Matemática. Resolução das atividades complementares. M13 Determinantes. 1 (Unifor-CE) Sejam os determinantes A 5. 2 (UFRJ) Dada a matriz A 5 (a ij

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1 Resolução ds tividdes complementres Mtemátic M Determinntes p. (Unifor-CE) Sejm os determinntes A, B e C. Nests condições, é verdde que AB C é igul : ) c) e) b) d) A?? A B?? B C?? C AB C ()? AB C, se i, j (UFRJ) Dd mtriz A ( ij ), tl que ij, encontre o determinnte d i j, se i j mtriz A t. A A 7 A t 7? ; t det A? 7;? 7? 7? (Vunesp-SP) Dds s mtrizes A e B, clculr o determinnte d mtriz A? B. A? B 9 det (A? B) 6

2 (Fp-SP) Resolv inequção,.,, f() 9 7 { IR,, 7} 7 S { IR 7} cos ( ) sen ( ) (PUC-RS) A equção é equivlente : sen ( ) cos ( ) ) sen () c) sen () cos () e) cos () b) cos () d) tg () sec () cos ( ) sen ( ) sen ( ) cos ( ) cos () sen () cos () 6 (Fuvest-SP) O produto d mtriz A sbendo que det A.. e y y y 9 6 y y y y y 9 y 6 y y Como det A., temos e y. pel su trnspost é identidde. Determine e y, y y y 6 9

3 7 (Ftec-SP) Sejm s mtrizes A e B. Resolver equção det (A? B), com IR. {, } A B det (A B) ( )( ) S {, } 9, se i, (UFAL) Sej D o determinnte d mtriz A ( ij ), tl que: ij, se i j, se i. j O menor número rel, de modo que D, é: ) c) e) b) d) A D ( ) o menor é. j 9 (UFPR) Dds s mtrizes A B e, encontre o vlor de N. A? B 6 det A? B 6 N e sendo N det (A? B),

4 (UFOP-MG) Determinr o conjunto solução d equção. 7 9 {, } 9? 9? 9 Fzendo y y, temos: y 9 y9 9 y y9 9 9 y S {, } (EEM-SP) Resolv equção cos sen no intervlo <, p. cos { } p p 6, 6 cos sen ( sen ) sen sen sen S { } p p 6, 6 sen 9 ( não tem solução) sen p ou p 6 6 (Ftec-SP) Os vlores reis de que stisfzem equção são números: ) pres c) inteiros consecutivos e) rcionis não-inteiros b) irrcionis d) inteiros negtivos Fzendo?? y, temos: y y y?? ( ) ( ) y y y ( / IR) Portnto, os vlores de são inteiros consecutivos.

5 (PUC-PR) O vlor de no determinnte: log 9 log9 ) c) e) b) d) log9 log 9 6 (PUC-SP) Sej mtriz A ( ij ), tl que: O determinnte d mtriz A é igul : ij cos 7 p, se i j i sen 7 p, se i j j ) c) e) b) d) cos 7p sen 7p sen 7p A sen 7p cos 7p sen 7p sen 7p sen 7p cos 7p A det A ( )??

6 (UFSC) Dd mtriz A, clcule det A. 7 Clculndo pelos elementos d linh: 7 det A ( )? ( ) 7? ( ) Resolv equção. {} Clculndo pelos elementos d colun:? ( ) ()? ( )? ( ) S {} 7 (FGV-SP) Sej riz d equção 6; então, o vlor é: ) 6 c) e) 6 b) d) Usndo o teorem de Lplce, escolhendo linh, temos: 6? ( )? 6? ( ) 6 e

