Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas Departamento de Matemática + = B =.. matrizes de M )

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1 Se ( ij ) é um mtri, definid pel lei Universidde Federl de Viços Centro de Ciêncis Ets e ecnológics Deprtmento de Mtemátic LIS DE EXERCÍCIOS M 7 Prof Gem/ Prof Hugo/ Prof Mrgreth i j, se i j ij, clcule s mtries,, i j, se i > j X Y Resolv o sistem sendo e X Y B B 6 Sejm, B e C 8 7 mtries de M ) ( RI Clcule B C Considere um produto de mtries:, B, C, D e E Sbendo que BCDE EDCB, e que C é um mtri, quis são s dimensões ds outrs qutro mtries? Se e B M n n ( RI ) () ( B) B B ; (b) ( B)( B) B ; e se BB, prove que: (c) ( B)( B B) B 6 Dds s mtries e B 6 7 clcule os elementos (B), (B) 7 Verifique se s sentençs bio são verddeirs ou flss, e justifique sus resposts () ( ) Se X e X são soluções d equção mtricil X O (O é mtri nul) então X X tmbém é solução d mesm equção (b) ( ) Se, B e C são mtries de dimensões, e, respectivmente, então mtri X tl que BX C tem dimensões (c) ( ) Sej um mtri qudrd tl que n O pr lgum inteiro n > Então (I )(I n ) I onde O é mtri nul e I mtri identidde (d) ( ) Se é um mtri tringulr superior de ordem então é tmbém um mtri tringulr superior; (e) ( ) Se, B e C são mtries tis que B C então B C (f) ( ) Se, B M n n ( IR ) são tis que B O, então B O (g) ( ) Se M n n ( IR ) e mtri tem todos os elementos d digonl principl iguis ero, então O (h) ( ) som de dus mtries tringulres superior de mesm ordem é um mtri tringulr superior (i) ( ) O produto esclr de um mtri tringulr superior por um número rel é um mtri tringulr superior (j) ( ) Se, B são mtries simétrics o produto B é um mtri simétric (k) ( ) Se, B são mtries nti-simétrics o produto B é um mtri nti-simétric (l) ( ) Se, B M n n ( IR ) então (B) B 8 Sej M n n ( IR ) Mostre que: () é simétric (b) ( ) é simétric (c) ( ) é nti-simétric (d) od mtri qudrd é som de um mtri simétric com um mtri nti-simétric

2 9 Clcule o vlor de, pr que o produto d mtri pel B sej um mtri simétric Um mtri é ortogonl se I Quis os possíveis vlores pr o determinnte de um mtri ortogonl? Qunts mtries reis de ordem são nti-simétrics e ortogonis o mesmo tempo? Determine o número m pr que mtri M sej ortogonl m Dds s mtries seguir, verificr se cd um dels é ortogonl: 6 6 6, B, C e D 6 6 Se s mtries e comutm, determine o vlor de cos α senα Pr um número rel α consideremos mtri α senα cos α () Mostre que α β α β (b) Clcule α (c) Mostre que mtri α é ortogonl, qulquer que sej o vlor de α Um mtri qudrd tl que é chmd mtri idempotente Mostre que mtri é n um mtri idempotente Clcule,,, p 6 Dd um mtri qudrd, se eistir um número inteiro positivo p, tl que, di-se que é um mtri nilpotente Se, mostre que é um mtri nilpotente Determine o menor inteiro positivo p pr o p qul 7 (Medicin) Um projeto de pesquis limentr cont com prticipção de dultos e crinçs de mbos os seos composição dos prticipntes no projeto é dd pel mtri dulto Crinç 8 Seo msculino Seo fe min ino O número de grms diários de proteíns, gordur e crboidrtos consumido por cd crinç e cd dulto é ddo pel mtri Pr oteín Gordur Crboidrto dulto B Crinç Qul é o significdo dos elementos do produto mtricil? 8 Sej um mtri cujo determinnte é () Determine det P sendo P (b) P é inversível? Encontre invers de P em função d mtri (c) Sobre s linhs d mtri form relids s seguintes operções: L L ; L L L ; L 7L Qul o determinnte dess nov mtri?

