Logaritmo. 1. (Espcex (Aman) 2014) Na figura abaixo, está representado o gráfico da função y = Iog x.

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1 Logritmo 1. (Espce (Amn) 014) N figur io, está representdo o gráfico d função y = Iog. Nest representção, estão destcdos três retângulos cuj som ds áres é igul : ) Iog + Iog3 + Iog5 ) log30 c) 1+ Iog30 d) 1 + log15 e) 1 + Iog30. (Uerj 013) Um lgo usdo pr stecer um cidde foi contmindo pós um cidente industril, tingindo o nível de toidez T 0, correspondente dez vezes o nível inicil. Lei s informções seguir. - A vzão nturl do lgo permite que 50% de seu volume sejm renovdos cd dez dis. - O nível de toidez T(), pós dis do cidente, pode ser clculdo por meio d seguinte equção: T() = T 0 (0,5) 0,1 Considere D o menor número de dis de suspensão do stecimento de águ, necessário pr que toidez retorne o nível inicil. Sendo log = 0,3, o vlor de D é igul : ) 30 ) 3 c) 34 d) 36 Págin 1 de 16

2 3. (Ufsm 013) Segundo Orgnizção Mundil do Turismo (OMT), o Ecoturismo cresce um t de 5% o no. No Brsil, em 011, o Ecoturismo foi responsável pel movimentção de 6,775 ilhões de dólres. Supondo que o percentul de crescimento incid sore movimentção do no nterior, podese epressr o vlor movimentdo V (em ilhões de dólres), em função do tempo t(em nos), por V 6,775 1,05 t 1 com t 1 correspondendo 011, t, 01 e ssim por dinte. Em que no o vlor movimentdo será igul 13,55 ilhões de dólres? Ddos: log 0,3 e log1,05 0,0. ) 015. ) 016. c) 00. d) 05. e) (Ufpr 013) Pr determinr rpidez com que se esquece de um informção, foi efetudo um teste em que lists de plvrs erm lids um grupo de pessos e, num momento posterior, verificv-se qunts desss plvrs erm lemrds. Um nálise mostrou que, de mneir proimd, o percentul S de plvrs lemrds, em função do tempo t, em minutos, pós o teste ter sido plicdo, er ddo pel epressão S 18 log(t 1) 86. ) Após 9 minutos, que percentul d informção inicil er lemrdo? ) Depois de qunto tempo o percentul S lcnçou 50%? 5. (Ufrgs 013) Dez ctéris são cultivds pr um eperiênci, e o número de ctéris dor cd 1 hors. Tomndo como proimção pr log o vlor 0,3, decorrid etmente um semn, o número de ctéris está entre 4,5 5 ) e. 5 5,5 ) e. 5,5 6 c) e. 6 6,5 d) e. 6,5 7 e) e. Págin de 16

3 6. (Fuvest 013) O número N de átomos de um isótopo rdiotivo eistente em um mostr diminui com o tempo t, de cordo com epressão λt N t N0 e, sendo N 0 o número de átomos deste isótopo em t 0 e λ constnte de decimento. Aio, está presentdo o gráfico do log N em função de t, otido em um estudo eperimentl do rdiofármco Tecnécio 99 metestável ( 99m Tc), muito utilizdo em dignósticos do corção. A prtir do gráfico, determine ) o vlor de log N 0 ; ) o número N 0 de átomos rdiotivos de 99m Tc ; c) mei-vid (T 1/ ) do 99m Tc. Note e dote: A mei-vid (T 1/ ) de um isótopo rdiotivo é o intervlo de tempo em que o número de átomos desse isótopo eistente em um mostr ci pr metde; log 0,3; log 5 0,7. 7. (Uepg 013) Qunto os vlores reis de pr os quis é verddeir iguldde log9 5 log3 3 1, ssinle o que for correto. 01) Eiste um únic solução, que é um número primo. 0) Eistem dus soluções cuj som é positiv. 04) Eistem dus soluções cujo produto é negtivo. 08) Eiste um únic solução frcionári. 16) Eiste um únic solução, que é menor do que log (Udesc 013) Se log 3( y) 5 e log 5( y) 3, então log (3 8y) é igul : ) 9 ) 4 log 5 c) 8 d) log e) 9. (G1 - cftmg 013) Sendo log = m e log 3 = n, plicndo s proprieddes de logritmo, escreve-se log 3,6 em função de m e n como ) mn. mn ). c) m n. d) m n 1. Págin 3 de 16

