Gabarito CN Solução: 1ª Solução: 2ª Solução:

Transcrição

1 ) Sejm P e 5 9 Q 5 9 Qul é o resto de (A) (B) (C) 5 (D) (E) 5 P? Q GABARITO: B P Q 5 9 P Q P Q Dí, ) Sbendo que ABC é um triângulo retângulo de hipotenus BC =, qul é o vlor máximo d áre de ABC? (A) (B) (C) (D) (E) GABARITO: B ª ABC está inscrito num círculo de diâmetro BC (rio /) Como bse BC é fix, pr áre ser máxim, ltur de A deve ser máxim Isso ocorre qundo: h A rio ª Logo S ABC

2 S bc e b c b c 0 b c bc S S S MÁX (tingid pr b = c) ) Considere um conjunto de 6 meninos com iddes diferentes e um outro conjunto com 6 menins tmbém com iddes diferentes Sbe-se que, em mbos os conjuntos, s iddes vrim de té 6 nos Quntos csis podem-se formr com som ds iddes inferior 8 nos? (A) 8 (B) 9 (C) 0 (D) (E) GABARITO: D - A menin de um no pode formr csl com todos os meninos; - A de dois nos, com os meninos de té 5 nos; - A de três nos, com os meninos de té nos; e ssim sucessivmente Logo o totl de csis possíveis é: = ) Sej A B,5,8,9,0, e C 0, B onde A e B são subconjuntos de E, e A E A CE é o complementr de A em relção E Sendo ssim, pode-se firmr que o número máximo de elementos de B é: (A) (B) 6 (C) 5 (D) (E) GABARITO: B Vej que em B podemos ter 6 elementos, bst ter A B,5,8,9 e B A 0, ldo: Se B tivesse mis que 6 elementos, então mis que 6 elementos, como no digrm o A B tmbém teri 5) Dd equção x x x 6 0 reis dest equção? (A) 0 (B) (C) (D) (E) GABARITO: ANULADA, qul é o vlor d som ds dus miores rízes

3 ª x x x 6 0 x x x x Sej t ou t t x : x, temos: t t t 0 t 0 t ou x º Cso: 0 x x 0 x 0 º Cso: t x x x 6 6 Assim, som ds dus miores rízes reis é: 0 ª x x x 6 0 x x x x x 8x 9x x 0 x 0 ou 8x 9x 0 Pr est últim equção, testndo Pelo Algoritmo de Briott Ruffini: 6 x x : (ok!) x 8x 9x 0 x ou 6) Anlise figur seguir: x x 0 x 6 A figur cim exibe o qudrilátero ABCD e o rco de circunferênci APC com centro em B e rio AB = 6 Sbendo que o rco AP d figur tem comprimento (A) 6º (B) 0º (C) 8º (D) º (E) 0º, é correto firmr que o ângulo PCD mede: 5 GABARITO: A l Sbe-se que um ângulo centrl em rdinos é ddo por: r

4 / 5 Assim, rd 8º 90º 8º º 6 0 Como CD é tngente circunferênci, o ângulo é um ângulo de segmento, donde: ) Qul é o vlor d expressão 0, (A) 0, (B) (C) (D) 0 (E) - GABARITO: C? 9 0, ) Anlise s firmtivs bixo, em relção o triângulo ABC I Sej AB = c, AC = b e BC = Se o ângulo interno no vértice A é reto, então II - Sej AB = c, AC = b e BC = Se III Se M é ponto médio de BC e b BC AM c 9 9 b c, então o ângulo interno no vértice A é reto, ABC é retângulo IV Se ABC é retângulo, então o rio do seu círculo inscrito pode ser igul três qurtos d hipotenus Assinle opção corret (A) Apens s firmtivs I e II são verddeirs (B) Apens firmtiv I é verddeir (C) Apens s firmtivs II e IV são verddeirs (D) Apens s firmtivs I, II e III são verddeirs (E) Apens s firmtivs II, III e IV são verddeirs GABARITO: D I (V) Este é o conhecido Teorem de Pitágors II (V) Usndo Lei dos Cossenos no ângulo A: Como b c cos  0  90º b c bccosâ