7 p. 7 (UFC) Dd mtriz P, clculr o determinnte de P. det P Pelo teorem de Binet: det P (det P) (MACK-SP) O vlor de um determinnte é. Se dividirmos primeir linh por 7 e multiplicrmos primeir colun por, qul será o vlor do novo determinnte? Dividindo um linh d mtriz por 7, o determinnte fic dividido por 7. Então, 7 6. Multiplicndo um colun d mtriz por, o determinnte fic multiplicdo por ; portnto, det M 6?. (FEI-SP) Sej mtriz A e um mtriz B, tmbém qudrd. Sbendo que det (A? B), clculr o vlor do determinnte d mtriz B. det (A? B) det A? det B det A? det B det B (Umesp-SP) Sejm C e D mtrizes qudrds de ordem tis que C D. Nesss condições, é correto firmr que: ) det C det D c) det C 9 det D e) det C 7 det D b) det C 6 det D d) det C det D Como C e D são mtrizes qudrds de ordem, preciso multiplicr s três linhs de D por pr obter mtriz C. Logo, det C??? det D det C 7 det D. (UFPA) O vlor de um determinnte é. Se dividirmos linh por 6 e multiplicrmos colun por, o novo determinnte vlerá: ) c) e) b) d) 6 det B?? det A det B? 6 6 Logo, det B.

8 (Esm-RN) Assinle proposição verddeir: ) Se M e N são mtrizes qudrds de mesm ordem, então det (M? N) det M? det N. b) Se A é um mtriz qudrd de ordem e k IR *, então det (ka) k? det A. c) Se det A, então mtriz A é nul. d) Se det A, então qulquer que sej mtriz X, de mesm ordem de A, tem-se AX. e) O determinnte d mtriz som de dus mtrizes de mesm ordem é igul à som dos determinntes desss mtrizes. ) det (M? N) det M? det N b) Se mtriz é de ordem, det (ka) k det A. c), embor mtriz não se j nul. d) Se A e) Se A, det A e X A? X e B det A, det B e det (A B) (UFU-MG) Se A e B são mtrizes inversíveis de mesm ordem, então det (A BA) é igul : det B ) b) c) det A det B d) det (AB) A M n; B Mn det(a? B? A) det A? det B? det A det B det B det A? det A det(a? A) det I n (PUC-RS) Se A e B são dus mtrizes qudrds de ordem n e det (A), det (B) b, e b, então det (A? B ) é igul : ) n c) n??? e)? b b b b)? n? d)?? b b A M n; B Mn det (A? B n n ) det ( A)? det(b? det A?? ) det B b

9 6 Dd mtriz A, clcule: 6 ) det A t det A 7 b) det (A t? A ) 6 ) det A 6 6 det A t det A 6 det A det A 6 t det A det A b) det (A t? A ) det A t? det A 6? 6 7 (ITA-SP) Sendo A, B, C mtrizes reis n n, considere s seguintes firmções:. A(BC) (AB)C. A B B A. det (A B) det (A) det (B). AB BA. det (AB) det (A)? det (B) Então, podemos firmr que: ) e são correts c) e são correts e) e são correts b) e são correts d) e são correts A firmção está corret: propriedde ssocitiv d multiplicção de mtrizes. A firmção é incorret: comuttividde d multiplicção de mtrizes nem sempre é válid. Eemplo: A ; B Temos: A? B e B? A Logo, AB BA. Esse fto nos lev concluir que s lterntivs e b são flss. As firmções e estão correts: propriedde comuttiv d dição e teorem de Binet, respectivmente. A firmção nem sempre é válid. Eemplo: A ; B Temos: det (A), det (B) 6. Ms A B det (A B) 6 6 Logo, det (A B) det (A) det (B) e s lterntivs d e e são flss.

10 (UFLA-MG) Os vlores de pr os quis mtriz A dmite invers são: ) e c). e) e b) d) e Pr mtriz A dmitir invers, temos necessrimente det A det A 6 det A 6 e. 7 9 (MACK-SP) Dds s mtrizes A e B, se M? A B =, det M vle: ) c) e) b) d) M? A B det (M? A) det (B) det (B) det M? det A det (B) det M det A 6 det (B) ; det A det M det M det M (FURRN) Sejm s mtrizes: A e B Então, det (A? B) é igul : ) 6 c) 6 e) 6 b) 6 d) det (A? B) det A? det B det A 6 e det B 6 det (A? B) 6

11 p. Ache o mior vlor rel de, tl que Clculndo pelos elementos d linh: log? ( )? ( 6) ( 6),. 9 (não serve) (não serve) Logo, o mior vlor rel de é.. Determine os vlores de pr os quis.. { } IR,,. ( ) ( ) ( )., f(). 9 { IR }