4 . (Ufg 013) A cpcidde de produção de um metlúrgic tem umentdo % cd mês em relção o mês nterior. Assim, produção no mês m, em tonelds, tem sido de m ,1. Se indústri mntiver este crescimento eponencil, quntos meses, proimdmente, serão necessários pr tingir met de produzir, menslmente, 1,1 vezes produção do mês um? Ddo: log1,1 0, (Espce (Amn) 013) Se m é m ) 4 6 logm, 1 log m com 0, 1 e m 0, então o vlor de ) 1 4 c) 1 d) e) 1 3 log log (Ime 013) Considere equção soluções reis dess equção está contid no intervlo ) [0, 5) ) [5,) c) [,15) d) [15, 0) e) [0, ) 3 3 A som dos qudrdos ds 13. (Insper 013) Pr comter um incêndio num florest, um vião sorevo cim d fumç e solt locos de gelo de um toneld. Ao cir, cd loco se distnci d ltitude em que foi solto pelo vião de cordo com lei d t, em que t é o tempo em segundos. A mss M do loco (em quilogrms) vri, em função dess distânci de qued d (em metros), conforme epressão M 00 50log d. Se o loco deve chegr o chão totlmente derretido, ltitude mínim em que o vião deve soltá-lo e o tempo de qued nesse cso devem ser ).000 metros e 3 segundos. ).000 metros e segundos. c) metros e 3 segundos. d).000 metros e segundos. e) metros e segundos. 14. (Insper 013) O número de soluções reis d equção log ( 3) log ( ) é ) 0. ) 1. c). d) 3. e) 4. Págin 4 de 16

5 15. (Ufpr 01) Um qunti inicil de R$ 1.000,00 foi investid em um plicção finnceir que rende juros de 6%, compostos nulmente. Qul é, proimdmente, o tempo necessário pr que ess qunti dore? (Use log (1,06) 0,084.) 16. (G1 - cftmg 01) Se log3, então ). ). c). d) 3. log9 vle 17. (Espce (Amn) 01) Considerndo log 0,30 e log3 0,48, o número rel, solução 1 d equção 5 150, pertence o intervlo: ),0 ) 4, 5 c) 1, 3 d) 0, e) 5, 18. (G1 - ifl 01) A solução d equção logrítmic log 4( 6) log ( 16) 1 é o número rel m. Desse modo, podemos firmr que ) m = 7 ou m =. ) o logritmo de m n se dez é igul um. c) m =, pois m > 6. d) m = 7, pois m > 6. e) m = , (G1 - ifsc 01) O vlor CORRETO d epressão E log ) 000. ) 11, c) d) 11. e) 1. é: 0. (Espm 01) Se log15 e log, o vlor de log 3 é: ) 1 ) 1 c) 1 d) 1 e) Págin 5 de 16

6 1. (G1 - if 01) O vlor d epressão M log0,5 log 7 co log 3 48 é: ) 1 ) -3/ c) d) -5/ e) 3. (Fgvrj 01) Adotndo os vlores log 0,30 e log3 0,48, em que przo um cpitl triplic qundo plicdo juros compostos à t de juro de 0% o no? ) 5 nos e meio ) 6 nos c) 6 nos e meio d) 7 nos e) 7 nos e meio 3. (G1 - ifce 01) Considerndo-se K = 0 log log, onde os logritmos são decimis, é correto firmr-se que K é ) múltiplo de. ) negtivo. c) mior que 0. d) ímpr. e) irrcionl. 4. (Fgvrj 01) A descoert de um cmpo de petróleo provocou um umento nos preços dos terrenos de cert região. No entnto, depois de lgum tempo, comprovção de que o cmpo não podi ser eplordo comercilmente, provocou qued nos preços dos terrenos. Um pesso possui um terreno ness região, cujo vlor de mercdo, em reis, pode ser 0,5 epresso pel função f() 000 e, em que represent o número de nos trnscorridos desde 005. Assim: f(0) é o preço do terreno em 005, f(1) o preço em 006, e ssim por dinte. ) Qul foi o mior vlor de mercdo do terreno, em reis? ) Em que no o preço do terreno foi igul o preço de 005? c) Em que no o preço do terreno foi um décimo do preço de 005? Use s proimções pr resolver s questões cim:...e 7,4; ln 0,7; ln 5 1,6; 34, (Ufrgs 01) O número log 7 está entre ) 0 e 1. ) 1 e. c) e 3. d) 3 e 4. e) 4 e 5. Págin 6 de 16

