Números, Desigualdades e Valores Absolutos

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1 A CÁLCULO A Números, Desigulddes e Vlores Asolutos O cálculo sei-se no sistem de números reis. Começmos com os inteiros:...,,,, 0,,,, 4,... Então, construímos os números rcionis, que são s rzões de inteiros. Assim, qulquer número rcionl r pode ser epresso como r m n onde m e n são inteiros e n 0 Os eemplos são , (Lemre-se de que divisão 0 sempre é descrtd, portnto epressões como 0 e 0 são indefinids.) Alguns números reis, como s, não podem ser epressos como rzão de números inteiros e são, portnto, chmdos números irrcionis. Pode ser mostrdo, com vrido gru de dificuldde, que os números seguir são irrcionis: 0 s s5 s sen log 0 O conjunto de todos os números reis é gerlmente denotdo pelo símolo. Qundo usrmos plvr número sem qulifictivo, estremos nos referindo um número rel. Todo número tem um representção deciml. Se o número for rcionl, então dízim correspondente é repetid indefinidmente (periódic). Por eemplo, 0, , , ,7 0, ,6 9 7, ,8574 (A rr indic que sequênci de dígitos se repete indefinidmente.) Cso contrário, se o número for irrcionl, dízim não será repetitiv: s, p, Ao prrmos epnsão deciml de qulquer número em um cert cs deciml, otemos um proimção dele. Por eemplo, podemos escrever p,45965 onde o símolo deve ser lido como é proimdmente igul. Qunto mis css decimis forem mntids, melhor será proimção otid. Os números reis podem ser representdos por pontos sore um ret, como n Figur. A direção positiv (à direit) é indicd por um flech. Escolhemos um ponto de referênci ritrário, O, denomindo origem, que corresponde o número rel 0. Dd qulquer unidde conveniente de medid, cd número positivo é representdo pelo ponto d ret que está uniddes de distânci, à direit, d origem e cd número negtivo é representdo pelo ponto sore ret que está uniddes de distânci, à esquerd, d origem. Assim, todo número rel é representdo por um ponto sore ret, e todo ponto P sore ret corresponde um único número rel. O número rel ssocido o ponto P é chmdo coordend de P, e ret é dit então ret coordend, ou ret dos números reis, ou simplesmente ret rel. Frequentemente, identificmos o ponto com su coordend e pensmos em um número como um ponto n ret rel. _,6 _ 7 œ π FIGURA _ 0 4

2 APÊNDICES A Os números reis são ordendos. Dizemos que é menor que e escrevemos se for um número positivo. Geometricmente, isso signific que está à esquerd de sore ret rel. (De mneir equivlente, dizemos que é mior que e escrevemos.) O símolo (ou ) signific que ou e deve ser lido como é menor ou igul. Por eemplo, são verddeirs s seguintes desigulddes: 7 7,4 7,5 A seguir, vmos precisr usr notção de conjunto. Um conjunto é um coleção de ojetos, chmdos elementos do conjunto. Se S for um conjunto, notção S signific que é um elemento de S, e S signific que não é um elemento de S. Por eemplo, se Z represent o conjunto dos inteiros, então Z, ms Z. Se S e T forem conjuntos, então su união, S T, é o conjunto que consiste em todos os elementos que estão em S ou T (ou mos, S e T). A intersecção de S e T é o conjunto S T consistindo em todos os elementos que estão em S e em T. Em outrs plvrs, S T é prte comum de S e T. O conjunto vzio, denotdo por, é o conjunto que não contém nenhum elemento. Alguns conjuntos podem ser descritos listndo-se seus elementos entre chves. Por eemplo, o conjunto A consistindo em todos os inteiros positivos menores que 7 pode ser escrito como Podemos tmém descrever A n notção construtiv de conjuntos como que deve ser lido A é o conjunto dos tl que é um inteiro e 0 7. Intervlos s A,,, 4, 5, 6 A é um inteiro e 0 7 s Certos conjuntos de números reis, denomindos intervlos, ocorrem frequentemente no cálculo e correspondem geometricmente segmentos de ret. Por eemplo, se, o intervlo erto de té consiste em todos os números entre e e é denotdo pelo símolo (, ). Usndo notção construtiv de conjuntos, podemos escrever, Oserve que s etremiddes do intervlo, isto é, e, estão ecluíds. Isso é indicdo pelos prênteses ( ) e pels olinhs vzis n Figur. O intervlo fechdo de té é o conjunto, Aqui, s etremiddes do intervlo estão incluíds. Isso é indicdo pelos colchetes [ ] e pels olinhs cheis n Figur. Tmém é possível incluir somente um etremidde em um intervlo, conforme mostrdo n Tel. FIGURA Intervlo erto (, ) FIGURA Intervlo fechdo [, ] Tel de Intervlos Notção Descrição do conjunto Ilustrção,,,,,,,,, (conjunto dos números reis) A Tel dá um list dos nove tipos possíveis de intervlos. Em todos os csos, sempre presumimos que.

