Introdução à Integral Definida. Aula 04 Matemática II Agronomia Prof. Danilene Donin Berticelli

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1 Introdução à Integrl Definid Aul 04 Mtemátic II Agronomi Prof. Dnilene Donin Berticelli

2 Áre Desde os tempos mis ntigos os mtemáticos se preocupm com o prolem de determinr áre de um figur pln. O procedimento mis usdo foi o método d exustão, que consiste em proximr figur dd por meio de outrs, cujs áres são conhecids.

3 Por exemplo Podemos citr o círculo. Pr definir su áre considermos um polígono regulr inscrito de n ldos, que denotmos por P n. A áre do círculo será dd A c = n.a t onde A t = áre do polígono e n o número de polígonos inscritos. r h t

4 Como áre do polígono é áre do triângulo temos: E o perímetro do polígono é A áre do círculo será dd por A t =. h t 2 P n = n. A c = n..h t = P 2 n. h t 2 Fzendo n crescer cd vez mis, isto é, n, o polígono P n torn-se um proximção de um círculo. O perímetro p n proxim-se do comprimento d circunferênci 2πr e ltur h t proxim-se do rio r. lim A n = 2πr.r n 2 Temos: = πr², que é áre do círculo.

5 Pr definir áre de um figur pln qulquer, procedemos de form nálog. Aproximmos figur por polígonos cujs áres possm ser clculds pelos métodos d geometri elementr.

6 Consideremos gor o prolem de definir áre de um região pln S, delimitd pelo gráfico de um função contínu não negtiv y = f(x), pelo eixo dos x e por dus rets x = e x =.

7 Pr isso, fzemos um prtição do intervlo [,], isto é, dividimos o intervlo [,] em n suintervlos, escolhendo os pontos: Vej figurs ixo. N primeir sudividimos áre em qutro suintervlos. N segund sudividimos áre em oito suintervlos.

8 Considerndo: n o número de retângulos; Cd retângulo tem se x = x n x n A ltur de cd retângulo igul f x n A som ds áres dos n retângulos, que representmos por S n é dd por: S n = f x. x + f x 2. x f x n. x n = n x= f(x n ) x n Som de Riemnn

9 Podemos oservr que à medid que n cresce muito, x diminui, tornndo-se muito pequeno, e com isso som ds áres retngulres proxim-se do que intuitivmente entendemos com áre de S. Definição: Sej y = f(x) um função contínu, não negtiv e [, ]. A áre so curv de y = f(x), de té, é definid por: A = lim máx x i 0 n i= f(x i ) x i,

10 Exemplo Sej R região so curv d função f(x) = 2x + no intervlo x 3, como indic figur. 0 f(x)=2x Como clculr ess áre?

11 f(x)=2x º psso: decidir o número de intervlos n e clculr x = n. x = 3 4 = 2 2º psso: construir um tel com vlores correspondentes: x i 3/2 2 5/2 f(x i ) º psso: Clculr áre usndo Som de Riemnn: S = S = 9

12 Se continurmos sudividir região R usndo um numero cd vez mior de retângulos, s soms correspondentes se proximm cd vez mis d áre ext de A. Exemplo: umentndo o número de intervlos n e clculr x =. n x = 3 = f(x)=2x x i 5/4 3/2 7/4 2 9/4 5/2 /4 f(x i ) 3 7/2 4 9/2 5 /2 6 3/2 Clculr áre usndo Som de Riemnn: S = S =9,5

13 A Integrl Definid A áre é pens um ds muits grndezs que podem ser expresss como o limite de um som. Pr lidr com todos os csos, incluindo queles nos quis condição f x 0 não é stisfeit, usmos Integrl Definid. Integrl Definid Sej f(x) um função contínu no intervlo x. Suponh que este intervlo tenh sido dividido em n prtes iguis de lrgur x = n e sej x j um número pertencente o intervlo de ordem j, pr j =, 2,..., n. Forme som f x + f x f x n. x Conhecid como Som de Riemnn

14 A Integrl Definid Integrl Definid Neste cso, integrl definid de f(x) no intervlo x, representd pelo símolo f x dx de Riemnn qundo n, ou sej, f x dx = lim n f x + f x f x n. x é dd pelo limite d Som A função f(x) recee o nome de integrndo e os números e são chmdos de limite inferior de integrção e limite superior de integrção, respectivmente. O processo de clculr um integrl definid é chmdo de integrção definid.

15 A áre como um integrl definid Sej f(x) um função contínu e f(x) 0 no intervlo x, áre A d região R so curv y = f(x) no intervlo x é dd pel integrl definid A = f x dx R

16 O Teorem Fundmentl do Cálculo Se clculr o limite de um som fosse únic form de oter o vlor de um integrl definid, o processo de integrção provvelmente não pssri de um curiosidde mtemátic. Felizmente, existe um meio mis simples de executr o cálculo, grçs um importnte teorem que relcion integrl definid à ntiderivção. Teorem Fundmentl do Cálculo: Se função f(x) é contínu no intervlo x, f x dx = F F() Onde F(x) é ntiderivd de f(x) no intervlo x.

17 Ns plicções do teorem fundmentl, usremos notção: F x = F F() Assim, f x dx = F x = F F()

18 Exemplos ) Use o teorem fundmentl do cálculo pr determinr áre d região so curv d ret y = 2x+ no intervlo x 3. 2) Clcule s integris definids: ) (e x + x)dx 0 ) x x2 dx 4

19 Regrs pr Integris Definids Sejm f e g funções contínus no intervlo x. Nesse cso, Regr d multiplicção por um constnte: kf x dx = k f x dx onde k é um constnte Regr d som: f x + g x dx Regr d diferenç f x g x dx Regr d sudivisão: = f x dx + g x dx = f x dx g x dx f x dx = 0 f x dx = f x dx f x dx = f x dx + f x dx c c

20 Exemplos Sejm f(x) e g(x) funções contínus no intervlo 2 x 5 que stisfzem s equções: f x dx = 3 f x dx = 4 f x dx = Use s informções pr clculr s seguintes integris definids: 5 ) 2f x 3g x dx 2 ) f x dx 3 2

21 Uso d sustituição em Integris Definids Qundo usmos sustituição u = g(x) pr clculr integrl definid d form f x dx, podemos proceder de dus forms diferentes:. Usr sustituição pr oter um ntiderivd F(x) de f(x) e em seguid clculr integrl definid usndo o teorem fundmentl do cálculo. 2. Usr sustituição pr expressr o integrndo e dx em termos de u e du e sustituir os limites originis de integrção, e, por limites trnsformdo c = g() e d = g(). A integrl originl pode ser, então, clculd plicndo o teorem fundmentl do cálculo à integrl definid trnsformd.

22 Exemplos: Determine 8x(x 2 + )³ 0 usndo s dus opções citds nteriormente.

23 Exercícios ) Clcule integrl definid usndo o teorem fundmentl do cálculo: ) πdx 2 4 ) 5 2t dt 4 c) 2 u du 9 d) x 3/2 dx 4 e) e x e x dx 0 f) 3x 5 3x 2 + 2x + 5 dx 9 g) t 4 t dt 6 h) x 2 x dx 0 i) (2x + 6) 4 dx 3 j) 2 x² (x 3 +)² dx 6t k) 0 dt t l) (t + )(t 2) 6 dt