1 TEORIA DOS CONJUNTOS

Transcrição

1 TEORIA DOS CONJUNTOS Definição de Conjunto: um conjunto é um coleção de zero ou mis objetos distintos, chmdos elementos do conjunto, os quis não possuem qulquer ordem ssocid. Em outrs plvrs, é um coleção não-ordend de objetos. Exemplo: A {brnco, zul, mrelo} Em um conjunto, ordem dos elementos não import e cd elemento deve ser listdo pens um vez. Podemos definir um conjunto de diferentes forms: Denotção por Extensão: os elementos são listdos exustivmente. Exemplo: Vogis {, e, i, o, u} Denotção por Compreensão: definição de um conjunto por proprieddes comuns os objetos. De form gerl, escreve-se {x P(x)}, onde P(x) represent propriedde. Exemplo: Pres {n n é pr}, que represent o conjunto de todos os elementos n, tl que n é um número pr. Aind podemos especificr um conjunto omitindo lguns elementos que estão implícitos n notção dotd. Vej exemplos: Dígitos {,,, 3,..., 9} Pres {,, 4, 6,...}. Relção de Pertinênci - Se é elemento de um conjunto A, então podemos escrever: e dizemos que pertence o conjunto A. A - Se não é elemento de um conjunto A, então podemos escrever: e dizemos que não pertence o conjunto A. A Exemplo: Considerndo o conjunto Vogis {, e, i, o, u}, podemos dizer que: - e Vogis - m Vogis Considerndo o conjunto B {x x é brsileiro}, temos que: - Pelé B - Bill Gtes B. Alguns Conjuntos Importntes O Conjunto Vzio é um conjunto que não possui elementos e pode ser denotdo por ou { }. Aind temos: 4

2 - N, que represent o conjunto dos números nturis; - Z, que represent o conjunto dos números inteiros; - Q, que represent o conjunto dos números rcionis; - I, que represent o conjunto dos números irrcionis; - R, que represent o conjunto dos números reis; - C, que represent o conjunto dos números complexos. Definição de Alfbeto: um lfbeto é um conjunto finito, ou sej, um conjunto que pode ser denotdo por extensão. Os elementos de um lfbeto são chmdos de símbolos ou crcteres. Definição de Plvr: um plvr sobre um lfbeto é um seqüênci finit de símbolos do lfbeto, justpostos. ε Σ Σ * plvr vzi lfbeto conjunto de tods s plvrs possíveis sobre o lfbeto Σ Exemplos: - é um lfbeto - {, b, c, d} é um lfbeto - N não é um lfbeto - ε é um plvr sobre {, b, c] - ε é um plvr sobre - * {ε} Aplicções n Computção Chmmos de Lingugem Forml um conjunto de plvrs sobre um lfbeto. Portnto, podemos entender que um lingugem de progrmção é o conjunto de todos os seus possíveis progrms e que um progrm é um plvr d lingugem de progrmção..3 Relção de Inclusão Se todos os elementos de um conjunto A são tmbém elementos de um conjunto B, então dizemos que: A B A está contido em B ou que B A B contém A Neste cso, podemos dizer que A é um subconjunto de B. Por outro ldo, se A B e A B, ou sej, existe b B tl que b A, então dizemos que: ou que A B B A A está contido proprimente em B B contém proprimente A Neste cso, dizemos que A é um subconjunto próprio de B. Exemplos: - {,, 3} {3,, } - {, } {,, 3} - {, } {,, 3} 5

3 Definição de Conjunto Universo: denotdo por U, é o conjunto que contém todos os conjuntos que estão sendo considerdos, ou sej, define o contexto de discussão. Dess form, U não é um conjunto fixo e, pr qulquer conjunto A, temos que A U..4 Iguldde de Conjuntos Dois conjuntos A e B são ditos iguis se, e somente se, possuem os mesmos elementos, ou sej: A B Exemplos:,, x Ν x x < 3 - { } { } - Ν { x Ζ x } - {, b, c} {, b, b, c, c, c} ( A B B A).5 Pertinênci x Inclusão Os elementos de um conjunto podem ser conjuntos. Portnto, preste tenção nos conceitos de pertinênci e inclusão. Exemplos: Considere o conjunto S {, b, c, d,, {}, {, }}. Então: - {} S - {} S - S - S - {} S - {,} S - {, b, c, d} S - {, b, c, d} S 6

4 INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA Lógic é o estudo dos princípios e métodos usdos pr distinguir sentençs verddeirs de flss. Definição de Proposição: um proposição é um construção que se pode tribuir juízo, ou sej, que pode ser pens verddeir ou fls. São exemplos de proposições: - Qutro é mior do que cinco. - El é muito inteligente. - São Pulo é um cidde grnde Exemplos que não são proposições: - Como vi você? - Como isso pode contecer! - Bom di!. Conectivos Lógicos As proposições podem ser simples (tômics) ou compots e os conectivos têm função de combinr sentençs simples pr formr sentençs composts. Proposição Atômic: são proposições que não podem ser decomposts em proposições mis simples. Proposição Compost: são proposições mis complexs, composts por proposições mis simples trvés dos conectivos lógicos (ou operdores lógicos). Exemplos: - Animis são peludos e ves têm pens. - Vou comprr um crro ou um biciclet. - Se chover então ficrei em cs. - Um triângulo é equilátero se e somente se tiver os três ldos iguis... Negção A negção de um proposição é construíd prtir d introdução d plvr não ou não é o cso que. Exemplos: - Brsil não é um pís. - Não é o cso que qutro é mior do que cinco. Considerndo que P denot um proposição, então su negção é denotd por: P ou ~ P (lê-se "não P") Interpretmos negção d seguinte form: se P é verddeir, então P é fls; se P é fls, então P é verddeir. Pr visulizr os vlores lógicos de um conectivo utilizmos tbel-verdde, que descreve s possíveis combinções dos vlores lógicos ds proposições. 7

5 P P V F F V.. Conjunção Um conjunção é verddeir se mbos seus conjunctos são verddeiros. Cso contrário, é fls. É denotd por: P Q (lê-se "P e Q") A seguir tbel-verdde d conjunção. P Q P Q V V V V F F F V F F F F..3 Disjunção Um disjunção é verddeir se pelo menos um dos seus disjunctos for verddeiro. Cso contrário, é fls. É denotd por: P Q (lê-se "P ou Q") A tbel-verdde d disjunção está presentd seguir. P Q P Q V V V V F V F V V F F F..4 Condicionl (Implicção) O condicionl é flso se seu ntecedente for verddeiro e seu conseqüente for flso. Cso contrário, ele é verddeiro. É denotdo por: P Q (lê-se "se P então Q") Observe: expressão P Q ssegur que: não é o cso que P e não Q. Verblizndo, se considerrmos expressão: Se esfrir, então chove (P Q) podemos interpretá-l como sendo: Não é o cso que esfri e não chove (P Q) Assim, podemos dizer que um enuncido d form P Q tem o mesmo significdo (semântic) que um enuncido d form (P Q), ou sej, mbos são verddeiros sob s mesms condições. Portnto, podemos obter tbel-verdde de P Q construindo tbel verdde de (P Q). P Q P Q V V V V F F F V V F F V 8

