Linguagens Regulares e Autômatos de Estados Finitos. Linguagens Formais. Linguagens Formais (cont.) Um Modelo Fraco de Computação

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1 LFA - PARTE 1 Lingugens Regulres e Autômtos de Estdos Finitos Um Modelo Frco de Computção João Luís Grci Ros LFA-FEC-PUC-Cmpins 2002 R. Gregory Tylor: 1 Lingugens Formis lfeto X = {, } plvr sore X (exemplos,,, ) comprimento w d plvr w plvr vzi ou plvr nul λ: λ = pr n () = 2 e n () = 1 2 Lingugens Formis (cont.) X* pr o conjunto de tods s plvrs sore X Lingugens = suconjuntos de X* L = {w X*: w = 3} = {,,,,,,, } L = {w X*: w é pr} = {λ,,,,,,,...} 3 1

2 Csos Especiis Lingugem vzi Lingugem unidde L = {} 4 Expressões Regulres Denotm Lingugens * denot lingugem { n n 0} ().() ou pens denot lingugem unidde {} ** denot { n m n, m 0} 2 3 denot {} n não é expressão regulr + denot { n n 1} 5 Expressões Regulres (cont.) denot {, } Definição indutiv é expressão regulr (sore X) e denot lingugem λ é expressão regulr (sore X) e denot lingugem {λ}. 6 2

3 Lingugens Formis (revisão) X* pr o conjunto de tods s plvrs sore X Lingugens = suconjuntos de X* Operções de formção de lingugens L 1 L 2 L 1. L 2 L * 1 (fechmento de Kleene) 7 Lingugens Regulres Sej L um lingugem sore o lfeto X, i.e., L X*. Então L é lingugem regulr se L é denotd por lgum expressão regulr sore X X é o lfeto finito e L 1 e L 2 são lingugens regulres sore X. Então L 1 L 2, L 1.L 2, e L 1 * são tmém regulres 8 Lemre-se X é lfeto finito e w é qulquer plvr sore X. Então lingugem unidde {w} é regulr. Qulquer lingugem finit sore X é regulr. 9 3

4 Autômtos de Estdos Finitos Determinístico q 0 q 1 q 2 Figure 9.2.1() 10 Outro Exemplo strt Figure 9.2.1() 11 Determinismo Determinismo signific que, dentro de qulquer digrm de estdos pr o AEF, o cminho rotuldo pel plvr dd w é único: pr plvr w X*, há extmente um cminho começndo em q 0 rotuldo por w 12 4

5 Funções de Trnsição Figure 9.2.1(c) 13 Definição Forml AEF é um quíntupl X, Q, q 0, F, δ Μ X é o lfeto de entrd Q é o conjunto finito de estdos, não vzio q 0 Q é o estdo inicil F Q é um (possivelmente vzio) conjunto de estdos de ceitção ou terminis δ Μ : Q X Q é função de trnsição (totl) 14 Aceitção d Plvr O utômto de estdos finitos determinístico M ceit plvr w X* se um único cminho começndo em q 0 e rotuldo por w lev lgum elemento de F, i.e., lgum estdo de ceitção de M. 15 5

6 Aceitção d Lingugem A lingugem ceit por M é o conjunto de tods e pens s plvrs sore X que são ceits por M. L(M) é lingugem ceit por M. AEFs são ceitdores de lingugens 16 Um Máquin Não Determinístic q 1 q 2 q 0 q 4 q 3 Figure Não Determinismo δ Μ : Q X Q é um mpemento de trnsição Assumid como totl ( completmente definid ) ms permitid ser multivlord 18 6

7 Aceitção d Plvr A plvr w X* ceit por M provê que existe pelo menos um cminho, rotuldo por w, no digrm de estdos de M levndo de q 0 pr um estdo terminl Compre com o cso determinístico 19 Aceitção d Lingugem A lingugem ceit por um utômto de estdos finitos não determinístico AND é o conjunto de plvrs ceits por M. 20 O Projeto Não Determinístico é Freqüentemente Mis Fácil q 1 q 0 q 3 Figure This nondeterministic finitestte utomton ccepts the lnguge denoted y regulr expression * ((*) + ) q 2 *((*) +) 21 7

