Aula 4: Autômatos Finitos Autômatos Finitos Não-Determinísticos

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1 Teori d Computção Primeiro Semestre, 25 Aul 4: Autômtos Finitos 2 DAINF-UTFPR Prof. Ricrdo Dutr d Silv 4. Autômtos Finitos Não-Determinísticos Autômtos Finitos Não-Determinísticos (NFA) são um generlizção de DFA s ue permitem um mior flexiilidde no projeto de utômtos. Como conseuênci fic mis fácil projetr máuins ue reconhecem um lingugem. Em um DFA existe pens um trnsição possível pr um estdo e um símolo do lfeto específicos. Um NFA permite diverss trnsições pr um mesmo pr de estdo e símolo. Definição 4.. Um utômto finito não-determinístico (NFA) é um 5-tupl M = (Q, Σ, δ,, F ), onde ˆ Q é um conjunto finito de estdos; ˆ Σ é o lfeto; ˆ Q é o estdo inicil; ˆ F é o suconjunto de estdos finis de Q; ˆ δ é um função δ : Q Σ P(Q), chmd de função de trnsição, onde P(Q) represent o conjunto potênci de Q, ou sej, o conjunto de todos os suconjuntos de Q, incluindo o conjunto vzio e o próprio conjunto Q. Definição 4.2. O digrm de estdos de um NFA (Q, Σ, δ,, F ) é um grfo G, direciondo e rotuldo, definido como: ˆ os vértices de G são os elementos de Q; ˆ os rótulos ds rests são elementos de Σ;

2 2 Aul 4: Autômtos Finitos 2 ˆ é o estdo inicil, indicdo por strt ; ˆ F é o suconjunto de vértices finis, indicdos por círculos concêntricos; ˆ existe um rco entre os nós i e j com o rótulo se δ( i, ) = j ; Exemplo 4. O utômto M = ({,, }, {, }, δ,, { }), com função de trnsição δ { } {, } { } é um NFA com digrm de estdos, strt Exemplo 4.2 Os digrms de estdo M e M 2 ceitm s strings sore Σ = {, } ue contêm sustring., strt 4,, strt M é um DFA enunto M 2 é um NFA. Como um NFA permite diverss trnsições pr um mesmo estdo e pr um mesmo símolo do lfeto, como é relizdo o processmento de um string? Em um DFA existi

3 4.. AUTÔMATOS FINITOS NÃO-DETERMINÍSTICOS 3 pens um trnsição possível, então pens um cminho ser seguido. Em um NFA, undo existir mis de um trnsição, podemos pensr como se o utômto fosse dividido e seguisse independentemente cd um dos cminhos. Um mneir de visulizr isso é trvés de um árvore. Os vértices d árvore são os estdos do utômto. Se em um determindo estdo i um mesmo símolo Σ lev estdos diferentes, crimos um novo vértice pr cd um dos estdos ue podem ser lcnçdos e ligmos esses estdos como filhos do vértice i. Exemplo 4.3 Ddo o utômto M do Exemplo 4. com digrm de estdos, strt o processmento d string pode ser visulizdo como um árvore. Devemos prtir do estdo inicil, então temos o vértice riz. O primeiro símolo d string é um. A prtir de lendo um o NFA possui dus trnsições. Um mntém-se em e outr vi pr. Expndimos árvore crindo filhos de pr os dois estdos e explicitmos trnsição usndo rests ue ligm os seus estdos filhos. Continumos computção prtir ds folhs d árvore. O próximo símolo d entrd é um. A prtir de lendo um chegmos novmente em. Isso é mostrdo no rmo esuerdo d árvore. A prtir de lendo um não há trnsição definid. Isso signific ue o processmento não continu prtir deste ponto.