5 III (V) BC Se M é médio de BC, então BM MC AM Assim, e, donde: e Logo: IV (F) Num triângulo retângulo r ha Sbe-se que num triângulo retângulo de hipotenus, r p b c 5 Supondo r p b c 5 Elevndo o qudrdo e usndo Pitágors: bc bc 8 Por fim, ds relções métrics no triângulo retângulo: ha bc ha 8 Absurdo! 8 9) Assinle opção que present o conjunto solução d equção ( ) 0 x, (A) (B) (C) (D) 0 (E) GABARITO: E ( ) 0 x, no conjunto dos números reis O ldo esquerdo é som de dois números negtivos Portnto, não é possível som ser zero 0) Sej, b, x e y números nturis não nulos Se b = 5, lgrismo ds uniddes do número (A) x y y x? k b b e x y 5 k, qul é o

6 (B) (C) 5 (D) (E) 8 GABARITO: E k b b b b b b b 0 x yx y x y, donde: x y 8 x y Como x e y são nturis não nulos temos um únic solução: x 5 Assim, x 5 x y y e y ) Sbe-se que médi ritmétic d som dos lgrismos de todos os número nturis desde 0 té 99, inclusive é k Sendo ssim, pode-se firmr que o número k (A) nturl (B) deciml exto (C) dízim periódic simples (D) dízim periódic compost (E) deciml infinito sem período GABARITO: C Pr médi ritmétic devemos clculr som de todos os lgrismos de 0 99 e dividir por 90 Pr ess som, bst ver qunts vezes prece cd lgrismo Não é difícil ver que cd um prece 0 vezes ns dezens e 9 vezes ns uniddes (Por ex : 0,,,, 9,,,,, 9) Logo som é: 9 ( 9) 9 5, donde: k 80 k 9 Como no denomindor temos pens um ftor primo diferente de ou 5, então k é dízim periódic simples ) Um ds rízes d equção do º gru x bx c 0, com, b, c pertencentes o conjunto dos c números reis, sendo 0, é igul Se b c 5 então, b em função de é igul : (A) (B) (C) (D)

7 (E) GABARITO: D Como é riz: b c 0 Além disso, b c 5 c b 5 b e c b Somndo: ) Sej ABC um triângulo cutângulo e L circunferênci circunscrit o triângulo De um ponto Q (diferente de A e de C) sobre o menor rco AC de L são trçds perpendiculres às rets suportes dos ldos do triângulo Considere M, N e P os pés ds perpendiculres sobre os ldos AB, AC e BC, respectivmente Tomndo MN = e PN = 6, qul é rzão entre s áres dos triângulos BMN e BNP? (A) (B) 6 9 (C) (D) 6 6 (E) 9 GABARITO: A Pel Ret de Simson, M, N e P são colineres Então, pelo Teorem do Co-Ldo: S S BMN BNP MN NP 6 ) Sbe-se que o ortocentro H de um triângulo ABC é interior o triângulo e sej Q o pé d ltur reltiv o ldo BC Prolongndo BQ té o ponto P sobre circunferênci circunscrit o triângulo, sbendo-se que BQ = e HQ =, qul é o vlor de QP? (A) 8

8 (B) 6 (C) 5,5 (D),5 (E) GABARITO: E ª Resultdo Conhecido: Se o ortocentro de um triângulo é interior o mesmo, então os simétricos do ortocentro em relção os ldos do triângulo pertencem o círculo circunscrito No problem: HQ QP Demo: Vej que (mbos olhm pr o mesmo rco) N figur HTCQ é inscritível (ângulos opostos de 90º), donde: Deste modo AHP é isósceles e, HQ QP Obs: Est mesm idei do simétrico do ortocentro em relção os ldos preceu n prov do Colégio Nvl, em 996, qundo ele pedi áre do hexágono formdo pelos vértices de ABC e pels interseções dos prolongmentos ds lturs desse triângulo com o círculo circunscrito, em função d áre desse triângulo ª Apesr d informção BQ = não ser necessári no problem, segue um mneir de utilizá-l: BH BQ HQ 8 bricentro, sbe-se que BG GM, donde: BH HQ BH Assim, sej M ponto médio de AC e G HQ Deste modo, pel volt do Teorem de Tles HG // AC Porém, ret que pss pelo bricentro e ortocentro é conhecid Ret de Euler, que tmbém pss pelo circuncentro O, donde ret HG é um diâmetro d circunferênci perpendiculr à cord BP em H (devido o prlelismo com AC ) Sbe-se que todo diâmetro perpendiculr um cord divide ess cord o meio, logo: HP BH 8 QP HP HQ 8