7 6. (Ime 01) Se log e log 3 y, então log518 vle: ) y 1 ) y 1 c) y 1 d) y 1 3 y e) 1 7. (Ifsp 011) Resolvendo o sistem de equções ordendo (; y), cuj diferenç y é ) 3. ). c). 3 d). 3 e) -. 6y 9y 0 log logy 0 otém-se um pr 8. (Espm 011) Sendo log = e log 3 =, o vlor do log9 160 é igul : ) 4 ) c) d) 4 e) (G1 - cftmg 011) O conjunto soluçăo d equçăolog ( 7 ) log ( 5) log é ) 5,1 ) 1 c) 5 d) 30. (Ufrgs 011) Aproimndo log por 0,301, verificmos que o número 9 ) e. 11 ) e c) e d) e e) e. 16 está entre Págin 7 de 16

8 Grito: Respost d questão 1: [D] 3 3 A1 A A3 1 log log 3 3 log5 log log3 log5 log 3 5 log log log15 1 log15. Respost d questão : [C] 1 T() T0 1 0,1 T0 T0 0,5 1 0,1 log log(0,5) 1 0,1 (log1 log) 1 0,1 (0 0,3) 1 0,03 33, Logo, D = 34. Respost d questão 3: [E] 13,55 6,775 1,05 1,05 t1 log log 1,05 t1 t1 0,3 t 1 log1,05 0,3 (t 1) 0,0 15 t 1 t 16 t 1, represent 011. t 16, represent o no de 06. Respost d questão 4: ) S = 18.log(t+1) + 86 S = 18.log(9+1) + 86 S = S = 68 Respost: 68%. ) 50 = 18.log(t+1) Págin 8 de 16

9 36 = 18.log(t+1) log (t+1) = t + 1 = 0 t = 99 minutos = 1hor e 39 minutos Respost d questão 5: t O número N de ctéris pós t períodos de 1 hors é igul. Logo, em um semn, teremos N logn log logn log 14 log logn 114 0,3 5, N. Portnto, 5 5,5 N. Respost d questão 6: ) No gráfico, log N o = 6. ) log N o = 6 N o= 6 = c) N N(t) o No logn(t) log logn(t) logno log logn(t) 6 0,3 logn(t) 5,7 Oservndo o gráfico, logn(t) = 5,7 t = 6 hors. Respost d questão 7: = log9 5 log3 3 1 log ( 5) log3 3 1 log ( 5) log (3) log (6 15) Resolvendo equção, temos = 3 ou = -1/ (não convém). [01] (Verddeir). = 3. [0] (Fls). Eiste pens um solução. Págin 9 de 16

10 [04] (Fls). Eiste pens um solução. [08] (Fls). A solução = 3 é inteir. [16] (Verddeir). 3 < log 5 65, ou sej, 3 < 4. Respost d questão 8: [E] Lemrndo que c log c, com 0 e 1 0, temos log 5 3( y) 5 y 3 log 3 5( y) 3 y 5 Portnto, 184. y 59 log (3 8y) log [ ( 59)] log 4 log. Respost d questão 9: [D] 36 log3,6 log log36 log log( 3 ) 1 log log3 1 log 3log3 1 (m n) 1 Respost d questão : Sej função p :, definid por m1 p(m) ,1, com p(m) sendo cpcidde de produção, em tonelds, no mês m. O vlor de m pr o qul p(m) 1,1 p(1) é tl que m1 m1 1, ,1 1,1 1,1 log1,1 m1 log1,1 (m 1) log1,1 log(1,1) (m 1) log1,1 log1,1 log (m 1) 0,04 0,08 1 m 7 1 m 8. Respost d questão 11: Págin de 16

