1 Funções Exponenciais

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1 Funções Eponenciis

2 8 :: MATEMÁTICA :: MÓDULO Potencição de Epoente Rel Sbemos que operção de potencição pr bse IR e epoente n IN é definid por meio de multiplicções de ftores iguis, isto é: n = n vezes Pr definir est operção pr IR e epoente n Z, isto é pr estendêl pr epoentes negtivos, não podemos usr est mesm crcterizção, pois não fz sentido dizer, por eemplo, que é igul o número multiplicdo por si mesmo vezes! Então, observmos que o comportmento d potencição de epoente n IN present um regulridde. Observe o eemplo bio, pr bse. = 6 = 8 = = Isto é, cd vez que diminuímos um unidde do epoente, dividimos por o resultdo d potencição. Se continurmos subtrindo um unidde do epoente, chegremos os números negtivos. Pr mnter regulridde cim, devemos prosseguir dividindo por o resultdo d potencição. Dest form, obtemos o seguinte resultdo: = 6 = 8 = = 0 = = / = / = /8 Pr um bse IR qulquer, temos: =... =.. =. = 0 = = / = /(. ) = /(.. ) Assim, únic mneir de definir potencição pr epoentes inteiros de form que regulridde d operção sej preservd é fzer: n = IR* n IN n Se quisermos gor estender operção pr epoentes rcionis, de form que s proprieddes conhecids sejm preservds, como devemos proceder? Observe o eemplo seguir, pr o epoente / : + = = = Por definição de riz qudrd, únic form disto contecer é se: = De form mis gerl, pr um epoente n form /q, com q IN, qulquer, devemos ter: q vezes q vezes + + q q q q q q q = = = = Portnto: q = q Se tommos um número rcionl p/q qulquer, respeitndo s proprieddes d potencição, devemos ter: p ( ) p p q q q = = = q p Observe que gor não podemos mis tomr qulquer número IR como bse, pois se for negtivo, riz pode não estr definid. Assim, devemos fzer restrição 0. A definição d potencição pr epoente rcionl é portnto: p q q p = > 0, p,q IN A etensão d potencição pr um epoente IR qulquer é um pouco mis delicd, pois devemos ser cpzes de definir, pr 0, no cso em que é um número irrcionl. Por eemplo, como clculmos o vlor de? Pr isto, devemos lembrr que é um número irrcionl, portnto su representção deciml é finit e não periódic: =, Pr fzer proimções pr o número, em gerl usmos truncmentos de su representção deciml: π p =, π p =, π p =, π p =,5 π p5 =,59 Observe que todos os números p, p, p, p,... são rcionis (por quê?). Além disso, qunto mior o número de css decimis do truncmento, melhor proimção de. Ou sej, qunto mior o índice n, mis próimo de está o número p n. Se umentrmos suficientemente o índice n, distânci

3 CAPÍTULO :: 9 entre p n e pode ficr tão pequen qunto queirmos. Assim, podemos dizer que os números p n formm um sequênci que se proim indefinidmente de, ou sej, tende. Este tipo de proimção corresponde o conceito mtemático de limite. Usmos seguinte notção: p n ou lim p n = Podemos usr est sequênci tendendo pr obter o vlor de por proimção: p n p =, p =, p =, p =,5 p 5 =,59 p n p =, = 0 p, = = p, = = p, 5 = = 00 p5, 59 = = Observndo tbel cim, vemos que, como p n é um número rcionl, então os vlores p n podem ser clculdos por meio d definição de potencição de epoente rcionl, que já conhecemos. Os vlores d colun d esquerd se proimm de, enqunto que os vlores d colun d direit se proimm de um certo vlor, que ind não conhecemos. Este vlor será definido como o vlor d potênci. De form mis gerl, definimos: Sejm um número rel positivo, um número irrcionl e p n um sequênci de números rcionis tendendo. Então definimos = lim p n. Assim, operção de potencição fic definid pr todo epoente rel. A proimção por limite grnte-nos que s proprieddes já conhecids são preservds: (i) + =. > 0,, IR (ii) = 0, R (iii). = ( ) > 0,, IR Eercícios ) Use um clculdor pr fzer proimções pr, determinndo os vlores de p n n tbel cim. ) Use o mesmo procedimento do eercício nterior pr fzer proimções pr o vlor do número. ) Use s proprieddes d potencição pr encontrr todos os vlores de IR tis que + + = 0. Sugestão: ponh em evidênci. ) Use s proprieddes d potencição pr resolver equção. = 0, pr IR. Sugestão: fç = ( ) = ( ) = 0. 5) (PUC-SP) O vlor de IR que é solução de + = 8 + é: (A) 0 (B) /5 (C) / (D) /5 (E) / 6) (FESP) Se = 6, então os vlores de são: (A) 0 e / (B) / e / (C) / e / (D) /8 e /8 (E) 0 e 7) (FEI) Pr que vlor rel de temos 8 8 =. ( + 8 )? (A) (B) / (C) (D) (E) / 8) (Mckenzie-SP) O vlor de m, m IR, que stisfz equção (8 m + ) = 0 é: (A) 8/9 (B) 6 (C) / (D) 8/9 (E) 6 9) (PUC) A riz d equção 5. 6 = 0 é: (A) 6 (B) (C) 0 (D) 8 (E) 0) (CESGRANRIO) O número de rízes de = é: (A) 0 (B) (C) (D) (E) mior que ) (CESGRANRIO) Se (, ) é solução do sistem + = som + é: = 5 (A) (B) (C) 6 (D) (E) 5

