Equações diofantinas lineares a duas e três variáveis

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1 Equções diofntins lineres dus e três vriáveis Eudes Antonio Cost Fbino F. T. dos Sntos Introdução O objetivo deste rtigo é presentr teori básic envolvid ns equções diofntins lineres dus e três incógnits e mostrr lgums plicções. Destcmos que o estudo em três incógnits é pouco explordo. Not históric Diofnto de Alexndri viveu provvelmente no século III d.c. Dele se conhecem dus obrs: Sobre números poligonis e Aritmétic. Est últim, d qul restm seis livros (segundo o prefácio o número totl de livros seri treze), é mis importnte e originl; trt-se de um coletâne de problems, n miori indetermindos, pr cuj resolução Diofnto us sempre métodos lgébricos, com o que se distingue substncilmente d mtemátic greg clássic. Devido ess su utilizção de métodos lgébricos, hoje recebem o nome de equções diofntins tods s equções polinomiis com qulquer número de incógnits, com coeficientes inteiros e cujs soluções de interesse tmbém são inteirs. Equções diofntins dus vriáveis Iniciremos est seção presentndo um problem que motiv o estudo ds equções diofntins lineres dus vriáveis e em seguid presentremos resultdos básicos envolvendo existênci e form gerl ds soluções. Problem : Escrever o número como som de dois números inteiros positivos, sendo um deles divisível por sete e o outro divisível por onze. Consideremos os números inteiros m e n, sendo m um múltiplo de 7, isto é, m = 7x e n um múltiplo de, isto é, n = y, com x e y inteiros quisquer. Sbemos que m + n =, dess form, temos que 7 x + y =. Pr resolver o problem devemos encontrr pres de coordends inteirs ( x, y) que sejm soluções d equção 7 x + y =. UFT/Arris. E-mil: eudes@uft.edu.br UFG/IME. E-mil: fbinoftds@yhoo.com.br

2 O Problem é clássico e encontr-se resolvido em [6]. Vejmos gor um problem recente, que preceu no último Exme Ncionl de Desempenho Acdêmico [ENADE 4]. Problem [ENADE 4]: Considere que os ingressos de um cinem custm R$ 9, pr estudntes e R$ 5, pr o público gerl, e que, em certo di, durnte determindo período, rrecdção ns bilheteris desse cinem foi de R$ 46,. Qunts e quis são s possíveis soluções. Consideremos os números inteiros m e n, sendo m quntidde rrecd com estudntes, isto é, m = 9x e n quntidde rrecdd com o público em gerl, isto é, n = 5y, pr x e y inteiros quisquer, quntidde de estudntes e público gerl respectivmente. Sbemos que m + n = 46, dess form, temos que 9 x + 5y = 46. Pr resolver o problem devemos encontrr pres de coordends inteirs ( x, y) que sejm soluções d equção 9 x + 5y = 46. Equções d form x + x = c, com,, x e x inteiros são chmds equções diofntins lineres dus vriáveis. De form mis gerl temos seguinte definição Definição : As equções lineres com n incógnits x i dds por x + + n xn = c, sendo,..., n e c números inteiros, são chmds de equções diofntins lineres n vriáveis. Um solução de um equção diofntin como d Definição é um n-upl ( x,..., xn ) de inteiros, tl que x + + n xn = c. Veremos que, sob determinds condições, existem infinits n-upls. Denotremos por S p = ( x,..., xn ) um solução prticulr d equção diofntin. Exemplo : Considere equção + 4y = 8, é um solução d equção; lém desse, ( 4,), (,) e ( 8, ) tmbém são soluções; n verdde esse é um exemplo de equção que possui infinits soluções. Já equção x + 4y = 7 não possui solução, pois o ldo esquerdo d equção é necessrimente pr e o ldo direito é ímpr. x. Vej que o pr ( ) Voltemos noss tenção pr o cso n =. Sejm e b inteiros, mbos não nulos e d = mdc(, b). Usremos notção x y pr designr: x divide y. Os dois resultdos seguintes encontrm-se demonstrdos em vários livros de teori dos números e serão omitidos. Proposição : Sejm e b inteiros não mbos nulos e d mdc(, b) inteiros r e s tis que r + bs = d. =. Então existem Lembremo-nos que os inteiros r e s que stisfzem identidde Proposição, não são univocmente determindos. r + bs = d d