4 4 Aul 4: Autômtos Finitos 2 Continumos o processo de leitur dos símolos e expnsão ds folhs d árvore (uels ue podem ser expndids) té terminr string de entrd. N árvore finl temos cinco folhs, d esuerd pr direit,,,, e. Cd um dos rmos, d riz té um ds folhs, represent um dos cminhos possíveis pr computção d string pelo NFA M. Podemos concluir ue: ˆ existe um cminho n máuin M, inicindo no estdo inicil, ue process tod string e termin no estdo ; ˆ existe um cminho n máuin M, inicindo no estdo inicil, ue process tod string e termin no estdo ;

5 4.. AUTÔMATOS FINITOS NÃO-DETERMINÍSTICOS 5 ˆ existe um cminho n máuin M, inicindo no estdo inicil, ue process tod string e termin no estdo ; ˆ existe um cminho n máuin M, inicindo no estdo inicil, ue process pens sustring, terminndo no estdo ; ˆ existe um segundo cminho n máuin M, inicindo no estdo inicil, ue process pens sustring e termin no estdo. Existe pens um cminho ue cheg em um estdo finl ( ) pós processr tod string. Vmos definir trnsição estendid ˆδ pr um NFA. Como pode ser notdo no exemplo cim, função estendid sore um estdo e um string irá lcnçr um conjunto de estdos. Definição 4.3. A função de trnsição estendid ˆδ de um NFA com função de trnsição δ é um função ˆδ : Q Σ P(Q) definid recursivmente no tmnho d string de entrd: i) Bse: Se w =, então w = e ˆδ( i, ) = { i }. ii) Psso recursivo: Se w é um string de tmnho n >, então w = u e ˆδ( i, u) = {p, p 2,..., p n }. Então, n ˆδ( i, w) = δ(p j, ) = {r, r 2,..., r m }. j= Exemplo 4.4 Ddo o utômto M = ({,, }, {, }, δ,, { }) cuj função de trnsição é dd ixo. δ { } {, } { } O processmento d string pelo NFA pode ser descrito pel função de trnsição estendid.

6 6 Aul 4: Autômtos Finitos 2 ˆδ(, ) = { } ˆδ(, ) = δ(, ) = {, } ˆδ(, ) = δ(, ) δ(, ) = { } = { } ˆδ(, ) = δ(, ) = {, } ˆδ(, ) = δ(, ) δ(, ) = { } = { } ˆδ(, ) = δ(, ) = {, } ˆδ(, ) = δ(, ) δ(, ) = {, } { } = {,, } Note ue esse processo reflete o ue foi visto n árvore do Exemplo 4.3. Os estdos lcnçdos pós processr completmente string são {,, }. Dentre eles, pen é um estdo finl. Como veremos seguir, isso define como um string é ceit por um NFA, ou sej, um string é ceit por um NFA se existe pelo menos um cminho, dentre todos os possíveis, ue process tod um string e termin em um estdo finl. Definição 4.4. Um string w é ceit por um NFA M = (Q, Σ, δ,, F ), com função de trnsição estendid ˆδ, se existe um estdo j ˆδ(, w) tl ue j F. Definição 4.5. A lingugem de um NFA M = (Q, Σ, δ,, F ) é o conjunto L(M) = {w w Σ e ˆδ(, w) F } NFA Podemos relxr ind mis definição de um NFA pr permitir trnsições entre estdos sem ue um símolo sej processdo. Tis trnsições são chmds trnsições lmd e clsse de máuins ue s usm é chmd -NFA. Trnsições lmd oferecem mis um fcilidde em projetr máuins ue ceitm lingugens complexs. Definição 4.6. Um NFA com trnsições lmd, -NFA, é um 5-tupl M = (Q, Σ, δ,, F ), onde ˆ Q é um conjunto finito de estdos;

7 4.2. -NFA 7 ˆ Σ é o lfeto; ˆ Q é o estdo inicil; ˆ F é o suconjunto de estdos finis de Q; ˆ δ é um função δ : Q (Σ {}) P(Q). Definição 4.7. O digrm de estdos de um NFA- (Q, Σ, δ,, F ) é um grfo direciondo rotuldo G definido como: ˆ os nós de G são os elementos de Q; ˆ os rótulos ds rests são elementos de Σ; ˆ é o estdo inicil, indicdo pelo strt ; ˆ F é o suconjunto de nós finis, indicdos pelos círculos concêntricos; ˆ existe um rco entre os nós i e j com o rótulo se δ( i, ) = j ; ˆ existe um rco entre os nós i e j com o rótulo se δ( i, ) = j ; Exemplo 4.5 O utômto M = ({,,, }, {, }, δ,, { }), com função de trnsição δ { } {, } { } { } { } { } { } { } é um -NFA com digrm de estdos,,,, strt 2

