Álgebra Linear e Geometria Analítica D

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1 3 Deprtmento de Mtemáti Álgebr Liner e Geometri Anlíti D Segundo Teste 6 de Jneiro de 2 PREENCHA DE FORMA BEM LEGÍVEL Nome: Número de derno: Grelh de Resposts A B C D Atenção Os primeiros 5 grupos dest prov são de esolh múltipl Em d um destes 5 grupos pens um ds firmções é fls Determine- e ssinle- om um X n grelh de resposts A grelh de resposts d esolh múltipl será reolhid o fim de um hor de prov - Cotção: A otção totl dest prov é de 2 vlores Pr d um dos grupos de esolh múltipl otção tribuíd é seguinte: Se não responder ou ssinlr om um X mis do que um opção: vlores; Se responder orretmente: +8 vlores; Se responder errdmente: 6 vlores A lssifição d prte de esolh múltipl (Grupos 5) é dd por mx{m onde M design som ds lssifições obtids nos 5 grupos de esolh múltipl - Durção: hor e 3 minutos (+ 3 minutos de tolerâni) Considere s bses B ( ()()() ) e B 2 ( ()()() ) do espço vetoril R 3 Sej f : R 3 R 3 plição liner tl que H M(f; B B ) 2 2 Apens um ds seguintes firmções é FALSA Indique qul é A f não é injetiv B f(23) (278) C M(f; B 2 B 2 ) H D M(f; B B 2 ) H Continu no verso dest folh

2 Deprtmento de Mtemáti FCT-UNL ALGA D 29/ 2 o Teste Em R 3 onsidere os subespços vetoriis F { (xyz) R 3 : x + 2y e G ()(2)(3) Apens um ds seguintes firmções é FALSA Indique qul é A Umse de G é ( ()() ) B (8) F G C F G é subespço vetoril de R 3 D G ()(2) 3 Sejm E e E espços vetoriis reis de dimensão finit f : E E um plição liner e (e e n ) umse de E Apens um ds seguintes firmções é FALSA Indique qul é A Im f f(e )f(e n ) B Se dim E < dim E e f é sobrejetiv então f não é injetiv C Se f é injetiv então sequêni ( f(e )f(e n ) ) é linermente dependente D Pr quisquer α α n R tem-se f(α e + + α n e n ) α f(e ) + + α n f(e n ) 4 Apens um ds seguintes firmções é FALSA Indique qul é A F { (b) R 3 : + b é subespço vetoril de R 3 B F 2 { (b) R 2 : b é subespço vetoril de R 2 C F 3 {H M 5 5 (R) : H é invertível não é subespço vetoril de M 5 5 (R) D F 4 { x 2 + bx + R 2 [x : b + 5 não é subespço vetoril de R 2 [x 5 Sej E um espço vetoril rel e (e e 2 e 3 e 4 ) umse de E Sej w um vetor de E Apens um ds seguintes firmções é FALSA Indique qul é A A sequêni (e e 2 e 3 e 4 w) é gerdor de E B A sequêni (e e 2 e 3 ) não é linermente independente C E e e 4 5e 2 e 2 + e 3 D O vetor w esreve-se de form úni omo ombinção liner dos vetores d sequêni (e e 2 e 3 e 4 )

3 3 3 Deprtmento de Mtemáti Álgebr Liner e Geometri Anlíti D Segundo Teste 6 de Jneiro de 2 [Cotção Só serão onsiderds s resposts devidmente justifids N resolução mude de folh sempre que mudr de grupo 6 Considere plição liner f : M 2 2 (R) R 3 tl que f ( + + b d + b d) pr qulquer [ d M 2 2 (R) [5 [5 [5 () Determine umse do núleo de f (b) Indique justifindo se f é injetiv e se f é sobrejetiv () Considere s bses B ( [ ) e B 2 ( ) ( ) ( ) ( ) de M 2 2 (R) e R 3 respetivmente Determine mtriz M(f; B B 2 ) Mude de Folh 7 Considere mtriz A M 3 3(R) [5 () Determine os vlores próprios de A e indique s respetivs multipliiddes lgébris (b) Determine umse de d um dos subespços próprios de A Indique multipliidde geométri de d vlor próprio () Indique justifindo se A é digonlizável Mude de Folh 8 Sej H M n n (R) e suponhmos que existe p N tl que H p Mostre que: () H tem pens o vlor próprio zero (b) Se H é digonlizável então H é mtriz nul () Se H não é mtriz nul então I n H não é digonlizável Fim