3 (d) mtri Q é inversível? 9 Dds s mtries B C determine det, det B, det( C B) Dd mtri, determine su invers se isso for possível Clssifique s mtries como singulr ou não singulr B C Clcule o determinnte d mtri: ) Desenvolvendo-o pel linh (usndo coftores) b) Pelo processo de tringulção (usndo operções elementres sobre s linhs d mtri) dmitindo que ( )( )( ) clcule log 7 log 7 log 7 ( log 7) ( log 7) ( log 7) Sendo e B mtries inversíveis de ordem n, isolr mtri X de cd equção bio: () XB I n (c) ( X ) B (b) ( X ) I n (d) ( X ) B Dds s mtries e B clcule det ( B), mtri inversível stisfendo iguldde C BC, clcule det C Verifique se s sentençs bio são verddeirs ou flss Justifique su respost det, então det ( ) () ( ) Se ( ) (b) ( ) det ( B) det( ) det( B) (c) ( ) Se det( ) e B O (d) ( ) Se M ( IR ) e n é pr, então det ( ) det( ), então B é um mtri inversível, B e ( B ) Se C é um n n (e) ( ) Se é inversível, então é inversível (f) ( ) Se C BC e C é inversível, então B (g) ( ) Se B O e B é inversível, então O 6 Sej Q um mtri de ordem n, tl que det Q e Q Q O Clcule o vlor de det Q 7 Dd mtri, clcule det ( ) utilindo operções elementres sobre s linhs de lém 6 7 det disso, determine det ( ), det ( ), ( ) 8 Considere mtri det, det( ), ( ) det e ( )

4 () Determine o polinômio ( ) ( ) I det p sendo I mtri identidde de ordem e R I (b) Verifique que ( ) p (mtri nul) (c) Use o item (b) pr clculr invers de 9 Clssifique cd mtri bio como singulr ou não singulr e determine su invers, se isso for possível, usndo fórmul ) dj det ( 6 B C D Clcule o determinnte d mtri bio e determine su invers, cso el sej inversível: B Resolv os sistems bio e clssifique-os qunto o número de soluções () (b) t t t (c) (d) 9 (e) (e) Determine o vlor de k, pr que o sistem sej comptível: ) k b) 7 k Se λ λ λ, encontre todos os vlores de λ pr os quis o sistem homogêneo X tem pens solução trivil Determine os vlores de e b pr que o sistem b () tenh solução únic (b) tenh infinits soluções (c) não tenh solução Sejm, X, B, B, B ) Determine, se possível, invers d mtri b) Utilie o item ) pr resolver equção mtricil k B X,,, k 6 Que condições devem ser imposts sobre os termos independentes pr que os seguintes sistems sejm comptíveis?

