INE Fundamentos de Matemática Discreta para a Computação

Transcrição

1 INE Fundmentos de Mtemátic Discret pr Computção 6) Relções de Ordenmento 6.1) Conjuntos Prcilmente Ordendos (Posets( Posets) 6.2) Extremos de Posets 6.3) Reticuldos 6.4) Álgers Boolens Finits 6.5) Funções Boolens

2 Elementos extremos de posets Definição: : Considere o poset (A, ) ) com ordem prcil.. Então: ) Um elemento A é chmdo de um elemento mximl de A se não existe c A c A tl que <c ( c, c). ) Um elemento A é chmdo de um elemento miniml de A se não existe c A c A tl que c< (c, c ). c Exemplos: 1. (Z( +, ): elemento miniml: : 1, mximl: : não tem 2. (R, ): elemento miniml: : não tem, mximl: : não tem 3. ({1,2,3,4}, ): elemento miniml: : 1, mximl: : 4 4. ({1,2,3,4}, ): elemento miniml: : 4, mximl: : 1

3 Elementos extremos de posets Exemplo: : Considere o poset A com o digrm de Hsse ixo: , 2 e 3 são elementos mximis de A 1, 2 e 3 são elementos minimis de A

4 Elementos extremos de posets Exemplo: : Quis elementos do poset ({2,4,5,10,12,20,25}, ) são mximis e quis são minimis? Elementos mximis: : 12, 20 e 25. Elementos minimis: : 2 e 5. Note que um poset pode ter mis do que um elemento mximl e mis do que um elemento miniml.

5 Elementos extremos de posets Teorem: : Sej (A, ) ) um poset finito e não vzio com ordem prcil.. Então A tem pelo menos um elemento mximl e o menos um elemento miniml. Prov: Sej A. Se não é mximl,, então pode-se chr 1 A com < 1. Se 1 não é mximl então pode-se chr 2 A A com 1 < 2. Este rgumento não pode ser continudo indefinidmente, pois o conjunto A é finito. Assim, eventulmente será formd seguinte cdei: < 1 < 2 < 3 <... < k-1 < k Não é possível encontrr mis lgum A A tl que k <. Logo, k é um elemento mximl de (A, ). 5

6 Algoritmo pr ordenção topológic de posets Com o conceito de elementos minimis,, pode-se estelecer um lgoritmo pr encontrr um ordenção topológic de um ddo poset finito (A, ). O lgoritmo ixo produz um vetor chmdo SORT que stisfz: SORT[1] < SORT[2] <... A relção < sore A definid dest form é um ordenção topológic de (A, ). Algoritmo SORT: 1. I 1 2. S A 3. Enqunto S. Escolh um elemento miniml do conjunto S. SORT[I] c. I I+1 d. S S - {}

7 Algoritmo pr ordenção topológic de posets Exemplo: : Sej A={,,c,d,e} e sej o digrm de Hsse de sore A ddo por: c SORT d e

8 Algoritmo pr ordenção topológic de posets Exemplo (cont.): : Sej A={,,c,d,e} e sej o digrm de Hsse de sore A ddo por: Psso 1: c e d SORT

9 Algoritmo pr ordenção topológic de posets Exemplo (cont.): : Sej A={,,c,d,e} e sej o digrm de Hsse de sore A ddo por: Psso 2: c d e SORT

10 Algoritmo pr ordenção topológic de posets Exemplo (cont.): : Sej A={,,c,d,e} e sej o digrm de Hsse de sore A ddo por: Psso 3: SORT d e c 10

11 Algoritmo pr ordenção topológic de posets Exemplo (cont.): : Sej A={,,c,d,e} e sej o digrm de Hsse de sore A ddo por: Psso 4: SORT d e c

12 Algoritmo pr ordenção topológic de posets Exemplo (cont.): : Sej A={,,c,d,e} e sej o digrm de Hsse de sore A ddo por: Psso 5: SORT d e c c e d

13 Elementos extremos de posets Definição: : Sej o poset (A, ). Então: 1) Um elemento A é chmdo de um mior elemento de A se pr todo A 2) Um elemento A é chmdo de um menor elemento de A se pr todo A. Not: : Ddo um poset (A, ), um elemento A é um mior (ou menor) elemento se e somente se ele é um menor (mior) elemento do poset dul (A, ).

14 Elementos extremos de posets Exemplo: : Determine se os posets representdos por cd um dos digrms de Hsse ixo possuem um mior elemento e um menor elemento. c d d (A) (B) (C) (D) e d d e c c c (A): menor elemento é, não tem mior elemento (B): não tem menor nem mior elemento (C): não tem menor elemento, mior elemento é d (D): menor elemento é, mior elemento é d

15 Elementos extremos em posets Exemplo: : Sej A um conjunto. Determine se há um mior elemento e um menor elemento no poset (P(A), ). ). Solução: O menor elemento é o conjunto vzio, pois T pr qulquer suconjunto T de A. O próprio prio conjunto A é o mior elemento deste poset,, pois T A sempre que T é um suconjunto de A. Exemplo: : Há um mior elemento e um menor elemento no poset (Z +, )? Solução: o inteiro 1 é o menor elemento, pois 1 n sempre que n é um inteiro positivo. Não há mior elemento, pois não existe inteiro que sej divisível l por todos os inteiros positivos. 15

16 Elementos extremos em posets Definição: : Sejm um poset (A, ) e um suconjunto B A. Então: ) um elemento A é chmdo de um cot superior ( upper ound ) ) de B, se:, pr todo B ) um elemento A é chmdo de um cot inferior ( lower ound ) ) de B, se:, pr todo B.

