( ) ( ) ( ) MATEMÁTICA. Resolução Alternativa E Como m B (-,0) m<0 e f(m)=0 n B (0, ) n>0 e f(n)=0 QUESTÃO 1

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2 (9) 5- wwwelitecmpinscomr O ELITE RESOLVE APROVA: ITA - MATEMÁTICA QUESTÃO Sej E um ponto eterno um circunferênci Os segmentos EA e ED interceptm ess circunferênci nos pontos B e A, e, C e D, respectivmente A cord AF d circunferênci intercept o segmento ED no ponto G Se EB 5, BA 7, EC, GD e AG, então GF vle ) ) c) d) e)5 Alterntiv D Sendo E um ponto eterno à circunferênci cim, podemos escrever AEBEDECE 5 (7 ) 8 Oservndo o ponto G, interno à circunferênci, podemos escrever AGGFDGGC QUESTÃO Sej U um conjunto não vzio com n elementos, n Sej S um suconjunto de P(U) com seguinte propriedde: Se A,B S, então A B ou B A Então, o número máimo de elementos que S pode ter é: ) n- ) n/, se n for pr, e (n )/ se n for ímpr c) n d) n - e) n- Alterntiv C Sendo S um suconjunto de P(U), e A,B S A e B são suconjuntos com no máimo n elementos cd Considere então A n S um conjunto com n elementos Dess form, semos que qulquer elemento B S, com B A n deve ser suconjunto de A n, um vez que A n é máimo Assim, o número de elementos de B é, no máimo, n- Considerndo todos os suconjuntos de A n com n- elementos, firmmos que B é único, um vez que se houvesse um outro suconjunto C de A com n- elementos e diferente de B então terímos que C B e B C, o que contrri hipótese Sej então BA n- Continundo o rciocínio pr A n-, podemos montr seguinte seqüênci de inclusão: Ø A A A n- A n onde cd índice indic o número de elementos presentes no conjunto, e A i, A i S Ess seqüênci torn S o mior possível, logo, temos que o mior S é o conjunto { Ø, A, A,, A n-, A n }, que possui n elementos QUESTÃO Sejm A e B suconjuntos finitos de um mesmo conjunto X, tis que n(b\a), n(a\b) e n(a B) formm, nest ordem, um progressão ritmétic de rzão r > O Sendo que n(b\a) e n(a B) r, então, n(a\b) é igul ) ) 7 c) d) e) Alterntiv B De cordo com o enuncido, temos que n(b\a), n(a\b) e n(a B) formm um PA de rzão r, onde n(b\a) e n(a B) r Assim, temos: n ( A B) r n( n( A B) n( B \ A) (I) Como n(b\a) n(a\b) r e n(a B) n(a\b) r, então n ( A B) r n( n( n( Logo r ( r) r r Portnto, n ( r 7 QUESTÃO MATEMÁTICA Sej f: R R definid por f() 77 sen[5( /)] e sej B o conjunto ddo por B { R : f() } Se m é o mior elemento de B (-,) e n é o menor elemento de B (, ), então m n é igul ) /5 ) /5 c) -/ d) -/5 e) /5 Alterntiv E Como m B (-,) m< e f(m) n B (, ) n> e f(n) sendo f(m) 77 sen5m sen[5(m )] k 5(m ) k m 5 k 5 (k 5) m, com k inteiro Como m é o mior elemento de B e m <, devemos escolher k Assim, temos: m 5 (k 5) f(n) 77 sen5n sen[5(n )] n Como n é o menor elemento de B e n >, devemos escolher k Assim, temos: n Assim mn 5 QUESTÃO 5 Considere equção ( - )/( - ) m, n vriável rel, com < O conjunto de todos os vlores de m pr os quis est equção dmite solução rel é ) (-,) (,) ) (-,-) (, ) c) (-,) d) (, ) e) (-, ) Alterntiv C Considerndo m Fzendo, podemos reescrever equção como m Assim, temos: Portnto m( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m ( ) m m m m m m m Pr um solução rel, temos que considerr > m m Resolvendo inequção >, temos -<m<: m Assim, m (-; ) QUESTÃO Considere um prov com questões de múltipl escolh, cd questão com 5 lterntivs Sendo que cd questão dmite um únic lterntiv corret, então o número de forms possíveis pr que um cndidto certe somente 7 ds questões é 7 ) ) c) 5 d) e) 7 Alterntiv A Eistem forms de responder 7 questões certs em ; porém, pr 7 cd um dests eistem mneirs de escolher um lterntiv errd

