Sobre o teorema de classificação das cônicas pela análise dos invariantes

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1 Revist Ffibe On Line n go 7 ISSN wwwffibebr/revistonline Fculddes Integrds Ffibe Bebedouro SP Sobre o teorem de clssificção ds cônics pel nálise dos invrintes (About the conics clssifiction theorem for the nlysis of the invrints) rco Donisete de Cmpos ; Gutemberg Duques dos Sntos Universidde Federl de to Grosso Sinop T Instituto Universitário do Argui UniArgui Pontl do Argui T Abstrct In this work, the conics clssifiction theorem for the nlysis of the invrints, proposed by OLIVA (97), is demonstrted in detils intermedited by illustrtive exmples of ech cse Keywords conics; clssifiction; invrints Resumo Neste trblho, o teorem de clssificção ds cônics pel d nálise dos coeficientes, proposto por OLIVA (97), é demonstrdo em detlhes, intermedido por exemplos ilustrtivos Plvrs-chve cônics; clssificção, invrintes Estudo Gerl ds Cônics Introdução A respost à miori dos problems mtemáticos depende d solução de equções do tipo f(x) = Dentro dos problems de clssificção locl de funções diferenciáveis, um clsse interessnte e importnte é ds cônics, cujo conjunto de zeros determin clsse de equivlênci por rotção e trnslção Um fto não comum! Sej ( O, i, j ) um sistem de coordends crtesins ortogonis no R A equção lgébric do segundo gru f ( x, x ) = x + xx + x + x + x + = () com ij R, determin o conjunto de pontos do plno chmdo cônic, o qul ssocimos mtriz simétric = Agor, o tomrmos um novo sistem de coordends, crtesins ortogonis ( O, e, f ), de mesm orientção que o primeiro e plicrmos à equção () o movimento de rotção e trnslção simultnemente, isto é, x = + cosθ y senθ y, sendo π < θ π, (x,x ), (y,y ) s coordends de um ponto x = + senθ y + cosθ y, genérico X nos sistems ( O, i, j ) O, e, f, respectivmente, (, ) s coordends d e ( )

2 Revist Ffibe On Line n go 7 ISSN wwwffibebr/revistonline Fculddes Integrds Ffibe Bebedouro SP nov origem em relção o sistem ( O, i, j ), cônic será representd por um nov equção do segundo gru: f ( y, y ) = y + y y + y + y + y + () = À equção () ssocimos um nov mtriz =, que, em gerl, é diferente de Os elementos A = +, A = e A = det chmdos invrintes ortogonis d cônic, são ssim denomindos por serem invrintes por rotção e trnslção, isto é, A = + = +, A = = e A = det = det Centros de um Cônic Um ponto C = ( c, c ) do plno é chmdo centro d cônic k se, pós trnslção de eixos o sistem ( C, i, j ), nov equção não contiver os termos lineres Temos que se ( c, c ) são s coordends do ponto procurdo, s equções de trnslção no plno, dds x = y + c por, qundo substituíds em (), fornecem x = y + c y + y y + y + c + c + y + c + c + y + f c, c () ( ) ( ) ( ) = c Assim, existirá o centro C se, e somente se, o sistem c + + c c + + =, tiver solução = Se A = existe um único centro C = ( ) c, c Agor, se A = e s mtrizes = e = têm crcterístics, respectivmente, e, então cônic k não possui centro Este fto nos motiv o seguinte resultdo: Proposição: A cônic k não possui centro se, e somente se, A = e A Prov: Se não existe centro A = e mtriz = tem crcterístic Rest mostrr que A Se, pelo contrário, considerrmos A det = =, terceir colun de será combinção liner ds dus primeirs, i é, = α + β e, em prticulr, + = α β Como A =, então = tem crcterístic, o que é bsurdo Reciprocmente, se A = e A, mtriz = tem crcterístic e tem crcterístic Portnto, cônic k não possui centro se, e somente se, A = e A Teorem (Clssificção ds cônics pel nálise dos invrintes): Sej k um cônic em relção o sistem de coordends crtesins ortogonis Então, existe um novo

