Aula 8: Gramáticas Livres de Contexto

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1 Teori d Computção Segundo Semestre, 2014 ul 8: Grmátics Livres de Contexto DINF-UTFPR Prof. Ricrdo Dutr d Silv Veremos gor mneir de gerr s strings de um tipo específico de lingugem, conhecido como lingugem livre de contexto. s strings serão gerds por regrs que formm chmd grmátic livre de contexto. s grmátics livres de contexto são usds pr definir lingugens de progrmção bem como os seus compildores. Os elementos básicos que formm s regrs d grmátic são os símbolos terminis, formdos por elementos de um lfbeto Σ, e os símbolos não-terminis, comumente chmdos de vriáveis. Definição 8.1. Um grmátic livre de contexto é um quádrupl (V, Σ, P, S) onde V é um conjunto de vriáveis; Σ é o conjunto de símbolos terminis; P é um conjunto de regrs que são elementos do conjunto V {V Σ}, sendo, em gerl, um regr (, w) escrit como w. S V é um símbolo (um vriável) inicil. Exemplo 8.1 grmátic G = ({S, }, {, b}, P, S) com o conjunto P de regrs S b b ger strings com um número positivo de s. Qundo temos diferentes regrs pr um mesmo símbolo, como b e, podemos simplificr escrit usndo um brr verticl pr seprr s regrs. Poerímos escrever o exemplo como b. Exemplo 8.2 O conjunto P de regrs d grmátic G = ({S, }, {, b}, P, S), do Exemplo 8.1, pode 1

2 2 ul 8: Grmátics Livres de Contexto ser simplificd como S b b. O processo fundmentl pr gerção de um string é plicção de regrs. plicção de um regr w sobre um string uv {V Σ}, produz string uwv. Os prefixo u e o sufixo v definem o contexto em que regr é plicd. Um grmátic livre de contexto é quel em que os prefixos e sufixos não definem restrições sobre qundo e onde regr pode ser plicd. Definição 8.2. Um string w {V Σ} é derivd de v {V Σ} se existe um sequênci finit de plicções de regrs que trnsformm v em w: v w 1 w 2... w n = w Ess derivção pode ser representd por v = w. Definição 8.3. Sej G = (V, Σ, P, S) um grmátic livre de contexto e v {V Σ}. O conjunto de strings deriváveis de v é definido como Bse: v é derivável de v; Psso: Se u = xy é derivável de v e w P, então xwy é derivável de v. Exemplo 8.3 Um derivção d string bb n grmátic G = ({S, }, {, b}, P, S) com o conjunto P de regrs S b b.

3 ul 8: Grmátics Livres de Contexto 3 pode ser escrit como S b b b bb bb bb derivção de um string pode tmbém ser visulizd como um árvore. Definição 8.4. Sej G = (V, Σ, P, S) um grmátic livre de contexto e S = w um derivção de G. árvore de derivção de S = w, pode ser construíd d seguinte form 1. Inici árvore com riz S. 2. Se x 1 x 2... x n com x i {V Σ} é regr de derivção plicd à string uv, então dicione x 1, x 2,..., x n como nós filhos de n árvore. 3. Se λ é regr de derivção plicd à string uv, então dicione λ como filho de n árvore Exemplo 8.4 Um derivção d string bb n grmátic G = ({S, }, {, b}, P, S) com o conjunto P de regrs S b b. pode ser visulizd como

4 4 ul 8: Grmátics Livres de Contexto S S b b b b b bb bb bb Definição 8.5. Sej G = (V, Σ, P, S) um grmátic livre de contexto, lingugem de G, L(G), é o conjunto {w Σ S = w}. Um lingugem é livre de contexto se existe um grmátic livre de contexto que ger. Exemplo 8.5 Sej grmátic G = ({S, B}, {, b}, P, S) com conjunto P S S B B bb b então L(G) = { n b m n n > 0, m > 0}. Exemplo 8.6 Dd lingugem L = { n b m c m d 2n n 0, m > 0}. grmátic G tl que L(G) = L é dd por G = ({S, B}, {, b}, P, S) com conjunto P S Sdd B B bbc bc. Note que derivção dd nos Exemplos 8.3 e 8.4 não é únic. Podemos derivr um mesm string fzendo escolhs diferentes pr plicção ds regrs e pr ordem em que são plicds. Exemplo 8.7 Diferentes derivções d string bb n grmátic G = ({S, }, {, b}, P, S) com o

