Dep. Matemática e Aplicações 27 de Abril de 2011 Universidade do Minho 1 o Teste de Teoria das Linguagens. Proposta de resolução

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1 Dep. Mtemátic e Aplicções 27 de Aril de 2011 Universidde do Minho 1 o Teste de Teori ds Lingugens Lic. Ciêncis Computção Propost de resolução 1. Considere lingugem L = A sore o lfeto A = {,}. Durção: 2 hors () Dig, justificndo, se são verddeirs ou flss s seguintes firmções: (i) Pr todo u L 2, tem-se u = v 2, pr lgum v L. R: A firmção é fls. Contr-exemplo: As plvrs e são elementos de L, logo u = é um elemento de L 2. No entnto, u vv, pr todo v L. (ii) L I = L. R: A firmção é verddeir. De fcto, pr quisquer lingugens L 1,L 2,L 3 sore um lfeto A, se-se que (L 1 L 2 )L 3 = L 1 (L 2 L 3 ); (L 1 ) I = L 1 ; (L 1 L 2 ) I = L I 2 L I 1, logo L I = ({}A {}) I = {} I ({}A ) I = {} I ((A ) I {} I ) = {}(A {}) = {}A {} = L. () Recorrendo o Princípio de Indução em N, mostre que pr todo n N, Conclu que L = L {ǫ}. L n+1 L n. R: O Principio de Indução em N estelece o seguinte: Sej P(n) um propriedde sore elementos de n N. Se 1) P(1) é verddeir; 2) P(k) P(k +1), pr todo k N, então, P(n) é verddeir, pr todo n N. Representemos por P(n) propriedde L n+1 L n e mostremos, recorrendo o Princípio de Indução em N, que P(n) é verddeiro, pr todo n N. 1) Cso se (n = 1): Temos L 2 = (A )(A ). Logo, ddo u L 2 tem-se u = (u 1 )(u 2 ) = u 1 u 2, pr lguns u 1,u 2 A. Então, como A e u 1,u 2 A, temos v = u 1 u 2 A e, portnto, u = v A = L. Logo L 2 L e, portnto P(1) é verddeiro. 2) Psso de indução: Ddo k N, dmitmos que P(k) é verddeiro, ou sej, que L k+1 L k. PretendemosmostrrqueP(k+1)éverdde, ousej, quel k+2 L k+1. Com efeito, se L k+1 L k, segue que L k+2 = L L k+1 L L k = L k+1. Assim, P(k) P(k +1). De 1) e 2) e do Princípio de Indução em N concluímos que, pr todo n N, P(n) é verddeiro. Do que cámos de provr segue que, pr todo n N, L n L 1, logo L = n N 0 L n = L 0 L n = {ǫ} L. n N

2 2. Considere s seguintes expressões regulres sore o lfeto A = {, } r 1 = (+) r 3 = ((+)(+)) r 2 = (+) r 4 = ( + ) () Apresente um definição indutiv d lingugem L(r 1 ). R: A lingugem L(r 1 ) pode ser definid indutivmente pels regrs seguintes: 1) L; 2) Se u L, então u L; 3) Se u L, então u L. () Dig, justificndo, se são verddeirs ou flss s seguintes firmções: (i) r 1 r 2 = r 3 ; R: A firmção é fls. Ddo que L(r 1 r 2 ) = L(r 1 )L(r 2 ) = (L()L((+) ))(L((+) )L()) = {}(L(+)) (L(+)) {} = {}({} {}) ({} {}) {} = {}{,} {,} {} = {}{,} {} L(r 3 ) = L()L(((+)(+)) )L() = {}(L((+)(+))) {} = {}(L(+)L(+)) {} = {}(({} {})({} {})) {} = {}(({,}{,}) {} = {}{,,,} {}. temos L(r 1 r 2 ), ms L(r 3 ). Assim, L(r 1 r 2 ) L(r 3 ) e, portnto, r 1 r 2 r 3. (ii) r 1 r 2 = r 4. R: A firmção é verddeir. Com efeito, ddo um lfeto A e r,s,t expressões regulres sore A, se-se que (i) (rs)t = r(st); (ii) r r = r ; (iii) (r +s) = (r +s ). Então r 1 r 2 = ((+) )((+) ) = ((+) (+) ) por (i) = (+) por (ii) = ( + ) por (iii) = r Indique um expressão regulr sore o lfeto A = {, } que represente: () A lingugem L sore A tl que L = (L 1 L 2 ), onde L 1 = A e L 2 = {}. Justifique. R: A expressão regulr r = ((+) +) represent lingugem L. Com efeito,

3 () A lingugem L 1 sore A tl que L(r) = (L((+) +)) = (L((+) ) L()) = (L((+) )L() {}) = ((L(+)) {} {}) = (({} {}) {} {}) = ({,} {} {}) = (A {} {}) = (L 1 L 2 ) L 1 = L 2 L 2 = L 3 L 4 L 3 = L 2 L 2 {ǫ} L 4 = L 2 L 2. onde L 2,L 3,L 4 são lingugens sore A. Justifique su respost usndo um sistem de equções linres pr determinr um expressão regulr r sore A tl que L(r) = L 1. R: O sistem de equções lineres à direit ssocido à definição de L 1 é o seguinte Resolvendo este sistem, temos X 2 = X 3 +X 4 X 3 = X 2 +X 2 +ǫ X 4 = X 2 +X 2 X 2 = X 3 +X 4 X 3 = X 2 +X 2 +ǫ X 4 = X 2 +X 2 X 2 = (X 2 +X 2 +ǫ)+(x 2 +X 2 ) X 3 = X 2 +X 2 +ǫ X 4 = X 2 +X 2 X 2 = (+++)X 2 + X 3 = X 2 +X 2 +ǫ X 4 = X 2 +X 2 X 2 = (+++) X 3 = X 2 +X 2 +ǫ X 4 = X 2 +X 2 X 1 = (+++) X 2 = (+++) X 3 = X 2 +X 2 +ǫ X 4 = X 2 +X 2 Um vez que solução pr X 1 represent lingugem L 1, temos L 1 = L((+++) ) = L(((+)(+)) ). 4. Sejm A = {,} e A = ({1,2,3},A,δ,1,{3}) o utómto finito representdo pelo grfo seguinte: 1 2 3

