Matemática Aplicada. A Mostre que a combinação dos movimentos N e S, em qualquer ordem, é nula, isto é,
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- Kevin Gama Cavalheiro
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1 Mtemátic Aplicd Considere, no espço crtesino idimensionl, os movimentos unitários N, S, L e O definidos seguir, onde (, ) R é um ponto qulquer: N(, ) (, ) S(, ) (, ) L(, ) (, ) O(, ) (, ) Considere ind que notção XY (, ) signific X (Y (, )), isto é, represent cominção em sequênci dos movimentos unitários X e Y, onde o movimento Y é executdo primeiro e, seguir, o movimento X. A Mostre que cominção dos movimentos N e S, em qulquer ordem, é nul, isto é, NS(, ) SN(, ) (, ). B Prtindo do ponto (, ), quntos cminhos mínimos (isto é, com menor quntidde possível de movimentos) diferentes podem ser percorridos, utilindo pens os movimentos unitários definidos, pr se chegr o ponto (, 7 )? A NS(, ) N( S(, )) N(, ) (, ) (, ) SN(, ) S( N(, )) S(, ) (, ) (, ) B Pr ir do ponto (, ) o ponto (, 7), quntidde mínim de movimentos contece com dois movimento O e três movimento N, sendo que esses cinco movimentos podem ser executdos em qulquer ordem. Assim, quntidde de cminhos mínimos diferentes é igul à quntidde de permutções ds letrs OONNN, isto é, 0 cminhos diferentes.
2 Em um competição de Mtemátic, prov é do tipo múltipl-escolh com questões. A pontução de cd competidor é feit de tl mneir que cd questão respondid corretmente vle pontos; não respondid vle, ponto; respondid errdmente vle 0 (ero) ponto. A É possível um competidor fer extmente 00 pontos? Se respost for firmtiv, mostre um mneir; se não for, justifique impossiilidde. B Márci fe mis de 00 pontos. Qunts questões, no mínimo, el respondeu corretmente? A Sejm, respectivmente, C, N e E, s quntiddes de questões respondids corretmente, não respondids e respondids errdmente por um competidor. Assim, deve-se ter: C N E C, N Multiplicndo segund equção por e dividindo por, otém-se: N C. Or, como N e C são inteiros, N+C tmém é inteiro e, portnto, iguldde é impossível. Logo, não é possível um competidor fer extmente 00 pontos. B A situção mis fvorável ocorre qundo Márci não responde nenhum questão errdmente, isto é, E = 0. C N Nesse cso, tem-se. D primeir equção tem-se N = C, que sustituído n segund C, N 00 equção fornece: C, ( C ) 00, C 00 7, C, Logo, o vlor mínimo possível pr C é, isto é, Márci respondeu corretmente, no mínimo questões.
3 A figur mostr um semicírculo cujo diâmetro AB, de medid R, é um cord de outro semicírculo de diâmetro R e centro O. A B O A Clcule o perímetro d prte somred. B Clcule áre d prte somred. Como os diâmetros dos R e R, o triângulo AOB é equilátero com ldo medindo R. Portnto, o ângulo AOB mede 0 o. Dí tem-se: R R R A O rco AB do círculo mior mede e o comprimento d semicircunferênci menor (rio ) R R R R mede. Logo, o perímetro d prte somred é. B A áre somred é áre do semicírculo menor menos áre do segmento circulr definido pelo rco AB do semicírculo mior. A áre do semicírculo menor é R R circulr é. R R 8 e áre do segmento Assim, áre d prte somred é: R 8 R R R R R Um sorvete de csquinh consiste de um esfer (sorvete congeldo) de rio cm e um cone circulr reto (csquinh), tmém com cm de rio. Se o sorvete derreter, ele encherá csquinh complet e extmente. Suponh que o sorvete derretido ocupe 80% do volume que ele ocup qundo está congeldo. Clcule ltur d csquinh. O volume do sorvete derretido é igul o volume d csquinh. Sej H ltur d csquinh. Tem-se: 80 H 8 H 9, cm. 00
4 Sej f um função que, cd número complexo, ssoci i ) ( f, onde i é unidde imginári. Determine os complexos de módulo igul e tis que ) ( f, onde é o conjugdo de. Sej i, onde e são reis. Deve-se ter: i i i ) i i( i D segund iguldde tem-se que. Sustituindo n primeir equção otém-se: 8 ) (. Logo, como, os complexos que stisfem o enuncido são i e i. A Lnçm-se o r ddos equilirdos, ou sej, s proiliddes de ocorrer cd um ds seis fces são iguis. Qul é proilidde de que preç som 9? Justifique respost. B Um ddo é construído de tl modo que proilidde de oservr cd fce é proporcionl o número que el mostr. Se lnçrmos o ddo, qul é proilidde de oter um número primo? A A som 9 prece ssim: A proilidde de sir som 9 é igul... B A proilidde de sir um número primo é 0.