3 (9) 5- wwwelitecmpinscomr O ELITE RESOLVE APROVA: ITA - MATEMÁTICA em cd um ds outrs questões; portnto, o número de forms possíveis de o cndidto certr APENAS 7 questões é: 7 QUESTÃO 7 Considere s seguintes firmções sore epressão k S 8 ( ) k log : I S é som dos termos de um progressão geométric finit II S é som dos termos de um progressão ritmétic finit de rzão / III S 5 IV S log 8 Então, pode-se firmr que é (são) verddeir(s) pens ) I e III ) II e III c) II e IV d) II e) III Alterntiv B Considere seqüênci dd por n onde: n n,5 n,5 n n log8 log Dess form, seqüênci é um PA de rzão /, o que torn fls firmção (I) e vlid firmção (II) Logo, S é som dos primeiros termos d seqüênci (de n té n) Assim, temos k ( n )( n ) S log k 8 ( ) 5 ( log ) 5 S 5log8 8 Assim, encontrmos S 5, o que vlid firmção (III), e torn fls firmção (IV) QUESTÃO 8 Se pr todo z C, f(z) z e f(z)-f() z-, então, pr todo z C, f() f(z) f() f( Ζ) é igul ) )z c) Re z d)im z e) z Alterntiv C Se f(z)-f() z-, podemos escrever: (f(z) - f()) ( f(z) f() ) z - ( f(z) f())(f(z) f()) z Desenvolvendo epressão cim temos: f ( z )f ( z ) f(z) z f ()f () [ f ()f ( z ) f ( z )f ()] z f() [ f()f(z) f(z)f() ] z [ f()f(z) f(z)f() ] z f()f(z) f(z)f() z f()f(z) f(z)f() f()f(z) f(z)f() f()f(z) f(z)f() Re(z) z [ Re(z) ] [ Im(z) ] [ Re(z ) ] [ Im(z ) ] [ Re(z) ] [ Im(z) ] [ Re(z) ] Re(z) [ Im(z) ] QUESTÃO 9 O conjunto solução de (tg - )(- cotg ), kn/, k Z, é ) { / k /, ) { / k /, c) { / k /, d) { / 8 k /, e) { / k /, Alterntiv D Epndindo noss epressão em senos e cossenos, temos cos cos cos sen sen sen cos cos sen sen cos tg sen cos sen ( sen cos ) tg tg ± Dess form, temos então k k, com k Z 8 QUESTÃO Se α [, ) é o rgumento de um número compleo Z e n é um número nturl tl que(z/lzl) n isen(nα), então, é verdde que ) nα é múltiplo de ) nα - é múltiplo de c) nα - / é múltiplo de / d) nα - é múltiplo não nulo de e) nα - é múltiplo de Alterntiv B Sej z ddo por z z [cos αisenα] n z Assim (cosαisenα) n cos(nα)isen(nα) z n z Como, por hipótese, isen(nα), temos cos(nα) z nα k nαk nα-k nα- é múltiplo de QUESTÃO A condição pr que s constntes reis e tomem incomptível o z sistem liner 5z é z ) ) c) - d) / / e) Alterntiv A O determinnte ssocido o sistem é ddo por: det( A) 5 ( ) ( ) Pr que esse sistem não sej possível e determindo det(a) Sustituindo o vlor de, encontrdo e esclonndo o sistem, temos: z z 5z z z z Assim, pr que o sistem sej incomptível devemos ter O sistem será incomptível (impossível) se e, ou sej QUESTÃO c c Se det p q r - então o vlor do det p q r z z z é igul ) ) c) 8 d) e) Alterntiv D det p - p q q c r z c c r z p q r z z c c z - p q r ( ) z z QUESTÃO Sej p um polinômio com coeficientes reis, de gru 7, que dmite -i como riz de multiplicidde Se-se que som e o produto de tods s rízes de p são, respectivmente, e - Sendo firmdo que três rízes de p são reis e distints e formm um progressão ritmétic, então, tis rízes são ) / 9 /,, / 9 /