3 A4 CÁLCULO É necessário tmém considerr intervlos infinitos, como, Isso não signific que ( infinito ) sej um número. A notção, represent o conjunto de todos os números miores que ; dess form, o símolo indic que o intervlo se estende indefinidmente n direção positiv. Desigulddes Qundo trlhr com desigulddes, oserve s seguintes regrs: Regrs pr Desigulddes. Se, então c c.. Se e c d, então c d.. Se e c 0, então c c. 4. Se e c 0, então c c. 5. Se 0, então. A Regr diz que podemos dicionr qulquer número mos os ldos de um desiguldde e Regr diz que dus desigulddes podem ser dicionds. Porém, devemos ter cuiddo com multiplicção. A Regr diz que podemos multiplicr mos os ldos de um desiguldde por um número positivo, ms Regr 4 diz que se multiplicrmos mos os ldos de um desiguldde por um número negtivo, então inverteremos o sentido d desigul- dde. Por eemplo, se tomrmos desiguldde 5 e multiplicr por, otemos 6 0, ms se multiplicrmos por, otemos 6 0. Por fim, Regr 5 diz que se tomrmos recíprocos, então inverteremos o sentido de um desiguldde (desde que os números sejm positivos). EXEMPLO Resolv inequção 7 5. SOLUÇÃO A desiguldde dd é stisfeit por lguns vlores de, ms não por outros. Resolver um inequção signific determinr o conjunto dos números pr os quis desiguldde é verddeir. Isto é conhecido como conjunto solução. Primeiro, sutrímos de cd ldo d desiguldde (usndo Regr com c ): 7 4 Então sutrímos 7 de mos os ldos (Regr com c 7): 6 4 Vmos dividir gor mos os ldos por 6 (Regr 4 com c 6): Esses pssos podem ser todos invertidos; dess form, o conjunto solução consiste em todos os números miores que. Em outrs plvrs, solução d inequção é o intervlo (, ). 4 6 EXEMPLO Resolv s inequções 4. SOLUÇÃO Aqui o conjunto solução consiste em todos os vlores de que stisfzem ms s desigulddes. Usndo s regrs dds em, vemos que s seguintes desigulddes são equivlentes:

4 APÊNDICES A (dicione ) (divid por ) Portnto, o conjunto solução é [, 5). EXEMPLO Resolv inequção SOLUÇÃO Primeiro vmos ftorr o ldo esquerdo: 0 Semos que equção correspondente 0 tem s soluções e. Os números e dividem o eio rel em três intervlos:,,, Em cd um desses intervlos, determinmos os sinis dos ftores. Por eemplo,,?? 0 Vmos então registrr esses sinis n seguinte tel: O método visul de resolver o Eemplo é usr um ferrment gráfic pr esoçr práol y 5 6 (como n Figur 4) e oservr que curv está sore ou io do eio qundo. Intervlo y y= -5+6 Outro método pr oter informção d tel é usr vlores-teste. Por eemplo, se usrmos o vlor-teste pr o intervlo,, então, sustituindo em 5 6, oteremos O polinômio 5 6 não mud de sinl dentro de cd um dos três intervlos; logo, concluímos que é positivo em,. Então, vemos prtir d tel que é negtivo qundo. Assim, solução d inequção 0 é,. Oserve que incluímos s etremiddes e, pois estávmos procurndo os vlores de tis que o produto fosse negtivo ou zero. A solução está ilustrd n Figur 5. EXEMPLO 4 Resolv 4. SOLUÇÃO Primeiro deimos todos os termos não nulos de um ldo do sinl de desiguldde e então ftormos epressão resultnte: 4 0 ou 4 0 Como no Eemplo, resolvemos equção correspondente 4 0 e usmos s soluções 4, 0 e pr dividir ret rel nos qutro intervlos, 4, 4, 0, 0, e,. Em cd intervlo o produto mntém um sinl constnte, conforme mostr tel: FIGURA FIGURA 5 Intervlo

