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1 Universidde Federl d Bhi Instituto de Mtemátic DISCIPLINA: MATA0 - CÁLCULO B UNIDADE II - LISTA DE EXERCÍCIOS Atulizd 008. Coordends Polres [1] Ddos os pontos P 1 (, 5π ), P (, 0 ), P ( 1, π ), P 4(, 15 ), P 5 (0, 5 ), P 6 (0, e π ) e P 7 (1, ), determine: (1.1) A representção gráfic de cd um desses pontos no plno polr. (1.) Três outros conjuntos de coordends polres pr os pontos P e P 4. (1.) Quis desses pontos coincidem com o ponto P(, 10 ). (1.4) O conjunto principl de coordends polres do ponto P. (1.5) Um conjunto de coordends polres (r, θ) do ponto P, tl que r > 0 e θ ( 7π, 5π). [] Em cd um dos ítens seguir, identifique o lugr geométrico do ponto que se move e fç um esboço desse lugr: (.1) Um ponto P(r, θ) se move de mneir que, pr todos os vlores de seu ângulo vetoril θ seu rio vetor r permnece constnte e igul 4. (.) Um ponto se move de mneir que, pr todos os vlores de seu rio vetor, seu ângulo vetoril permnece constnte e igul 4. [] Determine um conjunto brngente pr cd um ds curvs dds seguir: (.1) C 1 : r = 4 (.) C : θ = π (.) C : r = cos θ (.4) C 4 : r = cos 4θ [4] Verifique se o ponto P pertence à curv C, qundo: (4.1) P( 1, π) e C : 6 r cos θ = 0 (4.) P( 1, π ) e C : r(1 sen θ) = 4 (4.) P(4, π) e C : r = 4 sen θ (4.4) P(0, π ) e C : r cos θ + r sen θ = [5] Determine o conjunto principl de coordends polres dos pontos de coordends retngulres: (.1), (.) (, ) (.) ( cos, sen ) 1

2 [6] Trnsforme s equções crtesins pr polres: (6.1) x y = 0 (6.) (x 1) + (y ) = 4 (6.) y = x x + 1 (6.4) x + y xy = 0 (6.5) x + y + y = 0 (6.6) x y = 16 [7] Trnsforme s equções polres pr crtesins: (7.1) r = 8 sen θ (7.) r 6 sen θ = (7.) r = sen θ (7.4) r = θ (7.5) r = sen θ (7.6) r = 4 cos θ [8] Determine todos os pres de coordends polres do ponto Q simétrico de P, π em relção: (8.1) o eixo polr (8.) o eixo à 90 (8.) o pólo. [9] Considere curv C : r = sen θ. (9.1) Determine um equção polr d curv C simétric de C em relção: () o eixo polr (b) o eixo à 90 (c) o pólo. (9.) Verifique se C é simétric em relção: () o eixo polr (b) o eixo à 90 (c) o pólo. [10] Ache os pontos de intersecção dos gráficos do pr de equções dds: (10.1) r = r = 1 + cos θ (10.) r = 4(1 + sen θ) r(1 sen θ) = (10.) r = sen θ r = cos θ (10.4) r = 1 sen θ r = cos θ (10.5) r = + cos θ θ = π 4 (10.6) r = r = 6 sen θ (10.7) r = cos θ r = 16 cos θ (10.8) r = 4 sen θ r = + sen θ [11] Deduzir fórmul d distânci entre os pontos P 1 (r 1, θ 1 ) e P (r, θ ) em coordends polres. [1] Fç um esboço do gráfico ds seguintes equções polres: (1.1) r = 4 cos θ (1.) r = 4 + sen θ (1.) r = 9 sen θ (1.4) r = 5 cos θ (1.5) r = 4 sen 5θ (1.6) r = sen θ (1.7) r = θ, θ > 0 (1.8) r = 8 sen θ

3 Áres de figurs plns em coordends polres [1] Nos problems seguir encontre áre ds regiões indicds: (1.1) Interior à circunferênci r = cos θ e exterior à crdióide r = 1 cos θ. (1.) Exterior à circunferênci r = cos θ e interior à crdióide r = 1 cos θ. (1.) Intersecção do círculo r = cos θ com o interior d crdióide r = 1 cos θ. (1.4) Intersecção dos círculos r = 4 cos θ e r =. (1.5) Interior à rosáce r = sen θ. (1.6) Interior à rosáce r = cos θ e exterior à circunferênci r = 1. (1.7) Interior à circunferênci r = 1 e exterior à rosáce r = cos θ. (1.8) Entre e 4 volts d espirl r =, > 0 e θ 0. (1.9) Interior à lemnisct r = cos θ. (1.10) Interior à rosáce r = sen θ e exterior à circunferênci circunferênci r = cos θ. (1.11) Exterior à limçon r = sen θ e interior à circunferênci r = sen θ. (1.1) Intersecção do círculo r = 1 como interior d lemnisct r = sen θ. Comprimento de rco em coordends polres [14] Clculr o comprimento de rco ds seguintes curvs dds em coordends polres: (14.1) espirl r = θ, 0 θ (14.) espirl r = 1 e θ, 0 θ π (14.) crdioide r = 1 + cos θ (14.4) r = 1 + sen θ (14.5) r = ( cos θ + sen θ), 0 θ π (14.6) r = 1 + sen θ, 0 θ π [15] Determine o comprimento d espirl logrítmic r = e θ/ de θ = 0 θ =. [16] Clcule o comprimento de rco d curv r = cos (θ/).

