Solução: Alternativa: A. Solução: Mas, 3 x, Daí, 2 cos x. Ora, tgx 7. Então, 14 senx. Assim, Alternativa: B

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1 0. Considere s seguintes firmções: I. A função f() = log 0 ( ) é estritmente crescente no intervlo ] [ II. A equção + = possui um únic solução rel. III. A equção ( + ) = dmite pelo menos um solução rel positiv. É(são) verddeir(s) ) pens I b) pens I e II pens II e III I, II e III e) pens III I Verddeiro. Ddos, > 0 Ou sej, > f( ) > f( ) A mior rzão possível pr P.G. é, pois = e s rzões devem ser inteirs. Assim: zão = P.G. = (,,) zão = P.G. = (,,9) ou (,,) zão = P.G. = (,,) ou (,,) ou (,,) ou (,,) ou (,0,0) Então, há.! csos fvoráveis. No totl, há 0.9. csos possíveis.! Logo probbilidde é p 0 9 p Alterntiv: A 0. Se tg 7 e [, ], então sen é igul II Verddeiro. + = - = (,) = A função f: +*, f() = (,) é bijetor, logo podemos firmr que só há um solução rel pr equção dd. ) b) III Fls. +* = {0} (0,) {} (,+) ( + ) = e =0 ( + ) ( + ) > e < ( + ) ( + ) = e = ( + ) Logo, não há solução rel positiv pr equção dd. ( + ) > ( + ) > ( + ) Alterntiv: B 0 0. Se é um número nturl com 0 dígitos, então o número de dígitos d prte inteir de 7 é igul ) b) 7 e) Então, tem dígitos Alterntiv: D 0. Escolhendo-se, letorimente, três números inteiros distintos no intervlo [, 0], probbilidde de que eles estejm, em lgum ordem, em progressão geométric é igul ) b) 7 e) 0 90 e) tg 7 sec 7 cos Ms,, Dí, cos Or, tg 7 Então, sen Assim, sen sen sen sen 0 Alterntiv: B 0. Sej (,,...) sequênci definid d seguinte form = 000 e n = log 0 ( + n - ) pr n. Considere s firmções seguir: I. A sequênci ( n) é decrescente. II. n > 0 pr todo n. III. n < ár todo n.

2 É(são) verddeir(s) ) pens I b) pens I e II pens II e III I, II e III e) pens III I Verddeir. n n log 0 ( n) log 0( n) n nn log0 n n n n n log0 n Or, + n- > 0, pois n- > 0 (prov no item II). Dí vemos que o sinl d vrição de n é sempre igul o sinl d vrição nterior. Logo, sequênci ou é crescente ou decrescente. Assim, como = log 0 (00) <, temos que sequênci é decrescente. II Verddeir. Se n- > 0, log 0 ( + n-) > 0, ou sej n > 0. Por indicção em n, vemos que n > 0 pr todo n. III Verddeir. n Tg n n n n Tg n Alterntiv: D 07. Um triângulo está inscrito um circunferênci de rio cm. O seu mior ldo mede cm e su áre é de cm. Então, o menor ldo do triângulo, em cm, mede ) b) = log 0 ( + log 0 (00)) < e ( n) decresce. Então, n < pr n. Obs.: < + log 0 (00) < Alterntiv: D 0. Sej P n um polígono regulr de n ldos, com n. Considere s firmções seguir: I. P n é inscritível num circunferênci. II. P n é circunscritível um circunferênci. III. Se L n é o comprimento de um ldo de P n e n é o comprimento de pótem de P n, então pr n. n Ln Lei dos senos: sen 90º Di, É(são) verddeir(s) ) pens I b) pens II pens III pens I e II e) I, II e III Or, b b b 0 b 0 b b I. Verddeiro II. Verddeiro Logo, o menor ldo mede cm Alterntiv: B III. Flso Contr-eemplo: No heágono,, logo. 0. Se o sistem de equções y z y 7z y z b é impossível, então os vlores de e b são tis que ) = e b b) e b e b = = e b = e) é rbitrário e b

