Índice. Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. Resumo Teórico...1 Exercícios...5 Dicas...6 Resoluções...7

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1 Índice Mtrizes, Determinntes e Sistems Lineres Resumo Teórico...1 Exercícios...5 Dics...6 Resoluções...7

2 Mtrizes, Determinntes e Sistems Lineres Resumo Teórico Mtrizes Representção A=( ij )x3pode ser representd por A = Mtriz Trnspost A b c = 1 3 A t 1 = b c 3 Iguldde de Mtrizes A=B ( ij )=(b ij ) pr todo i e todo j. Adição de Mtrizes C=A+B (c ij )=( ij )+(b ij ) pr todo i e todo j. Proprieddes. A = ( ij ) pr todo iej b.a+b=b+a c.a+o=a d.a+(b+c)=(a+b)+c e.b A=B+( A) Multiplicção de Mtriz por Número A b c 3 3b 3c = 3A 1 3 =

3 Multiplicção de Mtrizes b x y x bz y bt c d z t = + + cx + dz cy + dt Proprieddes. Em gerl A.B B.A b. A(BC) = (AB)C c.a(b+c)=ab+ac d.(a+b)c=ac+bc e. AI = IA = A, I mtriz identidde Mtriz Qudrd Número de linhs = número de coluns Determinnte Mtriz x A = b b det(a) d bc c d = c d = Mtriz 3x3: Regr de Srrus A b c b c b = d e f det(a) = d e fd e = ei + bfg + cdh ceg fh bdi g h i g h ig h Mtriz Invers (A 1 ) A.A 1 =A 1.A=1. Só existe pr mtrizes qudrds b. Só existe A qundo det(a) 0 e neste cso det( A ) = det(a) d b b 1 c. Se A = c d c, det(a) = A =

4 Teorem de Lplce O determinnte de um mtriz é igul à som do produto dos elementos de um linh (ou colun) pelos respectivos coftores. Regr de Chió Só vle se 11 =1. 1 b c 3 bc c 3 = 4 d 5 bd d4 5 Proprieddes dos Determinntes. det(a t ) = det(a). b. Se um linh (ou colun) é formd só de zeros, o determinnte é igul zero. c. Qundo trocmos de lugr dus linhs (ou coluns) prlels, o determinnte fic multiplicdo por 1. d. Se dus linhs (ou coluns) prlels são Iguis (ou proporcionis), o determinnte é igul zero. e. Se os elementos de um linh (ou colun) presentm um ftor comum k, este pode ser colocdo em evidênci. f. Se A é um mtriz qudrd de ordem n, então det(k.a) = k n.det(a) g. Teorem de Binet: det(a.b) = det(a).det(b) Atenção: em gerl, det(a+b) det(a) + det(b) h. Teorem de Jcobi (importnte pr obtenção de zeros). O determinnte de um mtriz não se lter qundo sommos um linh (ou colun) outr linh (ou colun) prlel multiplicd por um constnte i. Mtriz Tringulr: A = det(a) = 1 4( 5)

5 Sistems Lineres Regr de Crmer 1 + b1 + c1 = d x y z Ddo o sistem + b + c = d x y z 3 + b3 + c3 = d x y z Sej D o determinnte d mtriz dos coeficientes, isto é, D= b c b c 1 3 b c e Dx, Dy e Dz os determinntes que se obtém de D substituindo os coeficientes de x, yez, d b c respectivmente pelos termos independentes (d 1,d ed 3 ). Por exemplo, D x = d b c d b c Se D 0, então o sistem tem solução únic dd por: D x D ;y D x y D ;z Dz = = = D Clssificção e Discussão de um Sistem Liner Todo sistem norml (n equções e n incógnits), é clssificdo em:. Sistem Possível e Determindo (SPD) - Admite um únic solução. D 0. b. Sistem Possível e Indetermindo (SPI) - Admite infinits soluções. D = 0. c. Sistem Impossível - Não dmite solução. D = 0. Sistems Homogêneos Todos os termos independentes são nulos. Neste cso o sistem dmite solução trivil (ou imprópri) x = y = z = 0.Temos então:. D 0 A únic solução é trivil (0,0,0). O sistem é SPD. b.d = 0 Admite lém d solução trivil outrs soluções. O sistem é SPI. Atenção: Um sistem homogêneo nunc será impossível. 4

