Autômatos determinísticos grandes

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1 Autômtos determinísticos grndes Arnldo Mndel 27 de outubro de 2009 A construção dos subconjuntos implic n seguinte firmtiv: se um lingugem é reconhecid por um utômto não-determinístico com n estdos, então el é reconhecid por um utômto determinístico com 2 n estdos. Há um pequen resslv ser feit n firmtiv cim, devido à vriedde de definições de utômtos não-determinísticos. O cuiddo é que o rótulo de cd trnsição sej um letr ou plvr vzi λ. Se outrs plvrs são dmitids como rótulos, s conts mudm. Ao ver esse fto, muito se perguntm qunto à su precisão. Tudo bem que 2 n é um limitnte, ms qul limitção rel? Não é difícil formulr est questão rigorosmente; bst lembrr que cd lingugem regulr é reconhecid por um utômto determinístico reduzido único. Questão 1 Pr cd inteiro n, considere s lingugens reconhecids por utômtos com n estdos, e sej f(n) o mior número de estdos pr um utômto reduzido reconhecendo um desss lingugens. Determinr f(n). Ou pelo menos, qunto cresce f(n). Nesses termos, já sbemos que f(n) 2 n, ssim, o importnte é determinr um limitnte inferior. A respost é conhecid há muito tempo, e este texto é um pequen exposição. Um primeiro exemplo já indic por onde vão s coiss. Exemplo 1: Pr cd n, sej Σ n = {1, 2,..., n}, e sej L n = {x Σ n : x não contêm tods s letrs do lfbeto}. Um expressão regulr: L n = i (Σ n {i}). Ess expressão lev fcilmente o utômto não-determinístico A n = (K, Σ n,, K, K), onde K = Σ n, e consiste de tods s tripls (i, j, i) com j i. Proposição 1 O utômto reduzido pr L n tem 2 n estdos. Prov: A construção dos subconjuntos pr A n nos dá o utômto determinístico D n = (2 K, Σ n, δ, K, F), onde F consiste de todos os subconjuntos não vzios de K, e δ(x, i) = X i, pr cd X K, i Σ n. Vmos mostrr que esse utômto é reduzido. Começmos com seguinte propriedde: pr cd X K e tod plvr w, δ(x, w) = X α(w), onde α(w) é o conjunto de letrs que ocorrem em w. Isso segue trivilmente por indução em w, e fic de exercício. 1

2 2,3,4,5 1,3,4,5 1,2,4,5 1,2,3,5 1,2,3, Figur 1: O utômto A 5 Agor, vmos mostrr: ) Todos estdos são cessíveis: pr cd subconjunto X K, sej w um plvr contendo precismente s letrs que não estão em X. Segue d propriedde cim que δ(k, w) = X. b) Todos estdos são não equivlentes entre si: ddos dois estdos X, Y, sem perd de generlidde podemos supor que Y X ; sej w um plvr obtid multiplicndo-se tods s letrs de Y em lgum ordem. Então, δ(x, w) = δ(y, w). Isto mostr que f(n) = 2 n, ms deix um cert instisfção. Afinl ds conts, esses utômtos são sobre lfbetos progressivmente miores. O que contece se mntivermos um lfbeto fixo? Questão 2 Fixe um lfbeto Σ. Pr cd inteiro n, considere s lingugens reconhecids por utômtos com n estdos, e sej f(n) o mior número de estdos pr um utômto reduzido reconhecendo um desss lingugens. Determinr f(n). Ou pelo menos, qunto cresce f(n). Começmos por um lfbeto de um letr,. Exemplo 2: Sejm n 1, n 2,..., n k inteiros positivos, dois dois primos entre si, tis que n 1 + n n k = n, onde o número k de prcels é rbitrário. O utômto P n1,n 2,...,n k tem como grfo um coleção de ciclos de comprimentos n 1, n 2,..., n k, um estdo inicil em cd ciclo e os estdos finis são os iniciis. Então, veremos, o número de estdos do utômto reduzido pr L(P n1,n 2,...,n k ) é o produto n 1 n 2 n k Figur 2: O utômto P 2,3,5 2