4 () Determine {u L(A) : u 4}. Dig, justificndo, se L(A) = L(( + + ) + ). R: Um plvr u A é um elemento de L(A) se existe um cminho em sucedido em A com etiquet u. Assim, {u L(A) : u 4} = {,,,,,,,,,,}. Um vez que L(A) e L(( + + ) + ), tem-se L(A) L(( + + ) + ). () Constru um utómto A finito determinist completo cessível equivlente A. Um utómto finito A = (Q,A,δ,i,F) diz-se completo se pr cd q Q e A existe, pelo menos, um trnsição com origem q e etiquet ; determinist se pr cd q Q e A existe no máximo um trnsição com origem q e etiquet ; cessível se pr cd q Q existe um cminho inicil com término no estdo q. OutómtoA seguinte(construídodecordocomproposição3.19)éumutómto determinist, completo, cessível e equivlente A: , (c) Indique o conjunto de estdos Q do utómto A. R: Representndo por q 1,q 2,q 3,q 4 e q 0 os estdos 1,12,3,13 e do utómto A, temos Q = {q 0,q 1,q 2,q 3,q 4 }. i. Pr cd k N 0, determine o conjunto quociente Q / k pr relção k. R: Ddo um utómto A = (Q,A,δ,i,F ) e ddos q,q Q, s relções k podem ser definids recursivmente do seguinte modo: q 0 q se e só se q,q F ou q,q Q \F ; pr cd k N 0, q k+1 q se e só se q k q e, pr cd A, se δ (q,) = {p} e δ (q,) = {p }, então p k p. Assim, considerndo A = (Q,A,δ,i,F ) o utómto determindo nteriormente temos Q / 0 = {{q 3,q 4 },{q 0,q 1,q 2 }}, pois q 3 e q 4 são os únicos estdos finis de A. Agor, d definição de 1 e d tel seguinte segue que δ q 0 q 0 q 0 q 1 q 2 q 3 q 2 q 2 q 3 q 3 q 0 q 4 q 4 q 2 q 4 q 3 1 q 4, pois δ (q 3,) = {q 0 }, δ (q 4,) = {q 2 } e q 0 0 q 2 ;

5 δ (q 3,) = {q 4 }, δ (q 4,) = {q 4 } e q 4 0 q 4 ; q 0 1 q 1 pois δ (q 0,) = {q 0 }, δ (q 1,) = {q 3 } e q 0 0 q 3 ; q 1 1 q 2, pois δ (q 1,) = {q 2 }, δ (q 2,) = {q 2 } e q 2 0 q 2 ; δ (q 1,) = {q 3 }, δ (q 2,) = {q 3 } e q 3 0 q 3. Logo, tendendo que 1 é um relção de equivlênci, temos Q / 1 = {{q 3,q 4 },{q 1,q 2 },{q 0 }}. Clculemos, gor, relção 2. D relção 1, d definição de 2 e d tel nterior temos q 3 2 q 4, pois δ (q 3,) = {q 0 }, δ (q 4,) = {q 2 } e q 0 1 q 2 ; q 1 2 q 2, pois δ (q 1,) = {q 2 }, δ (q 2,) = {q 2 } e q 2 1 q 2 ; δ (q 1,) = {q 3 }, δ (q 2,) = {q 3 } e q 3 1 q 3. Logo Q / 2 = {{q 3 },{q 4 },{q 1,q 2 },{q 0 }}. D relção 2, d definição de 3 e novmente d tel nterior, temos q 1 3 q 2, pois δ (q 1,) = {q 2 }, δ (q 2,) = {q 2 } e q 2 2 q 2 ; δ (q 1,) = {q 3 }, δ (q 2,) = {q 3 } e q 3 2 q 3. Assim Q / 3 = Q / 2 e consequentemente tmém temos Q / k = Q / 2, pr todo k 3,. ii. Determine relção e constru o utómto A /. Dig, justificndo, se existe um utómto com 3 estdos que sej determinist, completo, cessível e equivlente A. R: D líne nterior semos que 3 = 2 e, portnto, = 2. Logo Q / = {{q 0 },{q 1,q 2 },{q 3 },{q 4 }}. Logo o utómto quociente A / = (Q,A,δ,i,F ) é o utómto representdo por q 1 q 3 q 4 q 0, onde q 0 = {q 0 }, q 1 = q 2 = {q 1,q 2 }, q 3 = {q 3 }, q 4 = {q 4 } e q 0,q 1,q 2,q 3 e q 4 representm os estdos,1,12,3 e 13 do utómto A. O utómto nterior é, menos de isomorfismo, o utómto determinist, completo, cessível com menor número de estdos que é equivlente A e, por conseguinte, é o utómto determinist, completo, cessível com menor número de estdos que é equivlente A. Logo não existe qulquer utómto com 3 estdos ns condições indicds. Cotção: 1. (3,25 + 2,25) 2. (1,5 + 3,25) 3. (1,75 + 2,0) 4. (1,5 + 2,0 + 2,5)