{ 2 3k > 0. Num triângulo, a medida de um lado é diminuída de 15% e a medida da altura relativa a esse lado é aumentada

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1 MATEMÁTICA b Sbe-se que o qudrdo de um número nturl k é mior do que o seu triplo e que o quíntuplo desse número k é mior do que o seu qudrdo. Dess form, k k vle: ) 0 b) c) 6 d) 0 e) 8 k k k < 0 ou k > { k > 0 { > k { k < 5k k 5k < 0 0 < k < 5 < k < 5 k = 4 (pois k ) k k = Se, n iguldde 0 n = 4x, n é um número nturl positivo e x um número ímpr, o produto n.x vle: ) 450 b) 75 c) 75 d) 60 e) 0 0 n = 4x n. n. 5 n =. x x = n. n. 5 n Se n é um número nturl positivo e x um número ímpr, então n = 0 n =. Logo, x = = 5 Dess form, n. x =. 5 = 450 d Num triângulo, medid de um ldo é diminuíd de 5% e medid d ltur reltiv esse ldo é umentd de 0%. A áre desse triângulo: ) ument de % b) diminui de,5% c) ument de % d) diminui de,5% e) não se lter ) A áre do triângulo inicil, cuj bse mede b e ltur bh correspondente mede h, é S = ) A áre do novo triângulo, cuj bse mede 0,85b e ltur correspondente mede,h, é 0,85b.,h bh S = =,0 ) De () e () temos S =,0. S = 0%. S e portnto áre do novo triângulo umentou % 4 d N figur, temos os esboços dos gráficos ds funções MACKENZIE (º Di - Grupos II e III) Dezembro/00

2 f e g. A som f (g ()) + g (f ( )) é igul : ) b) 0 c) d) e) Conforme o gráfico, tem-se: g() = 0 f(g()) = f(0) = 0 f( ) = k < 0 g(k) = Donde: f[g()] + g[f( )] = 0 + = 5 e Pelo vértice d curv y = x 4x +, e pelo ponto onde mesm encontr o eixo ds ordends, pss um ret que define com os eixos um triângulo de áre: ) b) c) d) e) I) y = x 4x + tem vértice V(x 0 ; y 0 ), onde: b 4 } x 0 = = = e V (; ) y 0 = f() = = II) A prábol y = x 4x +, encontr o eixo ds ordends no ponto A(0; ) III) A equção d ret AV, é: x y = 0 x + y = 0 0 Est ret cort o eixo Ox em B(/; 0) e portnto MACKENZIE (º Di - Grupos II e III) Dezembro/00

3 áre do triângulo AOB é:. 9 S = = 4 6 d Se s seqüêncis (; x ; ) e (; y; x) são, respectivmente, um progressão geométric e um progressão ritmétic, o vlor de y x é: ) b) c) d) e) 0 x + y Se (, x ; ) é um progressão geométric, x + y x + y + x + y ( x ) =. x = x y = (I) Se (; y; x) é um progressão ritmétic, + X y = y x = (II) Ds equções (I) e (II) tem-se x =, y = 4 e y x = 7 c Se s equções x + mx + nx + p = 0 e x + x = 0 têm o mesmo conjunto solução, então o produto m.n.p vle: ) b) c) 0 d) e) O conjunto-solução d equção x + x = 0 é S = { ; }, que é igul o conjunto-solução d equção x + mx + nx + p = 0 As três rízes d equção do º gru são { r = { r = r = ou r = r = r = D primeir hipótese decorre que r r + r r + r r = n n = ( ). ( ) + ( ). + ( ). n = 0 MACKENZIE (º Di - Grupos II e III) Dezembro/00

4 D segund hipótese decorre que r + r + r = m m = + + m = 0 Portnto, o produto m. n. p vle zero, pois m = 0 ou n = 0. 8 e O produto (log ).(log 4).(log 4 5)..(log 6 64) é igul : ) log 64 b) log 6 c) d) 4 e) 6 (log ). (log 4 ). (log 5 4).... (log 6 64) = ( ) ( ) ( ) log 4 log 5 log 64 = (log )..... = log log 4 log 6 = log 64 = 6 9 A som ds rízes d equção x 9 x 0 log (x + ) log (x+) 0 = 0 é igul : ) b) c) 0 d) e) 0 x 9 x log (x + ) log (x + ) 0 = 0 x 9 x 0 log (x + ). 0 = 0 { log (x + ) log (x + ). ( x 9 x ) = 0 ou 9 x = x { x + = 0 ou x = ou x = 0 x = x A som ds rízes d equção dd é ( ) + 0 =. MACKENZIE (º Di - Grupos II e III) Dezembro/00

5 0 b Em [0; π], s soluções d equção senx = são em número de: cos x + senx ) b) c) d) 4 e) 5. sen x = cos(x) + sen x. sen x = sen x + sen x. sen x =. sen x + sen x = + sen x = sen x sen x + sen x. sen x = sen x = 7. π π Pr [0; π], result x = ou x = 6 6 A circunferênci d figur tem rio e centro O. Se sen 0 + cos 0 =, áre do triângulo ABC é igul : ) b) c) d) e) Lembrndo que sen 55 = sen ( ) = = sen 0. cos 45 + sen 45. cos 0 = = sen 0 + cos 0 = = (sen 0 + cos 0 ) =., tem-se que áre S do triângulo ABC é S = S AOB + S BOC = MACKENZIE (º Di - Grupos II e III) Dezembro/00

