um símolo de. A derivd de r em relção, denotd por D r é expressão regulr que se otém pel seguinte definição indutiv: s 9 58

27 D = (4.4) D ; =D = D = ; 8 2, 6= (4.5) D (r + r 2 )=D r + D r 2 (4.6) D (r.r 2 )=(D r ).r 2 + (r ).D r 2 (4.7) D r? =(D r ).r? (4.8) Exemplo 4.46 As derivds, em relção e, pr expressão regulr r, ( + )? ( +? ) são s seguintes: D r =D ( + )?.( +? )+(( + )? ).D ( +? ) =D ( + ).r + D ()+D (? ) =.r + ;.r + +.? =r + +? D r =D ( + )?.( +? )+(( + )? ).D ( +? ) =D ( + ).r + D ()+D (? ) =.r + ;.r + ; + ;.? =r É importnte notr que pr oter s derivds considermos o fcto de ser elemento neutro d conctenção e de ; ser elemento neutro d união e elemento sorvente d conctenção (ver Proposição 3.9). Tmém devem ser considerds s proprieddes ssocitiv, comuttiv e de idempotênci d união, e que iremos denotr por proprieddes ACI. Exemplo 4.47 As derivds, em relção e, pr expressão regulr r, ( + )(? +? +? )? são s seguintes: D r = D ( + ).(? +? +? )? =(? +? +? )? = D r Lem 4.48 Pr tod expressão regulr r 2 RE, e pr todo o símolo 2, L(D r) = - L(r). Exercício 45 Prov, por indução n estrutur dum expressão regulr, o lem nterior, Lem A noção de derivd em relção um símolo pode-se generlizr pr plvrs 2?. Definição 4.49 (Derivd em relção um plvr) Sej r um expressão regulr e um plvr de?. A derivd de r em relção é um expressão regulr, denotd por D r, e que define-se indutivmente no tmnho de : D r =r (4.9) D r =D (D (r)) (4.2) Exemplo 4.5 Consider expressão regulr r dd por ( + )(? +? +? )? do Exemplo Vmos clculr derivd dest expressão regulr r em relção à plvr. Pel Definição 4.49, tem-se que D = D (D (D r))). Pelo Exemplo 4.47, tem-se que D r =(? +? +? )?. Derivndo novmente por tem-se: D (D r)=(d (? )+D (? )+D? )(? +? +? ) =(? + ; + ;)(? +? +? )? =? (? +? +? )? 59

28 e, finlmente, D (D (D r)) =D (? ).(? +? +? )? + (? )D ((? +? +? )? ) =D (? +? +? ).(? +? +? )? =(? +? )(? +? +? )? Como no cso de um símolo 2, ddumplvr 2? e um lingugem L? podemos definir lingugem quociente de L por : - L = { 2 L} (4.2) Lem 4.5 Pr tod expressão regulr r 2 RE, e pr todo o símolo 2, L(D r)= - L(r). Exercício 46 Prov, por indução n estrutur dum expressão regulre no tmnho d plvr, o lem nterior, Lem 4.5. Definição 4.52 (expressões regulres similres) Dus expressões regulres dizem-se similres se um pode ser trnsformd n outr por plicção ds seguintes regrs de equivlênci: r = r = r ;r = r; = ; r +(r + r 2 )=(r + r )+r 2 r + r = r + r r + r = r e dus expressões regulres dizem-se não similres se não forem similres. Exemplo 4.53 As seguintes expressões regulres são similres: (;.? +.? )+? e?. Um fcto importnte demonstrdo por J. Brzozowski [Brz64] é o de que o conjunto de derivds dum expressão regulr em relção tods s plvrs 2? (ou, simplesmente o conjunto de derivds dum expressão regulr) é finito, desde que se considerem s proprieddes lgérics trás referids. Proposição 4.54 (Brzozowski) O conjunto D r de derivds não similres dum expressão regulr r 2 RE é finito. É importnte consttr que se não se considerssem expressões regulres similres, o conjunto de derivds dum expressão regulr podi ser infinito. Exemplo 4.55 Sej expressão regulr?? e considerem-se s derivds em relção às plvrs d form n, pr n. D (?? )=??? D (?? )=??? +??? D (?? )=??? +??? +???. (A) (C) (I) Exemplo 4.56 Vmos clculr s derivds d expressão regulr, r dd por ( + )(? +? +? )?. Pr tl considermos s plvrs de {, }? por ordem lexicográfic. Começmos por triuir um 6