6 ..5 Bicondicionl O bicondicionl, denotdo por P Q, tem o mesmo significdo que (P Q) (Q P). Assim, tbel-verdde de (P Q) pode ser obtid construindo tbel-verdde de (P Q) (Q P). P Q P Q V V V V F F F V F F F V. Fórmuls Bem-Formds Fórmuls bem-formds (well formed formul - wff) são sentençs lógics construíds corretmente sobre o lfbeto cujos símbolos são conectivos, prênteses e letrs sentenciis. Exemplos: - P, P Q, P Q, P Q, P Q - P Q - (P Q) R - (P Q) ( P Q).3 Tbels-verdde pr wffs Pr construir um tbel-verdde pr um wff, escrevemos s letrs sentenciis à esquerd d tbel e fórmul à direit d tbel. Devemos completr com tods s possibiliddes de vlores verdde pr s letrs sentenciis. A seguir, devemos identificr o operdor principl, pois é ele que determin o vlor-verdde pr tod fórmul. Por fim, completmos tbel com os vlores-verdde pr os operdores, sub-wffs e por fim pr wff (operdor principl). Vej os exemplos bixo, observndo os pssos de construção:. Constru tbel-verdde pr fórmul P. ) preenchemos colun letr sentencil P, completndo-se os possíveis vlores-verdde que P pode ssumir; b) preenchemos colun d ocorrênci de P n fórmul (n wff); c) preenchemos o sinl de negção imeditmente à esquerd de P; d) preenchemos o segundo sinl de negção, que é o operdor principl e, portnto, determin o vlor-verdde d fórmul. P P V V F V F F V F. Constru tbel-verdde pr fórmul P Q. P Q P Q V V F V V V F F F F F V V V V F F V V F Observe que o operdor principl d fórmul cim é últim ser preenchid. Assim: e, portnto, deve ter su colun como 9

7 ) preenchemos s coluns ds letrs sentenciis P e Q (à esquerd d tbel); b) preenchemos s coluns d ocorrênci de P e Q; c) por fim, preenchemos colun, que é o operdor principl e, portnto, determin o vlor verdde d fórmul. 3. Constru tbel verdde pr fórmul (P Q) (P Q). P Q P Q P Q V V V V V F F V V V V F V V F V V V F F F V F V V V V F F V F F F F F F V F F F O operdor principl dess fórmul é o (vej: (P Q) (P Q)). Assim colun deste operdor determin o vlor-verdde d fórmul. Então, s etps de construção são como segue: ) preenchemos s coluns ds letrs sentenciis P e Q (à esquerd d tbel); b) preenchemos s coluns d ocorrênci de P e Q n fórmul; c) preenchemos s coluns d ocorrênci de e n fórmul (ms não o principl); d) preenchemos colun d ocorrênci d negção do operdor ; e) finlmente, preenchemos colun do operdor principl, que determin o vlorverdde d fórmul. (Observe que o operdor principl conect s coluns de e ). 4. Constru tbel verdde pr fórmul P P. P P P V V V F F F V V 5. Constru tbel verdde pr fórmul P P. P P P V V F F F F F V Um fórmul que ssume sempre o vlor lógico V, como no exemplo 4, é denomind um tutologi. Um tutologi é intrinsecmente verddeir pel su própri estrutur, ou sej, é verddeir independentemente dos vlores lógicos tribuidos s sus letrs sentenciis. Por outro ldo, um fórmul que ssume sempre o vlor lógico F, como no exemplo 5, é denomind um contrdição. Um contrdição é intrinsecmente fls pel su própri estrutur, ou sej, é fls independentemente dos vlores lógicos tribuidos s sus letrs sentenciis..4 Equivlênci Dizemos que dus fórmuls P e Q são equivlentes se fórmul P Q é um tutologi. Denotmos ess propriedde por P Q A seguir, exemplos de lgums equivlêncis tutológics importntes, onde represent um tutologi e represent um contrdição:

8 - Comuttividde: A B B A A B B A - Associtividde: (A B) C A (B C) (A B) C A (B C) - Distributividde: A (B C) (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C) - Elemento Neutro: A A A A - Complementres: A A A A O - DeMorgn: (A B) A B (A B) A B Aplicções n Computção Os conectivos lógicos E (AND), OU (OR) e NÃO (NOT), respectivmente, e, estão disponíveis em muits lingugens de progrmção. Eles gem sobre combinções e expressões verddeirs e flss pr produzir um vlor lógico finl. Tis vlores lógicos permitem decisão do fluxo de controle em progrms de computdor. Assim, em um rmificção condicionl de um progrm, se o vlor lógico d expressão condicionl for verddeiro, o progrm executrá um trecho do seu código; se o vlor lógico d expressão condicionl for flso, ele execurá outro trecho do seu código. Se expressão condicionl for substituíd por outr expressão equivlente mis simples, o vlor lógico não será fetdo, ssim como o fluxo de controle do progrm, ms o novo código será mis fácil de ser entendido e poderá ser executdo mis rpidmente. Vej o exemplo seguir: if ((x < y) nd not ((x < y) nd (z < ))) do AlgumCois; else do OutrCois; Nesse exemplo, expressão condicionl tem form A (A B), onde A é "x < y" e B é "z < ". Podemos simplificr ess expressão utilizndo s equivlêncis vists nteriormente. A (A B) A ( A B) (DeMorgn) (A A) (A B) (Distributividde) (A B) (Complemetr) (A B) (Comuttividde) A B (Elemento Neutro) Podemos então reecrever proposição d seguinte form: if ((x < y) nd not (z < )) do AlgumCois; else do OutrCois;.5 Quntificdores Wffs formds pens pelos cinco operdores lógicos ( ) têm possibilidde limitd de expressões. Por exemplo, não conseguirímos simbolizr sentenç "Pr todo x, x>" como sendo um proposição verddeir sobre os inteiros positivos. Portnto novos conceitos, como o de quntificdor, deve ser introduzido. Quntificdores são frses do tipo pr todo, pr cd ou pr lgum, isto é, frses que dizem "quntos objetos" presentm determind propriedde. Quntificdor Universl: é simbolizdo por e lê-se pr todo, pr qulquer ou pr cd. Assim, sentenç cim pode ser simbolizd por:

9 ( x)( x > ) O vlor lógico d expressão ( x)(x>) depende do domínio dos objetos sobre os quis estmos nos referindo, que chmmos de conjunto universo. Qul seri o vlor lógico d expressão ( x)p(x) em cd um ds seguintes interpretções? - P(x) é propriedde que x é mrelo e o conjunto universo é o conjunto de todos os botõesde-ouro. - P(x) é propriedde que x é mrelo e o conjunto universo é o conjunto de tods s flores. - P(x) é propriedde que x é positivo ou negtivo e o conjunto universo é conjunto de todos os inteiros. Quntificdor Existencil: é simbolizdo por e lê-se existe, existe lgum, pr pelo menos um, pr lgum. Assim, expressão ( x)( x > ) pode ser lid como "existe um x tl que x é mior do que zero". A expressão ( x)( y)q(x, y) é lid como "pr todo x existe um y tl que Q(x, y)". Considerndo que o conjunto universo é conjuntos dos números inteiros e que Q(x, y) é propriedde x < y, expressão diz que pr todo inteiro x existe um inteiro mior. Est expressão é verddeir. Entretnto, se invertermos ordem dos quntificdores escrevendo ( y)( x)q(x, y), mesm interpretção diz que existe um inteiro y que é mior que qulquer outro inteiro x. Neste cso, o vlor lógico d expressão é flso. Isto resslt o fto de que ordem dos quntificdores é importnte!