3 Pr conferir o número de estdos, vmos numerr os estdos do ciclo j usndo os inteiros módulo n j, conforme figur. Assim, tods s rests vão do vértice i o vértice i+1 mod n j. Aplicndo construção dos subconjuntos, obtemos um utômto determinístico D cujo estdo inicil S consiste dos k estdos de rótulo 0. É fácil ver que pr qulquer plvr r, δ(s, r ) contem extmente um estdo de cd ciclo, ssim, os estdos cessíveis de D podem ser escritos como k-upls p Z n1 Z n2 Z nk, e δ(p, ) simplesmente som 1 em cd coordend. O Teorem Chinês do Resto diz que tods esss k-upls são estdos cessíveis. Um outr plicção, um pouco mis cuiddos, do mesmo Teorem, prov que esses estdos são todos não equivlentes. Quão grnde pode ser m, ddo n? Pr ser mis preciso, o que queremos é estimr g(n) = mx{mmc(n 1, n 2,..., n k ) : n 1 + n n k = n}; ess função foi estudd no início do século XX pelo russo Lndu, e é conhecid n litertur pelo nome de função de Lndu. Ele provou que Posteriormente foi provdo que lim n ln g(n) n ln n = 1. g(n) = e n(ln n+ln ln n 1+o(1)). Um referênci mis ou menos legível pr isso é W. Miller, The Mximum Order of n Element of Finite Symmetric Group, Am. Mth. Monthly, 94 (1987), Esss expressões mostrm clrmente que g(n) cresce muito mis que qulquer polinômio, ms muito menos que 2 n. Será que dá pr chegr significtivmente mis perto de 2 n com um únic letr? A respost é não: não dá pr pssr de g(n) + n. Pode ssustr um pouco ess situção com um letr. Afinl, tnt cont sofisticd, o que será que contece com dus letrs? Não pode ficr tão ruim, finl, vimos cim que se o número de letrs é grnde dá pr controlr o resultdo. Um idéi é extrir o suco dos A n : Proposição 2 Sej A um utômto não determinístico com n estdos, todos eles iniciis e finis, e sem trnsições λ. Suponh que pr cd estdo p, existe um plvr w p tl que: 1. Não existe psseio com rótulo w p inicindo em p. 2. Pr todo estdo q p, existe um único psseio com rótulo w p com início em q, e esse psseio termin em q. Então o utômto reduzido pr L(A) tem 2 n estdos. Prov: Sej K o conjunto de estdos de A e δ função de trnsição do utômto D obtido de A pel construção dos subconjuntos. Note que, como não existem trnsições λ, todo subconjunto 3

4 de K é fechdo. Como todo estdo de A é finl, o único estdo não finl de D é. Pels proprieddes (1) e (2) segue que: Logo: Pr cd X K e p K, δ(x, w p ) = X p. 1. Todo subconjunto X de K é cessível em D. Isso porque, se K X = {p 1, p 2,..., p k }, propriedde cim implic que δ(k, w p1 w p2 w pk ) = X. 2. Subconjuntos distintos de K são não equivlentes em D. Pr ver isso, sejm X, Y K, e suponh que q X Y. Se Y = {p 1, p 2,..., p k }, então δ(y, w p1 w p2 w pk ) =, enqunto que q δ(k, w p1 w p2 w pk ). Dí segue que D é o utômto reduzido pr L(A). Agor podemos voltr o Exemplo 1 e plicr proposição cim. A plvr w i é simplesmente i. Pronto, Proposição 1 vir um corolário trivil d Proposição 2. Nenhum novidde í, demonstrção é mesm. Só que gor podemos construir um fmíli de exemplos mis interessntes. 4