8 8 Aul 4: Autômtos Finitos 2 Precismos definir função de trnsição estendid. Pr isso será inicilmente definid idei de fecho lmd. Definição 4.8. como: O fecho lmd de um estdo i, -fecho( i ), é definido recursivmente i) Bse: i -fecho( i ). ii) Psso recursivo: Se j -fecho( i ) e δ( j, ) = k, então k -fecho( i ). Exemplo 4.6 Sej M = ({,,, }, {, }, δ,, { }), com função de trnsição δ { } {, } { } { } { } { } { } { } O fecho lmd de cd um dos estdos do utômto é computdo como ixo. Aplicndo se d Definição 4.8, todos os estdos pertencem o seu próprio fecho. -fecho( ) = { } -fecho( ) = { } -fecho( ) = { } -fecho( ) = { } O psso recursivo diz ue se pr lgum estdo j já no fecho de i há um trnsição lmd levndo um estdo k, então k tmém pertence o fecho de i. Este cso ocorre pens pr os estdos e. está no fecho de e existe um trnsição lmd de pr. Portnto, está no fecho de. -fecho( ) = {, }

9 4.2. -NFA 9 tmém possui um trnsição lmd pr, então temos -fecho( ) = {, }. O psso pode ser plicdo novmente o fecho de. pertence o fecho de e possui um trnsição lmd pr. Portnto, -fecho( ) = {,, }. A plicção do psso recursivo não lterrá mis o fecho de nenhum estdo. Os fecho ficm então -fecho( ) = {,, } -fecho( ) = {, } -fecho( ) = { } -fecho( ) = { }. Definição 4.9. A função de trnsição estendid ˆδ de um -NFA com função de trnsição δ é um função ˆδ : Q Σ P(Q) definid recursivmente no tmnho d string de entrd: i) Bse: Se w =, então w = e ˆδ(, ) = -fecho(). ii) Psso recursivo: Se w é um string de tmnho n >, então w = u e ˆδ(, u) = n {p, p 2,..., p n } e δ(p i, ) = {r, r 2,..., r m }. Então, i= m ˆδ(, w) = -fecho(r j ). j=

10 Aul 4: Autômtos Finitos 2 Como em um NFA, computção em um -NFA pode ser pensd como um árvore demonstrndo sempre ue um -NFA sudivide-se pr seguir cminhos de processmento diferentes. Vmos verificr como é construíd ess árvore e como el está relciond com computção dd pel função estendid. Exemplo 4.7 Ddo o utômto do Exemplo 4.5, M = ({,,, }, {, }, δ,, { }), com função de trnsição δ { } {, } { } { } { } { } { } { } o processmento d string, começndo pel se, é ˆδ(, ) = -fecho( ) = {,, }. A prtir de podemos ter três estdos lcnçáveis e ue correspondem o fecho lmd de. Podemos imginr o processmento como um florest o invés de pens um árvore. Teremos então três vértices ue são rízes. Agor, usndo o psso recursivo, prtir dos estdos já lcnçdos ({,, }), otemos δ(p, ) = δ(, ) δ(, ) δ(, ) = { } { } = {, }. Então, p {,, } ˆδ(, ) = -fecho(p) p {, } = -fecho( ) -fecho( ) = {,, } { } = {,, }

11 4.2. -NFA O processo pode ser visto n florest. O estdos lcnçdos nteriormente erm, e. A prtir de, lendo um, lcnçmos { }, e o fecho lmd deste estdo é {,, }. Crimos um vértice pr cd um dos estdos e crimos conexão com o vértice pi, d primeir árvore. De, lendo um, lcnçmos { }, e o fecho lmd deste estdo é { }. O estdo vir filho d árvore com riz. A árvore com riz não continu o processmento pois não há trnsição definid pr o símolo. O próximo símolo lido é. Portnto temos δ(p, ) = δ(, ) δ(, ) p {,, } δ(, ) = {, } { } = {,, } e função de trnsição estendid ˆδ(, ) = -fecho(p) p {,, } = -fecho( ) -fecho( ) -fecho( ) = {,, } {, } { } = {,,, }. N árvore, folh lendo cheg em {, }. A união dos fechos desses estdos é {,, }. Crimos vértices pr cd um dos estdos e eles virm filhos de. A folh não será mis processd pois não há trnsição pr o símolo. As folh lcnçm o estdo cujo fecho lmd é tmém. O conjunto de estdos lcnçdos é {,,, }. Lendo o símolo otemos δ(p, ) = δ(, ) δ(, ) δ(, ) δ(, ) = { } { } { } = p {,,, }