4 0 :: MATEMÁTICA :: MÓDULO A Função Eponencil Um vez definid operção de potencição pr epoentes reis, somos cpzes de definir função eponencil com domínio em IR, com bse > 0: f: IR IR Observmos que, qulquer que sej bse > 0, temos que f(0) = 0 = e que f() > 0 IR, sendo positivo ou negtivo. O resultdo de um potencição pode ser um número entre 0 e, ms nunc igul 0 ou negtivo. Assim, são proprieddes imedits ds funções eponenciis de qulquer bse: IR Por outro ldo, s funções eponenciis presentm comportmentos diferentes nos csos em que > e em que 0 < < (o cso em que = é trivil, pois função será constnte igul. Vejmos os eemplos seguir, ds funções definids por f () = e f () = (/). Vmos construir tbels de vlores pr ests funções, tomndo vlores positivos e negtivos pr. f () = f () = (/) = / = /8 (/) = = 8 = / = / (/) = = = / = / (/) = 0 0 = (/) 0 = = (/) = / = (/) = / = 8 (/) = /8 Observe que, no cso de f () = : multiplicdo pel bse ; pel bse. Assim, qundo cresce indefinidmente, tendendo +, tmbém tende + ; e qundo decresce indefinidmente, tendendo, se proim de 0. No cso de f () = (/) : multiplicdo pel bse /, isto é, é dividido por ; pel bse /, isto é, é multiplicdo por. Portnto, qundo cresce indefinidmente, tendendo +, tende 0; e qundo decresce indefinidmente, tendendo, tende +. Dest form, os gráficos ds funções f e f têm o seguinte specto: = (/) = O mesmo rciocínio vle pr um função eponencil de bse > 0 qulquer: multiplicdo pel bse ; pel bse.

5 CAPÍTULO :: Em resumo, são proprieddes d função eponencil: Se > 0: Se 0 < < : f () > 0 IR f () > 0 IR f() < pr < 0 f() < pr > 0 f() > pr > 0 f() > pr < 0 f(0) = f(0) = f() 0 qundo f() + qundo f() + qundo + f() 0 qundo + f é estritmente crescente f é estritmente decrescente Im(f) =]0, + [ Im(f) =]0, + [ Eercícios ) Considere progressão ritmétic n = + n, com n IN, cujo termo inicil é e rzão é. Considere ind função eponencil f: IR IR, definid por f() = 5. Sej n sequênci formd pels imgens de n por f, isto é, n = f( n ). Verifique que n é um progressão geométric e identifique seu termo inicil e su rzão. e) f : IR IR f) f : IR IR 5) Sej IR, > 0. Qul é relção entre os gráficos ds funções f f : IR IR definids por f () = e f () = (/)? Justifique su respost. 6) Em cd item bio, determine o mior subconjunto D IR tl que sej possível definir um função f: D IR, = f(), com lei de formção dd.. = ) Sejm n = 0 + r. n, com n IN, progressão ritmétic com termo inicil 0 IR e rzão r IR e f: IR IR função eponencil definid por f() =, com > 0. Sej n sequênci dd por n = f( n ). Verifique que n é um progressão geométric e identifique seu termo inicil e su rzão. b. = c. = ) Esboce os gráficos ds funções seguir. 7) (CESGRANRIO) O gráfico que melhor represent função f() = e é: ) f : IR IR (A) (B) b) f : IR IR (C) (D) c) f : IR IR + (E) d) f : IR IR ( )