29 ordem os símolos do lfeto, neste cso, <. Depois considermos plvr de tmnho (), depois s de tmnho, e, em seguid s de tmnho 2, (,, e ), e ssim sucessivmente té não precerem novs derivds (não similres). Pel Proposição 4.54 semos que o processo termin. Tem-se: D r =r =( + )(? +? +? )? D r =(? +? +? )? = r D r =r D r =D (D r)=d r = D (? +? +? )r =? r = r 2 D r =D (D r)=d r =(? +? )r = r 3 D r =D (D r)=d r = r 2 D r =D (D r)=d r =(? +? )r = r 3 D r =D (D (D r)) = D (D r )=D r 2 =? r + (? )D r = r 2 D r =D (D r)=d (D r )=D r 2 = D r = r 3 D r =D (D r)=d (D r )=D r 3 = r 2 D r =D (D r)=d (D r )=D r 3 =? r + r 3 = r 4 D r =D (D r)=d (r 4 )=r 2 D r =D (D r)=d (r 4 )=D (? )r + D r 3 = r 4 Como nestes dus últims derivções não surgirm novs expressões, o processo termin e concluímos que D r = {r, r,r 2,r 3,r 4 }. É imedito, do exemplo nterior, que em vez de se ir considerndo sucessivmente plvrs de?,é equivlente ir derivndo em relção cd símolo do lfeto s expressões regulres que vão precendo no processo. Exercício 47 Verific o procedimento gor referido pr o Exemplo Definição 4.57 (Autómto de Derivds (ou de Brzozowski)) Sej r um expressão regulr e D r o conjunto seu conjunto de derivds não similres. O utómto de derivds é A r = hd r,, r, {r},f r i onde r e F r são definidos por: r(s, )=D (s) 8s 2 D r, 8 2 F r = {s 2 D r (s) =} Proposição 4.58 (Brzozowski) Pr tod expressão regulr r, L(A r )=L(r). Exemplo 4.59 Sej mis um vez expressão regulr r, dd por ( + )(? +? +? )?. No Exemplo 4.56 já clculmos o conjunto ds derivds D r. O utómto ds derivds de r é A r = hd r, {, }, r, {r},f r i, onde D r = {( + )(? +? +? )?, (? +? +? )?,? (? +? +? )?, (? +? )(? +? +? )?,? (? +? +? )? +(? +? )(? +? +? )? } = {r, r,r 2,r 3,r 4 } F r = {r,r 2,r 3,r 4 } 6

30 e com o seguinte digrm: r(r, ) = D r = r r (r, ) = D r = r r(r,) = D r = r 2 r (r,) = D r = r 3 r(r 2,) = D r 2 = r 2 r (r 2,) = D r 2 = r 3 r(r 3,) = D r 3 = r 2 r (r 3,) = D r 3 = r 4 r(r 4,) = D r 4 = r 2 r (r 4,) = D r 4 = r 4, r r É de slientr que este utómto é um DFA e, ind ssim é menor que o NFA otido no Exemplo 4.4. Exercício 48 Compr os utómtos otidos nos Exemplos 4.4 e 4.59, otendo um utómto determinístico equivlente o NFAdo Exemplo O utómto de Gluskov O utómto de Glushkov [Glu6], tmém chmdo utómto de posição, pr construir um NFA prtir de um expressão regulr começ por linerizr est. Um expressão regulr diz-se liner se cd símolo do lfeto nel ocorrer somente um vez. A linerizção qui efectud corresponde n notção de cd símolo lfético d expressão regulr com um índice correspondente à contgem de símolos o lfeto té então ocorridos. Sej um expressão regulr, designmos por o resultdo dest linerizção, tmém chmd expressão regulr mrcd. Pr simplificção de notção, se lph for um expressão regulr mrcd, representmos por o resultdo d remoção ds notções de linerizção todos os símolos lféticos d expressão, e portnto, =. Exemplo 4.6 Com =( + )? (? + ), temos =( )? (? ). Sej então um expressão regulr. r 2 r O utómto Follow O utómto de Mirkin-Antimirov De Autómtos Finitos pr Expressões Regulres Existem diverss forms de se oter um expressão regulr que represente mesm lingugem que um ddo utómto finito reconhece. Aqui exporemos um método conhecido como Algoritmo de Eliminção de Estdos (AEE). Vmos supor que o utómto finito é um NFA e está normlizdo, de cordo com o Lem 4.3: r 4 62