5 A6 CÁLCULO _4 FIGURA 6 0 Vemos prtir d tel que o conjunto solução é 4 0 ou 4, 0, A solução está ilustrd n Figur 6. Vlor Asoluto O vlor soluto de um número, denotdo por distâncis são sempre positivs ou nuls, temos, é distânci de té 0 n ret rel. Como 0 pr todo número. Por eemplo, 0 0 s s Lemre-se de que se for negtivo, então será positivo. Em gerl, temos se 0 se 0 EXEMPLO 5 SOLUÇÃO Epresse sem usr o símolo de vlor soluto. se 0 se 0 se se Lemre-se de que o símolo s signific riz qudrd positiv de. Entãosr s signific s r e s 0. Portnto, equçãos não é sempre verddeir. Só é verddeir qundo 0. Se 0, então 0, portnto otemos s. Em vist de, temos então equção 4 s que é verddeir pr todos os vlores de. As sugestões pr s demonstrções ds proprieddes seguir serão dds nos eercícios. 5 Proprieddes dos Vlores Asolutos Suponhmos que e sejm números reis quisquer e n um inteiro. Então.. 0. n n Pr resolver s equções e s inequções envolvendo vlores solutos, é frequentemente muito útil usr s seguintes firmções. 6 Suponh 0. Então 4. se e somente se 5. se e somente se 6. se e somente se ou

6 APÊNDICES A7 Por eemplo, desiguldde diz que distânci de à origem é menor que, e você pode ver prtir d Figur 7 que isso é verddeiro se e somente se estiver entre e. Se e forem números reis quisquer, então distânci entre e é o vlor soluto d diferenç, isto é,, que tmém é igul. (Vej Figur 8.) EXEMPLO 6 Resolv. SOLUÇÃO Pel Propriedde 4 de 6, 5 é equivlente Logo, 8 ou. Assim, 4 ou. EXEMPLO 7 5 Resolv. 5 5 SOLUÇÃO Pel Propriedde 5 de, é equivlente ou _ FIGURA FIGURA 8 Comprimento de um segmento de ret= - Assim, dicionndo 5 cd ldo, temos 5 7 e o conjunto solução é o intervlo (, 7). SOLUÇÃO Geometricmente, o conjunto solução consiste em todos os números cuj distânci de 5 é menor que. Pel Figur 9, vemos que este é o intervlo (,7). EXEMPLO 8 4 Resolv. SOLUÇÃO Pels Proprieddes 4 e 6 de 6, 4 é equivlente 5 7 FIGURA 9 4 ou 4 No primeiro cso, o que result em. No segundo cso 6, o que result em. Logo, o conjunto solução é { ou }, [, ) Outr propriedde importnte do vlor soluto, denomind Desiguldde Tringulr, é frequentemente usd não pens no cálculo, ms em gerl em tod mtemátic. 7 A Desiguldde Tringulr Se e forem quisquer números reis, então Oserve que se os números e forem mos positivos ou negtivos, então os dois ldos n Desiguldde Tringulr serão relmente iguis. Ms se e tiverem sinis opostos, o ldo esquerdo envolve um sutrção, o psso que o ldo direito, não. Isso fz com que Desiguldde Tringulr preç rzoável, ms podemos demonstrá-l d form seguir. Oserve que é sempre verddeir, pois é igul ou. A firmção correspondente é Somndo-se esss desigulddes, otemos ( )

