3. Seja Σ um alfabeto. Explique que palavras pertencem a cada uma das seguintes linguagens:

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1 BCC244-Teori d Computção Prof. Lucíli Figueiredo List de Exercícios DECOM ICEB - UFOP Lingugens. Liste os strings de cd um ds seguintes lingugens: ) = {λ} ) + + = c) {λ} {λ} = {λ} d) {λ} + {λ} + = {λ} e) {} {} = {λ,,,,...} f) {} + {} + = {,,,...} 2. Em que csos L e L + são finits? Somente se L = ou se L = {λ} 3. Sej Σ um lfeto. Explique que plvrs pertencem cd um ds seguintes lingugens: Σ n, pr um determindo n Σ n = {w Σ w = n} (Σ {λ}) n, pr um determindo n Σ n = {w Σ w n} 4. Sejm Σ = {, }, A = {} Σ + e B = Σ {}. Descrev cd um ds lingugens seguir, especificndo propriedde que deve ser stisfeit pelos strings d lingugem. (O primeiro item é resolvido como exemplo). A A A A = {wu w, u Σ + } Todos os strings com comprimento 4, contendo pelo menos dois s. A B A B = {w w Σ + } Todos os strings com comprimento 3, que começm com e terminm com. B B A B = {wu w Σ } Todos os strings com comprimento 2, contendo pelo menos dois s. A B A B = {w w Σ } Todos os strings com comprimento 2, começndo com e terminndo com. A B A B = {w w Σ } Todos os strings com comprimento 2, que começm e terminm com. B A A B = {w w Σ } Todos os strings com comprimento, que começm e terminm com.

2 2 Autômtos Finitos e Expressões Regulres. Pr cd um ds lingugens seguir, sore o lfeto {, }, desenhe um Autômto Finito Determinist que reconheç lingugem e escrev um expressão regulr que represent. () O conjunto dos strings com prefixo. ( + ),, () O conjunto dos strings que não contêm como sufixo. λ + ( + ) ( + ) (c) O conjunto dos strings que não contêm como sustring., (d) O suconjunto dos strings de {} {} com número pr de s. (), (e) O conjunto dos strings com no máximo 3 símolos. ( + + λ)( + + λ)( + + λ),,,,, (f) O conjunto dos strings que contêm pelo menos um e um. ( )( + ) )

3 , (g) O conjunto dos strings em que todo é seguido de pelo menos dois símolos. ( ( + )( + )) (h) O conjunto dos strings que contêm pelo menos um, ms nenhum. ( + )() ( ), 2. Pr cd um ds lingugens seguir, sore o lfeto {, }, desenhe um Autômto Finito Não Determinist que reconheç lingugem. () {w {, } o primeiro e o penúltimo símolos de w são }.,,

4 () {w {, } o último símolo de w é diferente do primeiro}.,, (c) {w {, } os três últimos símolos de w não são },,, (d) {x n n, x {, }e x tem número pr de s}. 3. Desenhe Autômtos Finitos Determinists que reconheçm s lingugens A = ( + ) e B = ( + ).

5 , q M A : q q 2 q 3 q 4, M B : Desenhe tmém Autômtos Finitos Determinists que reconheçm s lingugens seguir. () A B (q, q 3 ) (q, q 4 ) (q, q 3 ) (q 2, q 4 ) (q 2, q 3 ) () A B O utômto é o mesmo d respost nterior, exceto que o pens o estdo (q, q 4 ) é um estdo finl. (c) A B O utômto é o mesmo d respost nterior, exceto que o pens o estdo (q, q 3 ) é um estdo finl. 4. Quis ds seguintes firmtivs são verddeirs: () Tod lingugem regulr pode ser definid prtir de lingugens finits, usndo-se pens s operções de união, conctenção e estrel de Kleene. () Tod lingugem regulr é finit. (c) A sintxe de HTML pode ser express por meio de expressões regulres.

6 (d) Não existe lgoritmo cpz de decidir, dd um expressão regulr, se lingugem denotd por est expressão é vzi ou não. (e) Existe um lgoritmo pr decidir, dd um expressão regulr, se lingugem denotd por est expressão é finit ou é infinit. São correts s firmtivs () e (e) 5. Convert o seguinte utômto finito não determinist em um determinist equivlente. {, 2} {, 2} λ 2 3 {3} {2} 3 Grmátics Lineres à Direit e à Esquerd. Considere seguinte grmátic Liner à Direit G: S S A λ A A S () Desenhe um Autômto Finito Não Determinist) que reconheç lingugem L(G). S A () Escrev um expressão regulr que represente lingugem L(G) ( () ) 4 Lem do Bomemento. Considere um utômto finito M com n estdos. Explique porque se M reconhece um string w, tl que w n, então lingugem ceit por M L(M) é infinit. Se M tem n estdos, então o mior string que pode ser reconhecido por M, em um computção em que nenhum estdo é repetido, tem comprimento n. Portnto, se M reconhece um string w, tl que w n, então o cminho d computção de M sore w envolve um loop.

7 Então, este loop poderi ser repetido qulquer número de vezes, o que signific que lingugem reconhecid por M é infinit. 2. Prove que cd um ds lingugens seguir não é regulr, usndo o Lem do Bomemento. () L = {w n w {, } e w = n} Suponh, por contrdição, que L sej regulr. Então L deve stisfzer o Lem do Bomemento. Vmos provr que isso não contece e que, portnto, L não é regulr. Sej p o número de omemento de L e considere o string u = p p. Temos que u L e u = 2p p. De cordo com o Lem do Bomemento, devemos ter que u pode ser dividido em 3 prtes u = xyz stisfzendo s seguintes condições: i) y > ii) xy < p iii) xy i z L, pr todo i N Entretnto, pr qulquer divisão u = xyz stisfzendo i) e ii), temos que y contém pens s (já que xy < p). Portnto, xy 2 z contém mior número de zeros do que de s, e, portnto, não é d form w n, onde w = n, isto é, xy 2 z L. () L = { n n n } Suponh, por contrdição, que L sej regulr. Então L deve stisfzer o Lem do Bomemento. Vmos provr que isso não contece e que, portnto, L não é regulr. Sej p o número de omemento de L e considere o string u = p p. Temos que u L e u = 2p + p. De cordo com o Lem do Bomemento, devemos ter que u pode ser dividido em 3 prtes u = xyz stisfzendo s seguintes condições: i) y > ii) xy < p iii) xy i z L, pr todo i N Entretnto, pr qulquer divisão u = xyz stisfzendo i) e ii), temos que y não contém nenhum d prte finl de u (já que xy < p). Portnto, xy 2 z tem form k p, onde k > p, ou sej xy 2 z L. 3. Prove que cd um ds lingugens seguir não é regulr, usndo proprieddes de fecho. () L = { m n n, m, n m} Suponh, por contrdição, que L sej regulr. Então temos que o seu complemento L é regulr. Entretnto, L = { n n n }, que já provmos nteriormente que não é regulr. Portnto, L não é regulr. () L = {w {, } o número de s em w é pr e o número de s é primo} Suponh, por contrdição, que L sej regulr. Temos que L = é regulr. Então L L é um lingugem regulr, já que clsse ds lingugens regulres é fechd em relção à operção de interseção. Entretnto, L L = { n n é primo}, que já provmos nteriormente que não é regulr. Portnto, L não é regulr.