4 (9) 5- wwwelitecmpinscomr O ELITE RESOLVE APROVA: ITA - MATEMÁTICA ),, c) -,, 8 d),, 8 e) -,, 5 Alterntiv E Como -i é riz de multiplicidde e p possui coeficientes reis, semos que i tmém é riz de p, com mesm multiplicidde Assim, s sete rízes de p são {-i, -i, i, i,,, c}, onde (,,c) é um PA de rzão r formd por números reis Dess form: c ( i) ( i) c c c ( i) ( i) c c Fzendo -r e cr, temos Além disso, temos ( r)( r) r 5 r 9 r ± Se r, temos -, e c 5; se r -, temos 5, e c - Logo, temos que s outrs rízes são -, e 5 QUESTÃO Sore o polinômio p() podemos firmr que ) não é riz de p ) p só dmite rízes reis, sendo um dels inteir, dus rcionis e dus irrcionis c) p dmite um únic riz rel, sendo el um riz inteir d) p só dmite rízes reis, sendo dus dels inteirs e) p dmite somente rízes reis, sendo um dels inteir e dus irrcionis Alterntiv E Oservemos que é riz d equção já que p 5 () 5 Utilizndo o dispositivo de Briot-Ruffini podemos ftorr o polinômio p(): Assim, p() pode ser escrito d seguinte form: p ( ) ( )( ) Pr encontrrmos s demis rízes de p() vmos dividir o ftor - por (oservndo que não é riz d equção): Fzendo u : u u u u Sus rízes são dds por: - e Se u -, temos: ± 5 (dus rízes irrcionis) Se u temos: ± i (dus rízes comples) QUESTÃO 5 Sej o sistem liner ns incógnits e, com e reis, ( ) ( ) ddo Considere s seguintes firmções: ( ) ( ) I O sistem é possível e indetermindo se II O sistem é possível e determindo se e não são simultnemente nulos III ( ) -, se Então, pode-se firmr que é (são) verddeir(s) pens ) I ) II c) III d) I e II e) II e III Alterntiv E A firmção I é fls pois se temos: Sistem impossível ) A firmção II é verddeir já que ( ) D ( ) ( ) ( ), ) Qunto firmção III, se, podemos escrever: ( ) ( ) ( ) Assim, ( ) ( ) ( ) ( ) Portnto firmção III é verddeir ( ) QUESTÃO Considere o polinômio p() -(), onde Z O conjunto de todos os vlores de, pr os quis o polinômio p() só dmite rízes inteirs, é ) { n,n Ν} ) { n,n Ν} c) { n n, n Ν} d) { n ( n ), n Ν} e) Ν Alterntiv D Oserve que é riz de p() Utilizndo o dispositivo de Briot Ruffini temos: -- - Temos então p () - ( ) ( - ) - ( - ) ( - )( ) - ( - ) Assim, p ()(-)[()-](-)( -) - ou - I) - é riz novmente (riz dupl) II) - As rízes de ± - são dds por: Considerndo um inteiro n, temos: ± n ± n ± n Assim temos: (n) (n) - (n-)(n) n(n) n(n), n Z Como trtmos de números inteiros, n(n) Assim, os conjuntos {n(n), n Z} e {n(n), n Z} presentm os mesmos elementos QUESTÃO 7 Num circunferênci C de rio r cm está inscrito um heágono regulr H ; em H está inscrit um circunferênci C ; em C está inscrito um heágono regulr H e, ssim, sucessivmente Se A n (em cm ) é áre do heágono H n, então n ) 5 ) A n (em cm ) é igul 5 c) ( ) d) 7( ) e) ( )

5 (9) 5- wwwelitecmpinscomr O ELITE RESOLVE APROVA: ITA - MATEMÁTICA Alterntiv B O ldo do heágono H, inscrito n circunferênci C de rio r cm, é l cm l Logo, su áre é: A (seis 7 triângulos equiláteros) A cm O ldo o heágono H será r (rio d circunferênci C e ltur do triângulo eqüilátero d figur) Podemos escrever: r cm sen º r r 8 Logo, A cm 8 Como o rio d próim circunferênci (ltur do triângulo) é sempre o ldo d circunferênci nterior vezes senº, podemos notr que áre d próim circunferênci é áre d nterior vezes sen º 7 8 Perceemos, então, que (A, A, A, ),,, 8 o formm um Progressão Geométric infinit de rzão q sen e A Logo, An A A A n l q 7 An 5 cm n QUESTÃO 8 Sejm ret s: -57 e circunferênci C: A ret p, que é perpendiculr s e é secnte C, cort o eio O num ponto cuj ordend pertence o seguinte intervlo 9 8 ), 7 d), 8 7 ), 75 9 e), 7 c), Sem respost Considere equção gerl d ret s dd por Escrevendo su equção reduzid temos:, de onde 5 5 oservmos que seu coeficiente ngulr é m s /5 Por hipótese, temos que ret p é perpendiculr s, ssim, m p m s -, onde m p e m s são respectivmente os coeficientes ngulres ds rets p e s