6 .. sen (5 ).. sen (55 ) = + = =. sen 55 =. =, pois sen 5 = sen 55 d O sistem x + y + z = k kx + y + z = { x + y z = k ) é impossível pr um único vlor de k b) tem solução únic pr um único vlor de k c) tem solução (k, O, 0), qulquer que sej k 0 d) tem mis de um solução pr um único vlor de k e) pode dmitir solução nul { x + y + z = k Sej o sistem kx + y + z = x + y z = k Pelo teorem de Rouché-Cppelli, temos: [ ] I) M.I. = k tem crcterístic p = pr k e crcterístic p = pr k = [ k ] II) M.C. = k tem crcterístic q = k pr k e crcterístic q = pr k = III) Como o número de incógnits r =, concluimos que: MACKENZIE (º Di - Grupos II e III) Dezembro/00

7 Pr k, o sistem será possível e determindo, pois p = q = n. Por outro ldo, se k =, o sistem será possível e indetermindo, pois p = q < n. b O número de fils diferentes que podem ser formds com homens e mulheres, de modo que os homens não fiquem juntos, é: ) 96 b) 7 c) 48 d) 84 e) 0 º) O número totl de fils diferentes que podem ser formds com homens e mulheres, em qulquer posição é igul P 5 = 5! = 0 º) O número totl de fils diferentes que podem ser formds com os homens juntos e s mulheres, em qulquer posição é igul :. P 4 =. 4! = 48 Portnto o número totl de fils diferentes que podem ser formds com homens e mulheres, de modo que os homens não fiquem juntos é: P 5. P 4 = 0 48 = 7 4 c Dois prêmios iguis são sortedos entre 6 pessos, sendo 4 homens e mulheres. Supondo que um mesm pesso não poss gnhr os prêmios, probbilidde de pelo menos um homem ser sortedo é: ) b) c) d) e) De cordo com o enuncido, temos: P(pelo menos um homem ser sortedo) = = P (s mulheres serem sorteds) = 4 =. = = d Se ret de equção (k k ) x + y + k k = 0 pss pel origem e é perpendiculr à ret de equção x + 4y = 0, o vlor de k + é: ) b) c) d) e) I) Se ret de equção (k k ). x + y + k k = 0 é perpendiculr à ret de equção x + 4y = 0, então: (k - k ) = 0 k k 4 = 0 k = 4 ou k = II) Se ret de equção 8 9 MACKENZIE (º Di - Grupos II e III) Dezembro/00

8 (k k ). x + y + k k = 0 pss pelo origem então: k k = 0 k = ou k =. Pr que s dus condições sejm stisfeits, temos: k =, e portnto k + = ( ) + =. 6 Por um ponto P que dist 0 do centro de um circunferênci de rio 6 trçm-se s tngentes à circunferênci, Se os pontos de tngênci são A e B, então medid do segmento AB é igul : ) 9,6 b) 9,8 c) 8,6 d) 8,8 e) 0,5 No triângulo OAP, retângulo em A, temos: AP = OP OA AP = 0 6 AP = 8 No mesmo triângulo tem-se: AH. OP = OA. AP AH. 0 = 6. 8 AH = 4,8 e, portnto, AB =. AH =. 4,8 = 9,6 7 c N figur, o triângulo ABC é eqüilátero e o segmento BD é perpendiculr o plno do D triângulo, Se M é o ponto médio de AC e medid de BD é metde d medid do ldo do triângulo então ângulo, MDB mede: MACKENZIE (º Di - Grupos II e III) Dezembro/00

9 ) 45 b) 0 c) 60 d),5 e) 5 Sendo l medid do ldo do triângulo eqüilátero ABC, temos: I) BD = l II) BM =, pois BM é ltur do triângulo ABC. Assim, no triângulo DBM retângulo em B^, temos: BM l tg MD^B = tg MD^B = BD l tg MD^B = MD^B = 60 pois 0 < MD^B < 90 8 e l Considere o recipiente d figur, formdo por um cilindro reto de rio e ltur 0, com um concvidde inferior n form de um cone, tmbém reto, de ltur e rio d bse. O volume de um líquido que ocup o recipiente té metde de su ltur é igul : MACKENZIE (º Di - Grupos II e III) Dezembro/00

10 ) 89π b) 7π c) 64π d) 48π e) 44π Sendo V o volume do líquido que ocup o recipiente té metde de su ltur, temos: V =. V cilindro V cone V =. π.. 0. π.. V = 44π 9 b Um cubo está inscrito num esfer. Se áre totl do cubo é 8, o volume d esfer é: 8π 4π 6π ) b) c) d) π e) 8π MACKENZIE (º Di - Grupos II e III) Dezembro/00

11 Sendo medid d rest do cubo, d medid d digonl do cubo e R o rio d esfer, temos: I) 6 = 8 4 = = d II) R = d R = R =. R = R = Assim, o volume V d esfer é ddo por: 4 V = π R 4 V = π 4π V = 0 Se os pontos que representm os complexos z = + bi e w = c + di, com.b.c.d 0, pertencem um z mesm ret que pss pel origem, então é sempre igul : w ) b) c) (c ) c c x d) e) c Os fixos dos números complexos Z = + bi e w = c + di, com. b. c. d 0, são, respectivmente, (; b) e (c; d) e estão linhdos com origem. Assim sendo, b c d = 0 d bc = b d = = = k, k * c b = k. e d = k. c Dest form, z + bi + k i ( + ki) = = = = w c + di c + k c i c ( + ki) c MACKENZIE (º Di - Grupos II e III) Dezembro/00

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