10 3 ÁLGEBRA DE CONJUNTOS Entendemos que um álgebr é constituíd de operções definids sobre um conjunto. Dess form, um Álgebr de Conjuntos é constituíd por operções definids pr todos os conjuntos. Podemos representr conjuntos e sus operções trvés de figurs geométrics, como elipses e retângulos, chmdos Digrms de Venn. Usulmente, os retângulos são utilizdos pr representr o conjunto universo e s elipses pr representr os demis conjuntos. Por exemplo, s figurs bixo representm: b c A O conjunto A {, b, c} B A A B S U S U A relção de inclusão é trnsitiv, ou sej: A B B C A C Prov: Suponh A, B e C conjuntos quisquer tl que A B e B C. Sej A. Então, temos que A B pel definição de subconjunto (A B) C pel definição de subconjunto (B C) Logo, pr qulquer elemento A, temos que C. Assim, pel definição de subconjunto, temos que A C. 3. Operção de União Sejm A e B conjuntos. A união dos conjuntos A e B, denotd por A B { x x A x B} A B, é como segue: Em outrs plvrs, união de dois conjuntos A e B consider todos os elementos que pertencem o conjunto A ou o conjunto B, ou sej, result em um conjunto cujos elementos pertencem pelo menos um dos dois conjuntos. 3

11 A operção de união pode ser visulizd trvés de um digrm de Venn, como mostrdo seguir. Exemplos: - Ddos os conjuntos D {,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} e V {, e, i, o, u}, temos que D V {,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,, e, i, o, u} - Ddos os conjuntos A {x Ν x > } e B { x Ν x x}, temos que A B {,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...} - Considere R, Q e I. Temos que R Q R R I R Q I R - Pr qulquer conjunto universo U e qulquer A U, temos que U U U A U U U U 3.. Proprieddes d União Elemento Neutro: A A A Prov: Sej x (A ). x (A ) x A x (definição de união) x A (elemento neutro) Logo, A A Anlogmente, sej x ( A). x ( A) x x A (definição de união) x A x (comuttividde) x A (elemento neutro) Logo, A A Idempotênci: A A A Prov: Sej x (A A). x (A A) x A x A (definição de união) x A (idempotênci do conectivo ) 4

12 Logo, A A A Comuttividde: A B B A Prov: Cso : Sej x A B. x A B x A x B (definição de união) x B x A (comuttividde do conectivo ) x (B A) (definição de união) Logo, pel definição de inclusão, (A B) (B A). Cso : Sej x B A. x B A x B x A (definição de união) x A x B (comuttividde do conectivo ) x A B (definição de união) Logo, (B A) (A B). Portnto, pel definição de iguldde de conjuntos, podemos concluir que A B B A. Associtividde: A (B C) (A B) C Prov: Cso : Sej x A (B C). x A (B C) x A x (B C) (definição de união) x A (x B x C) (definição de união) (x A x B) x C (ssocitividde do conectivo ) x (A B) x C (definição de união) x (A B) C (definição de união) Logo, pel definição de inclusão, temos que A (B C) (A B) C. Cso : Sej x (A B) C. x (A B) C x (A B) x C (definição de união) (x A x B) x C (definição de união) x A (x B x C) (ssocitividde do conectivo ) x A x (B C) (definição de união) x A (B C) (definição de união) Logo, (A B) C A (B C). Portnto, pel definição de iguldde de conjuntos, podemos concluir que A (B C) (A B) C. 3. Operção de Interseção Sejm A e B conjuntos. A interseção dos conjuntos A e B, denotd por A B { x x A x B} A B, é como segue: Em outrs plvrs, interseção de dois conjuntos A e B consider todos os elementos que pertencem o conjunto A e o conjunto B, ou sej, result em um conjunto cujos elementos pertencem os conjuntos A e B, simultnemente. 5

13 A operção de interseção pode ser visulizd trvés de um digrm de Venn, como mostrdo seguir. Exemplos: - Ddos os conjuntos D {,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, V {, e, i, o, u} e P {,, 4, 6, 8,...}, temos que D P {,, 4, 6, 8} D V Chmmos conjuntos cuj interseção é o conjunto vzio de conjuntos disjuntos. - Ddos os conjuntos A {x Ν x > } e B { x Ν x x}, temos que A B (conjuntos disjuntos) - Considere R, Q e I. Temos que R Q Q R I I Q I - Pr qulquer conjunto universo U e qulquer conjunto A U, temos que U A A U U U U 3.. Proprieddes d Interseção Elemento Neutro: A U U A A Idempotênci: A A A Comuttividde: A B B A Associtividde: A (B C) (A B) C As provs são nálogs à operção de união e ficm sugerids como exercício. Proprieddes que envolvem União e Interseção ) Distributividde d Interseção sobre União: A (B C) (A B) (A C) b) Distributividde d União sobre Interseção: A (B C) (A B) (A C) 3.3 Operção Complemento Suponh o conjunto universo U. O complemento de um conjunto A U, denotdo por como segue: ~ A x x A { } ~ A, é 6

14 A operção complemento pode ser visulizd trvés de um digrm de Venn, como mostrdo seguir. Exemplos: - Ddos o conjunto universo U {,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} e o conjunto A {,, }, temos que ~A {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} - Ddos o conjunto universo U N e o conjunto A {,, }, temos que ~A {x N x > } - Pr qulquer conjuntos universo U, temos que ~ U ~U - Considerndo R como conjunto universo, temos que ~Q I ~I Q - Suponh U qulquer. Então pr qulquer conjunto A U, temos que A ~A U A ~A ~ ~A A Podemos provr o último cso d seguinte form: Suponh um elemento x A. x A pr ~A, x A, ou sej (x A) pr ~ ~A, (x A), ou sej, x A. (definição de complemento) 3.3. Proprieddes de DeMorgn ) ~(A B) ~A ~B A B ~(~A ~B) b) ~(A B) ~A ~B A B ~(~A ~B) 3.4 Operção de Diferenç Sejm A e B conjuntos. A diferenç entre os conjuntos A e B, denotd por segue: A B x x A x B { } A B, é como Em outrs plvrs, diferenç entre dois conjuntos A e B consider todos os elementos que pertencem o conjunto A e que não pertencem o conjunto B. A operção de diferenç pode ser visulizd trvés de um digrm de Venn, como mostrdo seguir. 7

15 Exemplos: - Ddos os conjuntos D {,,, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9}, V {, e, i, o, u} e P {,, 4, 6, 8,...}, temos que D - V D D - P {, 3, 5, 7, 9} - Ddos os conjuntos A {x N x > } e B {x N x x }, temos que A - B {3, 4, 5, 6, 7,...} B - A {, } - Ddos os conjuntos R, Q e I, temos que R - Q I R - I Q Q - I Q - Pr qulquer conjunto universo U e qulquer conjunto A U, temos que - U - U U - A ~A U - U 3.5 Conjunto ds Prtes Ddo conjunto A, temos que: - A A - A - Se x A, então {x} A A operção unári, que plicd um conjunto A, result num conjunto constituído de todos os subconjuntos de A é denomind conjunto ds prtes de A e é denotd por: P ( A) { X X A} Exemplo: Ddos os conjuntos A {}, B {, b} e C {, b, c}, temos que - P( ) { } - P(A) {, {}} - P(B) {, {}, {b}, {, b}} - P(C) {, {}, {b}, {c}, {, b}, {, c}, {b, c}, {, b, c}} Se o número de elementos de um conjunto X é n, então o números de elementos de P(X) é n. 3.6 Produto Crtesino Antes de definirmos operção produto crtesino, vmos definir um seqüênci: um seqüênci de n elementos é definid como sendo um n-upl ordend, ou sej, n objetos em ordem fix. Prticulrmente, dizemos que um -upl é um pr ordendo e é representd por y x, y. x, ou ( ) 8

