Modelos BioMatemáticos

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1 Modelos BioMtemáticos Pedro J.N. Silv Sl 4..6 Deprtmento de Biologi Vegetl Fculdde de Ciêncis d Universidde de Lisbo Pedro.Silv@c.ul.pt Modelos BioMtemáticos - PJNS - DBV - FCUL Genétic Populcionl Esquem Introdução à genétic Lei de Hrdy-Weinberg gene utossómico Lei de Hrdy-Weinberg gene ligdo o sexo Eeitos evolutivos d mutção Modelos BioMtemáticos - PJNS - DBV - FCUL

2 Num gene utossómico, s requêncis genotípics n G são iguis nos dois sexos (e portnto iguis às d populção gerl) e dds por m m m () () () = = = () () () = n = n = n () () () = m = m = m + m (0) (0) s requêncis lélics icm tmbém iguis nos dois sexos, e iguis às d populção gerl n gerção nterior: p q () () = m = m + m + m + m + m = = (0) ( m + ) = p (0) ( m + ) = q Modelos BioMtemáticos - PJNS - DBV - FCUL N pssgem d G pr G, temos s requêncis genotípics n n n () () () = m = m = m () () () () () () + m () () n n n () () () = p = p = q q e s requêncis lélics p q () () = p = q + p + p q q = p = q ( p + q) = ( p +q ) = q p Modelos BioMtemáticos - PJNS - DBV - FCUL

3 s requêncis lélics e genotípics esperds n G 3, G 4, e em tods s gerções seguintes, são iguis às obtids pr G. n () t = p () t () t = q n = p q, t n Modelos BioMtemáticos - PJNS - DBV - FCUL lei de Hrdy-Weinberg Em dus gerções populção tingiu um estdo de equilíbrio, chmdo de Hrdy-Weinberg, em honr do mtemático inglês Godrey H. Hrdy, e do médico lemão Wilhem Weinberg, que obtiverm este resultdo independentemente, mbos em 908. Modelos BioMtemáticos - PJNS - DBV - FCUL 3

4 Signiicdo biológico e vntgens técnics d lei de Hrdy-Weinberg Em requêncis de Hrdy-Weinberg, s requêncis genotípics são determinds pels lélics, o que não contece no cso gerl. Este resultdo é muito importnte do ponto de vist técnico, já que permite simpliicr o estudo em virtude de um redução do número de vriáveis: podemos trblhr pens com s requêncis lélics, em menor número do que s genotípics. Modelos BioMtemáticos - PJNS - DBV - FCUL Genétic Populcionl Esquem Introdução à genétic Lei de Hrdy-Weinberg gene utossómico Lei de Hrdy-Weinberg gene ligdo o sexo Eeitos evolutivos d mutção Modelos BioMtemáticos - PJNS - DBV - FCUL 4

5 Os cromossoms humnos Nós temos 3 pres de cromossoms; são mis ou menos iguis pr todos, ms um pr é especil: determin o sexo. Modelos BioMtemáticos - PJNS - DBV - FCUL Os cromossoms humnos Nós temos 3 pres de cromossoms; são mis ou menos iguis pr todos, ms um pr é especil: determin o sexo. Portnto, hereditriedde tem de ser estudd de orm dierente pr os pres de cromossoms que todos temos (ditos utossómicos) por um ldo, e o outro pr (chmdos cromossoms sexuis) por outro. Modelos BioMtemáticos - PJNS - DBV - FCUL 5

6 Os cromossoms humnos Cd um de nós recebeu metde dos nossos cromossoms do pi, e metde d mãe. Todos temos dois exemplres dos genes utossómicos, ms pr os genes dos cromossoms sexuis, não é bem ssim. s menins recebem um X d mãe e outro X do pi, por isso s coiss pssm-se d mesm mneir pr os utossómicos e os sexuis. Modelos BioMtemáticos - PJNS - DBV - FCUL Os cromossoms humnos Cd um de nós recebeu metde dos nossos cromossoms do pi, e metde d mãe. Todos temos dois exemplres dos genes utossómicos, ms pr os genes dos cromossoms sexuis, não é bem ssim. Ms os meninos recebem um X d mãe e um Y do pi, por isso só têm mei dose dos genes do cromossom X. Modelos BioMtemáticos - PJNS - DBV - FCUL 6

7 Genes ligdos o sexo Vmos gor estudr evolução ds requêncis genotípics e lélics dos gene situdos nos cromossoms sexuis Pr os genes do cromossom Y, evolução é trivil: o cromossom Y é pens pssdo dos progenitores msculinos os seus descendentes msculinos; portnto, s requêncis génics nos mchos não se lterm, e ns êmes não estão deinids Modelos BioMtemáticos - PJNS - DBV - FCUL Genes ligdos o sexo Vmos portnto estudr evolução ds requêncis genotípics e lélics num gene situdo no cromossom X Comecemos por montr o plco (ie, ver como é que s requêncis genotípics e lélics se relcionm) Modelos BioMtemáticos - PJNS - DBV - FCUL 7

8 Frequêncis genotípics Fêmes Mchos F + F + F = F M + M = M = F /F m = M /M = F /F = F /F m = M /M + + = m +m = Modelos BioMtemáticos - PJNS - DBV - FCUL Relções entre requêncis genotípics e lélics em cd sexo Fêmes Mchos F = F + F = F + F F M M = + = + m = M M m = M M + = m +m = Modelos BioMtemáticos - PJNS - DBV - FCUL 8

