Universidade Federal de Rio de Janeiro

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1 Universidde Federl de Rio de Jneiro Instituto de Mtemátic Deprtmento de Métodos Mtemáticos Prof. Jime E. Muñoz River ttp// river Grito d Primeir Prov de Cálculo I Rio de Jneiro 28 de ril de 2009 Oservção.-Escol pens qutro ds cinco questões. Cd pergunt corretmente respondid vle 2.5 pontos. Repre que em cd questão eiste um item d pergunt onde deve eplicr o procedimento usdo n resolução d questão. A prov é individul pesso que for surprendid conversndo terá su prov nuld. Nome: E-mil: Questões: 1. Verifique se função é contínu e diferenciável no ponto = 0 Respost.- f() = 2 [1 cos( 3 )] se 0 0 se = 0 Pr provr que função f() é contínu no ponto = 0 temos que verificr se eiste o ite 0 f() e ind verificr que f() = f(0) = 0 0 Pr isto usremos o teorem do confronto. Primeiro devemos estimr f() Multiplicndo por 2 temos que Portnto 1 cos( 3 ) cos( 3 ) [1 cos( 3 )] [1 cos( 3 )] = 0 Logo função é contínu. f() = [1 cos( 3 )] = 0 = f(0)

2 Mostrremos gor que função é diferenciável, isto é mostrremos que o ite f() f(0) 0 Eiste. Pr isto usremos novmente o Teorem do confronto, note que Como f(0) = 0 temos que f() = 2 [1 cos( 3 )], 0. f() f(0) Como verificmos nteriormente = 2 [1 cos( 3 )] = [1 cos( 3 )] 0 1 cos( 3 ) 2 0 [1 cos( 3 )] 2 Pr > 0. Tomndo ite encontrmos que 0 [1 cos( 3 )] 2 0 = 0 0 Portnto: f() f(0) = [1 cos( )] = 0 Logo o ite eiste e portnto função é diferencável. 2. Clcule os seguintes ites Respost.- Note que 2 e1/(4 2) /(2 ), + Logo temos um indeterminção d form Fzendo Note que Assim temos que Temos que 0 1 =, e1/(4 2) = e1/(4 2) /(2 ) = y = e1/(4 2 ) 2 + ln y = y e 1/(4 2 ) 2 = 1 y ln(y) e 1/(4 2) = 1 y y ln(y) = 0 2

3 Portnto, e 1/(4 2) = 0 O segundo ite o clculmos usndo o teorem do confronto. Note que este ite é um indeterminção d form = 1/ = 0 1/0 = 0. Usndo Como = e ln( ) = e ln() 0 ln( ), > 1 Usndo s proprieddes do Logritmo ln(), 0 ln() 2 1. Tomndo ite qundo encontrmos que ln() = 0 Portnto = e ln() = e 0 = 1 3. A posição de um prtícul em cd instnte de tempo é dd pel função y = sen (3t). considere y ddos em cm e t ddo em segundos. Encontre velocidde com que este corpo de moviment em cd instnte de tempo. Pr que vlores de t prtícul pár. Em que pontos prtícul de descloc com mior rpidez. Respost.- A velocidde d prtícul é dd pel derivd de y com relção o tempo. v = dy dt = d sen (3t) dt = 3 cos(3t). A prtícul pr qundo velocidde del é nul, portnto v = 0 cos(3t) = 0 3t = π 2 + kπ, k Z Logo prtícul pr nos tempos t = π/3 + kπ/3. Finlmente velocidde máim é dd qundo 4. Encontrr s ssintots d função cos(3t) = 1 3t = 2kπ t = 2 3 kπ, k Z y = , y =

4 Respost.- Não eiste ssíntot verticl, pois o denomindor é positivo. Tmém não eistem ssíntots orizontis, pois ± 2 = ±. Procuremos por ssíntots olíqus isto é ret y = m +, tl que Como m = 0. m = (1 m)3 + (3 m) 2 + ( 2 m) Como o ite cim deve ser zero, encontrmos que m = 1, = 2 Logo únic ssíntot olíqu é y = + 2. O gráfico é Y X Clculemos ssíntot olic de f() = m = ( 5 m ) 5 m m isto é Note que m = (5 m ) m (5 m ) 2 = 25 + m m m = m 2 2 (10m + 2m) De onde m = (m2 1) 2 (10m + 2m) m

5 Pr nulr o ite d epressão cim qundo devemos fzer que m = ±1, = 5. De onde segue que s ssintots estão dds por y = 5, y = 5 Note que o gráfico d função y = , corresponde prte superior de um iperole y 5 = (y 5) 2 = (y 5) 2 2 = 1 Y (0,5) y = X 5. Descrev seqüênci ds áres dos qudrdos mostrdos n figur. Clcule áre de todos estes qudrdos, supon que = 1 e = 5. Respost.- Denotemos por L o ldo do primeiro qudrdo, em termos de = 1 e = 5 temos L 1 = + = 6. O ldo do segundo qudrdo é ipotenus do triângulo retângulo de ctetos igul M = + L 1 = 5 6 L 1, N = + L 1 = 1 6 L 1 5

6 Assim temos que L 2 = [ 5 6 L 1] 2 + [ 1 6 L 1] 2 = 26 6 L 1 Note que s proporções são s mesms pr o tercer qudrdo. L 3 = [ 5 6 L 2] 2 + [ L 2] 2 = 6 L 2 = [ 6 ]2 L 1 Pr o qurto ldo teremos que L 4 = Procedendo indutivmente temos L n = [ 5 6 L 3] 2 + [ 1 6 L 3] 2 = [ 5 6 L n 1] 2 + [ 1 6 L n 1] 2 = L 3 = [ 6 ]3 L L n 1 = [ 6 ]n 1 L 1 A áre de cd um desdes qudrdos e lemrndo que L 1 = 6 é A n = L 2 n = 36[ ]n 1 Assim seqüenci que define os ldos do qudrdo são: A n = 36[ ]n 1 A som de tods s áres destes qudrdos é igul série: S = n=1 36[ ]n 1 = 36 [ ]n = 36 n= =