16 Observção: A ordem dos elementos é importnte! Logo, x, y y, x. Sejm A e B conjuntos. O produto crtesino de A por B é como segue: A B, { b A b B} Denotmos o produto crtesino de um conjunto A por ele mesmo como A A Exemplos: Ddos os conjuntos A {}, B {, b} e C {,, }, temos que: A B,,, b A. - { } - B C {,,,,,, b,, b,, b, } - C B {,,, b,,,, b,,,, b } - A {, } - B {,,, b, b,, b, b } - A Ν {,,,,,,...} - ( A B) C {,,,,,,,,,, b,,, b,,, b, } - A ( B C) {,,,,,,,,,, b,,, b,,, b, } - A - A - Observções: - Não-comuttividde: A C C A A B C A B C - Não-ssocitividde: ( ) ( ) Proprieddes que envolvem Produto Crtesino, União e Interseção ) Distributividde sobre União: A ( B C) ( A B) ( A C) A B C A B A C b) Distributividde sobre Interseção: ( ) ( ) ( ) 3.7 União Disjunt Sejm A e B conjuntos. A união disjunt dos conjuntos A e B, denotd por segue: A B, A A b, B b B { } { } A B, é como onde os pres ordendos, A e b, B representm elemento, identificção. Tmbém podemos denotr união disjunt d seguinte form: A B { A} { b b B} A Exemplos: Ddos os conjuntos D {,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, V {, e, i, o, u}, P {,, 4, 6,...} e A {, b, c}, temos que: - D V { D, D, D, 3 D, 4 D, 5 D, 6 D, 7 D, 8 D, 9 D, V, e V, i V, o V, u V } - D P { D, D, D, 3 D, 4 D, 5 D, 6 D, 7 D, 8 D, 9 D, P, P, 4 P, 6 P,...} - - A { A, b A, c A } - A A {, b, c,, b, c } B 9

17 4 RELAÇÕES 4. Relção Binári Ddos dois conjuntos A e B, um relção binári R de A em B é um subconjunto de um produto crtesino A B, ou sej R A B, onde: - A é o domínio, origem ou conjunto de prtid de R - B é o contr-domínio, destino ou conjunto de chegd de R Pr R A B, se, b R, então firmmos que " relcion-se com b". Podemos denotr um relção R d seguinte form: denot-lo como Rb. R : A B e, pr um elemento, b R, podemos Exemplos: Sejm A {}, B {, b} e C {,, }. São exemplos de relções: - é um relção de A em B A B,,, b é um relção de A em B - { } - Relção de Iguldde de A em A: {, } - Relção "menor" de C em C: {,,,,, } - Relção de C em B: {,,,b } - : P( B) P( B) - : C C - : A A Endorrelção ou Auto-Relção: ddo um conjunto A, um relção do tipo R : A A é dit um Endorrelção ou Auto-Relção. Assim, temos que origem e destino são o mesmo conjunto e podemos denot-l por A, R. Exemplos: Sej A um conjunto. Então, são endorrelções: - Ν, - Ζ, - Q, - P(A), - P(R), Um relção binári pode ser representd no digrm de Venn, como mostrm s figurs bixo. pr A B C b, b de R : A B C, < A seguir, lgums definições referentes o conceito de relção: C {,,,,, }

18 ), b R : dizemos que R está definid pr e que b é imgem de. b) Domínio de definição: é o conjunto de todos os elementos de A pr os quis R está definid. c) Conjunto imgem: conjunto de todos os elementos de B que estão relciondos com lgum elemento de A. Exemplos: Ddos os conjuntos A {}, B {, b} e C {,, }, temos que - pr endorelção C, <, o domínio de definição é o conjunto {, } e o conjunto imgem é o conjuto {, ] - pr relção : A B, o domínio de definição é o conjunto {} e o conjunto imgem tmbém é o conjunto {}. 4. Endorrelção como Grfo Tod endorrelção R : A A pode ser representd como um grfo, onde: ) cd elemento do conjunto A é representdo como um nodo do grfo; b) cd pr, b d relção é representd como um rest do grfo, com origem em e destino em b. Exemplos: b A : B B {,, b, b } : A C, < {,,,,, } R : C C tl que R {,,,,, } 4.3 Relção como Mtriz Sejm A {,,..., n } e B {b, b,..., b m } dois conjuntos finitos. A representção d relção R : A B como mtriz é como segue: ) o número de linhs é n (número de elementos do domínio); b) o número de coluns é m (número de elementos d imgem); c) mtriz resultnte possui m x n céluls; d) cd um ds m x n céluls possuem um vlor lógico ssocido; e) se, b R, então posição determind pel linh i e pel colun j d mtriz contém i j vlor verddeiro (); cso contrário, seu vlor será flso ().

19 Exemplo: Ddos os conjuntos A {}, B {, b} e C {,, }, temos que b b < R : A A B, C,< R : C C tl que R {,,,,, } A B b A B A B S b {} {b} {, b} {} {,,, b } C B S : : P( A) P( B) 4.4 Proprieddes ds Relções Um endorrelção binári em um conjunto A pode ter determinds proprieddes. A seguir serão presentds s proprieddes que envolvem s endorrelções Relção Reflexiv Sejm A um conjunto e R um endorrelção em A. R é um relção reflexiv se: ( A)( R) A negção d propriedde reflexiv é como segue: ( A) ( ( R) ) Exemplos: Ddo o conjunto A {,, }, temos que s seguintes relções são reflexivs - Ν,, pois todo elemento é igul si mesmo - P (A),, pois todo conjunto está contido em si mesmo - A : A A, pois est relção contém os pres,,, e, - A,, pois todo elemento é igul si mesmo A mtriz e o grfo de um relção reflexiv presentm um crcterístic especil: digonl principl d mtriz contém somente vlores lógicos verddeiro () e qulquer nodo do grfo

20 possui um rest com origem e destino nele mesmo. Vej s mtrizes e grfos referentes lguns dos exemplos presentdos cim. A : A A A A, 4.4. Relção Irreflexiv Sejm A um conjunto e R um endorrelção em A. R é um relção irreflexiv se: ( A) ( ( R ) Exemplos: Ddo o conjunto A {,, }, temos que s seguintes relções são irreflexivs - Ζ,, pois não elemento diferente de si mesmo - P (A),, pois pr relção "está contido proprimente" os conjunto precism se diferentes - : A A, pois não há nenhum elemento do tipo, - R A,, se {,,,,, } R, pois não há nenhum elemento do tipo, Exemplo de relção nem reflexiv, nem irreflexiv: - S S,,,,, A,, se { } A mtriz e o grfo de um relção irreflexiv presentm um crcterístic especil: digonl principl d mtriz contém somente vlores lógicos flso (), e qulquer nodo do grfo não possui rest com origem e destino nele mesmo. Vej s mtrizes e grfos referentes lguns dos exemplos presentdos cim. : A A 3

21 R {,,,,, } R Relção Simétric Sejm A um conjunto e R um endorrelção. R é um relção simétric se: ( A)( b A)( Rb br) Exemplos: Ddos o conjunto A {,, } e X um conjunto qulquer, temos que s seguintes relções são simétrics - X : X X - X, - X, - P(X ), - : X X A mtriz e o grfo de um relção simétric presentm um crcterístic especil: n mtriz, metde cim d digonl principl é imgem espelhd d metde de bixo, e, no grfo, entre dois nodos quisquer, ou não existe rest, ou existem dus rests, um em cd sentido. Vej s mtrizes e grfos referentes lguns dos exemplos presentdos cim. A : A A A A, Relção Anti-Simétric Sejm A um conjunto e R um endorrelção em A. R é um relção nti-simétric se: ( A)( b A)( Rb br b) Exemplos: Ddos o conjunto A {,, } e X um conjunto qulquer, temos que s seguintes relções são nti-simétrics 4

22 - X, - P(X ), - : X X -, R Ν, se R { x, y Ν y x } Exemplo de relção nem simétric, nem nti-simétric: - S S,,,,, A,, se { } A mtriz e o grfo de um relção nti-simétric presentm um crcterístic especil: n mtriz, pr qulquer célul verddeir () em um ds metdes d mtriz, correspondente célul n outr metde é fls (); no grfo, entre dois nodos quisquer, existe no máximo um rest. Vej mtriz e o grfo referentes um dos exemplos presentdo cim. R {,,,,, } R Relção Trnsitiv Sejm A um conjunto e R um endorrelção em A. R é um relção trnsitiv se: ( A)( b A)( c A)( Rb brc Rc) Exemplos: Ddo um conjunto X qulquer, temos que s seguintes relções são trnsitivs - X : X X - : X X - X, - Ν, - Ζ, < - P(X ), - P(X ), Exemplos: Ddo um conjunto X qulquer, temos que s seguintes relções não são trnsitivs - Ζ, - R - R A,, se R {,,,,, } A,, se R {,,,,, } 4.5 Fechos de Relções Sejm R: A A um endorrelção e P um conjunto de proprieddes. Então, o fecho de R em relção P é menor endorrelção em A que contém R e que stisfz s proprieddes de P. Se relção R já contém s proprieddes de P, então el é seu próprio fecho em relção P. R FECHO P( R) 5

23 4.5. Fecho Reflexivo Suponh R: A A um endorrelção. Então o fecho reflexivo de R é definido como segue: { reflexiv}( R) R { A} Fecho, Exemplo: Ddos o conjunto A {,, 3, 4, 5} e R: A A um endorrelção, tl que R,,,5,,3, 3,4, temos que { } - Fecho { reflexiv}( R) {,,,,,5,,,,3, 3,3, 3,4, 4,4, 5,5 } 4.5. Fecho Simétrico Suponh R: A A um endorrelção. Então o fecho simétrico de R é definido como segue: { simétric}( R) R { b, b R} Fecho, Exemplo: Ddos o conjunto A {,, 3, 4, 5} e R: A A um endorrelção, tl que R,,,5,,3, 3,4, temos que { } - Fecho { simétric}( R) {,,,5,,,,3, 3,, 3,4, 4,3, 5, } Fecho Trnsitivo Suponh R: A A um endorrelção. Então o fecho trnsitivo de R é definido como segue: ) se b R, b Fecho trnsitiv R ;,, então { }( ) b) se, b Fecho { trnsitiv}( R) e b c Fecho { trnsitiv}( R), c Fecho { trnsitiv}( R).,, então Exemplo: Ddos o conjunto A {,, 3, 4, 5} e R: A A um endorrelção, tl que R,,,5,,3, 3,4, temos que { } - Fecho { trnsitiv}( R) {,,,3,,4,,5,,3,,4, 3,4 } Algums notções são importntes e podem ser utilizds pr simplificr e representr s seguintes relções: R Fecho trnsitiv R ) { }( ) * b) R Fecho { reflexiv, trnsitiv}( R) Portnto, considerndo o exemplo cim, temos que R *,,,,,3,,4,,5,,,,3,,4, - { 3,3, 3,4, 4,4, 5,5 } 4.6 Relção de Ordem Intuitivmente, podemos pensr num relção de ordem qundo lembrmos de um fil no bnco, de um fil de lunos dispostos num sl de ul, n relção "menor ou igul" no números nturis, etc. 6

24 Ordem prcil: é tod relção binári em um conjunto A que é, simultnemente, reflexiv, nti-simétric e trnsitiv. São exemplos de relção de ordem prcil: - Ν, - P(Ν), - Ζ, x _ divide _ y Se R é um relção de ordem prcil em A, então dizemos que prcilmente ordendo. A, R é um conjunto Se A é um conjunto finito, então podemos representr visulmente um conjunto prcilmente ordendo em A por um digrm de Hsse. Cd elemento de A é representdo por um ponto (vértice) do digrm. O digrm de Hsse pode ser construído com bse num grfo, onde s rests que representm s relções reflexivs e trnsitivs ficm implícits no digrm. Vej o exemplo seguir. Exemplo: Ddos o conjunto A {,, 3} e relção de ordem grfo e digrm de Hsse representdos bixo. A, 3, temos seus respectivos 3 (grfo) Observe que os elementos d relção são representdos no digrm em ordem crescente de bixo pr cim, ou sej, como, então o elemento prece bixo do elemento. As orientção ds rests torn-se, dess form, desnecessári, já que disposição dos elementos no digrm preserv ess informção. (digrm de Hsse) Exemplos: - Dd relção de ordem P ({,} ),, seu digrm de Hsse está representdo bixo. {,} {} {} - Ddos o conjunto A {,, 3, 6,, 8} e relção de ordem "x divide y", o digrm de Hsse está representdo bixo. 7

25 Ddo o digrm de Hsse seguir, e b c d temos que o conjunto ddo pel relção de ordem é,,, b,, c,, d,, e, b, b, c, c, d, d, d, e, e, e, f, f. { } 4.6. Elemento Mínimo Suponh A um conjunto e R se 4.6. Elemento Miniml Suponh A um conjunto e de R se Elemento Máximo Suponh A um conjunto e de R se Elemento Mximl Suponh A um conjunto e de R se A, R um relção de ordem. Dizemos que m é elemento mínimo de ( A)( mr) A, R um relção de ordem. Dizemos que m é elemento miniml ( A)(, m R) A, R um relção de ordem. Dizemos que m é elemento máximo ( A)( Rm) A, R um relção de ordem. Dizemos que m é elemento mximl ( A)( m, R) Exemplo: Ddos o conjunto A {,, 3, 6,, 8} e relção de ordem "x divide y", cujo digrm de Hsse já foi presentdo nteriormente, temos que - é elemento mínimo, pois está relciondo com todos os outros elementos de A; - é elemento miniml, pois não há elemento que relcion-se com ele; - e 8 são elementos mximis, pois não existem elementos com os quis eles relcionmse; f 8

