LRE LSC LLC. Autômatos Finitos são reconhecedores para linguagens regulares. Se não existe um AF a linguagem não é regular.

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1 Lingugens Formis Nom Chomsky definiu que s lingugens nturis podem ser clssificds em clsses de lingugens. egundo Hierrqui de Chomsky, s lingugens podem ser dividids em qutro clsses, sendo els: Regulres ou Tipo 3; Livres de Contexto ou Tipo 2; ensíveis o Contexto ou Tipo ; Recursivmente Enumeráveis ou Tipo. LR LLC LC LRE Lingugens Regulres As lingugens regulres podem ser estudds ordndo os seguintes formlismos. Autômto Finito. Trt se de um reconhecedor d lingugem. Este se resume em um sistem de estdos finitos; Expressão Regulr. Trt se de um gerdor d lingugem, pois é possível trvés dest construir tods s plvrs d lingugem. Grmátic Regulr. Trt se de um gerdor d lingugem, qul é representd por regrs grmticis restrits. Autômtos Finitos (AF) Máquin de estdos finitos ou utômto finito é o modelo computcionl mis simples. Ele consiste de um conjunto finito de instruções que especific operções pr relizr um determind tref. Ele execut um processo discreto determinístico que sempre pár independente dos vlores de entrd. É utilizdo pr descrever um processo que é entendido como computável. Aplicções de Autômtos Finitos Autômtos Finitos são reconhecedores pr lingugens regulres. e não existe um AF lingugem não é regulr. Os AF s são utilizdos n nálise léxic de um compildor pr verificr escrit corret ds plvrs, ou sej, se não foi utilizdo nenhum símolo que não pertenç o d lingugem. Eles tmém podem descrever dispositivos

2 que tenhm um conjunto finito de entrds e um conjunto finito de ções serem tomds, como exemplo, máquins de vender jornl, refrigernte, etc. Um utômto finito é um máquin que lê entrd um únic vez, n qul um instrução ser executd é determind pelos estdos d máquin e símolos de entrd sendo processdos. e olhrmos o AF como um cix pret podemos ssoci lo o seguinte esquem: Plvr (sore ) Autômtos Finitos Aceit / Não ceit O AF tem como entrd um plvr sore, ele process est plvr e o finl do processmento diz se ceit ou não. Este procedimento é feito d seguinte form: o AF lê plvr de entrd símolo por símolo d esquerd pr direit. A cd instnte o AF está num estdo diferente, e cd símolo lido fz com que seu estdo mude. O processmento começ sempre com o utômto num mesmo estdo (inicil), e pós termind leitur d fit de entrd dependendo do estdo em que o AF estiver vi responder se plvr foi ceit ou não. Computdores com um extremo limite de memóri são ons exemplos de AF. O que podemos fzer com tão limitd memóri? Muit cois. Exemplo de AF: Port Automátic íd Entrd Considere que port tem dois estdos: fechd ou ert. Anlise s qutro condições:. Alguém está n entrd. 2. Alguém está n síd. 3. Alguém está n entrd e lguém está n síd 4. Ninguém está n entrd e ninguém está n síd,2,3 4 F A,2,3 O controldor d port utomátic é um computdor que tem pens um único it de memóri, que grv em qul estdo port de encontr. Um AF pode ser representdo por um digrm de estdo como o mostrdo cim. 4

3 Estudremos os utômtos como modelo mtemático de um máquin que ceit um conjunto prticulr de plvrs sore um lfeto. Existem dois tipos de AF: os Autômtos Finitos Determinístico (AFD) e os Autômtos Finitos Não Determinístico (AFND). Autômtos Finitos Determinísticos Podemos representr um AF utilizndo um digrm de estdo como dito cim. O dispositivo utilizdo pr mostrr s trnsições entre estdos é chmdo de Digrm de Trnsição de Estdos (DTE). O DTE é um grfo direciondo, onde os estdos d máquin são representdos pelos vértices do grfo, enqunto o mpemento d função de trnsição represent os rcos. Resumindo notção: Estdo inicil Estdo finl (ceitção-reconhecimento) Trnsição, sendo deve pertencer o Um AF pode ter nenhum, um ou vários estdos de ceitção. e o estdo inicil é tmém um estdo de ceitção, então máquin tmém ceit plvr vzi ( ). Considerndo que o AF sej determinístico então é necessário que pr cd símolo encontrdo no exist um trnsição sindo de cd estdo do AFD. e A é o conjunto de tods s plvrs que máquin M ceit, dizemos que A é lingugem d máquin M e escrevemos L(M) = A; dizemos que M reconhece A. Um máquin ceit muits plvrs, ms pens um lingugem. e um máquin não ceit nenhum plvr, est reconhece lingugem vzi. Pr se desenhr um AF não é necessário se lemrr de tod plvr. Por exemplo: Ddo o = {, }, desenhe um utômto que ceite plvrs com quntidde impr de s. Devemos lemrr de:. Definir estdos 2. Definir trnsições 3. Definir o estdo inicil 4. Definir estdos finis