5 Exemplo 3: Vmos trblhr com o lfbeto binário, Σ = {, b}. Ddo o inteiro positivo n, sej B n o utômto com estdos K = {1, 2,..., n}, todos eles iniciis e finis, e sej = {(i,, i 1), (i, b, i 1) : 1 < i n} {(1,, n)} Figur 3: O utômto B 5 Vmos verificr que B n stisfz s condições d Proposição 2. Tudo certo qunto estdos iniciis e finis, e trnsições λ. Pr isso, é preciso dr uns w p. Aí estão lgums plvrs que funcionm: w p = p 1 b n p. A prtir do estdo p, existe um cminho com rótulo p 1, que termin no estdo 1; dí, não há rest com b, ssim, condição (1) é stisfeit. A prtir de outro estdo, o cminho com rótulo p 1 lev um estdo diferente de 1, dí que existe rest com b, e o resto dos s levm o estdo de prtid; dí que (2) é stisfeito. Pronto, temos que o utômto reduzido pr L(B n ) tem 2 n estdos, e só usmos dus letrs. Alguns utores não gostm de utômtos com mis de um estdo inicil. Eu não sei como lvncr Proposição 2 pr produzir 2 n estdos no determinístico com um único estdo inicil e só dus letrs. Dá pr chegr meio perto : introduz mis um estdo em B n 1, fç ele ser o único estdo inicil, e coloque rests de rótulo indo desse estdo pr todos os outros. É fácil ver que o utômto reduzido do resultdo tem 2 n > 1 2 2n estdos. Agor, com três letrs é bico: é só lterr B n, colocndo rests (1, c, i), i = 1, 2,..., n, e fzer 1 ser o estdo inicil. Esse vi ter um reduzido com 2 n estdos, e é um utômto não determinístico prá ninguém botr defeito. Um curiosidde: qul o menor tmnho de um expressão regulr pr L(B n )? Consegui um expressão de tmnho proximdmente 18n + 4 (lembrndo que o comprimento cont só ocorrêncis de, b, λ, + e ; for isso, form 4n + 1 pres de prênteses). Alguém consegue lgo melhor? 5

6 Exemplo 4: Finlmente, um seqüênci de utômtos sobre dus letrs e com um único estdo inicil. O utômto C n tem estdos K = {0, 1,..., n}; sus trnsições são {(i,, i + 1), (i, b, i + 1) : i = 1, 2,... n} {(n,, 0), (n,, 1), (0,, 1), (0, b, 0)}. O estdo 0 inicil e finl, e não há outros. b, b, b, b Figur 4: O utômto C 4 Mostrr que o utômto determinístico correspondente tem 2 n+1 estdos prece bem mis difícil do que no cso nterior. Abixo segue um roteiro de demonstrção; completá-l fic como exercício. Se lguém conseguir um demonstrção mis simples, eu gostri de ver. Sej δ função de trnsição do utômto D n obtido de C n pel construção dos subconjuntos. 1. Vmos mostrr que todo subconjunto de K é cessível em D n. () Como δ({0}, b n ) = e δ({0}, j ) = {j}, j = 1, 2,..., n, todo conjunto com menos que dois elementos é cessível. (b) Represente cd subconjunto de K pel sequênci ordend de seus elementos. Agor, rgumente por indução n ordem comprimento-lexicográfic; sej X = i 1 < i 2 < < i k. Cso 1: i 1 > 0. Então X = δ(i 1 1 < i 2 1 < < i k 1, ). Cso 2: i 1 = 0. Cso 2.1: i 2 > 1. Então X = δ(i 1 < i 2 1 < < i k 1, b). Cso 2.2: i 2 = 1. Então X = δ(i 3 1 < < i k 1 < n, ). 2. Agor vmos mostrr que conjuntos distintos são não equivlentes em D n. Ddos X, Y K distintos, sej k um elemento n diferenç simétric de X e Y, e sem perd de generlidde, suponh que k X. Então, se k = 0, clro que X e Y não são equivlentes; se k 0, então 0 δ(x, b n k ) e 0 / δ(y, b n k ). A lingugem L(C n ) tem um expressão regulr rzovelmente simples, de comprimento 6n: (b + (( + b) n 1 ) ( + b) n 1 ), 6