31 i) Assegurmos que existe um só estdo inicil do utómto, s,tlquenãoexistenenhumtrnsição que termine nesse estdo. Se não for esse o cso, crescentmos um novo estdo s,quepsssero estdo inicil do utómto, com um únic trnsição- pr o estdo s. ii) Assegurmos que existe um só estdo finl, e que deste estdo não prte nenhum trnsição. Se não for este o cso, crescentmos um novo estdo s,quepssseroúnicofinl,e,prcdestdo finl do utómto originl, crimos um trnsição- pr este novo estdo. Generlizmos o conceito de utómto finito um utómto cuj função de trnsição um diferente nturez: : S RE -! S pss ser de por form que s trnsições não sejm etiquetds com símolos do lfeto ms sim com expressões regulres com o mesmo lfeto. Definição 4.6 (Autómto Finito Generlizdo (GFA)) Um GFA é um quintúplo hs,,, s,fi em que: S é um conjunto finito, não vzio, que chmmos o conjunto dos estdos; é um conjunto finito, não vzio, que constitui o lfeto do utómto; é um função totl s, com s 2 S, éoestdo inicil; F, com F S, éoconjunto dos estdos finis. : S S! RE chmd função de trnsição; Vmos supor que (s, s )=; sempre que trnsição entre s 2 S e s 2 S não sej dd explicitmente. Notr que qulquer DFA, NFA ou NFA éumgfa. Exercício 49 Mostr firmção nterior Algoritmo de Eliminção de Estdos (AEE) Sej A um utómto finito normlizdo. iii) Começmos por oter um GFA equivlente: fzem-se colpsr trnsições com s mesms origens e destinos, sendo trnsição restnte etiquetd com união ds expressões regulres ds trnsições gor eliminds. r r + r s s 2 =) s s 2 r r s =) s r + r r 63

32 iv) Todos os estdos, diferentes do inicil e do finl, que não tenhm, pelo menos, um trnsição que deles prt e um outr que eles chegue, são elimindos e com eles s trnsições que os referem. v) Nos restntes, eliminmos os lcetes pssndo expressão regulr que etiquet cd síd ser conctenção do fecho de Kleene d expressão que constv no lcete gor elimindo com expressão regulr que constv ness trnsição de síd. r 3 r s s s 2 s 3 r r 2 =) r 3 r? r s s s 2 vi) Eliminmos sucessivmente todos os estdos, exceptundo o inicil e o finl, procedendo pr cd um deles do seguinte modo. Pr cd estdo s que queremos eliminr, pr cd trnsição s ṟ! s que cheg s ( (s,s)=r) e pr cd trnsição s -! r s que prte de s ( (s, s )=r ), construímos um nov trnsição s rr --! s. Por fim, eliminmos o estdo s etodsstrnsiçõesqueoreferem. Nofinldecdpssodesteé necessário plicr de novo os pssos iii) e v). s r r 2 s s =) r r 4 r 3 s 2 s 2 No fim deste processo, o utómto resultnte deve ser do tipo e expressão regulr que procurávmos é r. s r s s 3 rr? 4 s r 2 s r r? 4 r 2 rr? 4 r 3 r? r 2 r r? 4 s r 3 2 s2 Exemplo 4.62 Consider o seguinte NFA: 64

