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1 Seu pé direito ns melhores fculddes IBMEC 03/junho/007 ANÁLISE QUANTITATIVA E LÓGICA DISCUSIVA 01. O dministrdor de um boliche pretende umentr os gnhos com sus pists. Atulmente, cobr $ 6,00 por um hor de utilizção de um pist e $ 8,00 por mei-hor. Pr nlisr su polític de preços, o dministrdor percebeu que, cd vez que um pist é ocupd por um grupo de usuários, pós síd do grupo é necessário um tempo dicionl pr limpez do espço e orgnizção ds bols. Este tempo é independente de o grupo ter ficdo mei-hor ou um hor inteir. Assim, o dministrdor decidiu estbelecer, inicilmente, o preço que de fto é cobrdo por minuto de utilizção de um pist. Ele definiu este preço como sendo: vlor recebido de um grupo que utilizou pist p = totl de minutos entre utilizção pelo grupo e preprção d pist pr o próximo grupo Supondo que o tempo tul de preprção d pist é de 10 minutos, clcule o preço por minuto de utilizção de um pist, conforme fórmul dd cim, pr os csos em que o grupo fic mei-hor e um hor. b O dministrdor decidiu estbelecer o mesmo preço p por minuto de pist pr os csos em que o grupo fic mei-hor e um hor. Além disso, resolveu melhorr o serviço de limpez e preprção d pist pr o próximo grupo, pssndo incluir lgums bebids e snduíches de cortesi pr o grupo que cheg. Com isso, o tempo umentou de 10 minutos pr t. Sbendo que os preços pr mei-hor e um hor pssrm ser $ 0,00 e $ 80,00, respectivmente, determine os vlores de p e t. 8 8 pr mei hor: p = = = 0, pr um hor: p = = = 0, espost: O preço por minuto é $ 0,70 pr os grupos que ficm mei-hor e $ 0,80 pr os grupos que ficm um hor. 0 b p = 30 + t (I 80 p = 60 + t (II 0 De (I e (II: 30 + t 0 De (I: p = = t = 1 espost: t = 0 minutos e p = $ 1, t = 0 + 8t 60 = 3t t = 0 0 b 0. Considere os números inteiros e b e s mtrizes qudrds P = b 3 e Q = P Clcule, em função de e b, o vlor do determinnte d mtriz P. b Prove que o determinnte d mtriz Q é divisível por, quisquer que sejm os inteiros e b. 1

2 IBMEC 03/06/007 Seu pé direito ns melhores Fculddes 0 b det P = b 3 = 16b + b 3b 3 = 1b 3b 3 = 3( 7b + b 3 16 b det Q = det P = 3 det P det Q = 8[ 3( 7b + b ] det Q = ( 7b + b det Q = k, múltiplo de. 03. A figur mostr, no plno crtesino, s circunferêncis (λ 1 x + y = 1 e (λ (x 13 + y = 36, e ret r, que é tngente dus circunferêncis. Clcule o coeficiente ngulr d ret s, que é prlel à ret r e pss pelo centro de 1. b Determine um equção d ret r. No OCB temos que 13 = + OB OB = 1 Logo m r = m s = tg α = m s = 1 1 T 1 B s//n b OBC QOP OP QO 1 QO Logo = = QO = 13 CB OC Q ;0 A ret r é dd por y = 1 x + n Como Q r, então 0 = n n = 13 1 Um equção d ret r é y = 1 x P Q 0 α 13C 13 K

3 Seu pé direito ns melhores Fculddes IBMEC 03/06/ N figur, O 1 é centro d circunferênci de rio, e O é centro do rco» AB. Considere que os ângulos A Ô 1 O e B Ô 1 O medem 60º. Determine o rio d circunferênci suporte do rco» AB. b Considerndo =, clcule áre d região sombred. AO BO 1 é um losngo, portnto AO = AO 1 = Logo, o rio d circunferênci suporte do rco» AB é. b A áre sombred é S = S S 10º S 60º S = π. 1 3 π. S 60º Ms S 60º = S S S 60º = 1 6 π. 3 I II S 60º = 3 π 3 Portnto S = π 3 π π 3 3 S = ð 3 3

4 IBMEC 03/06/007 Seu pé direito ns melhores Fculddes 0. N figur, tem-se que: os segmentos BD, CD, DE são congruentes e cd um mede cm; o ângulo C^DE mede o dobro d medid do ângulo BÂC. o ponto C pertence à bissetriz do ângulo B^DE. Clcule medid do segmento CE. b Clcule medid do segmento AC. Dic: se precisr, utilize seguinte fórmul: cos(α = 1 sen (α. Se m (B ^AC = α, então m (C^DE = α. Como DC é bissetriz, então m (C^DB = α. Como o ângulo D^CE é externo o ADC, então m (D^CE = 3α. Como C^DE é isósceles, então m (C^ED = 3α. No CDE temos α + 3α + 3α = 180º α = º Utilizndo Lei dos Cossenos, temos: CE = +.. cos º CE = 3α x 3α α α 3α y α α x 3α b Aplicndo Lei dos Senos no ACD, temos: AC = sen º sen º30' Ms sen 1 cos º º30 = AC Logo = sen º30 = AC = + +. = + AC = Um escol irá sorter dus pessos dentre os seus 0 melhores lunos pr representá-l em um encontro de estudntes no Cndá, pís que possui dois idioms oficiis, Inglês e Frncês. Sbe-se que, nesse grupo, pens dois lunos não flm nem Inglês nem Frncês, sendo que 16 flm Inglês e 7 flm Frncês. Clcule probbilidde de que os dois lunos sortedos flem Inglês e Frncês. b Clcule probbilidde de que pelo menos um dos dois lunos sortedos fle Frncês. I F b P = 1 FF 16 x x 7 x x + = 0 x = 0 x = P = = 1 19 P = = = 6 9 Portnto, probbilidde de que pelo menos um dos dois lunos sortedos fle frncês é 6/9.