3 Teorem (Algoritmo de Euclides): Pr quisquer, b Z, b >, existe um único pr de inteiros q e r, de mneir que = bq + r, onde r < b. A próxim proposição nos diz sob quis condições um equção diofntin liner dus vriáveis dmite solução. Proposição : A equção diofntin liner dus vriáveis x + by = c em que e b dmite solução, se e somente se, d c. Demonstrção: Se o pr de inteiros ( x, y ) é solução d equção x + by = c, vle iguldde x + by = c ; como d e d b, então d c = x + by. Reciprocmente, sbemos que d = x + by, pr um pr conveniente de inteiros ( x, y ). Por hipótese, d c ; logo c = dt, pr lgum inteiro t. Assim, c = dt = ( x + by ) t = ( xt) + b( yt), o que mostr que o pr ( x t, yt) é solução d equção considerd. Exemplo : Considere equção x + 5y =. Temos que mdc (,5) = e como, equção dd dmite solução. Vej que pelo lgoritmo de Euclides temos De () e (), temos Portnto, (, ) 5 = = () =. +. = () ( 5.) =.5 +. =..5. =. = é um solução prticulr d equção dd. Exemplo : Considere equção x + 4y = 7. Como mdc (,4) = e não é um divisor de 7, concluímos que equção dd não dmite solução. O próximo resultdo nos mostr form gerl d solução de um equção diofntin liner dus vriáveis. x, y um solução prticulr d equção diofntin x + by = c, sendo e b. Então ess equção dmite infinits soluções e o conjunto desss b soluções é S = x + t, y t, t Z. d d Demonstrção: Proposição : Sej ( )

4 Se indicrmos genericmente por ( x, y ) s soluções de x by = c x + by = c = x + by o que equivle ( x x ) ( = b y y ) = dr e b = ds, pr lgum pr de inteiros r e s, vem r( x x ) ( = s y y ) mdc ( r, s) =. Como r divide s( y y ), então ( y y ) rt +, então. Dí, dmitindo-se que, sendo r, e portnto = y y pr lgum t Z Donde y = y rt = y t. Observemos gor que d b r ( x x ) = s( y y ) = srt, logo x = x + st = x + t. d Por outro ldo, não existe dificuldde nenhum em se verificr que, pr todo t Z, o pr b x + t, y t é solução d equção dd. Isto conclui demonstrção. d d Exemplo 4: A equção x + 5y = tem como solução prticulr (,) = ( x, y ) o conjunto solução é ddo por = {( + 5t, t), t Z} = {..., (, ), (, ), ( 8, ),...}. Portnto S. Solução do Problem. N equção diofntin 9 x + 5y = 46 temos mdc ( 9,5) =, como é um divisor de 46, ssim existe solução pr equção. Temos que 9 + 5( ) =, ssim obtemos que ( 8) = 46. Portnto um solução prticulr d equção é ( 64, 8) = ( x, y ). Portnto o conjunto solução d equção é ddo por S = {( 64+ 5t, 8 t ), t Z} = {..., ( 59, 79), ( 64, 8), ( 69, 85 ),...}. Agor devemos observr que o problem dmite pens solução positiv, ou sej, devemos ter t > e 8 t >. O qul tem solução positiv pr t 8. Logo existe 5 pres de solução pr o problem, o qul listmos à seguir: t Estudntes Público gerl Totl N próxim seção, estenderemos o nosso estudo pr o cso n =. Equções diofntins três vriáveis Iniciremos est seção presentndo um problem que justific o estudo ds equções diofntins três vriáveis e depois exporemos resultdos nálogos os d seção nterior. 4

5 Problem : O senhor José desej pgr um cont no supermercdo no vlor de R$7,, usndo tickets no vlor de RS,, R$5, e R$7,. Quntos tickets de cd vlor João deverá usr? Sejm k, m e n números inteiros que representm s quntiddes de tickets de três, cinco e sete reis, respectivmente, utilizds pr pgr dívid; ssim k = x, m = 5y e n = 7z, com x, y e z inteiros. Sbemos que k + m + n = 7, dí temos que 5 x + 7y + z = 7. Pr resolver o problem, devemos encontrr terns de inteiros ( x, y, z) que sejm soluções d equção 5 x + 7 y + z = 7. Antes de começrmos nlisr s equções diofntins três vriáveis, precismos do conceito seguir. Definição : Sejm, b e c inteiros e d mdc(, b, c) d = mdc( d, c), onde d mdc(, b) =. Buscremos gor resultdos nálogos às proposições, e. Proposição 4: Sejm, b e c inteiros e d mdc(, b, c) =. O número d é ddo por =, então existem inteiros r, s e t tis que r + bs + ct = d. Demonstrção: Sej d = mdc(, b). Pel proposição, existem inteiros r e s tis que Como mdc ( b, c) = mdc( d, c) = d tis que r + bs = d (),, novmente pel proposição, existem inteiros r e t Substituindo () em (4), obtemos Assim, d r + ct = d (4) ( r bs ) r + ct = d + r r bs r + ct = d +. Fzendo r r = r e s r = s, obtemos r + bs + ct = d. Isto complet demonstrção. Os elementos r, s e t cuj existênci é grntid pel proposição nterior não estão, b = mdc, b. univocmente determindos. Algums vezes dotremos notção ( ) ( ) 5