5 ul 8: Grmátics Livres de Contexto 5 conjunto P de regrs S b b. S S S S b b b b b b b b bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb Definição 8.6. derivção de um string w em um grmátic G é um derivção mis à esquerd se plicção de regrs, cd psso, é relizd n primeir vriável que prece d esquerd pr direit. derivção dd no Exemplo 8.3 é um derivção mis à esquerd. Definição 8.7. derivção de um string w em um grmátic G é mbígu se existe mis de um derivção mis à esquerd. Um grmátic G é mbígu se lgum string possui um derivção mbígu. Exemplo 8.8 Sej grmátic G = ({E}, {, +,, (, )}, P, E) com o conjunto P de regrs E E + E E E (E). e s seguintes derivções d string +

6 6 ul 8: Grmátics Livres de Contexto E E + E + E + E E + E + S E E E + E E + E E + E +. Como existem dus derivções mis à esquerd diferentes, grmátic é mbígu. mbiguidde reflete em como s expressões são vlids, podendo gerr resultdos errdos, que não respeitm ordens de precedênci. grmátic G = ({E, T, F }, {, +,, (, )}, P, E) com o conjunto P de regrs E E + T T T T F F F (E) não é mbígu pr s mesms strings de G. Grmátics não mbígus são essenciis pr definição de lingugens e pr construção de compildores. No entnto, existem lingugens inerentemente mbígus. Às vezes é interessnte que grmátic estej num form simplificd. mis comum é form de Chomsky. Definição 8.8. Um grmátic livre de contexto está n form norml de Chomsky se s regrs estão em um ds forms: BC S λ onde, B, C V, Σ e B, C são diferentes de S. s grmátics regulres germ lingugens livres de contexto enqunto PD s reconhecem s mesms lingugens. Definição 8.9. reconhece L. Um lingugem L é livre de contexto se existe um existe um PD que

7 ul 8: Grmátics Livres de Contexto 7 Definição Um lingugem L é livre de contexto se existe um grmátic livre de contexto que gere L. Exercício 8.1. Sej grmátic G = ({S, }, {, b, c, d}, P, S) com regrs P S bsc cd cd. ) Mostre derivção de bbccddcc. b) Mostre árvore de derivção pr string do item nterior. c) Defin qul lingugem gerd usndo notção de conjuntos. Exercício 8.2. Sej grmátic G = ({S,, B}, {, b}, P, S) com regrs P S SB λ b λ bb b. ) Mostre um derivção mis à esquerd de bbb. b) Mostre um derivção mis à direit de bbbbbb. c) Mostre s árvores de derivção pr s derivções dos itens nteriores. d) Defin qul lingugem gerd usndo notção de conjuntos. Exercício 8.3. Considere árvore de derivção bixo. S B B b ) Mostre um derivção mis à esquerd correspondente à derivção d árvore. b) Mostre um derivção mis à direit correspondente à derivção d árvore. c) Defin formlmente um grmátic que ger derivção d árvore.

8 8 ul 8: Grmátics Livres de Contexto d) Defin qul lingugem gerd usndo notção de conjuntos. Exercício 8.4. Defin grmátics pr s lingugens: ) L = {{} i b j i j 0}; b) L = { i c j b i i 0, j > 0}; c) L = {{b} i {cd} j {b} j {dc} i i, j 0}; d) L = { i c j k b k d j b i i 0, j, k > 0}; e) L = { i b j i > 0, i j 2i}. Exercício 8.5. Defin grmátic sobre Σ = {, b} que gere lingugem que contém strings de tmnho ímpr.

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