Lic. Ciências da Computação 2009/10 Exercícios de Teoria das Linguagens Universidade do Minho Folha 6. δ

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1 Li. Ciênis d Computção 2009/10 Exeríios de Teori ds Lingugens Universidde do Minho Folh 6 2. Autómtos finitos 2.1 Considere o utómto A = (Q,A,δ,i,F) onde Q = {1,2,,4}, A = {,}, i = 1, F = {4} e função δ é definid pel tel seguinte: δ {1, 2} {4} {4} {1, } {4} {4} ) Represente o utómto A trvés de um grfo. ) Dê exemplos de plvrs eites por A e de plvrs rejeitds por A. ) Mostre que pr tod plvr u A, 4 δ(1,u). d) Desrev lingugem reonheid pelo utómto A. e) Indique se o utómto A é: i) determinist; ii) ompleto; iii) essível. 2.2 Considere o utómto A = ({0,1,2}, {,},δ,0, {2}) em que função trnsição δ é dd pel tel que se segue: ) Constru um grfo que represente A. ) Dê exemplos de elementos de L(A). δ {0} {2} {2} {1} {1} {2} ) Mostre que, pr qulquer u {,}, u L(A). d) Desrev L(A). e) Indique se o utómto é: i) determinist; ii) ompleto; iii) essível. 2. Considere o utómto A = (Q, {, }, δ, i, F) orrespondente o seguinte grfo ) Expliite Q, δ, i e F. 1 2 ) Dê exemplos de plvrs eites por A e de plvrs rejeitds por A. ) Mostre que, pr qulquer plvr u {,} + que sej eite por A, existe um plvr v {,} tl que u = v. d) Desrev lingugem reonheid por A. e) Clssifique A em relção determinismo e ompletude.

2 Li. Ciênis d Computção 2009/10 Exeríios de Teori ds Lingugens Universidde do Minho Folh Considere o lfeto A = {,,}. Indique um utómto finito que reonheç o onjunto de tods s plvrs sore A: ) que não são vzis; ) que têm um oorrêni de ; ) que têm pelo menos um oorrêni de ou de ; d) ujo número de oorrênis de é um múltiplo de ; e) que têm s plvrs e omo ftor; f) que não têm omo ftor. 2.5 Modele, trvés de um utómto finito, o funionmento de um máquin de vend de fé. Suponh que máquin pens eit moeds de 5, 10 e 20 êntimos e que o fé ust 0 êntimos. Qundo o vlor ds moeds depositds tinge ou exede os 0 êntimos máquin fornee um fé, não devolvendo troos nem os gurdndo em memóri. 2.6 Ddo um utómto A = (Q,A,δ,i,F) e ddos p,q Q, dizemos que p é essível prtir de q qundo existe lgum plvr u sore A tl que p δ(q,u). Mostre que se p é um estdo de A que não é essível prtir do estdo iniil i ou se p i e nenhum dos estdos finis de F é essível prtir de p, então o utómto B = (Q \ {p},a,δ Q\{p},i,F \ {p}) é equivlente A. 2.7 Prove que é reonheível lingugem formd pels plvrs sore o lfeto A = {,,}: ) om um número pr de oorrênis de ; ) de omprimento pr; ) que têm pelo menos um oorrêni de e em que tod oorrêni de é seguid de um oorrêni de. 2.8 Prove que, se L é um lingugem infinit reonheível, então existem j N 0 e l N tis que, pr d k N 0, L ontém plvrs de omprimento j + kl. 2.9 Use o Lem de Iterção pr provr que s seguintes lingugens sore o lfeto A = {, } não são reonheíveis. ) { i j k : i,j,k N 0 e i = j + k}. ) { m n : m,n N e m < n}. ) { n 2 n : n N} Sejm A = {,} e n N. Reorde que, ddos x,y N 0, diz-se que x é ongruente om y módulo n, e esreve-se x y(mod n), se x e y têm o mesmo resto n divisão inteir por n (ou sej, se x y é um múltiplo de n). ) Mostre que lingugem {u A : u = u } não é reonheível. ) Mostre que lingugem L n = {u A : u u (mod n)} é reonheível.