Temos então m p 5 / Assim, fmíli ds rets perpendiculres s é d form: 5 k Escrevendo equção d circunferênci C n form reduzid temos ( ) ( ) Pr encontrr o intervlo desejdo, iremos encontrr quis rets d fmíli dd são tngentes C (csos etremos) p é tngente C d(o,s) R, onde O é o centro de C e R o seu rio 5( ) ( ) k k ± 5 d(o,s) R 5 k ou k 7 Assim, s tngentes são: O intervlo pedido é:, Não há lterntiv Questão deve ser ANULADA Provvelmente houve erro de digitção n lterntiv C, trocndo por QUESTÃO 9 Os focos de um elipse são F (,-) e F (,) Os pontos A(,9) e B(,), >, estão n elipse A áre do triângulo com vértices em B, F e F é igul ) ) 8 c) 5 d) e) Alterntiv D Como Podemos escrever equção d elipse d seguinte form: ( 5 ) 9 Assim temos, Como B(,) é um ponto d elipse, podemos sustituir sus coordends n equção d mesm, o que nos lev Queremos áre do triângulo BF F : se ltur FF S QUESTÃO Um pirâmide regulr tem por se um heágono cuj digonl menor mede cm As fces lteris dest pirâmide formm diedros de com o plno d se A áre totl d pirâmide, em cm, é c) 8/ ) 8 / ) 8 / d) 7 e) 7 Alterntiv A Vist superior Utilizndo o Teorem de Pitágors no ABD, temos: ( AD) ( AB) ( BD) ( ) ( ) ( ) cm O pótem d se d pirâmide será ddo por: OM cm Pr determinrmos áre lterl, será necessári ltur ds fces: Pelo enuncido, semos que OMV o, então: OM MV cm o cos A Áre d Pirâmide é dd por: A Totl A Lterl A Bse A Totl A Totl 5 7

6 A Totl 8 QUESTÃO Considere A um conjunto não vzio com um número finito de elementos Dizemos que: F {A,,A m } P(A) é um prtição de A se s seguintes condições são stisfeits: I A i ø, i,,m II A i A j ø, se i j, pr i,j,,m III A A A A m Dizemos ind que: F é um prtição de ordem k se n(a i ) k, i,,m Supondo que n(a) 8, determine: ) As ordens possíveis pr um prtição de A ) O número de prtições de A que têm ordem ) Se t tem 8 elementos pode-se crir prtições de t de ordem,, e 8 Isso se deve o fto de que esses são os possíveis divisores de 8 Eemplo: {,,,, 5,, 7, 8} Ordem {{},{},{},{},{5},{},{7},{8}} Ordem {{,}, {,}, {5,},{7,8}} Ordem {{,,,} {5,,7,8}} Ordem 8 {{,,,,5,,7,8}} ) Pr prtições de ordem, deve-se grupr os elementos de A Assim, o totl de possiiliddes de grupmento é Entretnto, não eiste um ordem entre os elementos d prtição, logo, o totl de prtições será 5 5! QUESTÃO, < / Sej f: [, ) IR definid por f() Sej g: (-/, / < f( /), / < < /) IR dd por g() com f definid f( /), < / cim Justificndo respost, determine se g é pr, ímpr ou nem pr nem ímpr Pelo enuncido, podemos dmitir que ( / ), / < / f ( / ) ( / ), / / <, / < Assim, temos f ( / ), < / Sustituindo epressão cim em g(), encontrmos:, / < < g ( ), < / Assim, temos: ( ), / < <, < < / g( ) g ( ) ( ), < /, / < Assim, g()g(-) pr todo (-/, /), portnto g é pr cm QUESTÃO Determine o coeficiente de no desenvolvimento de ( ) 9 O termo gerl do desenvolvimento de ( ) 9 é ddo por: 9! c G () () ( ) ; c 9, sendo,, c números!!c! nturis Pr se oter o termo com, noss restrição é c Dest mneir, s soluções possíveis pr, e c são {(,,);(5,,);(7,,)} Sustituindo os vlores possíveis em G, encontrmos 9! 9! 9! ( )!!! 5!!! 7!!! 