3 Revist Ffibe On Line n go 7 ISSN wwwffibebr/revistonline Fculddes Integrds Ffibe Bebedouro SP sistem de coordends crtesins segundo o qul cônic k ou tem equção d form A ( + ) x + y, cso este em que = + A e A (prábol sem centro), ou tem = equção λ z + λ z + f ( c, c ) =, cso este em que cônic tem centro λ e λ não nulos simultnemente e λ e λ são s rízes d equção de segundo gru λ det A = = λ A origem do novo sistem é um dos centros (que, no cso A, é único) cujs coordends em relção o sistem originl são ( c,c ) Prov: Se cônic k possui centro, plicndo o movimento de trnslção à equção () obtemos: y + y y + y + f ( c, c ) = () A fim de simplificrmos ind mis equção (), plicmos um movimento de rotção dos eixos, isto é, y = cosθ z senθ z, π < θ π (5) y = senθ z cosθ z Substituindo (5) em () temos, como coeficiente do termo misto, seguinte expressão senθ cos θ + (cos θ sen θ ) + cos θsenθ = ( ) sen θ + cos, com θ π π π Assim, se =, bst que cos θ = e, dess form, θ = ou θ = Logo, θ = Por outro ldo, se, procuremos θ, π < θ π, tl que senθ ( ) senθ + cos θ = Então, = e, ssim, tgθ = cosθ Assim, qulquer que sej θ que stisfç s condições cim, serve os novos propósitos Eliminndo o termo misto, temos um equção do tipo Az + Bz + f ( c, c ) = Dí, A = B, sendo A f ( c ) = A + B e A = A B Notemos que A e B são rízes d seguinte, c equção do segundo gru λ ( A + B) λ + ( A B) =, ou, equivlente, rízes d λ equção det A = = λ Finlmente, equção d cônic se reduz λ z + λ z + f ( c, c ) = No cso em que A = e A temos, pel proposição, que cônic k não possui centro A fim de eliminrmos o termo misto d equção d cônic k, plicmos um movimento de rotção definido n Eq (5) e obtemos um equção do tipo b b b y + b y + b y + b y + = à qul ssocimos mtriz = b b, sendo b b b A = b + b, A = b b e A = det Como, por hipótese, A = então b b = e, dí, b = e b ou b = e b i) Se b = e b então A = b ( b ) e b Obtemos

4 Revist Ffibe On Line n go 7 ISSN wwwffibebr/revistonline Fculddes Integrds Ffibe Bebedouro SP b y b b b y + by + b y + = b y b y + = b b b b Efetundo seguinte trnslção de eixos, b z = + y e b b b z = y + chegmos à equção b z + bz =, que represent um prábol b ii) Se b = e b então A b b = b Obtemos equção b y + b y + b y + = b y b b b y = b y b b b b Efetundo trnslção de eixos b = + b z y e z b = y +, chegmos à b b equção b z + bz = que tmbém represent um prábol Assim, qundo A = e A, cônic é um prábol com equção Ax + By =, com A e B A mtriz torn-se ( ) AB = A B = B A = + A A Portnto, se ( + ) x + y obtemos = + Clssificção ds Cônics pelos Invrintes Cso: A = i) Se A, pel proposição, trt-se de um prábol B B B Logo, A = A = + e A = + Aplicção: Sej cônic representd pel equção x + y xy 8 x 8 y = A mtriz é e, ssim, A =, A = e A = 8 Como A = e A, pel proposição, equção represent um prábol = ii) Se A =, existe um ret de centros e s mtrizes = e λ, = à têm crcterístic A equção reduzid é z + λ z + f ( c c ) λ qul ssocimos mtriz = λ e obtemos, A f ( c ) = λ + λ e A = λ λ Como, c A =, temos λ = e λ ou λ e λ = Considerndo λ = e λ e substituindo n equção reduzid temos λ z + f ( c, c ) = Assim, nturez d cônic dependerá de A f ( c, c )

5 Revist Ffibe On Line n go 7 ISSN wwwffibebr/revistonline Fculddes Integrds Ffibe Bebedouro SP Com efeito, se A f ( c, c ) > então equção reduzid é d form λ z = f ( c, c ), trtndo-se, portnto, do conjunto vzio Se denotrmos A e A os respectivos coftores dos elementos e d mtriz, temos que A = λ f ( c, c ) e A = λ f ( c, c ) No cso prticulr em que A = e A = temos A ( ) ( ) ( ) f c, c = λ + λ f c, c = A + A Aplicção: Sej cônic representd pel equção 8x + 8xy + y + = A mtriz 8 ssocid à equção d cônic é equção dd represent o conjunto vzio Como A = A = e A A > temos que Se f ( c, c ) < λ z = f c,c, trtndo-se portnto, de dus rets prlels Aplicção: Sej cônic representd pel equção x + xy + y = A mtriz A então equção reduzid é d form ( ) é e, ssim, A = 5, A = e A = Como A =, A = e A + A < concluímos que equção represent dus rets prlels Finlmente se A f ( c, c ) =, equção reduzid é d form λ z =, trtndo-se portnto, de um ret Aplicção: Sej cônic representd pel equção x + xy + y x y + = A mtriz é e, ssim, A =, A = e A = Como A = A = e A + A = temos que equção represent um ret No cso em que λ e λ = teremos resultdos nálogos Cso: A Pelo Teorem de Crmer, se A cônic possui um único centro C = ( c, c ) A equção reduzid é d form λ z + λ z + f ( c, c ) = qul ssocimos mtriz λ = λ Dí, f ( c, c ) i) A = se, e somente se, f ( c, c ) = Se A > então λ e λ têm o mesmo sinl Assim, equção λz = λ z represent um ponto Aplicção: Sej cônic representd pel equção x + xy + y + 6y + 9 = A mtriz é e, ssim, A =, A = e A = Como A, A =, A > temos que 9 equção represent um ponto 5

6 Revist Ffibe On Line n go 7 ISSN wwwffibebr/revistonline Fculddes Integrds Ffibe Bebedouro SP Se A < então λ e λ têm sinis opostos Assim, equção λ z = λ z represent dus rets concorrentes Aplicção: Sej cônic representd pel equção x xy + y = A mtriz é e, ssim, A =, A = e A = Como A, A =, A < temos que equção represent dus rets concorrentes ii) A f ( c, c ) Se A > então λ e λ têm o mesmo sinl e, conseqüentemente, A A equção reduzid, nesse cso, é, λ z + λ z = f ( c,c ) Dí, se A A > então λ λ f ( c, c ) + λ λ f ( c, c ) > Assim, se λ > e λ > então f ( c, ) c > e, por outro ldo, se λ < e λ < então f ( c, ) c < Portnto, em qulquer um dos csos teremos λ z + λ z = f ( c ) que represent o conjunto vzio,c Aplicção: Sej cônic representd pel equção 5x + y + xy + = A mtriz 5 é e, ssim, A = 7, A = 9 e A = 8 Como A, A, A > e A A > temos que equção represent o conjunto vzio Por outro ldo, se A A < então λ λ f ( c, c ) + λ λ f ( c, c ) < Dí, se λ >, λ > então f ( c c ) e, nlogmente, se λ <, λ então f ( c c ) Em qulquer um dos, < csos teremos z + λ z = f ( c ) <, > λ,c que represent um elipse Aplicção: Sej cônic representd pel equção x + y + xy x + y 5 = A mtriz é e, ssim, A =, A = e 5 A A temos que equção represent um elipse < 9 A = Como, A A, A > e, Se A <, então λ e λ têm sinis opostos A equção reduzid, nesse cso, é, λ z + λ z = f ( c,c ), que represent um hipérbole Aplicção: Sej cônic representd pel equção 8x + 6xy x 6y + = A 6 mtriz é e, ssim, A = 8, A = 9 e A = 8 Como A, A e A < 6 temos que equção represent um hipérbole Referênci OLIVA, W Vetores e Geometri São Pulo: Edgrd Blücher, 97 6

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