6 Proposição 5: A equção x + by + cz = f em que, b e c dmite solução, se e somente se, mdc (, b, c) = d divide f. Demonstrção: Se tern de inteiros ( x, y, z ) é solução d equção x + by + cz = f, então x + by + cz = f. Como d, d b e d c, então d f = x + by + cz. Reciprocmente, como mdc (, b, c) = d, sbemos que f = x + by + cz, pr um tern de inteiros conveniente ( x, y, z ). Por hipótese d f, segue que f = dt, pr lgum t Z. Assim o que mostr que tern ( x t yt, zt) ( x + by + cz ) t = ( x t) + b( y t) c( z t) f = dt = +,, é solução d equção considerd. Exemplo 5: Considere equção 8 x + y + 6z =. Temos d = mdc( 8, ) = 4, d = mdc( d,6) = mdc( 4,6) = e d f =. Portnto, equção dd dmite solução. Pelo lgoritmo de Euclides, temos Substituindo (5) em (6) obtemos ( ) +. 4 ( ) + 6. = = 4 8 = (5) 6 = = 4. = (6) ( ) + 6. = [ 8. ( ) +.. ]( ) + 6. = ( ) = Portnto tern (,, ) é um solução prticulr do problem. Nosso objetivo, prtir de gor, é encontrr um solução gerl d equção x + x + x = c (7) Denotremos por d o máximo divisor comum entre, e, ou sej, d = mdc(,, ). Vmos reduzir equção nterior um equção com dus vriáveis. Suponhmos que todos os i são não nulos e que d c. Fçmos x = α u + βv e x = γ u + δv, (8) onde α, β, γ, δ são inteiros de tl form que 6

7 αδ βγ =. (9) Resolvendo o sistem em (8) pr u e v, teremos Se escolhermos u = δx βx e v = αx γx. β = (, ) e = (, ) δ, então ( β, δ ) = e ssim, podemos resolver equção (9) pr α e γ. Voltndo à equção (7) e utilizndo mudnç de vriáveis (8), encontrmos equção ( + ) u c x + α γ = Que é um equção diofntin dus vriáveis e cujs soluções já sbemos determinr. Resolução do problem : Pr resolver este problem, devemos encontrr terns de inteiros (x, y, z) que sejm soluções d equção 5x+7y+z = 7 () Como d = e 7, equção () tem solução. Temos = 5, = 7 e =. Assim, β = = = ( ) e ( = ), 7 δ = = 7,. Logo, equção (9) é dd por 7 α γ = ; um solução prticulr dest equção é ( α, γ ) = (, ). Portnto, y = u + v e z = u 7v () Assim equção () reduz-se à equção de dus vriáveis 5 x u = 7 () 5 = e 7, equção () tem solução. Um solução prticulr de () é =, pr todo inteiro t. Como (,) ( x y ) = ( 4, 7), logo su solução gerl é ( x, u) ( 4 t, 7 5t), 7

8 Agor, u = 7 5t e então t = u 7 5 ; ssim 7 + u x = () 5 Portnto, de () e (), concluímos que solução gerl d equção () é dd por com u {,,8, k,... }, v Z 7 + u 5 ( x, y, z) =, u + v,u 7v..., e k Z. Referêncis [] DOMINGUES, H. H. Fundmentos de ritmétic, São Pulo: Atul, 99. [] HUNTER, J. Number theory, New York: Interscience Publishers INC, 964. [] NIVEN, I., ZUCKERMAN, H. S. Introduccion l teori de los numeros, Editoril Limus-Wiley, S. A., 969. [4] PITOMBEIRA, J. B., ROCQUE, G. Um equção diofntin e sus resoluções. In: Revist do Professor de Mtemátic, n o 9, 99. [5] SILVA, E. F. Equções diofntins lineres. In: Revist d Olimpíd de Mtemátic do Estdo de Goiás, n o, IME UFG,. [6] SILVA, V. V. d. Números: construção e proprieddes, Goiâni: Editor UFG,. 8

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