8 Met Suponh um ddo AND não determinístico M que ceit L. Apresent-se um lgoritmo pr construir, sedo em M, um novo AEF determinístico M que ceit L 22 Construção de Suconjuntos Estdos do AND não determinístico M corresponderão conjuntos de estdos não vzios do AEF determinístico M Como q 0 é o estdo inicil de M, use {q 0 } como estdo inicil de M. Estdos de ceitção de M serão os conjuntos de estdos que contêm pelo menos um estdo de ceitção de M. 23 Algoritmo Pr o conjunto inicil {q 0 }, verifique quis trnsições prtir de q 0 há em M e crie um novo estdo composto pelo conjunto de estdos destinos ds trnsições pr cd símolo terminl. Repit pr cd novo estdo crido, té que não hj mis estdos novos. 24 8

9 Teorem de Kleene Sej M um utômto não determinístico (AND) que ceit L. Então existe um utômto de estdos finitos determinístico (AEF) M que tmém ceit L. 25 Teorem Qulquer lingugem finit é AEF-ceitável Exemplo L = {,, } 26 Lem do Bomemento pr Lingugens AEF-Aceitáveis Prece que L = { n n n 0} não é ceit por nenhum AEF (rgumento intuitivo) Ms isto pode ser demonstrdo? Conseqüênci do Lem do Bomemento 27 9

10 Lem do Bomemento Suponh que L é AEF-ceitável e infinit. Então há plvrs u, w e v com w λ tl que uw i v está em L pr todo i 0 Escreve-se w i pr o resultdo d conctenção d plvr w consigo mesm i vezes (iterção) 28 Prov Figure pth leled y w q 0... d... q t pth leled y u pth leled y v 29 Teorem L = { n n n > 0} não é ceit por nenhum utômto de estdos finitos Aplicção do Lem do Bomemento 30 10

11 Prov Indiret Suponh que L é AEF-ceitável por contrdição. 3 possiiliddes: w consiste de pens s O omemento de w lev à contrdição (s demis) 31 Prov (Apens Outrs Possiiliddes) w consiste pens de s Como o primeiro cso (Dest vez o omemento lev s demis) w consiste de s seguido de s 32 Rótulos Vzios A execução de rcos rotuldos por λ não vnçm entrd Arcos-λ podem ou não introduzir não determinismo 33 11

12 Exemplo λ e 0 1 λ e 2 c c c 3 c This FSA ccepts the lnguge L(**c* ). (**c*) Figure Resultdo de Equivlênci Sej M um utômto de estdos finitos com movimentos λ. Então existe um utômto de estdos finitos M com nenhum movimento λ tl que L(M) = L(M ) 35 Grmátics Gertivs Exemplo com pens 2 produções (1) S S (2) S λ Ger tods s plvrs d form n n pr n

13 Definição Produções vzis terminis d grmátic (minúsculs) lfeto terminl X não terminis d grmátic (miúsculs) lfeto não terminl V símolo inicil S em V conjunto de produções P 37 Segundo Exemplo (1) S Xcc (2) X Xc (3) X Ger tods s plvrs d form n c n pr n 2 38 Terceiro Exemplo (1) S S c (2) S λ (3) S S C (4) S λ (5) C C (6) Cc cc Ger lingugem { n n c n n 0} 39 13

14 Lingugens de Estrutur de Frse Sej G = X, V, S, P um grmátic gertiv. Então lingugem L(G) gerd por G consistirá de tods e pens s plvrs w sore X tl que S * G w L é um lingugem de estrutur de frse desde que L = L(G) pr lgum grmátic gertiv G 40 Equivlênci Dus grmátics gertivs G nd G são equivlentes se L(G) = L(G )