3 Li. Ciênis d Computção 2009/10 Exeríios de Teori ds Lingugens Universidde do Minho Folh Pr d um ds lingugens dos exeríios 2.4 e 2.7, indique um utómto determinist que reonheç Considere o utómto A representdo grfimente por,,, 1 2,, ) Mostre que é um plvr eite por A e que é um plvr rejeitd por este utómto. ) Desrev lingugem L(A) reonheid por A. ) Determine o utómto D(A) equivlente A. 2.1 Considere o utómto A representdo pelo seguinte grfo ) Desrev lingugem L(A) reonheid por A. ) Determine um utómto determinist, ompleto e essível que sej equivlente A Usndo sistems de equções lineres, determine um expressão regulr que represente d um ds seguintes lingugens sore o lfeto A = {,,}. ) L 1 = {u A : u 1}. ) L 2 = {u A : u é pr}. ) L = {u A : u tem um e um só oorrêni do ftor } Sej A = {,} e sej L 0 lingugem sore A onstituíd pels plvrs que não têm prefixo. ) Constru um utómto que reonheç L 0. ) A prtir do utómto onstruído n líne nterior e reorrendo o método ds equções lineres, otenh um expressão regulr r tl que L(r) = L 0. ) Pr d expressão regulr r ixo presentd, justifique se L(r) = L 0. i) + ( + ) + ǫ. ii) (ǫ + )(ǫ + )( + ). iii) (ǫ + )(ǫ + ( + ) ).

4 Li. Ciênis d Computção 2009/10 Exeríios de Teori ds Lingugens Universidde do Minho Folh Sej A = (Q,A,δ,i,F) um utómto om trnsições vzis. Ddos q Q, A e u A define-se feho (q) omo o onjunto formdo pelos estdos tingíveis prtir de q por um minho de etiquet e define-se função δ : Q A P(Q), designd por extensão d função trnsição δ, do seguinte modo: δ (q,ǫ) = feho ǫ (q) δ (q,u) = feho (p) p δ (q,u) Dig, justifindo, se são verddeirs ou flss s seguintes proposições. ) Pr quisquer q Q e A, δ(q,) δ (q,). ) Pr quisquer q Q e A, δ (q,) δ(q,). ) Pr quisquer u A e A, A eit u se existem q Q e p F tis que q δ (i,u) e p δ(q,). d) Pr quisquer u A e A, A eit u somente se existem q Q e p F tis que q δ (i,u) e p δ(q,) Sej A = {,} e sej A o utómto om trnsições-ǫ ddo pelo seguinte grfo. 2 ǫ 0 1 ǫ ) Pr d um dos estdos q de A, lule feho ǫ (q). ) Pr d u A tl que u 2, determine δ (0,u) e indique se u é eite por A. ) Prove que A eit tods s plvrs d lingugem L(() ). d) Indique um expressão regulr r tl que L(A) = L(r). e) Constru um utómto sem trnsições vzis que reonheç L(A). f) Constru um utómto determinist e sem trnsições vzis que reonheç L(A) Sej A = {, }. Prove que s lingugens ssoids às seguintes expressões regulres sore A são reonheíveis por utómtos om trnsições vzis: ) ( 2 ) ( 2 ) ; ) (() ) ; ) ( ) ( + ) Sejm A um lfeto, r e s expressões regulres sore A e A e B utómtos om trnsições vzis, mos om lfeto A, que reonheçm L(r) e L(s) respetivmente. Constru utómtos om trnsições vzis pr reonheer d um ds seguintes lingugens: ) L(r + s); ) L(rs); ) L(r ).

