Simulado OBMEP 2017 Nível 3 Ensino Médio

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1 Simuldo OBMEP 2017 Nível 3 Ensino Médio 1. ALTERNATIVA D O comprimento d mes é 8 22 = 176 centímetros; logo, o plmo de Crolin mede = 16 centímetros. 2. ALTERNATIVA C Como o multiplicr qulquer número por 0 o resultdo é 0, não contribuindo ssim pr mximizr o resultdo d expressão, devemos colocr sinis de dição dos dois ldos do 0: Entre multiplicr por 1 e somr 1, o mior resultdo é obtido no segundo cso, logo devemos tmbém colocr um sinl de dição ntes do 1: Finlmente, 2 3 é mior que e 8 9 é mior que 8 + 9, de modo que expressão que fornece o mior vlor é cujo vlor = ALTERNATIVA A Bst verificr que pós oito giros sucessivos o qudrdo menor retorn à su posição inicil. Como 2012 = , pós o 2012º giro o qudrdo cinz terá ddo 251 volts complets no qudrdo mior e mis qutro giros, prndo n posição que corresponde à lterntiv A. 4. ALTERNATIVA D Podemos orgnizr s informções num tbel: Se Andre estivesse cert, então Fernnd não certri nenhum ds informções. Logo, não é el que está cert, nem Fernnd (pelo mesmo motivo). Se Dniel estivesse cert, então Ttine tmbém nd certri. Logo Dniele e Ttine não estão certs. Se Ptríci certr tudo, s demis tmbém certrão lgum informção e, portnto, Ptríci é únic que está cert.

2 5. ALTERNATIVA D A figur mostr que os discos A e B girm no mesmo sentido, os discos B e C em sentidos opostos e os discos C e D no mesmo sentido. Assim, D gir no sentido ntihorário. Lembrmos que o perímetro p de um círculo de rio r é ddo por p = 2πr. Como o rio do disco A é qutro vezes o de D, segue que o perímetro de A tmbém é qutro vezes o perímetro de D. Logo D dá qutro volts pr cd volt de A. Usmos no rgumento cim o fto intuitivo de que os rios dos discos B e C são irrelevntes pr resolução dest questão; é interessnte mostrr isto rigorosmente. No cso gerl, podemos supor que os rios de A, B, C e D são, b, c e d, respectivmente. Se n, n b, n c e n d são os números de volts ddos pelos discos A, B, C e D, respectivmente, então n 2π = n b 2πb = n c 2πc = n d 2πd. n 2π = n d 2πd n d n = d. Se n = 1 então n d = 8 2 = ALTERNATIVA A A som de tods s fces de um cubo é = 21. A som ds fces visíveis é então igul 6 21 = 126 ( som ds fces escondids). Logo, pr que som ds fces visíveis sej máxim, devemos posicionr os cubos de modo que som dos números ds fces escondids sej mínim. Vmos minimizr ess som considerndo um cubo de cd vez, de cordo com numerção d figur o ldo. Cubo 1: há pens um fce escondid, que deve ser de número 1. Cubos 2 e 4: em cd um há três fces escondids. Desss fces, dus são oposts e somm 7; terceir fce deve ser de número 1. A som desss fces é 2 (1 + 7) = 16. Cubos3 e 6: em cd um há dus fces vizinhs escondids, que devem ser s de número 1 e 2 (como esses números não somm 7, s fces correspondentes não são oposts, logo são djcentes). Esss fces somm. Cubo 5: há dois pres de fces oposts escondids, que somm 14. Logo, som máxim possível é 126 ( ) = = ALTERNATIVA D Cd figur é formd por 3 cópis d figur nterior, posicionds de modo colocr em contto pens dois pres de qudrdinhos ds cópis ds figurs. Em consequênci, o comprimento do contorno d nov figur é igul 3 vezes o comprimento do contorno d nterior, menos 4 cm (correspondentes os ldos em contto). A tbel bixo dá o comprimento do contorno ds sucessivs figurs. Portnto, o contorno d Figur 6 mede 488 cm.