11 [E] 1 Sendo que log r p log q q p, pr quisquer reis positivos p, q e r, com q 1, vem r Portnto, 6 log m 1 1 logm 6 logm 1 log m log m 6 log m log m m. Respost d questão 1: [C] m 1. m logc Sendo que log, com, e c reis positivos e, c 1, vem logc 3 log 3 3 log 3 (log 3 ) 1 (log3 ) 1. log3 3 m Dí, como log p(mn) logp m logp n e logp logp m logp n, n positivos e p 1, temos sendo m, n e p reis log3 1 (log 3 ) 1. log3 1 Fzendo y log3, segue que y 1 1 (y 1)(y 1) 0 (y 1) y 1 0 y 1 y 1 y(y 1)(y ) 0 y 0 ou y 1 ou y. Desse modo, s rízes reis d equção dd são 1, 3 e 1 1 pedido é 1 3 [, 15[ e, portnto, o resultdo 9 Respost d questão 13: Págin 11 de 16

12 [A] Qundo o loco estiver totlmente derretido su mss será M 0. Determinndo, gor ltur, pr M log d 0 50 log d log d 4 d d 0.00 m Determinndo o tempo de qued. t.000 t t 3 s Respost d questão 14: Sendo que logc logc logc pr, e c reis positivos e c 1, vem log ( 3) log ( ) log ( 3)( ) 6 6. Portnto, 6 é únic solução rel d equção. Respost d questão 15: Cálculo de Juros Compostos M montnte t C cpitl M C(1 i) onde i t t tempo Portnto: t t t (1 0,06) 1,06 log1,06 log t(0,084) 1 t 11,9 nos Respost d questão 16: log log3 9 3 log3 9 log log. Págin 1 de 16

13 Respost d questão 17: Temos que log log( 3) ( 3) (log log) log log3 ( 3) (1 0,3) 0,3 0,48 0,78 3 0,7 3 1,1 4,1. Portnto, [4, 5[. Respost d questão 18: Condição de eistênci: 6 > 0 e 16 > 0 > 8 log ( 6) log ( 16) 1 () log ( 6) log ( 16) ( 6) log ( 16) ( 6) ou = 7 (não convém) ( 16) 4 Portnto, m = e log = 1. Respost d questão 19: 0,001 1 E log E E 3 8 E 11 E 1, E 11, Respost d questão 0: Págin 13 de 16

14 Escrevendo log15 n se, otemos log log15 30 log log log (3 ) log log. log 3 log log Portnto, sendo que log15 e log, vem 1 log 3 1 log 3 log 3 1. Respost d questão 1: Questão nuld no grito oficil. M log 0,5 log 7 colog M 6 3 M 5 (Sem respost) Respost d questão : Sej n o przo necessário, em nos, pr que um cpitl C triplique, qundo plicdo à t de juro de 0% o no. Logo, 3C C (1 0,) 3 (1,) n n 3 log3 log log3 n ( log log3 log) 0,48 n 0,08 n 6. n Respost d questão 3: [D] 3 log3 log log3 log 3 (ímpr). K Respost d questão 4: Págin 14 de 16

15 ) O mior vlor de mercdo do terreno ocorreu em 007, ou sej, f() 000 e 0,5 000 e R$ ,00. ) Em 005, o vlor de mercdo do terreno er de R$.000,00. Queremos clculr o vlor de pr o qul f() 000, isto é, 0,5 0, e 1 e n1 n e 0,5 0, Portnto, o preço do terreno em 009 foi igul o preço do terreno em 005. c) Queremos clculr o vlor de pr o qul se tem 1 f() f(0), ou sej, e 000 e 0,5 0,5 1 0,5 1 n e n ( 5) ( 0,5 ) n e ( n n 5) 0,5, , Por conseguinte, em 0 o preço do terreno foi igul um décimo do preço em 005. Respost d questão 5: [C] log Respost d questão 6: [A] log(3 ) log3 log log3 log y log518= log5 log log 1 log Respost d questão 7: Págin 15 de 16

16 Condição de eistênci = > 0 e y > 0 3y 0 6y 9y 0 log logy 0 log 0 y Resolvendo, temos = 3 e y = 1. Logo, 3 1 =. 3y y Respost d questão 8: logc Sendo que log, temos que log log160 log9 160 log9 4 log log log3 4 log 1 log Respost d questão 9: c (condição de eistênci) log log ou 5( não convém) S = {1} Respost d questão 30: [D] Fçmos ( ). Assim, 40 log log log 40 0,301 Portnto, log 1,04 1, Págin 16 de 16