17 Elementos extremos em posets Exemplo: : Sej o poset A={,,c,d,e,f,g,h} com o digrm de Hsse ixo. Ache tods s cots superiores e inferiores dos seguintes suconjuntos de A: ) B 1 = {,} ) B 2 = {c,d,e} f h g B 1 não tem cots inferiores sus cots superiores são: c,d,e,f,g,h d c e s cots superiores de B 2 são: f,g,h sus cots inferiores são: c,,

18 Elementos extremos em posets Exercício: : Encontre s cots superiores e inferiores dos suconjuntos {,,c},{j,h} e {,c,d,f} no poset cujo digrm de Hsse é ddo por: g d h j f e c cots superiores de {,,c}: e,f,j,h únic cot inferior: não há cots superiores de {j,h} sus cots inferiores são:,,c,d,e,f cots superiores de {,c,d,f}: f,h,j su cot inferior é:

19 Elementos extremos em posets Oservções: Note que um suconjunto B de um poset pode ou não ter cots inferiores ou superiores (em A). Além isto, um cot superior ou inferior de B pode ou não pertencer o próprio B.

20 Menor cot superior / Mior cot inferior Definição (1): Um elemento x é chmdo de Menor Cot Superior (LUB - Lest Upper Bound ) de um suconjunto A se x é um cot superior menor do que qulquer outr cot superior de A. ou sej, x será menor cot superior de A se: x pr todo A A e x z pr todo z que sej um cot superior de A Definição (2): Um elemento y é chmdo de Mior Cot Inferior (GLB - Gretst Lower Bound ) de A se y é um cot inferior de A e z y pr todo z que sej um cot inferior de A 20

21 Menor cot superior / Mior cot inferior Exemplo: : Sej o poset A={,,c,d,e,f,g,h} com o digrm de Hsse ixo. Ache todos os LUBs e GLBs de: ) B 1 = {,} ) B 2 = {c,d,e} f h g Como B 1 não tem cots inferiores, tmém não terá GLBs LUB(B 1 ) = c d c e Como s cots inferiores de B 2 são c,,, temos que GLB(B 2 ) = c As cots superiores de B 2 são f,g,h - então, como f não é comprável com g, concluímos que B 2 não tem LUB

22 Menor cot superior / Mior cot inferior Exercício: : Encontre LUB e GLB de {,d,g}, se els existirem, no poset cujo digrm de Hsse é: g d h j f e s cots superiores de {,d,g} são: g,h então, como g<h, g é menor cot superior (LUB) c s cots inferiores de {,d,g} são:, então, como <, é mior cot inferior (GLB)

23 Menor cot superior / Mior cot inferior Exemplo: : Encontre menor cot superior e mior cot inferior dos conjuntos {3,9,12} e {1,2,4,5,10}, se els existirem, no poset (Z +, ). Solução: GLBs (miores cots inferiores): um inteiro é um cot inferior de {3,9,12} se 3,9, e 12 forem divisíveis por este inteiro os únicos inteiros deste tipo são 1 e 3 então, como 1 3, 3 é mior cot inferior de {3,9,12} únic cot inferior do conjunto {1,2,4,5,10} é o 1 portnto, 1 é mior cot inferior pr {1,2,4,5,10}

24 Menor cot superior / Mior cot inferior Exemplo (cont.): : Encontre menor cot superior e mior cot inferior dos conjuntos {3,9,12} e {1,2,4,5,10}, se els existirem, no poset (Z +, ). LUBs (menores cots superiores): um inteiro é um cot superior de {3,9,12} sse ele for divisível por 3, 9 e 12. os inteiros com est propriedde são queles divisíveis veis pelo mmc de 3, 9 e 12, que é 36. então, 36 é menor cot superior de {3,9,12} um inteiro é um cot superior pr o conjunto {1,2,4,5,10} sse ele for divisível vel por 1,2,4,5,10 os inteiros com est propriedde são queles divisíveis veis pelo mmc de 1,2,4,5,10, que é 20. então, 20 é menor cot superior de {1,2,4,5,10}

25 Elementos extremos de posets Teorem: : Sej (A, ) ) um poset.. Então um suconjunto B qulquer de A tem no máximo m um LUB e um GLB. Teorem: : Suponh que (A, ) ) e (A, ) ) são posets isomorfos so o isomorfismo f:a A.. Então tem-se que: ) se é um elemento mximl (miniml)) de (A, ), então f() é um elemento mximl (miniml)) de (A, ); ) se é o mior (menor) elemento de (A, ), então f() é o mior (menor) elemento de (A, ); c) se é um cot superior (inferior) de um suconjunto B de A, então f() é um cot superior (inferior) do suconjunto f(b) de A A d) se todo suconjunto de (A, ) ) tem LUB (GLB), então todo suconjunto de (A, ) ) tem um LUB (GLB). 25

26 Elementos extremos de posets Exemplo: : Mostre que os posets (A, ) ) e (A, ), cujos digrms de Hsse estão mostrdos ixo, não são isomórficos rficos. ' ' c c' Solução: : Os 2 posets não são isomórficos porque (A, ) ) possui um mior elemento, enqunto que (A, ) ) não possui um mior elemento. Tmém m se pode rgumentr que eles não são isomórficos porque (A, ) ) não tem um menor elemento enqunto que (A, ) ) tem.