( x) SOLUÇÃO IDEAL ITA 2015/2016 Matemática. = π. 2, então sen 3x é. tg.x 7 e x π. Questão 01. Considere as seguintes afirmações: x. Questão 04.
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- Nina Marcela Weber Van Der Vinne
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2 Questão 0. Considere s seguintes firmções: I. A função f( ) log0 é estritmente crescente no intervlo ]. + [. II. A equção + possui um únic solução rel. III. A equção ( + ) dmite pelo menos um solução rel positiv. É (são) verddeir(s) ) pens I. b) pens I e II. c) pens II e III. d) I, II e III. e) pens III. : ALTERNATIVA B I. Se > b tem-se f() > f(b) log > log b > b < > b b f é estritmente crescente. Verddeir II.. ITA 0/0 Mtemátic log que é únic solução rel. Verddeir III. Se 0 < < : + > ( + ) > > Pr : ( + ) >, enqunto que pr > o crescimento de ( + ) é eponencil, portnto superior o crescimento liner de, fzendo com que ( + ) > pr. Fls Questão 0. Se igul ) b) 8 tg. 7 e π π., então sen é 8 c) d) : ALTERNATIVA B tg 7 sen + tg e) sen sen sen sen sen + sen 8 Questão 0. Sej (,,...) sequênci definid d seguinte form: 000 e n log 0( + n ) pr n. Considere s firmções seguir: I. A sequênci ( n) é decrescente. II. n > 0 pr todo n III. n < pr todo n É (são) verddeir (s) ) pens I. b) pens I e II. c) pens II e III. d) I, II e III. e) pens III. Questão 0. Se é um número nturl com 0 dígitos, então o número de dígitos d prte inteir de 7 é igul ) 8 b) 8 c) 87 d) 88 e) 89 : ALTERNATIVA D Sbe-se que o número de dígitos de um rel r é igul à prte inteir do número + log r. Como tem 0 dígitos: 0 0 < < log log < 7 88,8... < + log 88,7... prte inteir de 7 tem 88 dígitos 7 87,8... < log 87,7... Questão 0. Escolhendo letorimente, três números inteiros distintos no intervlo [, 0], probbilidde de que eles estejm, em lgum ordem, em progressão geométric é igul ) 8 b) 7 c) 90 d) e) 80 : NÃO HÁ ALTERNATIVA CORRETA Como os números vão de 0 o mior vlor possível pr rzão q d PG é. Anlisndo os possíveis vlores de q: ) q (,, ), (,, 8), (,, ), (, 8, ), (, 0, 0) ) q (,, 9), (,, 8) ) q (,, ) ) q / (,, 9), (8,, 8) ) q / (9,, ) Assim, menos d ordem, eistem PG s Logo: p C 0 0, Obs: Acredit-se que o elbordor d questão estv interessdo pens ns PGs com rzão inteir, que dri lterntiv A. : ALTERNATIVA D + + log log n n n 0 n n 0 0 n Como 0 n > n+, pois 0 n é eponencil com I) ( ) crescimento mior que n +. Logo n- < n e seqüênci é decrescente. II) n log 0( + n) e temos que imgem de f * ( + ) > 0 ( ) log0 ; R+. Verddeir III) ( + 000) log 00 log0 0 log0 < log00. Como n é decrescente, prtir de todos os elementos são menores que. Verddeir Questão 0. Sej P n um polígono conveo regulr de n ldos com n. Considere s firmções seguir: I. P n é inscritível num circunferênci. II. P n é circunscritível um circunferênci. III. Se l n é o comprimento de um ldo de P n e n é o comprimento de um pótem de P n, então n pr todo ln n. É (são) verddeir(s) ) pens I. b) pens II. c) pens III. d) pens I e II e) I, II e III. : ALTERNATIVA D I. Por simetri, em todo polígono regulr s meditrizes dos ldos encontrm-se no centro do polígono, implicndo que P n é inscritível. Verddeir II. Por simetri, em todo polígono regulr s bissetrizes dos ângulos internos encontrm-se no centro do polígono, implicndo que P n é circunscritível. Verddeir θn ln cot III. Sbe-se que tg ( θn / n ) n l n