3 Pr o sistem ser impossível, é necessário que: 7 0 Dí, = 0 =. Logo, y z y 7z y z b 0 = b Pr sistem impossível, b. Alterntiv: A 09. Se P e Q são pontos que pertencem à circunferênci + y = e à ret y = ( - ), então o vlor do cosseno do ângulo PÔQ é igul ) b) 7 e) 7 O ponto (0,) pode ser P. Temos cos POQ ˆ OPQ ˆ cos(opq) ˆ cos OPQ ˆ Or, do OPM, cosopq ˆ cosopq ˆ Logo, ˆ ˆ cos POQ cos POQ Alterntiv: A 0. Um triângulo retângulo tem perímetro igul, em que é o comprimento d hipotenus. Se e são seus ângulos gudos, com <, então sem ( - ) é igul ) b) 0 e) 0 ms ms Alterntiv: D 0 p sen ms =. Se M e N, então MN T M - N é igul ) b) 7 cos e) De cordo com s mtrizes dds, temos: Segue que: sen 0 M N MN M N Alterntiv: C T M

4 . Considere s firmções seguir: I. Se z e w são números compleos tis que z iw = i e w z = + i, então z + w = - + i. II. A som de todos os números compleos z que stisfzem z + z = + i é igul zero. III. Se z = i, então z 9 = 9 (- + i). É(são) verddeir(s) ) pens I b) pens I e II pens I e III pens II e III e) I, II e III. Sejm um circunferênci de rio cm e PQ um cord em de comprimento cm. As tngentes em P e Q interceptm-se no ponto, eterior. Então, áre do triângulo PQ, em cm, é igul ) b) e) P 0 z iw i (I) (I) w z i (II) Somndo (I) e (II), temos: i i i w( i) i w i i i 0 0 S Substituindo w em (II), temos: i z i z i i i Logo: z w ( i) i i i i (Verddeiro) z b (II) Sej z= + bi z b bi b b bi i b b (I) b b (II) Substituindo (I) em (II), temos: - + = 0 ; ; i i Logo, z pode ser: i i Q Note que o menor rco PQ mede 0, já que cord PQ é igul o rio. De cordo com os ddos n figur áre do triângulo PQ é dd por: PQ S Áre(PQ) Áre(PQ) cm Alterntiv: E. Se ret de equção = divide o qudrilátero cujos vértices são (0, ), (, 0), (, 0) e (, ) em dus regiões de mesm áre, então o vlor de é igul : ) b) 7 e) 7 Cujo somtório é zero. (Verddeiro) (III) z i i e 7 i D, i 9 i i 9 9 i0 z e e e e z i i (fls) y A 0, E S F Alterntiv: B B,0 G,0 C,0

5 y y y S S 0 Logo AH AH pois 0 Alterntiv: D. Sej p o polinômio ddo por p() = + m n, em que os epoentes, m, n formm, nest ordem, um progressão geométric cuj som dos termos é igul. Considere s seguintes firmções: I. = 0 é um riz dupl de p II. = é um riz dupl de p III. p tem qutro rízes com prte imginári não nul ) pens I b) pens I e II pens I e III pens II e III e) I, II e III P() = + m n Como, m, n, formm, nest ordem, um P.G. cuj som dos termos é, temos: m n m n ( n) n n n n n 0 n 0 n ou n Pr n = temos m =. Pr n = temos m = (não convém). Assim, temos: P() = + que pode ser escrito como P() = ( + ) ( - ) ( + + ). Sej ABC um triângulo equilátero e suponh que M e N são pontos pertencentes o ldo BC tis que BM = MN = NC. Sendo medid, em rdinos, do ângulo ) 7 b) 7 e) Lei dos cossenos ABM Lei dos cossenos em AMN cos cos o cs Alterntiv: A M ÂN, então o vlor do cos é 7. Um esfer S, de rio > 0, está inscrit num cone circulr reto K, outr esfer, S, de rio r, com 0 < r <, está contid no interior de K e é simultnemente tngente à esfer S e á superfície lterl de K. O volume de K é igul ) r( r) r( r) b) e) r( r) r( r) r( r) I Verddeir. = 0 é um riz dupl de P. II Fls. = é um riz simples de P. III Verddeir. P tem qutro rízes com prte imginári não nul que são rízes do ftor + +. Alterntiv: C y r ( r) r y ( r) r r y ( r) ABE ~ ACF ~ ADG