26 - não há elemento máximo, pois não há elemento que se relcion com todos os outros elementos de A. Exemplo: Desenhe um digrm de Hsse pr um conjunto prcilmente ordendo com qutro elementos, tis que existm dois elementos minimis, dois elementos mximis, não existm elementos mínimo e máximo e cd elemento está relciondo com dois outros elementos. Um possível digrm é o presentdo seguir: 4.7 Relção de Equivlênci A relção de equivlênci nos dá noção de iguldde semântic, ou sej, de elementos que presentm um mesmo significdo. Relção de Equivlênci: é tod relção binári em um conjunto A que é, simultnemente, reflexiv, simétric e trnsitiv. São exemplos de relções de equivlênci: - X, - A, R, se A {, } e Rb b Prtição de um Conjunto: um prtição de um conjunto A é um conjunto de subconjuntos disjuntos não-vzios cuj união é igul o conjunto A. Pr visulizr um prtição, suponh um conjunto A {x x é luno de } e relção xry A, x _ sen t _ n _ mesm _ fil _ que _ y. Ao gruprmos todos os lunos do conjunto A que estão relciondos entre si, obtemos figur bixo. Observe que o conjunto A foi divido em subconjuntos tis que todos os lunos d turm pertencem um, e somente um, subconjunto. Qulquer relção de equivlênci divide o conjunto onde está definid em um prtição. Os subconjuntos que compõem prtição são formdos grupndo-se os elementos relciondos, como no cso dos lunos d turm de. Clsses de Equivlênci: se R é um relção de equivlênci em um conjunto A e se A, denotmos por [] o conjunto de todos os elementos relciondos em A e o chmmos de clsse de equivlênci de. Dess form, podemos escrever que [ ] { x x A Rx} Teorem: um relção de equivlênci R em um conjunto A determin um prtição de A e um prtição de A determin um relção de equivlênci em A. 9

27 Exemplo: Considere o conjunto dos números nturis e relção de equivlênci Ν," x y _ é _ pr". Tl relção divide o conjunto N em dus prtes, ou sej, em dus clsses de equivlêncis. Se x é pr, então x y é pr, pr todo número pr; se x é ímpr, então x y é ímpr pr todo número ímpr. Assim, todos os números pres formm um clsse de equivlênci e todos os números ímpres formm um segund clsse de equivlênci. Podemos representr ess prtição de N como mostr figur bixo. Observe que s clsses de equivlênci podem ser representds por qulquer objeto pertencente à el: - clsse dos pres: [] [6] [34] {,, 4, 6,...} - clsse dos ímpres: [] [] [45] {, 3, 5, 7,...} Exemplo: Pr cd um ds relções seguir, descrev s clsses de equivlênci correspondentes. ) Ν, Possui n clsses de equivlênci, tis que cd clsse de equivlênci contém um único elemento. [n] {n} b) Em A {,, 3} e R {,,,, 3,3,,,, } As clsses de equivlênci são s seguintes: [] {, } [] [3] {3} 4.7. Congruênci em Z Considere o conjunto dos números inteiros Z e um número inteiro m >. Dizemos que x é congruente y módulo m, denotd por x y ( mod m) se x y é divisível por m, ou sej, se x y km pr lgum inteiro k. A relção de congruênci em Z define um relção de equivlênci em Z. Pr verificr que isso é válido, temos que mostrr que relção de congruênci em Z é um relção reflexiv, simétric e trnsitiv. Acompnhe o rciocínio seguir: pr qulquer inteiro x, temos que x x( mod m), pois x x é divisível por m. Logo, temos que relção é reflexiv. Suponh que x y( mod m), então x y é divisível por m. Então ( x y) y x tmbém é divisível por m. Logo, temos que relção é simétric. Suponh gor que x y( mod m) e que y z( mod m), então x y e y z são divisíveis por m. Então, temos que som ( x y) ( y z) x z tmbém é divisível por m. Logo, x z( mod m) e relção é trnsitiv. Assim, mostrmos que relção de congruênci módulo m em Z é, simultnemente, reflexiv, simétric e trnsitiv e, portnto, é um relção de equivlênci. 4.8 Relção Invers Sej um relção R: A B. Então, relção invers é como segue: 3

28 Exemplos: R : B A { b,, b R} - Ddos os conjuntos A {, b} e B {, 3, 4} e relção R : B A {,, 3, b }, temos que relção invers de R, R - é dd por R : A B,, - Ddos o conjunto C {, 3, 4} e relção C, < digrm seguir: 4.9 Composição de Relções { b,3 } < : C C < > : C C, relção invers pode ser visulizd no Sejm A, B e C conjuntos, e R: A B e S: B C relções. A composição de R e S, denotd por R S : A C, é tl que ( A)( b B)( c C) ( Rb bsc ( R$ S) c) Ou sej, {, c b B, b R b c S} R$ S, Exemplo: Ddos os conjuntos A {, b, c, d}, B {,, 3, 4, 5} e C {x, y, z} e s relções R : A B,, b,3, b,4, d,5 S : B C, x,, y, 5, y, 5, z, temos que { } e { } composição de R e S é como segue R $ S, x, d, y, d, z e pode ser visulizd no digrm seguir: A R b c d { } R S B S C x y z A composição de relções é ssocitiv, ou sej: Sejm s relções R: A B, S: B C e T: C D. Então, temos que ( T $ S) $ R T $ ( S $ R) T $ S $ R 3

29 Composição de Relções como Produto de Mtrizes A composição de relções pode ser vist como o produto de mtrizes. Vej o exemplo seguir. Exemplo: Sejm R e S relções em X {, b, c} definids por { } b c b R,,,,, e { } c b b b c S,,,,,,,. Determinremos composição de R e S trvés d multiplicção ds correspondentes mtrizes. Abixo, temos s correspondentes mtrizes que representm s relções R e S. R b c b c S b c b c A multiplicção ds mtrizes R e S é dd como segue: S R Assim, temos que composição S R é dd pel mtriz S R, ou sej, { } c b b S R,,,,, $.

30 5 TIPOS DE RELAÇÕES Vmos estudr gor os diferentes tipos de relções. 5. Relção Funcionl Um relção binári R: A B é um relção funcionl se, e somente se: ( A)( b B)( b B)( Rb Rb b ) b Em outrs plvrs, temos que pr um relção ser funcionl, cd elemento do conjunto origem deve estr relciondo, no máximo, um elemento do conjunto destino. Exemplo: Dd relção X : Z Z, tl que X { x, y Ζ y x } cd inteiro x, existe no máximo um inteiro y tl que y x., temos que, pr A mtriz de um relção funcionl tem um crcterístic prticulr: cd linh d mtriz pode conter no máximo um vlor lógico verddeiro (). Podemos tmbém visulizr um relção funcionl no digrm de Venn. Considerndo R,, b, c e A {, b, c}, temos que o correspondente relção R: A A, tl que { } digrm é como segue: A A b b c c Observe que, de fto, cd elemento do conjunto origem está relciondo, no máximo, um elemento do conjunto destino (o que signific que podem hver elementos d origem não relciondos lgum elemento do destino). 5. Relção Injetor Relção injetor é o conceito dul (inverso) de relção funcionl. Um relção binári R: A B é um relção injetor se, e somente se: ( b B)( A)( A)( Rb Rb ) Em outr plvrs, temos que, pr um relção ser injetor, cd elemento do conjunto destino deve estr relciondo, no máximo, um elemento do conjunto origem. A mtriz de um relção injetor tem um crcterístic prticulr: existe no máximo um vlor lógico verddeiro () em cd colun. Exemplo: Dd relção R: A B, tl que A {, }, B {,, 3} e {,,,,,3 } R, temos que cd elemento de B está relciondo, no máximo, um elemento de A. Vej seguir o digrm que represent relção R. 33