3 ITA 0/0 Mtemátic Como θ n π/n, à medid que n ument o vlor de θ n diminui, fzendo com que cot(θ n/) ssum vlores miores que prtir de um determindo n. Fls Questão 07. Um triângulo está inscrito num circunferênci de rio cm. O seu mior ldo mede cm e su áre é de ) b) c) d) e) : ALTERNATIVA B Lei dos Senos: R sena sen A, sena ou sej, A 90º ABC é retângulo b + c bc S bc b c c c + 0 cmin ± c ± Questão 08. Se o sistem de equções. + y + z + y + 7z + y + z b É impossível, então os vlores de e b são tis que ) e b. b) e b. c) e b. d) e b. e) é rbitrário e b. : ALTERNATIVA A Por Crmer A s 7 s ; determinnte d mtriz dos coeficientes. A 7 b + b Logo, o sistem será impossível se e só se b e. Questão 09. Se P e Q são pontos que pertencem à circunferênci + y e à ret y ( ), então o vlor do cosseno do ângulo PÔQ é igul ) b) c) d) e) 7 7 : ALTERNATIVA A + y ) + () y.() A (0,) e B, A. B ) cosα A. B 00. Questão 0. Um triângulo tem perímetro igul l, em que lé o comprimento d hipotenus. Se αeβsão seus ângulos gudos, com α < β, então sen ( β α) é igul ) b) + c) d) 0 e) 8 0 : ALTERNATIVA D i) sen(β - α) sen(90 - α - α) cosα ii) + y l.( ) ( + y) ( ) + y + y l ( ) y ( ) ( ) y.. l l senα l l.cos α.senα ( ) iii) cosα sen α cosα 0 Questão. Se M e N 0 M - N é igul. ) b) c) 7 d) e), então MN T : ALTERNATIVA C T 0 Temos que: N e M 0 Assim: MN T M N.. 0 Questão. Considere s firmções seguir: I. Se z e ω são números compleos tis que z iω i e ω - z + i, então z + ω - + i. II. A som de todos os números compleos z que stisfzem z + z + i é igul zero. III. Se z i, então z 9 9 (- + i). É são verddeir(s) ) pens I. b) pens I e II. c) pens I e III. d) pens II e III. e) I. II e III. : ALTERNATIVA B z iw i I. w z + i w ( i) + w + i z i z + w - + i (Verddeiro) II.. z + z + i + y + + yi y + i ( + y ) + yi + i ± ou ± y + y
4 S + i, i, + i, i Som 0 (Verddeiro) III. 7π 8 ( ) 9 7π z i cis z cis9. ( ) 9 π 9 cis.( i) (Flso) Questão. Sejm λ um circunferênci de rio cm e PQ um cord em λ de comprimento cm. As tngentes λ em P e em Q interceptm-se no ponto R eterior λ. Então, áre do triângulo PQR, em cm, é igul ) b) c) d) e) ITA 0/0 Mtemátic Por outro ldo (0; ); (; y ) e (; ) são colineres, então: y + E por fim áre do qudrilátero de vértices nos pontos (; 0); + (; 0); (; ) e ; possui áre igul, logo: + ± ' '' 7 + ou 7 + não é um solução possível pois < 0 II. 0 '' IV + 7 e 7 não é possível pois > e IV tmbém não pois IV < 0, portnto 7 : ALTERNATIVA E. tg0º S pro. Questão. Se ret de equção divide o qudrilátero cujos vértices são (0,), (,0), (,0) e (,) em dus regiões de mesm áre, então o vlor de é igul ) b) c) d) 7 e) 7 : ALTERNATIVA D Com s informções d questão temos seguinte representção gráfic Questão. Sej p o polinômio ddo por p() 8 + m n, em que os epoentes 8, m, n formm, nest ordem, um progressão geométric cuj som dos termos é igul. Considere s seguintes firmções: I. 0 é um riz dupl de p. II. é um riz dupl de p. III. p