6 r r r r r r r r r 9. Pintm-se N cubos iguis utilizndo-se cores diferentes, um pr cd fce. Considerndo que cd cubo pode ser perfeitmente distinguido dos demis, o mior vlor possível de N é igul ) 0 b) 0 e) 0 r r ( r ) r logohk r r r r Então : r r r r k r r k r r Como temos fces temos! Forms de colorir o cubo, ms cd colorção repete vezes, pois podemos escolher um ds cores pr servir de bse e lém disso podemos girr o cubo de forms totlizndo s repetições. Logo, k r! 70 0 V H k ( k) V V r r r( r) Alterntiv: B. Considere o polinômio p com coeficientes compleos definido por P(z) = z + ( + i)z + ( + i)z + ( + i)z + (+i) Podemos firmr que ) nenhum ds rízes de p é rel. b) não eistem rízes de p que sejm comples conjugds. som dos módulos de tods s rízes de p é igul. o produto dos módulos de tods s rízes de p é igul e) o módulo de um ds rízes de p é igul. Alterntiv: E 0. Em um triângulo equilátero ABC de ldo, considere os pontos P, M e N pertencentes os ldos AB, BC e AC, respectivmente, tis que ) P é o ponto médio de AB ; b) M é o ponto médio de BC ; PN é bissetriz do ângulo. A Pˆ C Então, o comprimento do segmento MN é igul ) 0 b) 0 e) Notmos que i e i são soluções de p(z). Logo : p(z) (z i) (z i) (z ( i)z ( i)) Q(z) Pr chr s soluções de Q(z), temos: Q(z) 0 ( i) ( i) i i ( i) i z i Logo : p(z) (z i) (z i) (z) (z i) Alterntiv: E Do teorem d bissetriz intern no triângulo APC, temos: AN CN AN e CN

7 D lei dos cossenos do triângulo CMN, temos: MN ( ) ( ) cos 0º MN 9 ( ) MN MN 0 MN 0 Alterntiv D Como > 0, nesse cso temos: Por outro ldo Df. Ms, logo Se 0 < + <, isto é, - < <0, Temos: < ( + ) 9 < 0. Sej f função definid por f() log ( ). Determine: ) O domínio D f d função f. b) O conjunto de todos os vlores de ϵ D f tis que f() =. O conjunto de todos os vlores de ϵ D f tis que f() >. f() log ( ) ) A função f só está definid se, e só se: 0 e 0 0 (II) Como - < < 0, nesse cso temos: Segue que - < < 0. e 0 Por outro ldo D f, isto é, >. Logo, nesse cso, não temos solução. ou (I) Assim, o conjunto dos vlores de D f, tis que f() > é, Fzendo intersecção entre (I) e (II), temos: Assim, temos: D f : b) f() = log ( ) ( ) Como - Df,não eiste Df Tl que f() = f() > log ( ) Se, isto ( ) 9 0 é, 0 temos :. Sejm X e Y pertencentes o intervlo [0, ]. Determine todos os pres ordendos (, y) tis que cos X sen y sen X cos y,y 0, cos seny sen cos y cos seny sen cos y cos seny sen cos y cos sen seny cos y cos cos sen sen sen seny cos cos y cos cos y

8 cos cos y 0 y y cos cos 0 y y cos cos 0 Segue que: y i)cos 0 Como, y0,,temos y, y 7, y y y 7 y cos 0 como, y [0, ], temos y [0, ] y [, 0] y, Segue que : y y y Portnto: 7 y ou y Se y, temos : cos sen cos sen cos sen cos sen cos cos cos sen Segueque : Sen cos Que juntocom sen cos esultem : cos cos 0 cos cos 0nãoconvém cos Segueque e y,y, 7 Se y, temos: 7 cos sen cos 7 7 sen cos sen cos cos sen sen cos cos cos sen cos Segue que: sen cos Que juntndo com sen cos esult em: cos ( )cos ( ) 0 cos cos e y, y, cos e y, y, Logo, S, ;,