4 Centróides de Regiões Plns em coordends polres e Teorem do Pppus-Guldin [17] O digrm o ldo mostr um lmin rígid y uniforme em form de um seção de um nel circulr que está no plno xy. A seção é de ângulo π e rio r onde r como mostrdo. Mostre que s coordends do centróide G deste lmin são 7 6π, π. 7 Agor, lmin é gird por 60 em torno do eixo x. Utilizndo o Teorem de Pppus-Guldin, encontre o O π/ x volume deste sólido de revolução. y [18] O digrm o ldo mostr um lmin semicirculr rígido uniforme de rio e mss M no plno xy. Usndo coordends polres, clcule s coordends do centróide G dest lmin. Agor, lmin é gird por um ângulo de 60 em torno O x d ret x =. Mostre pelo Teorem de Pppus-Guldin, (π 4)π que o volume do sólido de revolução gerdo é. [19] O digrm o ldo mostr um lmin rígid y uniforme AOB de mss M no plno xy. A lmin é um setor de um disco de rio, cujo centro é origem O, com ângulo A OB igul π. Usndo coordends polres, clcule s coordends do centróide G dest lmin. Agor, lmin é gird por um ângulo de 60 em torno do eixo y. Mostre pelo Teorem de Pppus-Guldin, que o volume do sólido de revolução gerdo é π. O π A B x 4

5 Resposts [1] (1.) P (1, 10 ), P (1, 480 ), P ( 1, 00 ) P 4 (, 45 ), P 4 (, 15 ), P 4 (, 5 ) (1.) P (1.4) P (, 150 ) (1.5) P (1, 16π) [] (.1) Círculo: r = 4 (.) Ret: θ = 45 [] (.1) E(C) = {r = 4, r = 4} (.) E(C) = {θ = (n + 1) π ; n Z} (.) E(C) = {r = cos θ} (.4) E(C) = {r = cos 4θ; r = cos 4θ} [4] (4.1) Sim (4.) Sim (4.) Não (4.4) Sim [5] (5.1) (, 5π) (5.) ( 1, π + rctg( )) (5.) (1, ) [6] (6.1) θ = rctg (6.) r r( cos θ + sen θ) + 6 = 0 (6.) r cos θ sen θ + sen θ cos θ = 0 (6.4) r = 0 ou r( cos θ + sen θ) sen θ = 0 (6.5) r + sen θ = 0 (6.6) r = 16 sec θ [7] (7.1) x + y 8y = 0 (7.) xy = 1 (7.) x + y 6x y = 0 (7.4) y x tg (x + y ) = 0 (7.5) (x + y ) 6x y + y = 0 (7.6) (x + y ) = 4(x y ) [8] (8.1) ( 1)n π, + nπ, n Z (8.) ( 1) n, π + nπ, n Z (8.) ( 1) n, π + nπ, n Z [9] (9.1) () r = sen θ (b) r = sen θ (c) r = sen θ (9.) () Nâo (b) Não (c) Sim 5

6 [10] 6 (10.1), π e, 5π π 5π 7π 11π (10.) 6, 6, 6, 6,, 6 e, (10.) 8 0), (0,, π 8,, π 8,, 5π 8 8,, 7π, 9π 8,, 11π 8,, 1π 8 e, 15π (10.4) 6 (0, 0), 1, 0, 1, π, 1, π 6, 1, 5π e , rcsen, rcsen (10.5) (0, 0), + π, 4 e 5π, (10.6), π 5π 1π 17π 1,, 1,, 1,, 1 7 7π 19π 11π π, 1,, 1,, 1 e, 1 (10.7) (0, 0), (4,π), 4 7, rccos 5 7 e 4 7, rccos 5 (10.8) (, 11π 6 ), (, 7π 6 ) [11] d = r 1 + r r 1r cos (θ θ 1 ) 6

7 [1] (1.1) (1.) (1.) (1.4) (1.5) (1.6) (1.7) (1.8) 7

8 [1] 1 4π (1.1) (1.) 11π (1.5) π (1.6) π + 6 (1.9) (1.10) 4π + 16 [14] (14.1) (14.4) 8 (14.5) π (1.) 7π 1 1 (1.7) π + 6 (14.) e π 1 (14.) 8 (14.6) π 0 [15] 5(e 1) [16] 4 [19] π, [17] V = 7 π u.c [18] 4 π, 0 (1.4) 8π 6 (1.8) 4 π (1.11) (1.1) 6 + π 8

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