5 Seu pé direito ns melhores Fculddes IBMEC 03/06/ Suponh que um determindo poliedro convexo tenh oito fces, sendo que cd fce pode ser um triângulo, um qudrilátero ou um pentágono. Dic: o Teorem de Euler estbelece que, num poliedro convexo, som do número de vértices com o número de fces é igul o número de rests mis dois. Sbendo que o poliedro em questão tem 8 vértices, determine o número de rests deste poliedro. b Sbendo tmbém que há pens um fce pentgonl neste poliedro, determine o número de fces tringulres e o número de fces qudrngulres deste poliedro. Temos que V + F = A = A + A = 1 rests b 1 + x + y A = 1. + x. + y. 3 = 8 x + 3y = 3 (I F = 1 + x + y = 8 x + y = 7 (II De I e II vem x = y = Este poliedro tem fces qudrngulres e fces tringulres. 08. As soluções d equção x 3 30x + 81x 780 = 0 são três números inteiros distintos, que tmbém são s medids dos ldos de um triângulo retângulo. Mostre que, se > b > c são s rízes, então (b + c = + bc. b Determine mior riz d equção. = b + c + bc = b + bc + c (b + c = + bc b + b + c = 30 bc = 780 (30 = = = 6 1 = = = 0 = 13 ou = (não convém A mior riz d equção é = Sejm < b < c dígitos escolhidos no conjunto {, 3,,, 6, 7, 8}. Determine tods s possibiliddes de escolh dos dígitos, b e c que stisfzem equção c = + b. b Determine, b, c, considerndo que, b, c stisfzem equção dd no item (;, b, c stisfzem equção b. b = 00c, em que b é o número de três dígitos cujs centen e dezen são iguis e cuj unidde é igul b; e 00c é o número de qutro dígitos cuj unidde de milhr é igul e cuj unidde é igul c.

6 6 IBMEC 03/06/007 Seu pé direito ns melhores Fculddes = c b Como é pr, então b e c devem ter mesm pridde, portnto =, b = 3 e c = 7 ou =, b = e c = 8. b Do item ( temos I. =, b = 3 e c = 7 Testndo em b. b = 00c temos 3. 3 = 007 stisfzem equção dd. II. =, b = e c = 8 Testndo temos. = 38 00c não stisfzem equção dd. espost: =, b = 3 e c = A comissão orgnizdor de um congresso deverá montr o horário ds plestrs conforme disponibilidde dos oito plestrntes conviddos. Ocorrerão dus plestrs por di, um ds e outr ds 1h30min, de feir. A tbel seguir mostr s disponibiliddes de horário dos oito plestrntes conviddos. Plestrnte Sr. Alberto Sr. Betriz Sr. Cláudio Sr. Denise Sr. Evndro Sr. Fbin Sr. Gilberto Sr. Helen Disponibilidde, 3, ou, sempre ds 3 ou, em qulquer dos dois horários 3, ou, sempre ds, em qulquer dos dois horários ou, em qulquer dos dois horários ou, sempre ds 1h30min ou, sempre ds 1h30min 3, ou, sempre ds Complete tbel bixo, com o di e o horário d plestr de cd conviddo, de modo que tods s disponibiliddes sejm respeitds, e que: s plestrs dos senhores Alberto e Betriz, que trtm de ssuntos relciondos, ocorrm no mesmo di; s plestrs dos senhores Gilberto e Helen, que tmbém trtm de ssuntos relciondos, ocorrm no mesmo di. 1h30min feir 3 feir feir feir b Um semn ntes do evento, legndo problems pessois, o sr. Evndro disse que só poderi ministrr su plestr n feir ds 1h30min. De qunts mneirs distints o horário ds plestrs poderá ser montdo respeitndo tods s disponibiliddes fornecids e tmbém solicitção do sr. Evndro? Justifique su respost. (Neste item, não é necessário stisfzer s condições exigids no item (.

7 Seu pé direito ns melhores Fculddes IBMEC 03/06/007 7 COMENTÁIO DA POVA DE QUANTITATIVO 1h30min feir 3 feir feir feir Evndro Alberto Cláudio Helen Fbin Betriz Denise Gilberto A Bnc Exmindor do IBMEC propôs um prov bem elbord, com enuncidos clros, conforme ocorreu nos Exmes de semestres nteriores. As questões proposts exigirm do cndidto um bom conhecimento dos ssuntos do progrm, bem como um bo interpretção dos enuncidos presentdos. DISTIBUIÇÃO DAS QUESTÕES b 1h30min feir 3 feir feir feir A A B A D A B E C H C E H C H E F B D E B F G G feir 3 feir feir feir Aritmétic Equções Algébrics Geometri Espcil Lógic Probbiliddes Funções Grndezs % Proporcionis Mtrizes e % Determinntes Trigonometri % Geometri Pln 1% Geometri Anlític A C H D C H 1h30min F G B E F G Existem possibiliddes de montr o horário respeitndo s disponibiliddes e solicitções.

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