5 ) 6 b 7 c b) b c c) b b b b t 7 Determine os vlores de k pr que o sistem dmit solução não-trivil: ) b) k k 8 No meu birro há três cdeis de supermercdos:, B e C tbel bio present os preços ( em reis por quilo) do produto X, do produto Y e do produto Z, nesss cdeis Produto X Produto Y Produto Z B 6 C 7 Comprndo-se quilos do produto X, quilos do produto Y e quilos do produto Z em qulquer dos supermercdos, pgrei R$, Determine, e 9 Num concurso, form plicds qutro cndidtos três provs, B e C de pesos, b e c, respectivmente O qudro bio mostr s nots obtids em cd prov e not finl de cd um dos cndidtos desse concurso Prov Prov B Prov C Not Finl o cndidto o cndidto o cndidto o cndidto Cd not finl foi obtid clculndo-se médi ponderd ds nots obtids ns provs pelo cndidto Clcul-se médi ponderd somndo-se os produtos ds nots de cd prov pelo seu respectivo peso e dividindo-se som ssim obtid pel som dos pesos O qurto cndidto legou que se s nots dos outros três cndidtos estivessem correts su estri incorret Supondo que s nots finis dos outros três cndidtos estejm correts, clcule not finl do qurto cndidto Um firm fbric dois produtos: e B Cd um deles pss por dus máquins: I e II Pr se fbricr um unidde de gst-se h d máquin I e h e min d máquin II Cd unidde de B gst h de I e h de II Qunts uniddes de cd produto poderão ser fbricds em um mês se, por motivos técnicos, I só funcion hors e II só hors por mês? Dois metis e são obtidos de dois tipos de minérios I e II De kg de I se obtém grms de e grms de e de kg de II obtém-se grms de e, grms de Quntos quilos de minério de cd tipo serão necessários pr se obter 7 grms de e 9 grms de, usndo-se simultnemente os dois minérios? rês pessos jogm junts N primeir rodd primeir perde pr cd um dos outros dois mesm qunti que cd um deles tinh no início do jogo N segund rodd, segund pesso perde pr cd um dos outros mesm qunti que eles tinhm no finl d rodd N terceir rodd, o o e o o jogdores gnhm do o mesm qunti que cd um tinh no finl d segund rodd Neste momento, os jogdores verificrm que cd um deles possui R$, Qunto cd jogdor tinh o começr o jogo? Um indústri produ três produtos,, B e C, utilindo dois tipos de insumos, X e Y Pr mnuftur de cd quilo de são utilidos grm do insumo X e grms do insumo Y; pr cd quilo de B, grm do insumo X e grm do insumo Y e, pr cd quilo de C, grm do insumo X e grms do insumo Y O preço d vend do quilo de cd um dos produtos, B e C é de R$,, R$, e R$,, respectivmente Com vend de tod produção de, B e C mnufturd com quilo de X e quilos de Y, ess indústri rrecdou R$, Determine quntos quilos de cd um dos produtos, B e C form vendidos Cd rção contém s seguintes uniddes de proteíns (P), crboidrtos (C) e gordurs (G) P C G () () ()

6 Se s quntiddes de proteíns (P), crboidrtos (C) e gordurs (G) que coopertiv tem disponível, nos meses de deembro e jneiro, são mostrdos n tbel bio, qul quntidde de cd tipo de rção é produido em cd mês? Qunt/mês P C G Deembro Jneiro 7 Form estuddos três tipos de limentos Fid mesm quntidde ( quilo) determinou-se que: i) O limento I tem unidde de vitmin, uniddes de vitmin B e uniddes de vitmin C ii) O limento II tem, e uniddes respectivmente, ds vitmins, B e C iii) O limento III tem uniddes de vitmin, de vitmin C e não contém vitmin B Se são necessáris uniddes de vitmin, 9 uniddes de vitmin B e de vitmin C, encontre tods s possíveis quntiddes dos limentos I, II e III, que fornecem quntidde de vitmins desejd Se o limento I cust 6 centvos por grm e os outros dois custm centvos, eiste um solução custndo etmente R$,? 6 Verifique se s sentençs bio são verddeirs ou flss Justifique su respost () ( ) Se X e X são soluções do sistem X O, então X X é tmbém solução desse sistem (b) ( ) Se X e X são soluções do sistem X B, então X X é solução de X B (c) ( ) Se X e X são soluções de X B, então X X é solução do sistem X (d) ( ) Se X é um solução do sistem X O e X é um solução de X B, então X X é solução de X B (e) ( ) Sej um mtri qudrd de ordem n Se sistem X O é comptível determindo, então o sistem X B é comptível determindo (f) ( ) Se o sistem X O é comptível indetermindo, então o sistem X B é comptível indetermindo (g) ( ) odo sistem liner em que o número de equções é menor que o número de incógnits é comptível indetermindo (h) ( ) odo sistem liner homogêneo em que o número de equções é menor que o número de incógnits é comptível e indetermindo (i) ( ) Um sistem liner homogêneo em que o número de equções é mior que o número de incógnits é incomptível (j) ( ) Sej um mtri qudrd de ordem n Se o sistem liner X B é incomptível, então mtri não é inversível (k) ( ) Sej um mtri qudrd de ordem n Se o sistem liner equivlente à mtri identidde I n X O é determindo, então é linh