Autómatos Finitos Determinísticos. 4.1 Validação de palavras utilizando Autómatos

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1 Licencitur em Engenhri Informátic DEI/ISEP Lingugens de Progrmção 26/7 Fich 4 Autómtos Finitos Determinísticos Ojectivos: Vlidção de plvrs utilizndo Autómtos Finitos; Conversão de utómtos finitos não determinísticos (AFN) em utómtos finitos determinísticos (AFD); Minimizção de Autómtos Finitos Determinísticos; Aprendizgem dos conceitos trvés d relizção de exercícios; 4. Vlidção de plvrs utilizndo Autómtos Finitos Considere o utómto finito não determinístico que permite reconhecer números inários termindos em (nteriormente presentdo n fich 3). strt s s s 2 Figur 4.: Representção gráfic do AF Conforme descrito nteriormente, formlmente este utómto é definido d seguinte form: onde, A = (S, Σ, s, F, δ) = ({s, s, s 2 }, {, }, s, {s 2 }, δ) 2

2 δ(s, ) = {s } δ(s, ) = {s, s } δ(s, ) = {s 2 } Pr verificr formlmente se um determind plvr é reconhecid pelo utómto, é necessário explorr todos os cminhos prtir do estdo inicil. Pr este fim é utilizd trnsição estendid ˆδ que clcul o conjunto de estdos pssiveis de serem tingidos prtir de um determindo estdo, pós processr um sequênci de símolos do lfeto. Note-se que trnsição ˆδ(s, ε) = {s } indic que no cso de não ser consumido qulquer símolo (representdo por ε), não hverá lugr à trnsição de estdo. O reconhecimento d plvr é descrito trvés d seguinte sequênci: ˆδ(s, ε) = {s } ˆδ(s, ) = δ(s, ) = {s, s } ˆδ(s, ) = δ(s, ) δ(s, ) = {s } {s 2 } = {s, s 2 } ˆδ(s, ) = δ(s, ) δ(s 2, ) = {s } = {s } ˆδ(s, ) = δ(s, ) = {s, s } ˆδ(s, ) = δ(s, ) δ(s, ) = {s, s } = {s, s } ˆδ(s, ) = δ(s, ) δ(s, ) = {s } {s 2 } = {s, s 2 } A representção gráfic d sequênci de trnsições é presentd n figur 4.2. Relemre-se que, o processmento em sucedido d plvr implic o consumo integrl de todos os símolos que compõe, e que pós o consumo do último símolo o utómto se encontre num estdo finl. Assim, plvr em questão ( ) poderi ser integrlmente consumid no estdo s, no entnto, como s não se trt de um estdo finl esse cminho não seri válido, sendo pens válido o cminho termindo em s 2. s s s s s s s s s 2 s indic um cminho sem síd s s 2 Figur 4.2: Representção gráfic d nálise dum plvr pelo AF 22

3 4.2 Conversão dum AFN num AFD A diferenç mis relevnte entre um AFN e um AFD consiste no fcto de que, num AFD é sempre possível determinr qul é o estdo pr que o utómto trnsit pós o consumo de um qulquer símolo, pois o retorno d função de trnsição num AFD é um estdo único, enqunto que num AFN é um conjunto de estdos. Este fcto é verificável grficmente no utómto (não determinístico) d figur 4., pois no estdo s o consumo do símolo não determin ojectivmente pr que estdo o utómto trnsitri. Alterntivmente este fcto tmém é verificável n tel de trnsições, pois o resultdo dos pres (estdo,símolo) é um conjunto de estdos, conforme se constt n tel 4.. Tel 4.: Tel de trnsições do AFN s {s } {s,s } s {s 2 } s 2 De form converter um AFN num AFD, é necessário converter todos os conjuntos de estdos em estdos únicos. Dest form, os n estdos do AFN (tel 4.) drão lugr 2 n estdos no AFD (conforme tel 4.2). Tel 4.2: Tel de trnsições do AFD {s } {s } {s,s } {s } {s 2 } {s 2 } {s,s } {s,s 2 } {s,s } {s,s 2 } {s } {s,s } {s,s 2 } {s 2 } {s,s,s 2 } {s,s 2 } {s,s } Nest tel primeir colun contém tods s cominções de estdos possíveis pr um utómto com n estdos. Como os conjuntos que contenhm um estdo finl, neste cso s 2, serão finis, devem por isso ser notdos em conformidde. As restntes coluns, cd um ds céluls contem reunião dos estdos pr os quis o utómto trnsitri estndo em qulquer um dos estdos presentdos n primeir colun com o símolo presentdo n primeir linh d mtriz. Por exemplo, trnsição ˆδ({s, s }, ) é clculd trvés de δ(s, ) δ(s, ) = {s } {s 2 } = {s, s 2 } 23