4 PAR IM PA R DTE do Automto Finito A definição forml de um AF é dd por um quíntupl, em mtemátic um quíntupl é um conjunto de 5 elementos, {,,, δ, F}, onde: é o conjunto finito de símolos que podem estr n entrd, lfeto. é o conjunto finito (não vzio) de estdos. é o estdo inicil. deve pertencer. δ é função de trnsição de estdos. δ: x conjunto de estdos pelo lfeto que implic em outro estdo, não necessrimente igul o estdo nterior. F é o conjunto de estdos finis (ou de ceitção), F. No DTE de um AFD os nós representm os estdos ; os rótulos dos rcos são elementos do, o estdo(nó) inicil represent ; o conjunto de estdos de ceitção represent F; o rco sindo do nó i pr o nó j rotuldo represent δ(i, ) = j. O lfeto de entrd,, pr qulquer AFD é o conjunto de símolos que pode precer n fit de entrd. Cd símolo em um plvr cusrá um trnsição do estdo tul pr outro estdo n máquin. Como especificdo pel função δ, há um únic trnsição de estdo pr cd cominção de um símolo pertencente o e um estdo s pertencente. Est é origem d plvr determinístic n frse Autômto Finito Determinístico. Os vários estdos representm memóri d máquin. Desde que o número de estdos n máquin é finit, o número de situções que podem ser lemrds pel máquin tmém é finit. Est limitção de rmzenmento define plvr FINITO de Autômto Finito Determinístico. O estdo em que máquin pár, pós ter processdo plvr de entrd, pode ser o estdo finl, e neste cso plvr é ceit; ou pode ser qulquer outro estdo de, e então plvr é rejeitd. Um AFD ceit um plvr se o terminr de processr plvr estiver num estdo que pertence o conjunto de estdos finis. Um AFD não ceit um plvr se o terminr de processr plvr estiver num estdo que não pertence o conjunto de estdos finis ou se durnte o processmento lê um símolo d plvr de entrd pr o qul não existe trnsição no estdo em que se encontr.

5 ej M = (,,, δ, F) um AF e w = w w 2... w n um plvr sore. Então M ceit w se sequenci de estdos r, r, r 2,..., r n existir em com s seguintes condições:. r = 2. δ(r i, w i+ ) = r i+ 3. r n F Exemplo: ej o AF M={ {,}, {,, 2 },, δ, { }} Onde: δ(, ) = δ(, ) = 2 δ( 2, ) = δ( 2, ) = Podemos dizer que é um plvr não ceit e {; ; } são plvrs ceits do. Os utômtos finitos ind podem ser descritos trvés ds tels de Trnsição de Estdos (TTE). Um TTE é um mtriz contendo todos os estdos pertencentes (linhs) e todos os símolos do lfeto (coluns). O vlor de cd entrd d mtriz é dd pel equção ( s ) ( ) Ts = δ(s,) Exemplo: Ddo o AFD M={ {,}, {,, 2 },, δ, { }} Onde: δ(, ) = δ(, ) = 2 δ( 2, ) = δ( 2, ) = δ(, ) = δ(, ) = 2 A TTE correspondente é: δ 2 * 2 2 N tel indic o estdo inicil e * indic os estdos finis. Utilizmos extensão d função de trnsição pr mostrr se um plvr é reconhecid ou não pelo utômto. Ddo um AFD M = (,,, δ, F), extensão d função de trnsição de estdos pr M, denotd por δ*, é um função δ*: x * definid recursivmente como segue:. ( s ) ( ) δ* (s, ) = δ(s, ) 2. ( s ) δ* (s, ) = s 3. ( s ) ( w )( ) δ* (s, w) = δ* (δ(s, ), w) Exemplo: Ddo o digrm de estdos do AFD ixo