31 A 3 B 5.3 Relção Totl Um relção binári R: A B é um relção totl se, e somente se: ( A)( b B)( Rb) Em outrs plvrs, temos que pr um relção ser totl, todos os elementos do conjunto origem devem estr relciondos lgum elemento do conjunto destino. O domínio de definição é o próprio conjunto A. N mtriz de um relção totl, deve existir pelo menos um vlor lógico verddeiro em cd linh. Exemplo: Dd relção R: A B, tl que A {, }, B {,, 3} e {,,,,,3 } R, temos que cd elemento de A está relciondo lgum elemento de B. Vej seguir o digrm que represent relção R. A 3 B 5.4 Relção Sobrejetor Relção sobrejetor é o conceito dul (inverso) de relção totl. Um relção binári R: A B é um relção sobrejetor se, e somente se: ( b B)( A)( Rb) Em outrs plvrs, temos que pr um relção ser sobrejetor, todos os elementos do conjunto destino devem estr relciondos lgum elemento do conjunto origem. O conjunto imgem é o próprio conjunto B. N mtriz de um relção sobrejetor, deve existir pelo menos um vlor lógico verddeiro em cd colun. Exemplo: Dd relção R: A B, tl que A {, b, c}, B {, b} e R {, b, c, }, temos que cd elemento de B está relciondo lgum elemento de A. Vej seguir o digrm que represent relção R. 34

32 A b c b B 5.5 Monomorfismo Um relção R: A B é um monomorfismo se, e somente se, for simultnemente um relção totl e injetor. Dess form, o domínio de definição é o próprio conjunto A e cd elemento de B está relciondo com no máximo um elemento de A. A mtriz de um monomorfismo tem seguinte crcterístic: existe pelo menos um vlor verddeiro em cd linh d mtriz (o que crteriz relção totl) e existe no máximo um vlor lógico verddeiro em cd colun (o que crteriz relção injetor). Exemplo: A relção : A B, onde A {} e B {, b}, é um monomorfismo. 5.6 Epimorfismo Epimorfismo é o conceito dul (inverso) de monomorfismo. Um relção R: A B é um epimorfismo se, e somente se, for simultnemente um relção funcionl e sobrejetor. Dess form, o conjunto imgem é o próprio conjunto B e cd elemento de A está relciondo com no máximo um elemento de B. A mtriz de um epimorfismo tem seguinte crcterístic: existe pelo menos um vlor verddeiro em cd colun d mtriz (o que crteriz relção sobrejetor) e existe no máximo um vlor lógico verddeiro em cd linh (o que crteriz relção funcionl). Exemplo: São exemplos epimorfismo, sendo que onde A {}, B {, b} e C {,, }: - : A A S,,, b - S: C B, tl que { } 5.7 Isomorfismo Um relção R: A B é um isomorfismo se, e somente se, existe um relção S: B A tl que: R S id A S R id B onde id A é um endorrelção de iguldde em A A, e id B é um endorrelção de iguldde em B B,, chmds de relção identidde. Assim, se R S id A e S R id B, podemos firmr que relção R possui invers. Aind, se existe um isomorfismo entre dois conjuntos, podemos chm-los de conjuntos isomorfos. 35

33 Exemplo: Ddos os conjuntos A {, b, c} e B {e, f, g} e relção R: A B tl que R, e, b, f, c, g. R é um isomorfismo, pois considerndo relção invers de R, { } : B A { e,, f, b, g c } R,, temos que R $ R {,, b, b, c, c } id A R $ R { e, e, f, f, g, g } id B Logo, relção R possui invers e os conjuntos A e B são conjuntos isomorfos. Teorem: Sej R: A B um relção. Então R é um isomorfismo se, e somente se, R for simultnemente um monomorfismo e um epimorfismo. Dess form, um relção é um isomorfismo se, e somente se, for simultnemente um relção totl, injetor, funcionl e sobrejetor. Podemos observr que pr um relção ser um isomorfismo, os conjuntos origem e destino devem possuir o mesmo número de elementos. 36

34 6 FUNÇÕES PARCIAIS E TOTAIS Um função prcil nd mis é do que um relção que é funcionl. Se relção funcionl for tmbém totl, então denominmos de função totl. Portnto, podemos dizer que tod função totl é um função prcil e que tod função prcil é um relção. Entretnto, nem tod relção é um função prcil, ssim como nem tod função prcil é um função totl. 6. Função Prcil Um função prcil é um relção funcionl, ou sej, cd elemento do domínio está relciondo no máximo um elemento do contr-domínio. Um elemento pertencente à função prcil b f, pode ser representdo por ( ) b f. Exemplo: Ddos os conjuntos A {} e B {x, y} temos que s seguintes relções são funções prcis: R : B A x,, y, - { } - : B B Vle observr que relção invers de um função prcil não necessrimente é um função prcil. Se considerrmos o conjunto A {,, } e função prcil f: A A tl que,,, f,,, não é um relção f { }, temos que relção invers de f, { } funcionl e, consequentemente, não é um função prcil. Pr que relção invers de um relção funcionl sej um função prcil, el deve ser tmbém injetor (que é o dul de funcionl). 6. Função Totl Um função totl é um função prcil que é totl. Em outrs plvrs, é um função prcil definid pr todos os elementos do domínio. Se um função é totl, dizemos pens que é um função, ou sej, sempre que mencionrmos pens função, estmos nos referindo funções totis. Assim, podemos verificr s seguintes proprieddes: - Função Injetor monomorfismo - Função Sobrejetor epimorfismo - Função Bijetor isomorfismo Ou sej, um função bijetor é um função injetor e sobrejetor. D mesm form que pr funções prciis, relção invers de um função não necessrimente é um função. Considerndo os conjuntos A {, } e B {,, } e função : B A,,,,, f,,,,, f { }, temos que relção invers de f, { } não é um relção funcionl e, portnto, não é um função. Podemos considerr tmbém função g: A B, tl que {,,, } g {,,, } não é um relção totl e, portnto, não é um função. g. A invers de g, Pr que relção invers de um função f sej um função, f deve ser um função bijetor. 37

35 7 CARDINALIDADE DE CONJUNTOS A crdinlidde de um conjunto nd mis é do que medid de seu tmnho. Dois conjuntos A e B possuem o mesmo número de elementos ou mesm crdinlidde, ou ind são ditos equipotentes, denotdo por # A # B se existe um correspondênci um-pr-um f : A B. O conceito de crdinlidde permite definir conjuntos finitos e infinitos. 7. Crdinlidde Finit e Infinit A crdinlidde de um conjunto A, representd por #A é: - Finit: se existe um bijeção entre A e o conjunto {,, 3,..., n}, pr lgum n Ν. Neste cso, #A n. - Infinit: se existe um bijeção entre A e um subconjunto próprio de A, ou sej, se conseguimos "tirr" lguns elementos de A e ind ssim podemos estbelecer um bijeção com A. Exemplo: Mostre que o conjunto dos números inteiros Z é um conjunto infinito. Pr mostrr que Z é um conjunto infinito, precismos mostrr que existe um bijeção entre ele e um subconjunto próprio dele, como por exemplo, o conjunto dos números nturis N. Portnto, precismos encontrr um função bijetor f : Ζ Ν. Suponh f : Ζ Ν, tl que: - se - se <, então ( ) f, então f ( ) A tbel bixo mostr os vlores de f() e sugere o relcionmento um-pr-um entre Z e N. f() Temos que f é um função bijetor e sbemos que N é um subconjunto próprio de Z. Portnto, Z é um conjunto infinito, como querímos mostrr. Vle ressltr que nem todos os conjuntos infinitos possuem mesm crdinlidde. Podemos dizer que um conjunto infinito A é dito: 38