5 7 Oserve notíci ixo e utilie s informções que julgr necessáris. A Suponh que prtir de 00 os índices de perds no vrejo, no Brsil e nos EUA, possm ser expressos por funções polinomiis do º gru, y x, em que x = 0 represent o no 00, x = o no 0, e ssim por dinte, e y represent o índice de perds expresso em porcentgem. Determine s dus funções. B Em que no diferenç entre o índice de perds no vrejo, no Brsil, e o índice de perds no vrejo, nos EUA, será de %, proximdmente? Dê como solução os dois nos que mis se proximm d respost. A Brsil: (0;,7) (;,7) m = 0,0 y,7 = 0,0 (x 0) y 0, 0x, 7 USA: (0;,9) (;,0) m = -0,09 y,9 = -0,09 (x 0) y 0, 09 x, 9 B 0, 0x, 7 ( 0, 09 x, 9 ) 0, x 0, 7 x 7, nos Os nos mis próximos são 07 e 08.
6 8 Cont lend: Hvi um rei que tinh costume de dr lierdde um prisioneiro no di do seu niversário. Em cert ocsião levou três condendos um qurto escuro, no qul hvi três chpéus rncos e dois chpéus negros. Contou os prisioneiros quntos chpéus hvi e cor de cd um. Colocou um chpéu em cd prisioneiro, depois os tirou do qurto e levou-os um lugr onde cd um pudesse ver o chpéu dos outros dois, ms não o seu. Perguntou o prisioneiro A cor do seu chpéu e ele não soue responder. O mesmo conteceu com o prisioneiro B. Finlmente, fe mesm pergunt o prisioneiro C, que er totlmente cego e hvi escutdo s resposts dos outros dois. Não necessito enxergr pr ser que meu chpéu é rnco. Foi colocdo em lierdde ssim que todos oservrm que hvi certdo respost. A Fç um tel em que preçm tods s possiiliddes ds cores dos chpéus colocdos nos prisioneiros. B Explique por que o condendo C somente podi estr com o chpéu rnco. A Prisioneiro A n n n Prisioneiro B n n n Prisioneiro C n n n 7 B A possiilidde é incorret: se o prisioneiro B estivesse de chpéu negro, o prisioneiro certri respost. Assim o prisioneiro B seri que seu chpéu só podi ser rnco. E ele seri liertdo. A possiilidde é incorret: vendo que cor dos chpéus dos outros dois condendos er negro, ele seri que o seu er rnco. E seri solto. A possiilidde 7 é incorret: enxergndo que cor dos chpéus dos outros dois condendos er negr, ele seri que cor do seu chpéu er rnc. E seri solto. Tods s outrs possiiliddes mostrm que cor do chpéu do condendo C somente pode ser rnc.
7 9 A Pr medir lrgur x de um rio sem necessidde de cruá-lo, form feits váris medições como mostr figur ixo. Clcule lrgur x do rio. B Demonstre que distânci do vértice B o ricentro M de um triângulo é o doro d distânci do ponto E o ricentro M. A Os dois triângulos CAB e DEB são semelhntes: A lrgur do rio é de 9, m. x x 9, m, B Trçmos pelo ponto E prlel o ldo BC. Os triângulos MED e MBC são semelhntes pois têm os ângulos respectivmente congruentes e BC rão de semelhnç é: ED BM Portnto: BM. ME ME 7
8 0 A Um sáio d Antiguidde propôs o seguinte prolem os seus discípulos: Um rã prte d ord de um lgo circulr de 7, metros de rio e se moviment sltndo em linh ret té o centro. Em cd slto, vnç metde do que vnçou no slto nterior. No primeiro slto vnç metros. Em quntos sltos cheg o centro? B O mesmo sáio f seguinte firmção em relção à situção do item A: Se o primeiro slto d rã é de metros, el não cheg o centro. Justifique firmção. A O prolem express progressão geométric: (,,, ½,...) n ( ) 7 Portnto: 7, n n, ( ) ( ) n 8 Cheg o centro em sltos. B S r 0, Se continur sltndo desse modo vi chegr um distânci de metros d ord e não cheg o centro. Fim d Prov de Mtemátic Aplicd 8
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