tem qutro rízes com prte imginári não nul. Dests, é (são) verddeir (s) ) pens I. b) pens I e II. c) pens I e III. d) pens II e III. e) I, II e III. : ALTERNATIVA C PG: 8, m, n m 8n Como m + n m + 8m 8 0 m (pois m > 0) p() 8 + ( + ) ( )( + )( + + ) Anlisndo s firmtivs: I. p então 0 é riz dupl. Verddeir II. é riz simples de p. Fls III. As rízes de + + são imgináris com prte imginári não nul. Verddeir Questão. Sej ABC um triângulo eqüilátero e suponh que M e N são pontos pertencentes o ldo BC tis que BM MN NC. Sendo α medid, em rdinos, do ângulo Mˆ AN, então o vlor de cos α é ) b) c) d) 7 7 e) 8 : ALTERNATIVA A Sendo ssim podemos firmr que áre do qudrilátero é dd por: 0 A Sendo CN NM MB AB Como ANC é congruente o AMB por LAL AN AM I. Pel lei dos cossenos no AMN +...cosα.cosα II. Pel lei dos cossenos no ACN + ()...cos0º
5 0 7 7 III. Substituindo II em I:.7.7.cosα...cosα cosα cos α Questão 7. Um esfer S, de rio R> 0, está inscrit num cone circulr reto K. Outr esfer, S, de rio r, com 0 < r < R, está contid no interior de K e é simultnemente tngente à esfer S e à superfície lterl de K. O volume de K é igul πr πr πr ) b) c) r R r r R r r R r d) ( ). πr r ( R r). e) ( ). πr r ( R r) ( ) ITA 0/0 Mtemátic Questão 9. Pintm-se N cubos iguis utilizndo-se cores diferentes, um pr cd fce. Considerndo que cd cubo pode ser perfeitmente distinguindo dos demis, o mior vlor possível de N é igul ) 0 b) c) 0 d) e) 0 : ALTERNATIVA E Tome um ds cores e pinte fce superior do cubo. Devido possibilidde de rotção, eiste pens um mneir de fzer isso. Ds cores que sobrrm, escolh um pr pintr fce opost já pintd. Eistem mneirs de fzer tl escolh. Aind fltm pintr s fces lteris do cubo. Devido à rotção do cubo por um eio que pss pels fces já pintds, pr pintr s fces lteris bst permutr circulrmente s cores que ind fltm ser usds. Assim, o totl de mneirs é.( )! 0. : ALTERNATIVA B r r R R R Questão 0. Em um triângulo equilátero ABC de ldo, considere os pontos P, M e N pertencentes os ldos AB, BC e AC, respectivmente, tis que ) P é o ponto médio de AB ; b) M é o ponto médio de BC ; c) PN é bissetriz do ângulo AP ˆ C. Então, o comprimento do segmento MN é igul ) 0 b) c) d) 0 e) ALTERNATIVA D Por semelhnç: I) hr R Rr hr Rr h h II) + R Logo: h (R + r) h R h + r R π h πr V r(rr) h R Rr h h h R R + + R r Questão 8. Considere o polinômio p com eficientes compleos definido por p(z) z + ( + i)z + ( + i)z + ( + i)z + ( + i). Podemos firmr que ) nenhum ds rízes de p é rel. b) não eistem rízes de p que sejm comples conjugds. c) som dos módulos de tods s rízes de p é igul +. d) o produto dos módulos de tods s rízes de p é igul +. e) o módulo de um ds rízes de p é igul : ALTERNATIVA E Por inspeção percebe-se que é riz: + i + i + i + i + i + i 0 p(z) (z + )[z + ( + i)z + z + + i] p(z) (z + )[z + ( + i)](z + ), cujs rízes são:, i, i, i Anlisndo s lterntivs, verific-se que corret é E. I. Pel lei dos senos no ANP senº sen º + 0º senº.cos 0º + sen0º.cos. + + ( ) º II. NC ( ) III. Pel lei dos cossenos no CMN NM +...cos0 NM ( ) ( ) º 0 Questão. Sej f função definid por f() log +( 8). Determine: ) O domínio D f d função f.