7 A8 CÁLCULO Se plicrmos gor s Proprieddes 4 e 5 (com sustituído por e por ), oteremos que é o que querímos mostrr. EXEMPLO 9 y Se 4 0, e y 7 0,, use Desiguldde Tringulr pr estimr. SOLUÇÃO A fim de usrmos informção fornecid, utilizmos Desiguldde Tringulr com 4 e y 7: y 4 y 7 4 y 7 0, 0, 0, Logo, y 0, A Eercícios Reescrev epressão sem usr o símolo de vlor soluto se 8. se Resolv inequção em termos de intervlos e represente o conjunto solução n ret rel s A relção entre s escls de tempertur Celsius e Fhrenheit é dd por C 5 9 F, onde C é tempertur em grus Celsius e F é tempertur em grus Fhrenheit. Qul é o intervlo sore escl Celsius correspondente à tempertur no intervlo 50 F 95? 40. Use relção entre C e F dd no Eercício 9 pr determinr o intervlo n escl Fhrenheit correspondente à tempertur no intervlo 0 C À medid que soe, o r seco se epnde, e o fzer isso se resfri um t de cerc de ºC pr cd 00 m de suid, té cerc de km. () Se tempertur do solo for de 0 ºC, escrev um fórmul pr tempertur um ltur h. () Que vrição de tempertur você pode esperr se um vião decol e tinge um ltur máim de 5 km? 4. Se um ol for tird pr cim do topo de um edifício com 0 m de ltur com velocidde inicil de 0 m/s, então ltur h cim do solo t segundos mis trde será Durnte que intervlo de tempo ol estrá no mínimo 5 m cim do solo? 4 46 Resolv equção pr Resolv inequção. h 0 0t 5t 4 6 0, 5 0,

8 APÊNDICES A Isole, supondo que, e c sejm constntes positivs. 57. c c 58. c Isole, supondo que, e c sejm constntes negtivs. 59. c 60. 0,0 6. Suponh que e. Use Desiguldde Tringulr pr mostrr que. c 6. Mostre que se, então. 6. Mostre que se, então. y 0,04 y 5 0, Use Regr pr comprovr Regr 5 de. 65. Demonstre que. [Dic: Use Equção 4.] 66. Demonstre que. 67. Mostre que se 0, então. y y 68. Demonstre que. [Dic: Use Desiguldde Tringulr com y e y.] 69. Mostre que som, diferenç e o produto dos números rcionis são números rcionis. 70. () A som de dois números irrcionis é sempre irrcionl? () O produto de dois números irrcionis é sempre irrcionl? B Geometri Anlític e Rets D mesm form que os pontos sore um ret podem ser identificdos com números reis triuindo-se eles coordends, conforme descrito no Apêndice A, tmém os pontos no plno podem ser identificdos com pres ordendos de números reis. Vmos começr desenhndo dus rets coordends perpendiculres que se interceptm n origem O de cd ret. Gerlmente um ret é horizontl com direção positiv pr direit e é chmd ret ; outr ret é verticl com direção positiv pr cim e é denomind ret y. Qulquer ponto P no plno pode ser loclizdo por um pr ordendo de números eclusivos como seguir. Desenhe s rets pelo ponto P perpendiculres os eios e y. Esss rets interceptm os eios nos pontos com s coordends e como mostrdo n Figur. Então o ponto P é triuído o pr ordendo (, ). O primeiro número é chmdo de coordend(ou sciss) do P; o segundo número é chmdo de coordend y (ou ordend) de P. Dizemos que P é o ponto com s coordends (, ) e denotmos o ponto pelo símolo P(, ). N Figur estão vários pontos com sus coordends. y y II 4 I P(, ) (_, ) 4 (, ) (5, 0) _ O III IV _ (_, _) 4 (, _4) FIGURA FIGURA Ao revertermos o processo nterior, podemos começr com um pr ordendo (, ) e chegr o ponto correspondente P. Muits vezes, identificmos o ponto com o pr ordendo (, ) e nos referimos o ponto (, ). [Emor notção usd pr um intervlo erto (, ) sej mesm usd pr o ponto (, ), você será cpz de distinguir pelo conteto qul o significdo desejdo.] Esse sistem de coordends é dito sistem coordendo retngulr ou sistem de coordends crtesins, em homengem o mtemático René Descrtes ( ), emor