33 , Normlizndo e trnsformndo em GFA tem-se 2, 4 Não há estdos que não são tingíveis ou de onde não prtem trnsições. Eliminndo os lcetes (neste cso só no estdo ), tem-se o GFA seguinte 2 5 3,? 4? 2 5? 3 3 Começmos por eliminr o estdo 3 otendo o GFA 65

34 + 4?? +? Consideremos, pr encurtr um pouco s expressões, =?. Então eliminndo o lcete existente em S temos 2 5? +?? 4 2 5? (? + ) Eliminndo, gor, os estdos e 2 temos? (? + )( + )+?? +?? 4 5 Eliminndo primeiro o lcete em e depois o próprio estdo otemos ( + )(? (? + )( + )+?? )?? 4 5 Donde podemos concluir que expressão regulr ( + )(? (? + )( + ) +?? )?? é equivlente o NFA ddo. É de slientr que ordem pel qul se eliminm os estdos do GFA influenci form e o tmnho d expressão regulr otid. Diferentes ordenções podem conduzir expressões regulres muito diferentes, emor tods equivlentes. Em cd psso tmém se poderá tentr simplificr s expressões regulres otids. Exercício 5 Otém um expressão regulr equivlente o NFA do Exemplo 4.62, utilizndo um ordem de eliminção de estdos diferente d usd no exemplo referido Método de Kleene Um form de oter expressão regulr que correspond à lingugem representd por um utómto finito pode ser descrit pelo seguinte método presentdo por Kleene [Kle56]. A idei é de encontrr todos 66

35 os cminhos que vão do estdo inicil, lgum estdo finl do utómto, indo coligindo os símolos ds trnsições, pr ssim constituir expressão regulr pretendid. Comecemos por renomer os estdos utómto pssndo estes ser {,..., n}, sendo o estdo inicil. Se o utómto, gor modificdo, for A = hq = {,..., n},,,, Fi, definmos por C l ij o conjunto dos cminhos que vão do estdo i pr o estdo j, pssndo somente por estdos intermédios cujo número não é superior l. Como todos os estdos têm número superior, C ij só não é o conjunto vzio se existir um trnsição, por um símolo, de i pr j, ou sej, se existir tl que (i, )=j. r ij = ; + X, pr todos os símolos pr os quis (i, )=j. (4.22) r l ij = r l- ij + r l- il r l-? ll r l Método equcionl de Brzozowski lj (4.23) Vimos já que s lingugens esquerds de um NFA stisfzem um sistem de equções (Teorem 4.36). Bsedo nesse fcto podemos oter um sistem de equções cuj solução é um expressão regulr equivlente o utómto inicil. A solução é otid por plicções sucessivs do Lem de Arden (Lem 3.6), isto é, se tivermos equção x = s + xr então um solução é x = sr?,prs, r 2 ER. Começmos por ilustrr o método com um exemplo. Emor um pouco longo, cd psso é simples. Exemplo 4.63 Consideremos o NFA do Exemplo 4.24 e o sistem de equções otido no Exemplo Podemos sustituir cd lingugem esquerd E si por um vriável x i, reunião por + e cd conjunto singulr pelo símolo correspondente. Otemos, o seguinte sistem de equções sore expressões regulres. x = x + x + x = x 2 + x x 2 = x + x 2 x 3 = x 4 +(x + x 2 + x 3 ) x 4 = x 3 + x 4. O nosso ojectivo é oter um expressão regulr pr x 4 (único estdo finl). Começmos pel primeir equção e escrevemo-l de form que possmos plicr o Lem de Arden, x = (x + )+x. e plicmos o Lem de Arden pr expressr x em termos de x, x = (x + )?. Sustituindo est expressão n equção pr x e rerrnjndo otemos x = (x 2 +? )+x?. Aplicndo novmente o Lem de Arden optemos expressão de x em termos de x 2. x = (x 2 +? )(? )?. 67