12 (Fuvest-SP) Clcule. (MACK-SP) Dd mtriz A ( ij ), tl que ij i j, o vlor do determinnte d mtriz A é: ) c) e) 6 b) d) 9 A, ij i j A???? 9 6 A A? A? 9 6 det A 9 9

13 (Ftec-SP) O trço de um mtriz qudrd é som dos elementos de su digonl principl. Se os números inteiros e y são tis que mtriz tem trço igul e determinnte igul 9, y então o produto y é igul : ) c) e) b) d) Trço: y y I Determinnte: 9 y y 9 y y II y y De I e II : y e y y Portnto, o produto? y ()?. 6 (FGV-SP) Considere s mtrizes: m A b n e B c p Se o determinnte d mtriz A é igul, então o determinnte d mtriz B é igul : ) c) e) b) d) m m det A b n? b n? c p c p Como o determinnte de A é igul, temos: m m? n b n b p c p c m n p m n b p c Clculndo o determinnte de B: m m det B n b? n b? ( ) p c p c b c

14 6 7 (FGV-SP) É dd mtriz A. ) Se B A t A, em que At é mtriz trnspost de A, e B número rel w, tl que w? y. y 7y 7, determine o y y 7y b) Considere mtriz C, tl que C A t 7. Encontre o vlor do número rel p, sendo p o determinnte d mtriz C? A, isto é, p det (C? A ) e A mtriz invers d mtriz A. t ) Sendo B A A, temos: B 6 7 Como B y 6? 7y 7 y y 7y , podemos firmr que: 7y, y 7y Portnto: w? y ( )? b) Sbendo que det A det A, det A t det C? A? de, det(c? A ) det C? det A e ind que det A t t det( ) ( ) t A, pois C é qudrd de ordem, temos: ( ) et A 7 det A p det(c? A ) det C? det A t? det A? d?? det A 7

15 (MACK-SP) Dd mtriz A, considere seqüênci formd por tods s potêncis inteirs e positivs de A, isto é, A, A, A,... A n,.... Somndo-se tods s mtrizes dess seqüênci, obtemos um mtriz, cujo determinnte é: c e b d ) ) ) ) ) 6 Sendo A, temos: A?? A A 9 9, A?? A A 7?, A A A 7 6?, e ssim por dinte. Assim, concluímos que: A A som n ( ) ( ) n n dess seqüênci de mtrizes será: S 9 7 ( ) ( ) n n O determinnte dess mtriz é:

16 9 (PUC-SP) Indic-se por det A o determinnte de um mtriz qudrd A. Sej mtriz A ( ij ), de sen p? ( i j), se i j ordem, em que ij. sen [? ( i j) ], se i j Quntos números reis, tis que p,, p, stisfzem sentenç det A? ) c) 6 e) b) d) Sendo A ( ) de ordem, com ij ij sen p? ( i j), se i j. sen [? ( i j) ], se i j Então: sen p? p ( ) sen sen p sen? ( ) sen ( ) sen Como det A sen [ ] [ ( ) ] sen? sen p? ( ) p sen sen sen, temos: sen p sen sen Logo, se sen, temos p p, 6 6, 7p p e como vlores possíveis pr ; se sen, 6 6 temos 7 p 6, p p p 6, e como vlores possíveis pr, ou sej, no intervlo p,, p, 6 6 eistem vlores pr. 6

17 (Vunesp-SP) Considere mtriz A O determinnte de A é um polinômio p(). ) Verifique se é um riz de p(). é riz de p(). b) Determine tods s rízes de p()., e Se A, o determinnte de A será: det A p() p() ) p()? Portnto, é riz de p().. b) Ftorndo o polinômio p(), teremos: p() ( ) ( ) ( )( ) Os vlores que nulm p() são tis que: ou As rízes de p() são, e. b c b c (ITA-SP) Se det p q r, então o vlor do det p q y r z é igul : y z y z ) c) e) 6 b) d) b c b c p q y r z? p q y r z y z y z b c b c b c?? p q y r z?? p q r y z y z y z y z b c b c??? p q r??? p q r y z y z??? ( ) 7

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