3 8. ALTERNATIVA A Escrevendo 24 como produto de inteiros positivos de tods s mneirs possíveis, podemos investigr tods s possibiliddes pr e b em b = ( + 1) (b 1) = 24 e testá-ls em b = (b + 1) ( 1) = 30 pr chr os possíveis vlores de e b. Vmos lá: Logo = 7 e b = 4, donde + b = 11. De modo mis lgébrico, podemos resolver este problem como segue. Temos b = ( + 1)(b 1) = b + b 1 = 24 e b = (b + 1)( 1) = b + b 1 = 30. Somndo ests dus expressões, obtemos 2b 2 = 54 e segue que b = 28. De modo nálogo o nterior, germos s possibiliddes (1,28), (2,14), (4,7), (7,4), (14,2) e (28,1) pr (, b) e verificmos que pens = 7 e b = 4 stisfzem b = 24 e b = 30. Alterntivmente, notmos que subtrindo b + b 1 = 24 de b + b 1 = 30 obtemos 2 2b = 6, ou sej, b = 3. Logo = b + 3 e substituindo em b = 28 temos b 2 3b 28 = 0. Est equção tem rízes b = 4 e b = 7, como só nos interess riz positiv, temos b = 4 e então = ALTERNATIVA E A expressão dd pode ser escrit como n 17 2 = , sendo n o número de prcels 17 2 que precem dentro do rdicl. Elevndo os dois ldos dess expressão o qudrdo, temos n 17 2 = , donde n = = ALTERNATIVA E Sejm R e r os rios dos semicírculos mior e menor, respectivmente; o ldo do qudrdo tem então medid 2R = 36, ou sej, R = 18. Como os centros dos semicírculos e o ponto de tngênci estão linhdos, o triângulo destcdo n figur é um triângulo retângulo de ctetos R e 2R r e hipotenus R + r. O teorem de Pitágors nos dá (R + r) 2 = R 2 + (2R r) 2. Simplificndo, obtemos 6Rr = 4R 2 e segue que r = 2 3 R = = 12 cm. 11. ALTERNATIVA A Notmos primeiro que som dos números de 1 25 é 25 (25+1) = 325; som dos números em um linh, colun ou 2 digonl [e então 325 = 65. As css brncs do tbuleiro consistem de um linh, de um colun e ds dus digonis, 6 tods se cruzndo n cs centrl. Denotndo por x o número d cs centrl e lembrndo que som dos números ds css cinzents é 104, temos x = e segue que x = 13.

4 12. ALTERNATIVA D Como n! = , tem-se n 13. Por outro ldo 13! = 13 (2 2 3) 11 (2 5) (2 3) = E, portnto = = Logo, n! = 13! = 16!, ou sej, n = 16. n! 13! = 13. ALTERNATIVA C Coloquemos origem de coordends no ponto O. O teorem de Pitágors mostr que distânci de um ponto (x, y) à origem de coordends é x 2 + y 2 ; logo, pr que (x, y) estej n região delimitd pels circunferêncis de rios 4 e 5, devemos ter 16 = 4 2 x 2 + y = 25. Observmos tmbém que se (x, y) está nest região, o mesmo se pode dizer todos os pontos d form (±x, ±y) e (±y, ±x). Assim, podemos restringir noss nálise pontos (x, y) com x, y 0, e x y. Como 16 x 2 + y 2 25, devemos ter 0 x, y 5, e estmos interessdos pens em vlores inteiros de x e y. Procedemos gor por listgem diret, e obtemos tbel seguir. 14. ALTERNATIVA A Cd um ds três pessos, em princípio, pode beber águ ou suco, logo há = 8 possibiliddes pr considerr, conforme tbel. Devemos gor nlisr s condições do problem pr decidir qul ds possibiliddes é corret. A primeir condição (se Ari pede mesm bebid que Crlos, então Brun pede águ) elimin s possibiliddes 3 e 8. A segund condição (se Ari pede um bebid diferente d de Brun, então Crlos pede suco) elimin possibilidde 2. A terceir condição (se Brun pede um bebid diferente d de Crlos, então Ari pede águ) elimin s possibiliddes 4 e 6. Até o momento, restm s possibiliddes 1, 5 e 7. e como pens um deles pede sempre mesm bebid, chegmos Ari, que sempre pede águ.

5 15. ALTERNATIVA D Vmos representr o número de sls e o número de lunos d Escol Municipl de Pirjub, no no de 2011, respectivmente, por s e por (observe que o vlor de é o mesmo pr os nos de 2011, 2012 e 2013). Como o número de lunos por sl nos nos de 2011 e 2012 é o mesmo, temos = 6 ou, equivlentemente, s+5 s 6s2 + 30s = 5. Anlogmente, como número de lunos por sl nos nos de 2012 e 2013 tmbém é o mesmo, temos 5, ou = s+10 s+5 sej, s s + 50 =. Logo 6s s = 5(s s + 50) e concluímos que o número s de sls stisfz equção s 2 45s 250 = 0 cujs soluções são s = 50 e s = 5. Como s > 0, temos s = 50. Logo, o número totl de lunos d escol é = = Outr solução envolve considerr médi m = de lunos por sl em 2011: observmos que = ms. D informção s do enuncido sobre 2012 tirmos m 6 =, ou sej, = (m 6)(s + 5); informção sobre 2013 é m 11 = s+10 s+5, ou sej, = (m 11)(s + 10). Temos então s equções ms = (m 6)(s + 5) e ms = (m 11)(s + 10), que nos dão o sistem liner 5m 6s = 30 { 10m 11s = 110 cuj solução é s = 50 e m = 63. O número de lunos é então = ms = = ALTERNATIVA B Denotremos por AF áre de um figur F e por ~ relção de semelhnç de triângulos. Sejm b medid d bse do prlelogrmo e h su ltur. Então: AABC = 24 cm 2 b h = 24 cm 2 ΔGCF~ΔGDA h 1 = b/2 h 2 b h 1 = 1 h 2 2 h 2 = 2h 1 3h 1 = h h 1 = h 3 b 2 Portnto, AGFC = h 3 = b h = 24 = cm2. D mesm form, tmbém podemos concluir que AAHE = 2 cm 2. Vmos clculr gor áre ABEF, lembrndo que triângulos semelhntes possuem áres relcionds com o qudrdo d constnte de proporcionlidde: ΔEBF~ΔABC AEBF 2 AABC = (b/2 b ) = ( ) = 1 AABC AEBF = = cm2. Agor vmos clculr áre do qudrilátero EFGH por diferenç: AEFGH = AABC AGFC AAEH AEBF = = 5 cm 2. Outr solução: ADFC = 1 4 AABCD = 6, ADEA = 1 4 AABCD = 6, ABFE = 1 8 AABCD = 3. Dí, ADEF = = 9. Temos que ΔDEF~ΔDHG e rzão entre sus lturs é 3BD/4 BD/2 = 3 2 Portnto, ADHG = 4 9 ADEF = 4. A áre procurd é diferenç 9 4 = 5 cm2.