6 Exercícios 01. Se A = eb= 0 1 3, então A. Bémtriz b c d e Determine os vlores de x, y e z n iguldde bixo, envolvendo mtrizes reis x: x x y 0 x = z 4 0 x z + y z Dd mtriz A = 3 1, clcule su invers A 1. b. A relção especil, que você deve ter observdo entre AeA 1 cim, seri tmbém encontrd se clculássemos s mtrizes inverss de: ; ; Generlize e demonstre o resultdo observdo. 04. Considere s mtrizes reis xdotipo cos x senx A(x) = senx cos x. Clcule o produto A(x).A(x) b. Determine todos os vlores de x [0, π] pr os quis A(x). A(x) = A(x). 05. Se b b 0 = 0, então o vlor do determinnte 0 d 1 é c d c 0. 0 b. bc c. bc d. 3bc e. b c 06. Sej R e considere s mtrizes reis x A= e B = e, o produto AB será inversível se e somente se: b

7 c. 3 0 d e Considere A e B mtrizes reis x, rbitráris. Ds firmções bixo sssinle verddeir. No seu cderno de resposts, justifique firmção verddeir e dê exemplo pr mostrr que cd um ds demis é fls.. Se A é não nul então possui invers. b. (AB) t = A t B t c. det (AB) = det (BA) d. det A = det A e. (A + B) (A B)=A B Dics 01. Vmos dr um exemplo de produto de dus mtrizes pr você lembrr: ( ) ( = 1) = ( ) ( ) = Dds dus mtrizes A = e 1 b + b b + b A B = 1b11 b1 b + b 11b11 1b1 A+B= 1b1 b b B = b e b b, 03. Pr clculr invers de um mtriz A = b podemos usr fórmul A 1 = 1 d b c d x d bc c onde d bc 0. Sed bc = 0mtriz não será inversível. 04. Fç o produto ds mtrizes e não esqueç que sen x + cos x = Comece clculndo o vlor dos dois determinntes e depois fç um substituição do primeiro resultdo no segundo Pr que um mtriz sej inversível, o seu determinnte tem que ser diferente de zero.. Teorem de Binet: det(a. B) = det A. det B 3. det (AB) 0 det A 0 e det B 0 6

8 Um mtriz A = b não é inversível se o seu determinnte for igul zero, ou sej, c d sed bc=0.. Teorem de Binet: det(a. B) = det A. det B 3. Lembre-se de que o produto de mtrizes não é comuttivo, ou sej, nem sempre temos AB = BA. 4. det A = det (A. A) 5. (A. B) t =B t.a t 6. (A+B).(A B)=A AB+BA B Resoluções 01. Alterntiv b Vmos efetur o produto A.B = = = ( ) ( ) (4+36)(5+37) = = = x x y 0 x = z 4 0 x z + y z x = x y+z 4 0 x+y z z x y+ z 4 = 0 I x + y z = 0 II x = z III Somndo s equções I e II, temos: x 4=0 x= Substituindo x=emiii, temos: z=4 Substituindo em II, temos: + y 4 = 0 y = Respost: x=,y=,z= Sendo A = b c d x A -1 = 1 d bc d b c, então: A= A-1 = 3 1 = 1 ( 1) 1 Respost: A -1 = 3 1 7

9 b. A relção especil encontrd foi A -1 =A. Observndo s mtrizes 3 4 3, e notmos que tods são iguis às sus respectivs inverss. Notmos tmbém que = 11, 1 = e 1 = , fzendo 11 = podemos generlizr mtriz como Respost: A mtriz +1 é invers de si mesm Clculndo o produto A(x). A(x), temos: A(x). A(x) = cos x senx cos x senx 1 senx cos x = A(x). A(x) = 1 senx senx cos x senx cos x senx cos x 1 senx 1 b. A(x). A(x) = A(x) 1 senx cos x senx cos x = 1 I = senx 1 senx cos x senx = senx senx cos x = senx II Substituindo I em II, temos:.senx.1=senx senx senx=0 senx=0 Os vlores de x [0, π] que stisfzem s equções cos x=1esenx=0sãox=0oux=π Respost: x=0oux= 05. Alterntiv d b c d =0 d bc=0 d=bc b 0 0 d 1 =d+bc=.(bc) + bc = 3bc c Alterntiv e Pr que A.Bsej um mtriz inversível temos que ter det(a. B) 0. Pelo teorem de Binet, temos: deta. detb (3 1) (7 7 8 ) e

10 Como 0e respost corret é A firmção verddeir é c, pois det(a. B) = deta. detb = detb. deta = det(b. A) pelo Teorem de Binet. As outrs firmções são flss, vej os exemplos:. A = 3 deta = 0 A é não nul ms A não possui invers. 6 4 b. A = 1 eb= 1 0 (A.B)t= = 3 8 = 4 8 At.Bt= = t t ( A B) A B t (A.B)t At.Bt d. A = deta = det = det 7 10 =4 15.detA=.det 1 =.( )= 4 deta. deta 3 4 e. A = 1 eb= 1 4 (A+B).(A B)= = A B 1 = = = (A + B) (A B) A B t t 9