6 b) O conjunto de todos os vlores de D f tis que f(). c) O conjunto de todos os vlores de D f tis que f() >. ) As seguintes epressões devem ser stisfeits: I. + > 0 > II. + 0 III. 8 > 0 ( + )( ) > 0 < ou > A interseção ds três condições nos dá >. b) f() 8 ( + ) < 0 Ms como >, então não há solução. c) Como > então + >, ou sej, podemos dizer que se log ( + )( 8) > então 8 > + Assim, 9 > e + Como < <, então respost é: > Questão. Sejm e y pertencentes o intervlo [0, π]. Determine todos os pres ordendos (, y) tis que cos seny sen+ cosy Perceb que sen > 0 e sen y > 0, já que, y [0, π] Como cos + seny > 0 então (0, π/) Como cosy sen < 0 então y (π/, π) Somndo s equções e dividindo por : cos+ sen seny+ cosy 0 π π sen + sen y Qunto os intervlos de vrição de e y tem-se: i) + π/ > π/ e + π/ < π/ + π/ π/ ii) y π/ > π/ π/ π/ e y π/ < π π/ π/ Dest form, eistem dus possibiliddes: + π/ y π/ ou + π/ + y π/ π Subtrindo s equções e dividindo por : sen cos+ cosy+ seny π π sen sen y + + () º cso: + π/ y π/ π π Assim, () fic d form: sen y sen y + + π 7π.sen y cos π 7π sen y sen + Eistem dus possibiliddes: i) y π/ 7π/ y π/ y 7π/ π/ ii) y π/ π/ y π/ y 7π/ π/ ITA 0/0 Mtemátic º cso: + π/ + y π/ π + y π/ π π () sen y sen y + + 7π π.sen.cos y π 7π cos y cos + Como π/ < y π/ < π/ y π/ 7π/ y π/ Logo π/ y π/ π/ π/ Dest form, eistem dois pres (, y) que stisfzem equção π, π e π π, Questão. Um heágono conveo regulr H e um triângulo equilátero T estão inscritos em circunferênci de rios R H e R T, respectivmente. Sbendo-se que H e T têm mesm R H áre, determine rzão. RT Sendo A H e A T, s áres do heágono regulr e do triângulo equilátero, respectivmente, pels informções do teto temos: A H A T Adotndo l pr o ldo heágono e l pr o ldo do triângulo obtemos: l l l l RH RT R R H R R T H T Questão. Sej A mtriz de ordem, dd por 0 A 0 ) Determine tods s mtrizes B tis que BA I. b) Eiste um mtriz B com BA I que stisfç BB T I? Se sim, dê um eemplo de um desss mtrizes. c ) Sendo B b d y, devemos encontrr s condições pr que B.AI 0 c 0 D operção. 0 b d y 0 obtemos s equções: I) + II) c + 0 c III) b + y 0 b y IV) d + y d y Substituindo n mtriz B obtemos mtriz: B y y y sendo R e y R b) Devemos encontrr um mtriz B tl que B.B T I, então y 0. y y y y 0 y
7 i) + ² + ² + ² 0 e ii) y² + y+ y² + y² y 0 e y iii) ( y)( y) + ( )( y) + y 0 + y y Fzendo y 0: 0 0 B 0 0 Questão. Num cert brincdeir, um menino dispõe de um ci contendo qutro bols, cd qul mrcd com pens um dests letrs: N, S, L e O. Ao retirr letorimente um bol, ele vê letr correspondente e devolve bol à ci. Se ess letr for N, ele dá um psso n direção Norte; se S, em direção Sul, se L, n direção Leste e se O, n direção Oeste. Qul probbilidde de ele voltr pr posição inicil no seto psso? De modo que o menino retorne à posição inicil quntidde de bols N deve ser igul o de bols S e quntidde de bols L deve ser igul o de bols O. Assim, eistem s seguintes possibiliddes:! i) NNNSSS: 0!.! possibiliddes! ii) LLLOOO: 0!.! possibiliddes! iii) NNSSLO: 80!.! possibiliddes! iv) NSLLOO: 80!.! possibiliddes p Questão. Sejm S um subconjunto de IR e P (, b) um ponto de IR. Define-se distânci de P S, d(p, S), como menor ds distâncis d(p, Q), com Q S: d(p, S) min{d(p, Q) : Q S}. Sejm S {(, y) IR : 0 e y } e S {(, y) IR : y 0}. ) Determine d(p, S ) qundo P (, ) e d(q, S ) qundo Q (-, 0). b) Determine o lugr geométrico dos pontos do plno eqüidistntes de S e de S. ) Trçndo perpendiculr Oy