9 . Um heágono conveo regulr H e um triângulo equilátero T estão inscritos em circunferêncis de rios H e T, respectivmente. Sbendo-se que H e T têm mesm áre, determine rzão H T A áre do heágono H, em função de H, é dd por: H SH A áre do triângulo T, em função de T, é dd por: T ST Como S H = S T, temos: H T H T H T. Sej A mtriz de ordem dd por 0 A 0 0 ) Determine tods s mtrizes B tis que BA = I b) Eiste um mtriz B com BA = I que stisfç BB T = I? Se sim, dê um eemplo de um desss mtrizes. 0 A 0 ) Note que B é um mtriz de ordem. b c B d e f 0 b c 0 0 d e f 0 c b c 0 d f e f 0 c c b c 0 b d f 0 f d e f e d Assim, temos: B d d d Com, d. b) B B T = I d 0 d d d d 0 d ( ) ( ) d ( ) (d ) d( ) 0 d ( ) (d ) d( ) d (d ) d 0 d d 0 d d ) d d 0 0 ou Pr =, temos d = 0. Pr =, temos d =. Assim, temos: 0 0 B ou 0 0 B d d d d 0 d 0 ou d. Num cert brincdeir, um menino dispõe de um ci contendo qutro bols, cd qul mrcd com pens um dests letrs: N, S, L e O. Ao retirr letorimente um bol, ele vê letr correspondente e devolve bol à ci. Se ess letr for N, ele dá um psso n direção Norte, se S, em direção Sul, se L, n direção Leste e se O, n direção Oeste. Qul probbilidde de ele voltr pr posição inicil no seto psso? Csos fvoráveis: Per. com rep.! N S 0!!! L O 0!!! L O N S 0!! Totis: = 09 Logo, 00 P 09. Sejm S um subconjunto de e P = (, b) um ponto de. Define distânci de P S, d(p, S), como menor ds distâncis d(p, Q), com Q ϵ S: d(p, S) = min {d(p, Q) : Q ϵ S} Sejm S = {(, y) ϵ : = 0 e y } e S = {(,y) ϵ : y = 0} ) Determine d(p, S ) qundo P = (,) e d(q,s ) qundo Q = (-, 0). b) Determine o lugr geométrico dos pontos do plno equidistntes de S e de S ) Sej A (,y); Se y d (A,S ) : cso contrário : d (A, S ) y Dess form, sej P (, ) e Q (,0) d P,S dq, S (0 ) 9

10 b) Sej P = (, y); d(p,s ) = y Pr y, temos: d(p,s ) = d(p,s ) y = y = Pr y <, temos: y (y ) y y y y y 7. Sejm, b, c números riz com 0. ) Mostre que mudnç z trnsform equção b c b 0 num equção de segundo gru. b) Determine tods s rízes d equção = 0. ) Como 0, temos que 0. Assim, podemos dividir equção por obtendo: b c b 0 b c b 0 b c 0 b c 0 Fzendo z, temos: z bz c 0 z bz c 0 Que é um equção do º gru, já que 0. b) 0 Como 0, dividindo equção por Fzendo z, temos: z z 0 z z 0 z z Segue que: 0 obtemos: 0 i i S, i. Considere s circunferêncis : y y 0 e : y y O triângulo ABC stisfz s seguintes proprieddes: ) o ldo AB coincide com cord comum e ; b) o vértice B pertence o primeiro qudrnte; o vértice C pertence e ret que contém AC é tngente Determine s coordends do vértice C. y b ret tn gente y y ( b) ( b) b b b 0 ( ) (b ) b b 0 Δ 0 (b ) ( ) (b b ) 0 b b b b b b b 9 b b b 0 b b b 9 0 b () () b y 7 7 y 0 y y 0 y y 0 y y y y

11 y y y y y y y y y y y 0y 0 y 0 ou y ou A, 0 e B, y y 0 y 0 y y y y y y y 0 9 y y 9y 9y y 0 y 0y 0 y 0ou y C, 9. Determine o termo constnte do resto d divisão do polinômio ( + + ) 0 por (+) Pr trtr do resto, temos: (I). ( + + ) 0 = Q() ( + ) + r(), com r() = + b + c Como = - é riz com multiplicidde, temos que derivd primeir e segund de () é d form: (II). [( + + ) 0 ] = r () = + b (III). [( + + ) 0 ] = r () = Desenvolvendo (II), temos: [( + + ) 0 ] = 0 ( + + ) 9 ( + ) = + b Pr = -, temos: 0 () 9 ( ) = - + b 0 b (IV). Desenvolvendo (III), temos 0 [( + + ) 9 ( + )] = 0 [( + ) 9 ( + + ) 9 ] = 0 [( + ) 9 ( + + ) + ( + + ) 9 ] = ª = 0 ( + + ) [(9 ( + ) + ( + + )] Pr = - = 0 () [9 + (-+) ] = 0 [9 + ] 0 (V). Substituindo (V) em (IV), temos: b = 0 0 = 0 0 b 0 0 (VI). Fzendo = -, em (I), temos: = b + c = c c 7 0. Em um cone circulr reto de ltur e rio d bse inscreve-se um tetredro regulr com um de sus fces prlel á bse do cone, e o vértice oposto coincidindo com o centro d bse do cone. Determine o volume do tetredro. E A V D O C B Considere V o vértice do cone e ABCD o tetredro com D no centro d bse do cone. Sej O o centro d fce ABC do tetredro. Sendo medid ds rests do tetredro, temos: A0 Do teorem de Pitágors no triângulo AOD, temos: A O OD AD AO OD OD OD OD D semelhnç entre os triângulos VOA e VDE, temos: VO AO VD ED Clculndo o volume do tetredro, temos: Volume D F

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