36 - Contável: se existe um bijeção entre A e um subconjunto infinito de N. - Não-Contável: cso contrário. A bijeção que define o conjunto A como conjunto contável é dit enumerção de A. Exemplo: Os conjuntos Z (inteiros) e Q (rcionis) são conjuntos contáveis e os conjuntos I (irrcionis) e R (reis) são conjuntos não-contáveis. 7. Crdinlidde dos Conjuntos Não-Contáveis Todos os conjuntos contáveis possuem mesm crdinlidde. Entretnto, nem todos os conjuntos não-contáveis possuem mesm crdinlidde. Dizemos que um conjunto A tem tntos elementos qunto um conjunto B, ou sej: # A # B qundo existe um função injetor f : A B. Teorem Schröder-Bernstein: sejm A e B dois conjuntos tis que existem dus funções injetors: f : A B e f : B A. Então, existe um função bijetor g : A B. Conjuntos Equipotentes: Dois conjuntos A e B são ditos equipotentes qundo existe um bijeção entre eles. Logo, podemos dizer que os conjuntos A e B possuem mesm crdinlidde. Pel definição de conjuntos equipotentes, podemos firmr que todos os conjuntos contáveis são equipotentes. 7.3 Crdinl A relção estbelecid entre conjuntos equipotentes é um relção de equivlênci. Assim, podemos considerr o crdinl como um clsse de equivlênci dos conjuntos equipotentes. O crdinl do conjunto dos números nturis é representdo por ℵ (leph-zero). Como qulquer conjunto infinito contável possui mesm crdinlidde que o conjunto dos números nturis, então ℵ represent o crdinl de qulquer conjunto infinito contável e é o menor crdinl dos conjuntos infinitos. Teorem de Cntor: o conjunto ds prtes de um conjunto tem sempre crdinlidde mior que este. Sej A conjunto e A o conjunto ds prtes de A, então #A < # A. Prov: Prte : Vmos mostrr que #A # A, presentndo um função injetor A : um função tl que, pr todo A, tem-se que: f A f é injetor e, portnto, #A # A. ( ) { } f A :. Sej f A Prte : Vmos mostrr que #A # A, ou sej, que #A < # A, mostrndo, por bsurdo, que não existe um função bijetor entre A e A A. Suponh que existe um função bijetor g : A. Sej o seguinte subconjunto B de A: 39

37 B { A g( ) } Como A é um conjunto, ele pode ser um conjunto de conjuntos. Suponh b A, tl que g b. Neste cso: ( ) B - se b B, então, pel definição de B, tem-se que b g(b) B. - se b g(b), então, pel definição de B, tem-se que b g(b) B. O que é um contrdição! Logo, não existe um função bijetor entre A e A. O conjunto ds prtes de N é equipotente o conjunto dos números reis R. Considerndo que k denot o crdinl do conjunto ds prtes com crdinlidde k, tem-se que χ é crdinlidde do conjunto dos números reis, ou sej, é crdinlidde do continuum. Teorem: O conjunto I [, ] de todos os números reis entre e é não-contável. Prov (por bsurdo): Suponh I contável. Então, existe um função bijetor f : Ν Ι. Sej f ( ), f ( ), f ( 3) 3,..., isto é, I {,, 3,... }. Vmos listr seus elementos em um colun com su expnsão deciml:, x x x x , x, x, x 3 4 x x x 3 4 x 3 x x x x x onde {,,,...,9} x. ij Sej b, y y y... um número rel obtido d seguinte form: y i Portnto, 3 y4 se x ii se x ii b Ι. Ms b, pois y x y x 3 y3 x b, pois b, pois Portnto, b Ι {,, 3,... }, o que é um contrdição, já que b Ι! Logo, suposição de que I é contável é fls e, portnto, I é não-contável, como querímos provr. 4

38 8 INDUÇÃO MATEMÁTICA Pr entender intuitivmente o que é Indução Mtemátic, vmos ilustrr técnic: - Você está subindo um escd infinitmente lt. Como sber se será cpz de chegr um degru rbitrrimente lto? - Suponh s seguintes hipóteses:. Você consegue lcnçr o primeiro degru. Um vez chegndo um degru, você sempre é cpz de chegr o próximo - Pel hipótese, você é cpz de chegr o primeiro degru; pel hipótese, você consegue chegr o segundo; novmente pel hipótese, cheg o terceiro degru; e ssim sucessivmente. Ess mesm propriedde é utilizd pr provr proprieddes dos números inteiros positivos! Considere que P(n) denot que o número inteiro positivo n possui propriedde P.. Assumimos que o número tem propriedde P: P(). Supomos que propriedde P é válid pr qulquer inteiro positivo k: P(k) 3. Provmos que, se propriedde P é válid pr qulquer número inteiro k, então é válid pr o próximo inteiro positivo k: P(k) P(k) 8. Primeiro Princípio de Indução Mtemátic O Primeiro Princípio de Indução Mtemátic é formuldo d seguinte form:. P() é verdde. ( k)(p(k) é verdde P(k) é verdde) E com isto, provmos que propriedde é verddeir pr todo inteiro positivo n, ou sej, que P(n) é verdde. Exemplo: Suponh que um ncestrl csou-se e teve dois filhos. Vmos chmr esses dois filhos de gerção. Suponh gor que cd um desses filhos teve dois filhos. Então gerção contém qutro descendentes. Imgine que esse processo continu de gerção em gerção. A figur bixo ilustr esse processo: Então, podemos deduzir que: - A gerção possui descendentes - A gerção possui 4 descendentes - A gerção 3 possui 8 descendentes - E ssim sucessivmente... Gerção 3... Descendentes

39 Então, podemos fzer seguinte conjectur: gerção n possui n descendentes. Ou sej, podemos escrever que: P n ( ) n Agor, vmos provr que noss conjectur está corret, trvés do primeiro princípio de indução mtemátic: Bse de Indução (estbelecemos vercidde d propriedde pr n ): P ( ) Hipótese de Indução (supomos que propriedde é válid pr lgum inteiro k, k ): k ( k) P Psso de Indução (provmos que propriedde é válid pr o inteiro seguinte k, ou sej, que P(k) P(k)): k P k k k ( k ) P( k) HI ( ) P (o número de descendentes dobr de um gerção pr outr) A tbel bixo, resume os três pssos necessários pr um demonstrção que us o primeiro princípio de indução. Vejmos mis lguns exemplos: Demonstrção por Indução Psso Prove bse de indução Psso Suponh P( k) Psso 3 Prove P( k ) Exemplo: Prove que equção seguir é verddeir pr qulquer inteiro positivo n n n Bse de Indução - P() Verificmos que propriedde é válid pr n. P : ( ) Hipótese de Indução - P(k) Supomos que propriedde é válid pr n k. P k : k k ( ) ( ) ( ) Psso de Indução - P(k ) Tentmos provr que propriedde é válid pr n k, ou sej, que: P? ( k ): [ ( k ) ] ( k ) 4