6 :: MATEMÁTICA :: MÓDULO 8) (UNESP/99) A figur mostr os gráficos de um função eponencil = e d ret que pss pelo ponto (0, 5/) e tem inclinção 0/7. Pelo ponto C = (/, 0) pssou-se perpendiculr o eio, que cort os gráficos, respectivmente, em B e A. ) (UFF/995) Em um cidde, populção de pessos é dd por P(t) = P 0. t e populção de rtos é dd por R(t) = R 0. t, sendo o tempo medido em nos. Se em 99 hvi.000 pessos e rtos, em que no o número de rtos será igul o de pessos? Eercícios de Vestibulr 5 (0, ) A B C ) (UERJ/006) Durnte um período de oito hors, quntidde de fruts n brrc de um feirnte se reduz cd hor, do seguinte modo: - ns t primeirs hors, diminui sempre 0% em relção o número de fruts d hor nterior; - ns 8 t hors restntes, diminui 0% em relção o número de fruts d hor nterior. Supondo-se que B estej entre A e C, conforme mostr figur, e que medid do segmento AB é dd por 8/, determine o vlor de. Clcule:. o percentul do número de fruts que rest o finl ds dus primeirs hors de vend, suponto t =. 9) Esboce os gráficos de = e =. Verifique se equção = tem solução. b. o vlor de t, dmitindo que, o finl do período de oito hors, há, n brrc, % ds fruts que hvi, inicilmente. Considere log = 0,0 e log = 0,8. 0) (FUVEST/999) A equção = +, com rel, (A) não tem solução. (B) tem um únic solução entre 0 e /. (C) tem um únic solução entre / e 0. (D) tem dus soluções, sendo um negtiv e outr positiv. (E) tem mis de dus soluções. ) Encontre todos os vlores de tis que < 6. ) (UNIRIO/000) O conjunto solução d inequção 0,5 ² + < 0, é: (A) ]0,[ ], + (B) { IR O < < } (C) [, + (D) IR (E) ) (FESP) A solução d inequção 5 ² é: (A) 0 (B) 0 (C) ou (D) 0 (E) / ) (UERJ / 005) Um luno, pr clculr o ph d águ, sbendo que seu produto iônico, 5º C, corresponde 0, utilizou, por engno, seguinte fórmul: ph = log 00 [H + ]. O vlor encontrdo pelo luno foi igul : (A), (B),5 (C) 7,0 (D) 0,0 ) (UERJ/005) Um pesquisdor, interessdo em estudr um determind espécie de cobrs, verificou que, num mostr de trezents cobrs, sus msss M, em grms, erm proporcionis o cubo de seus comprimentos L, em metros, ou sej M = L, em que é um constnte positiv. Observe os gráficos bio. log M I log L log M II log L

7 CAPÍTULO :: log M III log L log M IV log L Aquele que melhor represent log M e função de log L é o indicdo pelo número: (A) I (B) II (C) III (D) IV ) (UERJ/00) Segundo lei do resfrimento de Newton, tempertur T de um corpo colocdo num mbiente cuj tempertur é T 0 obedece à seguinte relção: T = T 0 + Ke ct. Nest relção, T é medid n escl Celsius, t é o tempo medido em hors, prtir do instnte em que o corpo foi colocdo no mbiente, e k e c são constntes serem determinds. Considere um ícr contendo cfé, inicilmente 00º C, colocd num sl de tempertur 0º C. Vinte minutos depois, tempertur do cfé pss ser de 0ºC.. Clcule tempertur do cfé 50 minutos pós ícr ter sido colocd n sl. Sbendo que há risco de dnos o ouvido médio prtir de 90 db, o número de fontes d tbel cuj intensidde de emissão de sons está n fi de risco é de: (A) (B) (C) (D) 6) (UERJ/00) O logritmo deciml do número positivo é representdo por log. Então, som ds rízes de log log = 0 é igul : (A) (B) 0 (C) 000 (D) 00 7) (UFRJ/005) O número de bctéris em um cert cultur dobr cd hor. A prtir d mostr inicil, são necessáris hors pr que o número de bctéris tinj um cert quntidde Q. Clcule qunts hors são necessáris pr que quntidde de bctéris ness cultur tinj metde de Q. 8) (UFRJ/005) Considere = log e b= log +, com >. Determine log + em função de e b. b. Considerndo ln = 0,7 e ln =,, estbeleç o tempo proimdo em que, depois de ícr ter sido colocd n sl, tempertur do cfé se reduziu à metde. 5) (UERJ / 00) Sej ltur de um som, medid em decibéis. Ess ltur está relciond com intensidde do som, I, pel epressão bio, n qul intensidde pdrão, I 0, é igul 0 W/m. I β= 0 log I0 Observe tbel seguir. Nel os vlores de I form feridos distâncis idêntics ds respectivs fontes de som. Fonte de som I (W/m ) turbin,0 0 mplificdor de som,0 triturdor de lio,0 0 TV, 0 5 9) Em um cert cultur, há 000 bctéris num determindo instnte. Após 0 minutos, eistem 000 bctéris. Qunts bctéris eistirão em h, sbendo que els umentm trvés d fórmul P = P 0. e kt, em que P é o número de bctéris, t é o tempo e k velocidde de crescimento. Determine tmbém velocidde de crescimento. 0) Qundo se dministr um remédio, su concentrção no orgnismo deve oscilr entre dois níveis, pois não pode ser tão bi ponto de não fzer efeito (Ce) e não pode ser tão lt ponto de presentr efeitos indesejáveis (toicidde) o pciente (Cp). Qundo, pós um certo tempo de ministrdo o remédio, o nível de concentrção no orgnismo tinge Ce, tom-se mis um dose do mesmo, fim de elevr o nível de concentrção pr Cp. Um veterinário deve relizr um cirurgi em um cchorro com durção estimd em h. O niml pes vinte e um quilogrms e sbe-se que vinte miligrms do nestésico sódio pentobrbitl por quilogrm de peso corporl são necessários pr mnter o niml nestesido. Em cchorros, mei-vid dest drog é de 5 hors. Qul deve ser dose inicil do nestésico pr mnter o niml dormindo enqunto 5 operção se reliz? Considere =,5.