5 (9) 5- wwwelitecmpinscomr O ELITE RESOLVE APROVA: ITA - MATEMÁTICA QUESTÃO Determine pr quis vlores de (-/,/) vle desiguldde log cos (sen - ) - log cos ( - sec ) > Pelo enuncido, podemos escrever cos ( sen ) > cos ( ) ( sen ) ( ) ( sen ) cos ( ) ( sen ) cos ( ) log log sec log > log (cos ) log sec cos cos cos log > log cos sec cos log > log cos cos D condição de eistênci, temos que cos > Como <cos <, função é decrescente, ssim, temos sen < tg < < <, com cos Além disso, temos, prtir ds condições de eistênci de logritmos: sen > sen > < < ou < < cos > cos > < < Fzendo intersecção dos intervlos, temos: Então o conjunto solução é: R / < S { < ou < < } QUESTÃO 5 Considere o polinômio p(), com rízes reis O coeficiente é rcionl e diferenç entre dus de sus rízes tmém é rcionl Nests condições, nlise se seguinte firmção é verddeir: "Se um ds rízes de p() é rcionl, então tods s sus rízes são rcionis" Pr o polinômio p(), como é rcionl, então todos os seus coeficientes são reis Temos, portnto, diferentes possiiliddes: ) comples conjugds e rcionl ) rízes rcionis ) dus irrcionis d form c e c, com, c rcionis e c > (pois todos os coeficientes são rcionis) e um riz rcionl Pr o nosso polinômio, hipótese está descrtd, pois do enuncido, tods s rízes são reis Como diferenç entre dus rízes é sempre rcionl, hipótese é um hipótese válid pr s condições do enuncido Pr hipótese, temos que diferenç ( c ) ( c ) c, que não é rcionl ou sej, ess hipótese não é vlid pr s condições do enuncido Portnto, podemos dizer que sentenç é verddeir QUESTÃO As medids, em metros, do rio d se, d ltur e d gertriz de um cone circulr reto formm, nest ordem, um progressão ritmétic de rzão metros Clcule áre totl deste cone em m Sejm r, h e g, o rio d se, ltur e gertriz do cone respectivmente Como r, h e g formm um PA nest ordem, temos que: r h - e g h Temos g r h (h) (h-) h h - 8h

7 (9) 5- wwwelitecmpinscomr O ELITE RESOLVE APROVA: ITA - MATEMÁTICA Como h, temos que h - 8 h 8 Assim, h 8 m, r m e g m A áre totl vle: A A se A lterl r rg 9 m QUESTÃO 7 Sejm s mtrizes / / 5 A e B 5 / 5 / Determine o elemento c d mtriz C (A B) - Temos que A B 5 Logo, det ( A B ) 99 5 Pel definição d mtriz invers, temos: M ( ) t cofm detm Assim, pr determinrmos o elemento c d mtriz C(AB) -, clculmos o coftor do elemento c d mtriz ( ) A B: 8 99 Portnto, o elemento pedido é: ( 8) QUESTÃO 8 Sej (,,,, n,) um progressão geométric infinit de rzão positiv r, em que é um número rel não nulo Sendo que som de todos os termos de índices pres dest progressão geométric é igul e que som de todos os termos de índices múltiplos de é /, determine o vlor de r Reescrevendo PG como (, r, r, r, ), temos k () 9 p () Se s som infinit de prte dos termos tende um vlor então < r <, logo: i, q rzão d PG, ssim: q Termos de índices pres: PG de termo 8 r r r 5 r e rzão r r r Assim, r ( - r ) (I) Termos de índices múltiplos de 9 r r 5 r 8 PG de termo r r e rzão r r 5 9 ± 8 9 ± 5 r r 8 8 r -/8 (descrtd porque r<) ou r / Sustituindo em (I): r 9 QUESTÃO 9 Sendo que é equção de um hipérole, clcule su distânci focl Vmos escrever equção reduzid d hipérole dd, completndo os qudrdos n equção: , logo 9( - 8) - ( - 7) ( ) ( ) ( 8) ( 7) Assim temos: c Semi-eio imginário Semi-eio rel Semi-dist focl c c 5 c 5 Logo distânci focl é QUESTÃO Considere um losngo ABCD cujo perímetro mede cm e cuj mior digonl mede cm Clcule áre, em cm, do círculo inscrito neste losngo D Percee-se que: A R 5 5 A C T R B T B Como ABCD é losngo (qudrilátero eqüilátero), pode-se dizer que AB BC CD AD 5 cm e AC, logo AO cm De cordo com figur, OT R e T é ponto de tngênci Como o triângulo AOB é retângulo, temos então, pel semelhnç AOB ~ AOT, temos OTAB OBAT R5 5 R cm Finlmente, temos AR cm Assim, r ( - r ) (II) Dividindo (II) por (I) / ( r)( r r ) r r r r r ( r)( r) 9r 9r -