6 , 2 uponh plvr w= n fit de entrd do AFD δ* (, ) = δ* (δ(, ), ) δ* (, ) = δ* (δ(, ), ) δ* (, ) = δ* (δ(, ), ) δ* (, ) = δ* (δ(, ), ) δ* (, ) = δ* (δ(, ), ) δ* ( 2, ) = 2 Logo plvr w= é ceit por M. Exercícios Autômtos Finitos ) Constru o DTE do AFD M={ {,}, {,, 2 },, δ, { }} onde: δ(, ) = δ(, ) = 2 δ( 2, ) = δ( 2, ) = δ(, ) = δ(, ) = 2 2) Verifique se s plvrs ixo são ceits pelo AF d questão ) Desenhe o DTE do seguinte AFD M = {{,}, {,, 2, f }, s, δ, { f }} onde: δ(, ) = δ(, ) = 2 δ( 2, ) = δ( 2, ) = f δ(, ) = f δ(, ) = 2 δ( f, ) = f δ( f, ) = f 4) ej plvr w =, use Extensão d Função de Trnsição pr verificr se plvr é ceit pelo AFD d questão 3. 5) Defin lingugem dos seguintes AFDs

7 o ) Desenhe o DTE, dê descrição forml e TTE pr cd um dos seguintes AFDs. Considere = {,}. {w w começ com um e termin com um }. {w o comprimento de w é no máximo 5} c. {w w contém suplvr } d. {w w termin em } e. {w w começ com e tem comprimento impr ou começ com e tem comprimento pr} f. {w w não contenh suplvr } g. {w w contém pelo menos três s} h. {w w é qulquer plvr menos e } 7) Ddo o AFD ixo, utilizndo Extensão d Função de Trnsição verifique se s seguintes plvrs são ceits:.. c., 2

8 8) ej M = {{,}, {,, 2, 3 },, δ, {, 2 }} um AFD onde: δ(, ) = δ(, ) = δ(, ) = 3 δ(, ) = 2 δ( 2, ) = δ( 2, ) = 2 δ( 3, ) = 3 δ( 3, ) = 3 ) Desenhe o seu DTE. ) ej plvr w = n fit de entrd do AFD, use Extensão d Função de Trnsição pr verificr se plvr é ceit pelo AFD feito nteriormente. c) Qul lingugem do AFD cim? 9) Ddo = {,,c} e L(M) = {w w comece e termine com o mesmo símolo} ) Defin quíntupl do AFD ) Constru Tel de Trnsição de Estdos c) Constru o Digrm de Trnsição de Estdos d) Mostre que plvr w=c é ceit pelo utômto utilizndo definição d Extensão d Função de Trnsição ) Considere o DTE presentdo ixo: ) Descrev lingugem ceit pelo AFD ) Mostre que plvr w= é ceit por este utômto utilizndo definição d Extensão d Função de Trnsição ) Constru um AFD pr ceitr cd um ds seguintes lingugens descrits ixo. Considere que = {, }. ) o conjunto de tods s plvrs terminds em ) o conjunto de tods s plvrs com três consecutivos c) o conjunto de tods s plvrs tis que cd loco de qutro símolos consecutivos comecem pelo menos com dois s d) o conjunto de tods s plvrs que contenhm suplvr. 2) Ddo = {,,c}: L(M) = {w onde todo símolo em w sej seguido imeditmente pelo símolo c} ) Defin quíntupl do AFD ) Constru Tel de Trnsição de Estdos

9 c) Constru o Digrm de Trnsição de Estdos d) Mostre se plvr w=c é ceit ou não pelo utômto utilizndo definição d Extensão d Função de Trnsição 3) Constru AFD s que reconheçm s seguintes lingugens. Considere = {,} ) L = { w w (,,2) + e não contém 2 zeros ou 2 uns consecutivos} ) L = { w w (,) + e o quinto símolo d esquerd pr direit de w é } c) L = { i c j d i e j } d) L = { w w (,) + e w possui como suplvr } e) L = { w w (,) + e o sufixo de w é } f) L = { w ww w e w (,)* e w =2 } g) L = { w w (,) + e possui ou como suplvr }