8 :: MATEMÁTICA :: MÓDULO ) (UERJ/008) Pr nlisr o crescimento de um bctéri, form inoculds 0 céluls um determindo volume de meio de cultur proprido. Em seguid, durnte 0 hors, em intervlos de hor, er medido o número totl de bctéris ness cultur. Os resultdos d pesquis estão mostrdos no gráfico bio. número de céluls 5) Um empres compnh produção diári de um funcionário recémdmitido, utilizndo um função f(d), cujo vlor corresponde o número mínimo de peçs que empres esper que ele produz em cd di (d), prtir d dt de su dmissão. Considere o gráfico uilir bio, que represent função = e.,7 = e, 0 5 0,7 0, tempo (hors) Nesse gráfico, o tempo 0 corresponde o momento do inóculo bcterino. Observe que quntidde de bctéris presentes no meio, medid cd hor, segue um progressão geométric té 5 hors, inclusive. O número de bctéris encontrdo no meio de cultur hors pós o inóculo, epresso em milhres, é igul : (A) 6 (B) 7 (C) 6 (D) 05 Utilizndo f(d) = e 0,d e o gráfico cim, empres pode prever que o funcionário lcnçrá produção de 87 peçs num mesmo di, qundo d for igul : (A) 5 (B) 0 (C) 5 (D) 0 Gbrito :: Eercícios ) ) Em um clculdor eletrônic foi digitdo, nest ordem, o e o X. Em seguid, foi digitd tecl e tecl X repetids vezes té que o resultdo no visor fosse 786. Qunts vezes o foi digitdo? ) O volume de um líquido volátil diminui 0% por hor. Após um tempo t, seu volume se reduz à metde. Qul o vlor de t? Considere log = 0, ) Num fábric, o lucro origindo pel produção de peçs é ddo em milhres de reis pel função L() = log 0 (00 + ) + k. Sbendo que não hvendo produção não há lucro, determine k. Qul o número necessário de peçs pr que o lucro sej igul mil reis? ) ) = p n p p p p p 5 n =, =, =, =, 5 =, p n 8, , ,8505 8,808 8, n,655567, , ,78790, ) = 5) (D)

9 CAPÍTULO :: 5 6) (C) 7) (E) d. 8) (A) 9) (E) 0) (C) ) (D) ) n = 5. 5 n é um progressão geométric de termo inicil 5 e rzão 5 ) n = º. ( r ) n é um progressão geométric de termo inicil º e rzão r ). b. e. f. 5) Os gráficos ds funções são s imgens simétrics um do outro, em relção o eio verticl, pois f () = / = = f ( ). c. 6). D = ], ] [, + [ b. D = [0, + [ c. D = IR* 7) (C) 8) =

10 6 :: MATEMÁTICA :: MÓDULO 9) ) B ) 8 ) hors ) k = 900 peçs 5) B A equção = tem solução. 0) (B) ) < ) (A) ) (D) ) 996 Gbrito Eercícios de Vestibulr ). 6%; b. hors ) B ) C ).,5ºC; b. 5/ h 5) B 6) D 7) h 8) +b 9) ) 8