4 No psso seguinte, cd conjunto de estdos será representdo univocmente por um identificdor, conforme se present n tel 4.3. Tel 4.3: Estdos do AFD renomedos A A A B B E C D A *D A A E F E *F B E *G D A *H F E Nest fse, prtir do estdo inicil B, são identificdos os estdos pr os quis é possível trnsitr, neste cso B e E. Após o que, de form itertiv, se procede à identificção dos estdos pr os quis se pode trnsitr prtir destes últimos, otendo-se primeiro F e E, e posteriormente B e E prtir de F. Serão ests s únics linhs considerr d tel, pois tods s outrs correspondem trnsições impossíveis. O resultdo d plicção deste lgoritmo é presentdo n tel 4.4. Tel 4.4: Tel de trnsições finl do AFD B B E E F E *F B E Alterntivmente, tel 4.2 poderi ter sido construíd de form itertiv prtir do estdo inicil, expndindo pens s trnsições válids, evitndo-se ssim representção de todos os estdos intingíveis. Isto é: Do estdo {s } são tingíveis os estdos {s, s } e o próprio ({s }); Expndindo o estdo {s, s } podemos chegr os estdos {s, s 2 } e o próprio ({s, s }); Expndindo o estdo {s, s 2 } podemos chegr os estdos {s } e {s, s }. O resultdo dests iterções é presentdo n tel

5 Tel 4.5: Tel simplificd d conversão de um AFN num AFD {s } {s } {s,s } {s,s } {s,s 2 } {s,s } {s,s 2 } {s } {s,s } A representção gráfic do AFD otido é presentd n figur 4.3. strt B E F Figur 4.3: Representção gráfic do AFD 4.3 Minimizção de Autómtos Finitos Determinísticos O processo de minimizção pr um determindo AFD, pretende clculr de form expedit o menor utómto possível equivlente. Considere-se, por exemplo, o utómto representdo n figur 4.4, n exemplificção do lgoritmo de simplificção. strt s s s 2 s 3 Figur 4.4: Representção gráfic do AFD simplificr Inicilmente é necessário construir tel de trnsições do utómto dividindo em dois grupos distintos, os estdos finis e os não finis (ver tel 4.6). 25

6 Tel 4.6: Tel de trnsições do AFD, o psso s s s s s 2 s s 3 s 2 s 3 s 2 s s 3 No psso seguinte, cd grupo é por su vez dividido em grupos cuj crcterístic é cd símolo implicr trnsições pr o mesmo grupo. No exemplo d tel 4.6, o grupo dos estdos não finis pode ser dividido nos grupos (s ) e (s, s 3 ), pois os estdos s e s 3 qundo receem o símolo trnsitm pr s 2 que pertence o grupo dos estdos finis, enqunto que, qundo receem trnsitm pr o seu próprio grupo. O mesmo não se pss com o estdo s pois este com o símolo trnsit pr próprio grupo. O resultdo deste psso é presentdo n tel 4.7. Tel 4.7: Tel de trnsições do AFD, 2 o psso s s s s s 2 s s 3 s 2 s 3 *s 2 s s 3 Este processo terá de ser repetido enqunto for possível proceder sudivisões dos grupos existentes. No finl é escolhido, de form ritrári, pens um estdo por cd grupo. Neste cso, no grupo (s, s 3 ), seri elimindo um dos estdos, otendo-se ssim o utómto presentdo n tel 4.8. Tel 4.8: Tel de trnsições do AFD mínimo s s s s s 2 s *s 2 s s 26

7 4.4 Proposts de exercícios ) Convert os seguintes AFNs em AFDs. ) strt A B 2) Σ = {,, c, d}; No utómto, Σ\{} represent todo o lfeto Σ excepto o conjunto {} strt A Σ\{} B C Σ 3) Σ = {,, c, d,...,y, z} strt A Σ B e C i D o E u F Σ ) Minimize os seguintes utómtos. ) E strt A B C D F 2) E c strt A B D C c F c) Implemente um utómto finito determinístico pr cd um ds seguintes grmátics: ) Pr o lfeto Σ = {,, c, d}, qulquer plvr com um número pr de símolos. 2) Pr o lfeto Σ = {,, c, d}, qulquer plvr que contém sequênci 27

8 3) Pr o lfeto Σ = {, }, qulquer plvr com um número pr de zeros e um número pr de uns. d) Considere seguinte tel de trnsições: S A F A C B B F A C A F *F B C ) Represente grficmente o utómto finito determinístico correspondente. 2) Verifique se s seguintes plvrs pertencem à lingugem reconhecid pelo utómto: i. ii. iii. iv. v. vi. 3) Minimize o utómto. 4) Descrev informlmente (por plvrs) s lingugem representd pelo utómto. e) Pr cd um dos seguintes utómtos finitos determinísticos indique um expressão regulr que reconheç mesm lingugem. ) strt 2 2) strt 2 3 3) strt e f) Implemente um utómto finito determinístico pr cd um ds seguintes expressões regulres: 28

9 ) [-9]+ 2) [-9]+"."[-9]+ 3) [f-o][k-z3-7]* 4) ("---"[-z]*"\n") (" " "\n" "\t") g) Outros exercícios ) Convert o AFN em AFD. Σ = {,, c, d,...,y, z} strt Σ B w A e E e C F D G y H 2) Verifique se o utómto pr reconhecimento de moeds crido n ul nterior está minimizdo. 3) Represente s seguintes lingugens por um expressão regulr e por um AFD: i. Pr o lfeto Σ = {, } L(A) = {u Σ : u começ por e tem um número pr de s} ii. Pr o lfeto Σ = {+,,,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, e, i,.} L(A) = {u Σ : u é um número imginário} iii. Pr o lfeto Σ = {I, V, X, L, C} L(A) = {u Σ : u é um número romno menor que } 29

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