9 Obs: O fto de o concurso ser objetivo, e do cndidto perceber que BH, judv o cndidto HQ prticulrizr o problem considerndo que o ortocentro coincidi com o bricentro, podendo então tomr um triângulo equilátero pr descobrir respost 5) Anlise figur seguir: N figur cim, circunferênci de rio 6 tem centro em C De P trç-se os segmentos PC, que cort circunferênci em D, e PA, que cort circunferênci em B Trç-se ind os segmentos AD e CB, com interseção em E Sbendo que o ângulo APC é 5º e que distânci do ponto C o segmento de ret AB é, qul o vlor do ângulo α? (A) 5º (B) 60º (C) 5º (D) 0º (E) 5º GABARITO: B Vej n figur, que cos 5º AB 90º 6 Considerndo o rco FABD (figur), temos BD 90º AF BD Como, temos 5º AF AF BD 90º AF 60º AF BD 0º BD 0º AF BG BD 60º 0º 0º Vej que FG BD 0º Dí 60º 6) Considere que ABCD é um trpézio, onde os vértices são colocdos em sentido horário, com bses AB = 0 e CD = Mrcm-se n bse AB o ponto P e n bse CD o ponto Q, tis que AP = e CQ = x

10 Sbe-se que áre dos qudriláteros APQD e PBCQ são iguis Sendo ssim, pode-se firmr que medid de x é: (A) 0 (B) (C) (D) 5 (E) 6 GABARITO: A Vej que BP 6 AP e CQ x DQ x Sej h ltur do trpézio ABCD Igulndo s áres de APQD e PBCQ, temos que áre de PBCQ é metde d áre de ABCD Então, x 6h 0 h x 6 x 0 ) O mior inteiro n, tl que vlor igul : (A) 6 (B) 8 (C) 0 (D) (E) GABARITO: D n n 5 tmbém é inteiro, tem como som dos seus lgrismos um n n n 5 n 5 n 5 n 5 n é divisor de 6 Pr que n sej máximo, devemos ter n 5 6n 5 Então, 5 som dos lgrismos igul 8) Ddo que e b são números reis não nulos, com b, 5 b 5 b b b (A) (B) 8 (C), qul é o vlor de 6 b 8 b b?, que possui (D) 8

11 (E) GABARITO: E { ( ) ( ) De (i), temos que b (*) 6 b De (ii), 5 b b 6 b 6 b 5 Portnto, b 6 e b têm som 5 e produto 6 6 ou b b (pois por (*), e b tem mesmo sinl),b, ou, ou E 6 b 8 b b b 6 8b b E, b, b b b b, E, E pr < 0 e b < 0, o vlor é o mesmo, ou, x 9) Sbendo que y x y é o menor múltiplo de que pode-se obter pr x e y inteiros não negtivos, determine o número de divisores positivos d som de todos os lgrismos desse número, e ssinle opção corret (A) (B) 0 (C) 8 (D) 6 (E) GABARITO: D y x y yx y x yx N : Como este número deve ser o menor múltiplo de possível, devemos ter x = 0 e y = Assim, N 5 Som dos lgrismos de N: = 8, que possui 6 divisores positivos

12 x 8x 98 0) Considere, no conjunto dos números reis, desiguldde 0 A som dos x 0 8 vlores inteiros do conjunto solução dess desiguldde que são menores do que, é: (A) (B) 0 (C) 69 (D) 65 (E) 5 GABARITO: ANULADA x 8x 98 x é sempre 0 Vej que Então, dividindo em csos: º Cso: x Aqui, o numerdor se nul e desiguldde é verddeir º Cso: x Aqui, 0 x e o denomindor deve ser positivo: 0 0 x 0 x Como 8 8 0, 5, os inteiros do conjunto solução menores que são {,,,,, 0} 0 0 Donde som é: