Conceito Representação Propriedades Desenvolvimento de Laplace Matriz Adjunta e Matriz Inversa

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1 Algebr Liner Boldrini/Cost/Figueiredo/Wetzler Objetivo: Clculr determinntes pelo desenvolvimento de Lplce Inverter Mtrizes Conceito Representção Proprieddes Desenvolvimento de Lplce Mtriz Adjunt e Mtriz Invers Histórico: 25 C Chin Sec XVII Início no Ocidente Leibniz (646-76) Crmer (74-752) Regr de Crmer (75) Sec XIX Início do Estudo Sistemático Trtdo de Cuchy em 8 Seguido por Jcobi Conceito: O conceito de um número ssocido um mtriz qudrd mostrou-se útil pr crcterizr situções como um mtriz inversível, se um sistem dmite ou não solução

2 Dd mtriz qudrd Mtriz Qudrd 3 4 A mxm = m m2 m3 mm =[ ij ] mxm Escreve-se det A ou A ou det [ ij ] det [] = - determinnte de um mtriz x det Proprieddes: Se todos os elementos de um linh ou colun de um mtriz são nulos então det A= 2Det A = det A 3Multiplicndo-se os elementos de um linh ou colun de um mtriz por um constnte, o determinnte fic multiplicdo por este vlor 4Um vez trocd posição de dus linhs (ou coluns), o determinnte troc de sinl 5Se um mtriz possui dus linhs (ou coluns) iguis o determinnte é nulo 6 Em gerl det (A+B) det A + det B 7O determinnte não se lter se somrmos um linh outr multiplicd por um constnte Exemplo: det (AB) = det A det B L 3 2 L L 3

3 ATIVIDADE Pr cd propriedde presentd qunto determinnte de mtriz, presente 3 exercícios de cd propriedde, totlizndo 24 exercícios Desenvolvimento de Lplce: 3 Dd um mtriz A de ordem ( ) ) ( ( 32 3 )

4 Desen Desenvolvimento de Lplce A A 3 A3 Foi retird i-ésim linh e j-ésim colun Pode-se definir o coftor correspondente como: ( i j ) ij ( ) Aij Determinnte fetdo pelo sinl d submtriz A ij obtid retirndo-se i-ésim linh e j-ésim colun É chmdo de coftor ou complemento lgébrico do elemento ij, det A mn Generlizndo, Pr um determind linh i o determinnte pode ser clculdo: n n ( i j) det Amxn ijij ij ( ) Aij j j Portnto o determinnte d mtriz A mxn pode ser clculdo como: O cálculo do determinnte utilizndo o desenvolvimento de Lplce vle pr escolh de qulquer linh ou colun, clculndo-se os coftores correspondentes os elementos ij e somndo-se, conforme indicdo n equção 3 3 Desen Desenvolvimento de Lplce Exemplo: Clcule o determinnte d mtriz bixo utilizndo o desenvolvimento de Lplce = (-2) = (2-) +2 (4-2) + 3 (-2+2) = +4 = 5 Exemplo2: Clculndo o determinnte d mtriz cim utilizndo-se propriedde = = = (+4) = 5 2 L 3 =L 2 +L 3

5 Desen Desenvolvimento de Lplce Exemplo3: Clcule o determinnte d mtriz: = 2 = = L =L +L 2 = L 3 =L 3 +L 2 C =C +(-2)C 2 = (-3) = -6 (--52) = -6 (-62) = Mtriz Adjunt e Mtriz Invers: Dd mtriz A Cujo coftores são: ij A Mtriz dos coftores é dd por: A ij Exemplo: 2 A= Os coftores são: ( ) ( i j ) A ij Mtriz dos coftores ou Mtriz coftor 4 =(-) + = =(-) +2 = =(-) +3 = -9 6 =(-) 2+ = =(-) 2+2 = 2 5 =(-) 2+3 = - 6 =(-) 3+ = =(-) 3+2 = =(-) 3+3 = 5-3

6 Mtriz Mtriz Adjunt e Mtriz Invers A Mtriz dos coftores ou Mtriz coftor Mtriz Adjunt: É mtriz trnspost d mtriz coftor dja A' Clculndo-se o produto d mtriz A com su djunt: AA' = -9 Mtriz Identidde Clculndo-se A : det A 9 A prtir dos resultdos cim tem-se: Como: A A I Conclui-se que: A' A A' det A I A I det A A dja det A Mtriz Invers Mtriz Mtriz Adjunt e Mtriz Invers Exemplo: dd: )Determine A - b)clcule AA - ) b) A= det A =(-) + 4 = 4 =(-) +2 = - =(-) 2+ 3 = -3 =(-) = 2 AA A A dja 4 det A 5 dja A' Há diverss outrs forms de se determinr mtriz invers, ms este exercício será deixdo como pesquis pr o luno

7 Mtriz Mtriz Adjunt e Mtriz Invers Observções Finis: )Sendo A e B inversíveis, então AB é inversível e (AB) - =B - A - Anlogmente: (B - A - )(AB)=I (AB)(B - A - ) = ABB - A - = AIA - = AA - = I 2) Se A é mtriz qudrd e existe B tl que BA=I então A é inversível, ou sej A - existe e lém disso, B=A - 3) Nem tod mtriz possui invers ATIVIDADE 2 Pr cd propriedde presentd ns considerções finis qunto invers de um mtriz, presente 3 exercícios de cd propriedde, totlizndo 9 exercícios

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