pssndo por P(,) encontrmos P (0,). Temos d(p,s ) O ponto pertencente S mis próimo de Q é (0,), dí d(q,s ) ( + 0) + ( 0) b) ITA 0/0 Mtemátic º Cso: ou Trçmos um perpendiculr Oy pr y e com rio e centro ness nov ret encontrmos. Assim pr temos y e pr temos y º Cso: Teremos (0,) como ponto de S mis próimo de S. Teremos então um prábol d form y + c. Como (,); (0,) e (,) são pontos d prábol, curv será y + y, se Então: S y +, y, se se- Questão 7. Sejm, b, c números reis com 0. ) Mostre que mudnç + ztrnsform equção + b + c + b + 0 num equção de segundo gru. b) Determine tods s rízes d equção ) Dividindo equção originl por : b + b+ c b c b + + c b + + c 0 Fzendo z + tem-se z + bz + c 0 b) Como, b e c, fzendo substituição do item nterior obtém-se z + z 0 (z )(z + ) 0 z ou z i) ± i ii) ± S i, + i,, + Questão 8. Considere s circunferêncis λ : + y e λ : + y 8y 8. O triângulo ABC stisfz s seguintes proprieddes: ) o ldo AB coincide com cord comum λ e λ ; b) o vértice B pertence o primeiro qudrnte; c) o vértice C pertence λ e ret que contém AC é tngente λ. Determine s coordends do vértice C. 7 Sejm: C : Centro de λ R : Rio de λ C : Centro de λ R : Rio de λ Com λ : ( ) + (y + ) 0; C (, ); R λ : ( ) + (y ) ; C (, ); R I) Cálculo de A e B + y 8 +y 0 + y 8y 8 y
8 II) Substituindo y em λ, temos: (y ) + y 8(y ) + y 0 0 y 0y 0 y B ; y A 0 B ; A y III) Dest form: m AC A yc 0 A c IV) Como AC é tngente λ, então AC AC, então: m AC m AC y ( + ) Como C λ, temos: AC: y y A m c.( A) + ( + ) 8 + ( + ) C(7,, 7,) A(,0) Respost: C (7,, 7,) 7, y 7, y 0 Questão 9. Determine o termo constnte do resto d divisão do polinômio ( + + ) 0 por ( + ). ª 0k (+ + ) [+ (+ )] [ (+ ) ] k 0 k (+ ) + (+ ) + Q(), 9 8 onde ( + ) Q(), ou sej, devemos nos preocupr pens com os três primeiros termos do binômio de Newton. Desenvolvendo obtém-se: ( + + ) 0 + 0( + ) ( + ) ITA 0/0 Mtemátic Derivndo: 0( + + ) 9 ( + ) ( + ) q() + ( + ) q () + + b : + b 0 Derivndo novmente: 0.9( + + ) 8 ( + ) + 0( + + ) 9. ( + )q() + ( + ) q () + ( + ) q () + ( + ) q () + Aplicndo obtém-se 80 Logo: b 0 00 Finlmente: c + b Questão 0. Em um cone circulr reto de ltur e rio d bse inscreve-se um tetredro regulr com um de sus prlel à bse do cone, e o vértice oposto coincidindo com o centro d bse do cone. Determine o volume do tetredro. d h V Por semelhnç segue que distânci h entre o plno que contém bse do tetredro e o vértice do cone deve ser igul à distânci d entre o centro dest bse e dos vértices do tetredro que pertençm est bse: h d ( ) Assim: ( ) V ( 7) Dividindo por ( + ) : Assim, o termo independente do resto é 78 º Concurso de Bolss 0 Inscrições: 8//0 0/0/0 Provs: 07/0/0 Resultdo: /0/0 Locl: Coordenção do Idel Militr Início ds Auls: 8/0/0 ª ( + + ) 0 ( + ) q() + + b + c Fzendo : b + c Solução Idel ITA 0/0 Mtemátic Este gbrito foi totlmente elbordo pel equipe de professores de Mtemátic do Grupo Idel. Equipe de Mtemátic Coordenção Digitção Prof. Mrcelo Rufino Prof. Henrique Mrcelo Rufino Joelm Prof. Luiz Ernesto Prof. Lendro Rêgo Murilo Teieir Prof. Lendro Fris Mis informções em Tel: 0 8
Solução: Alternativa: A. Solução: Mas, 3 x, Daí, 2 cos x. Ora, tgx 7. Então, 14 senx. Assim, Alternativa: B
0. Considere s seguintes firmções: I. A função f() = log 0 ( ) é estritmente crescente no intervlo ] [ II. A equção + = possui um únic solução rel. III. A equção ( + ) = dmite pelo menos um solução rel
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