4

5 i iv Deprtmento de Mtemáti Álgebr Liner e Geometri Anlíti D Segundo Teste 6 de Jneiro de 2 Um resolução om nots explitivs D 2 C 3 C 4 B 5 B 6 () Tem-se que Nu f [ M 2 2 (R) : f () M 2 2 (R) : ( + + b d + b d) () M 2 2 (R) : + + b d + b d {{ Sistem AX ns inógnits b d resolver Cálulo uxilir: [A 2 2 l 2 +( )l l 3 +( )l l 3 + ( )l 2 (fer) Então Nuf A sequêni [ ( [ M 2 2 (R) : b d [ + d d independente (bst notr que α : d R ) [ d [ + d d : d R : d R é umse de Nu f porque ger Nuf e é linermente + β α β ) (b) Um plição liner é injetiv se e só se o seu núleo tem dimensão Pel líne nterior dim Nuf 2 logo f não é injetiv Um plição liner é sobrejetiv se e só se su imgem oinide om o onjunto de hegd Ddo que f : M 2 2 (R) R 3 pelo Teorem d Dimensão sbemos que dim M 2 2 (R) dim Nuf + dim Im f Como dim M 2 2 (R) 4 e pel líne nterior dim Nuf 2 onluímos que dim Imf 2 3 dim R 3 Como Im f R 3 e dim Im f < dim R 3 onluímos que Imf R 3 Logo f não é sobrejetiv

6 Deprtmento de Mtemáti FCT-UNL ALGA D 29/ Um resolução do 2 o Teste ii iv () Como f f f f () () + ()+ () () () + ()+ () (22) () + ()+ () () () + ()+ () de ordo om definição de M(f; B B 2 ) temos M(f; B B 2 ) 7 () O polinómio rterístio de A é A xi 3 x 2 4 x 2 5 x Lpl l 2 ( x)( ) 2+2 x x ( x)[( x)(5 x) ( 2 4) ( x) ( x 2 4x + 3 ) ( x)(x 3)(x ) Os vlores próprios de A sendo os zeros reis do polinómio rterístio são: e 3 om m() 2 e m(3) (b) Se α é um vlor próprio de A sbemos que o subespço próprio de A ssoido o vlor α M α é: M α {X M 3 (R) : AX αx {X M 3 (R) : (A αi 3 )X Sej M o subespço próprio de A ssoido o vlor próprio Tem-se: M { b M 3 (R) : (A I 3 ) b Cálulo uxilir: (A I 3 ) 2 l l l 3 + ( )l l 2 l l + l 2 (fer) Logo M { { b 2 M 3 (R) : 2 b : R Conluímos então que sequêni independente (bst notr que ( 2 ) 2 2 { 2 : R é umse de M pois ger M e é linermente ) Tem-se então que mg() dim M

7 Deprtmento de Mtemáti FCT-UNL ALGA D 29/ Um resolução do 2 o Teste iii iv Sej M 3 o subespço próprio de A ssoido o vlor próprio 3 Tem-se: M 3 { b M 3 (R) : (A 3I 3 ) b Cálulo uxilir: (A 3I 3 ) 4 l 2 l l 3 + ( ) 2 l 2 2 (fer) l + l Logo M 3 { Conluímos então que sequêni independente (bst notr que b M 3 (R) : b ( ) { : R é umse de M 3 pois ger M 3 e é linermente ) Tem-se então que mg(3) dim M 3 () Um ondição neessári e sufiiente pr que mtriz A sej digonlizável é que som ds multipliiddes geométris dos seus vlores próprios igule ordem d mtriz A Pel líne nterior temos logo A não é digonlizável mg() + mg(3) 2 3 ordem de A 8 () Ddo que por hipótese H p temos H p Como H p H p onluímos que H e portnto o zero é vlor próprio de H Vejmos que zero é o únio vlor próprio de H Sejm α um vlor próprio de H e X um vetor próprio de H ssoido α Tem-se HX αx e pr qulquer k N H k X α k X (Provmos filmente este último resultdo por indução em k Pr k o resultdo é verddeiro e ssumindo o resultdo válido pr k temos que H k+ X ( HH k) X H ( H k X ) H ( α k X ) α k (HX) α k (αx) ( α k α ) X α k+ X ) Assim em prtiulr pr k p tem-se H p X α p X e omo por hipótese H p result que α p X Atendendo que X n (pois X é vetor próprio de H) result que α p e portnto α Logo H só tem o vlor próprio zero (b) Se H é digonlizável então por definição H é semelhnte um mtriz digonl D isto é existe um mtriz invertível Q M n n (R) e um mtriz digonl D M n n (R) tis que Q HQ D Como mtrizes semelhntes têm o mesmo polinómio rterístio onluímos que neste so D é mtriz nul Assim de Q HQ result Q ( Q HQ ) Q QQ isto é H

8 Deprtmento de Mtemáti FCT-UNL ALGA D 29/ Um resolução do 2 o Teste iv iv () Suponhmos que H não é mtriz nul Então pel líne nterior H não é digonlizável isto é pr qulquer mtriz invertível Q mtriz Q HQ não é digonl Como pr qulquer mtriz invertível Q se tem Q (I n H)Q Q I n Q Q HQ I n Q HQ e Q HQ não é digonl então mtriz I n Q HQ tmbém não é digonl e omo Q é qulquer mtriz invertível n n mostrmos que I n H não é digonlizável

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