36 Sustituindo est expressão ns equções de x 2 e x 3 (s únics em que ind prece x ) temos x 2 = ((x 2 +? )(? )? ) + x 2 x 3 = x 4 +((x 2 +? )(? )? + x 2 + x 3 ). Rerrnjndo temos x 2 =? (? )? + x 2 ((? )? + ) x 3 = (x 4 + x 2 ((? )? + )+? (? )? )+x 3 Aplicndo de novo o Lem de Arden à equção de x 2 vem x 2 = (? (? )? )((? )? + )? Podemos gor sustituir est expressão de x 2 n equção de x 3 e plicr o Lem de Arden, donde result pr x 3 expressão em termos pens de x 4. x 3 = (x 4 +((? (? )? )((? )? + )? )((? )? + )+? (? )? )? Representemos expressão de x 3 por x 4? +? onde =(((? (? )? )((? )? + )? )((? )? + )+? (? )? ). Finlmente, sustituindo x 3 por est expressão n equção de x 4 temos x 4 =? + x 4 (? + ) donde pelo Lem de Arden mis um vez otemos um expressão regulr pr x 4 que é um expressão equivlente o utómto inicil. x 4 =? (? + )?. Em gerl, se tivermos o NFA A =({q,...,q n }, {,..., k},, I, F). sejm x,...,x n vriáveis 2. Construímos pr cd estdo q i um equção pr vriável x i que corresponde à su lingugem esquerd. Se q i /2 I equção é d form x i = x i + x i x ik k, onde x ij = P q i2 (q x k, j) k;seq i 2 I temos x i = x i + x i x ik k No sistem de equções otido, eliminm-se sucessivmente s vriáveis x, x 2,...x n, do seguinte modo Rerrnj-se equção de x pr form x = (x 2 c 2 + x 3 c x n c n + r )+x c. onde os c i e r são expressões regulres (sem vriáveis) e no cso de serem ; é ignord ess prcel. 68

37 Aplicndo o Lem de Arden, exprimimos x em termos de x 2,...,x n, otendo x = (x 2 c 2 + x 3 c x n c n + r )c?. Sustitui-se este vlor de x ns n - equções restntes. Repete-se o processo pr x 2, x 3,...x n. 4. A expressão regulr equivlente o utómto inicil será disjunção (+) ds expressões correspondentes os estdos finis de A. Não é essencil que ordem de eliminção ds vriáveis sej indicd cim, podendo em cso ser escolhid ordem implique um menor número de pssos e que preç conduzir um expressão regulr mis pequen. Exemplo 4.64 Consider o NFA do Exemplo Podemos oter o seguinte sistem de equções x = + x + x 3 x = x ( + )+x + x 2 + x 3 x 2 = x 2 x 3 = x Pretende-se oter um expressão regulr pr x 2, ddo o único estdo finl é 2. Apens equção de x tem ocorrênci de x no ldo direito. Assim podemos começr por sustituir expressão de x n equção de x, depois os de x 2 e x 3 e finlmente rrnjr s prcels. Vem De que result, pelo Lem de Arden x = ( + x + x 3 )( + )+x + x 2 + x 3 = ( + x + x )( + )+x + x + x = ( + )+x (( + )+( + )+ + + ) x = ( + )(( + )+( + )+ + + )? Sustituindo este vlor n equção pr x 2 otemos um expressão regulr equivlente o utómto ddo. x 2 = ( + )(( + )+( + )+ + + )? Neste cso, mis pequen que otid pelo método de eliminção de estdos. De modo nálogo s lingugens direits de um NFA stisfzem um sistem de equções (Teorem 4.36). Bsedo nesse fcto e usndo o Lem de Arden, podemos oter um sistem de equções cuj solução é um expressão regulr equivlente o utómto inicil. Começmos por ilustrr o método com um exemplo. Exemplo 4.65 Consideremos o NFA do Exemplo 4.24 e o sistem de equções otido no Exemplo Podemos sustituir cd lingugem direit D si por um vriável X i, reunião por + e cd conjunto singulr pelo símolo correspondente. Otemos, o seguinte sistem de equções x = x + x x = x 2 + (x + x 3 ) x 2 = x + (x 2 + x 3 ) x 3 = x 4 + x 3 x 4 = x 3 + x