5 Li. Ciênis d Computção 2009/10 Exeríios de Teori ds Lingugens Universidde do Minho Folh Considere o lfeto A = {,,}, lingugem L = (( + ) + ) e o utómto A desrito n figur ixo ) Constru um utómto que reonheç L. ) Constru um utómto que reonheç: i) L(A) L. ii) L(A)L. iii) L(A) Sejm A um lfeto e L 1 e L 2 lingugens sore A reonheíveis. Mostre que: ) L 1 é um lingugem reonheível; ) L 1 L 2 é um lingugem reonheível Considere o utómto A representdo grfimente por 1 2 ) Clssifique o utómto A. 4 ) Utilizndo o método ds equções lineres, determine um expressão regulr que represente L(A). 2.2 Considere o lfeto A = {0,1}. Pr d lingugem L 0 seguir indid: i) L 0 = {x A : x 1(mod )}; ii) L 0 é o onjunto ds plvrs sore A que têm pelo menos um lgrismo repetido; iii) L 0 é o onjunto ds plvrs sore A que têm um número pr de oorrênis do símolo 1 e um número ímpr de oorrênis do símolo 0. ) Constru um utómto que reonheç L 0 ; ) Reorrendo o método ds equções lineres, determine um expressão regulr r tl que L(r) = L 0.

6 Li. Ciênis d Computção 2009/10 Exeríios de Teori ds Lingugens Universidde do Minho Folh Sejm A = {,} e L = A A. ) Clule 1 L, 1 L, () 1 L, () 1 L, () 1 L e () 1 L. ) Mostre que são reonheíveis s lingugens i) 1 L; ii) () 1 L Sej L um lingugem sore um lfeto A e sej u A. Mostre que se L é um lingugem reonheível, então u 1 L é tmém reonheível. [Sugestão: onsidere um utómto determinist A que reonhee L e modifique o seu estdo iniil de form oter um utómto A u que reonhee u 1 L.] 2.26 Sejm L, L 1, L 2 lingugens sore um lfeto A e sejm A e u,v A. Mostre que: ) u 1 (L 1 L 2 ) = u 1 L 1 u 1 L 2. ) u 1 (L 1 \ L 2 ) = u 1 L 1 \ u 1 L 2. ) u 1 (L 1 L 2 ) = u 1 L 1 u 1 L 2. d) 1 L = ( 1 L)L. e) (uv) 1 L = v 1 (u 1 L) Pr d um ds lingugens L seguir definid sore o lfeto A = {,,}, determine o utómto miniml que reonhee. ) L = L( ). ) L = L( + ). ) L = L(( + + ) ( + )( + + ) ) Sej A = (Q, A, δ, i, F) um utómto determinist, ompleto e essível. Prove que: ) relção e s relções k, pr d k N 0, são relções de equivlêni. ) pr qulquer k N 0, k+1 k. ) pr quisquer q,q Q, q q se e só se pr qulquer k N 0, q k q. d) existe k N 0 tl que k+1 = k = Sej A = (Q, A, δ, i, F) um utómto determinist, ompleto e essível e sej A/ = (Q, A, δ, i, F) o seu utómto quoiente. Prove que: ) pr quisquer u A e q Q, δ(q,u) F se e só se δ(q,u) F. ) L(A) = L(A/ ). ) A/ é um utómto miniml.

7 Li. Ciênis d Computção 2009/10 Exeríios de Teori ds Lingugens Universidde do Minho Folh Pr d um dos utómtos A seguir representdo: ) Determine um utómto determinist, ompleto e essível que lhe sej equivlente. ) Determine um expressão regulr que represente L(A), utilizndo o método ds equções lineres. ) Dê exemplo de estdos distintos que sejm equivlentes e dê exemplo de estdos que não sejm equivlentes, so existm. d) Indique o onjunto Q de estdos do utómto e: i) Pr d k N 0, determine o onjunto quoiente Q/ k, pr relção k ; ii) Indique o onjunto quoiente Q/, pr relção. e) Constru o seu utómto miniml, utilizndo dois proessos distintos. 2.1 Considere o lfeto A = {,,} e o utómto A desrito n figur ixo , ) Determine um utómto A que sej determinist, ompleto e essível e que reonheç lingugem L(A). ) Clule o utómto miniml equivlente A. ) Clule L(A).