12 2 Aul 4: Autômtos Finitos 2 {,, }. Então, ˆδ(, ) = -fecho(p) p {,, } = -fecho( ) -fecho( ) -fecho( ) = {,, } { } { } = {,,, }. A nov árvore é mostrd ixo. O conjunto de estdos lcnçdos é igul o nterior, {,,, }. Lendo o símolo otemos δ(p, ) = δ(, ) δ(, ) δ(, ) δ(, ) = {, } { } p {,,, } { } = {,, }. Então, ˆδ(, ) = -fecho(p) p {,, } = -fecho( ) -fecho( ) -fecho( ) = {,, } {, } { } = {,,, }. e florest

13 4.2. -NFA 3 ue possui utro cminhos ue processm tod string e terminm em um estdo finl. A string é ceit. Strings ceits por um -NFA e lingugem reconhecid podem ser definids como pr um NFA. Definição 4.. Um string w é ceit por um -NFA M = (Q, Σ, δ,, F ), com função de trnsição estendid ˆδ, se existe um estdo j ˆδ(, w) tl ue j F. Definição 4.. A lingugem de um -NFA M = (Q, Σ, δ,, F ) é o conjunto L(M) = {w w Σ e ˆδ(, w) F }. Trnsições lmd podem ser usds pr construir máuins mis complexs prtir de máuins mis simples. Exemplo 4.8 Sejm s lingugens L(M ) = { } { }, com digrm de estdos,, strt,,,2 e L(M 2 ) = { } { }, com digrm de estdos

14 4 Aul 4: Autômtos Finitos 2, strt, união ds lingugens, L(M 3 ) = L(M ) L(M 2 ), pode ser construíd crindo um estdo e trnsições lmd pr os estdos iniciis dos NFA s M e M 2.,,,,,2 strt,, A conctenção L(M )L(M 2 ) é otid usndo um trnsição lmd entre o estdo finl de M e o estdo inicil de M 2.,, strt,,,2,, Exemplo 4.9 Sej lingugem formd pels strings de tmnho pr sore Σ = {, },, strt estrel de Kleene pode tmém ser otid fcilmente usndo trnsições lmd

15 4.2. -NFA 5 strt,, Podemos usr s ideis cim pr construir máuins ue ceitm s operções regulres: união, conctenção e estrel de Kleene. Lemm. Sej M = (Q, Σ, δ,, F ) um -NFA. Existe um -NFA euivlente M = (Q {, f }, Σ, δ,, { f }) ue stisfz s seguintes condições: ˆ o gru de entrd de estdo de início é zero. ˆ o único estdo finl de M é f ; ˆ o gru de síd do estdo finl f é zero. Proof2. A função de trnsição de M é construíd prtir d função de M dicionndo s trnsições lmd δ(, ) = { } δ( i, ) = { f }, pr uluer i F pr os novos estdos e f. A trnsição lmd de pr fz com ue computção proced pr máuin originl M sem fetr entrd. A computção de M ue ceit um string de entrd é idêntic àuel de M seguid de um trnsição lmd do estdo finl té o estdo f de M. Teorem 4.. Sejm M e M 2 dois -NFA s. Existem -NFA s ue ceitm L(M ) L(M 2 ), L(M )L(M 2 ) e L(M ). Proof2. Assumimos ue M e M 2 stisfzem s condições do Lem. Podemos portnto representr M e M 2 como strt, M,f

16 6 Aul 4: Autômtos Finitos 2 e strt 2, M2,f respectivmente. As lingugens L(M ) L(M 2 ), L(M )L(M 2 ) e L(M ) são ceits, respectivmente, pels máuins:, M,f strt 2, M 2,f strt, M,f 2, M 2,f strt, M,f f

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