9 Relções entre requêncis genotípics e lélics n populção gerl N + Populção gerl = F + F M N = F + F + M p = 3 ( + m ) q = 3 ( + m ) p +q = N.B. Populção gerl = todos os indivíduos, independentemente do sexo Modelos BioMtemáticos - PJNS - DBV - FCUL Evolução ds requêncis o longo do tempo Mis um vez, podemos ssumir que há cslmentos, ou que não há Mis um vez, é mis simples ssumir que não há cslmentos (e o resultdo é o mesmo), pelo que é isso que vmos zer Modelos BioMtemáticos - PJNS - DBV - FCUL 9

10 Evolução ds requêncis o longo do tempo Quis s requêncis (genotípics e lélics) dos mchos d gerção seguinte (G )? Os mchos d gerção seguinte resultm d conjugção de um gâmet Y do pi e um gâmet X d mãe Portnto, pr os genes do cromossom X, os mchos herdm s requêncis lélics ds mães: m () (0) = m () (0) = Modelos BioMtemáticos - PJNS - DBV - FCUL Evolução ds requêncis o longo do tempo Quis s requêncis genotípics ds êmes d gerção seguinte (G )? s êmes d G resultm d conjugção de dois gâmets X, um do pi e outro d mãe (tl como pr os genes dos outros cromossoms) Portnto, requênci do genótipo ns êmes d G é () = m Do mesmo modo, pr os outros genótipos... Modelos BioMtemáticos - PJNS - DBV - FCUL 0

11 Evolução ds requêncis o longo do tempo Quis s requêncis genotípics ds êmes d gerção seguinte (G )? () = m () = + m m () = m Modelos BioMtemáticos - PJNS - DBV - FCUL Evolução ds requêncis o longo do tempo Quis s requêncis lélics ds êmes d gerção seguinte (G )? () = m () = m (0) (0) (0) (0) + + ( m + m ) = ( m + ) ( m + m ) = ( m + ) Modelos BioMtemáticos - PJNS - DBV - FCUL

12 Evolução ds requêncis o longo do tempo Quis s requêncis lélics d populção gerl d gerção seguinte (G )? ( () () (0) (0) +m ) = ( m + + ) = ( m + ) p () p = = ( () () +m ) = ( m + + ) q () q = = 3 3 ( ) () = m + () (0) m = Modelos BioMtemáticos - PJNS - DBV - FCUL Evolução ds requêncis o longo do tempo Resumindo.... s requêncis genotípics ds êmes, tl como num gene utossómico, são iguis os produtos ds requêncis lélics dos dois sexos n gerção nterior. s requêncis genotípics dos mchos são iguis às requêncis lélics ds êmes d gerção nterior 3. s requêncis lélics ds êmes, tl como num gene utossómico, são iguis às médis ds requêncis respectivs nos dois sexos d gerção nterior 4. s requêncis lélics dos mchos são iguis às requêncis lélics ds êmes d gerção nterior 5. s requêncis lélics n populção gerl não vrim Modelos BioMtemáticos - PJNS - DBV - FCUL

13 Evolução ds requêncis o longo do tempo Resumindo... m t t = = t ( m + ) t t onde m e representm s requêncis de qulquer lelo (ms o mesmo!) nos mchos e ns êmes, e gerção é indicd em índice Portnto s requêncis lélics nos dois sexos não se igulm num gerção (o contrário dos genes utossómicos) Modelos BioMtemáticos - PJNS - DBV - FCUL Evolução ds requêncis o longo do tempo m = = m + ( ) t t t t t O comportmento longo przo deste pr de equções não é imeditmente óbvio. Podemos no entnto perguntr: já que s requêncis lélics nos dois sexos não se igulm num gerção, o que contece à su dierenç? Mntém-se, reduz-se (qunto?), ument? Modelos BioMtemáticos - PJNS - DBV - FCUL 3

14 Evolução ds requêncis o longo do tempo mt = t t = ( mt + t ) Pr responder, clculemos dierenç entre s requêncis do lelo nos dois sexos: m = ( m + ) = ( t mt ) t t t t t Em plvrs, dierenç entre s requêncis lélics nos dois sexos reduz-se metde, lternndo de sinl, em cd gerção Modelos BioMtemáticos - PJNS - DBV - FCUL Evolução ds requêncis o longo do tempo mt = t t = ( mt + t ) t m= ( t mt ) Portnto, no cso de um gene ligdo o sexo, o equilíbrio só é tingido ssintoticmente, o im de um número ininito de gerções No entnto, dierenç entre s requêncis dos dois sexos reduz-se muito depress, pelo que pr eeitos práticos podemos considerr que o equilíbrio é tingido o im de um pequeno número de gerções Modelos BioMtemáticos - PJNS - DBV - FCUL 4

15 Evolução ds requêncis o longo do tempo mt = t t = ( mt + t ) t m= ( t mt ) Pr que vlor tendem s requêncis lélics nos dois sexos? Els tendem icr iguis; neste estdo, tods s requêncis de um lelo (nos mchos, ns êmes, e n populção gerl) são iguis. Portnto, s requêncis lélics de cd sexo tendem pr d populção gerl (que nunc vri) Modelos BioMtemáticos - PJNS - DBV - FCUL Evolução ds requêncis o longo do tempo Portnto, em equilíbrio, temos m = ˆ = p ˆ e s requêncis genotípics ds êmes são dds por : : p : pq : q = () = m Modelos BioMtemáticos - PJNS - DBV - FCUL 5

16 Evolução ds requêncis o longo do tempo Podemos zer um gráico d evolução ds requêncis lélics o longo do tempo (é muito giro...), ms isso ic pr s prátics Tmbém é possível obter solução do modelo (expressões pr s requêncis lélics o longo do tempo, em unção dos vlores iniciis), ms isso ic pr s próxims uls teórics Modelos BioMtemáticos - PJNS - DBV - FCUL Modelos BioMtemáticos - PJNS - DBV - FCUL 6