6 17. ALTERNATIVA D Antes de chegr o centro, rnh tem s seguintes escolhs em cd vértice de um pentágono: ir direto pr o próximo nível, sem pssr pels rests do pentágono em que se encontr; cminhr no sentido horário pels rests do pentágono em que se encontr por no máximo 5 segmentos, pssndo então pr o próximo nível, e cminhr no sentido nti-horário pels rests do pentágono em que se encontr por no máximo 5 segmentos, pssndo então pr o próximo nível. Assim, em cd pentágono rnh tem 11 escolhs pr pssr pr o próximo nível; como são três os pentágonos, rnh tem um totl de = 11 3 cminhos possíveis pr chegr o centro d tei 18. ALTERNATIVA C Como o diâmetro do círculo é 2, seu rio é 1. Aplicndo o teorem de Pitágors o triângulo OMA, obtemos AM 2 = 1 2 (1 x) 2 = 2x x 2. Est é áre de um qudrdo de ldo AM = AB 2 : áre do qudrdo de ldo AB é então y = 4(2x x2 ) = 8x 4x 2. Notmos que como x vri em OR, temos 0 x 1; pr x = 0 temos y = 0 e pr x = 1 temos y = 4. O gráfico de y = 8x 4x 2 é um prábol com concvidde pr bixo, pois o coeficiente de x 2 é negtivo; este gráfico está representdo n lterntiv C. 19. ALTERNATIVA D Numermos s qutro bolinhs de 1 4, do menor pr o mior vlor. Há = 24 ordens possíveis pr retird ds bolinhs, tods igulmente prováveis. Desss retirds, Pedro fic com o prêmio de mior vlor nos seguintes csos: 1. bolinh 4 si n 3ª retird; neste cso, seu número é necessrimente mior que os ds dus primeirs; 2. bolinh 4 si n 4ª retird, desde que bolinh 3 si em um ds dus primeirs retirds (cso contrário, ou sej, se el sir n 3ª retird, Pedro ficrá com el, por seu número ser mior que o ds dus primeirs). O número de possibiliddes pr o primeiro cso é = 6. Pr o segundo cso, há 2 possibiliddes pr posição em que si bolinh 3 (1ª ou 2ª), 2 possibiliddes pr bolinh que si n 3ª posição e 1 possibilidde pr bolinh que si n 4ª retird, num totl de = 4 possibiliddes. Logo, o número de csos fvoráveis é = 10 e probbilidde de que Pedro tire o prêmio de mior vlor é = Outr solução é como segue. Pedro tir o prêmio máximo em dus situções: qundo bolinh 4 si n 3ª posição ou qundo el si n 4ª posição e bolinh 3 si em um ds dus primeirs. A probbilidde do primeiro evento é 1 4 e do segundo é = 1 6. Logo, probbilidde de ele tirr o prêmio máximo é = ALTERNATIVA E Observmos inicilmente que em qulquer qudrdinho, qundo o número de trocs de cor é um múltiplo de 3, voltmos à cor originl. Assim, pr sber, em qulquer momento, qul cor de um qudrdinho, bst conhecer o resto n divisão por 3 do número de trocs de cor. Pr isso, identificmos cd qudrdinho cinz com o número 0 (o que signific que o número de trocs de cor tem resto 0 n divisão por 3, ou sej, cor pode não ter sido trocd ou foi trocd em um número múltiplo de 3); identificmos um qudrdinho zul com o número 1 (o que signific que o número de trocs de cor tem resto 1 n divisão por 3); e, finlmente, identificmos um qudrdinho mrelo com o número 2 (o número de trocs de cor tem resto 2 n divisão por 3). Observmos gor que, sempre que trocmos cor de um qudrdinho d primeir ou d terceir colun, trocmos tmbém cor do qudrdinho seu ldo n colun do meio. Portnto, som do número de trocs de cor dos qudrdinhos de um mesm linh, que estão n primeir e terceir coluns, é igul o número de trocs de cor do

7 qudrdinho d colun do meio que está nest mesm linh. Em prticulr, o resto d divisão do número de trocs de um qudrdinho d colun do meio por 3 é igul o resto d divisão por 3 d som dos restos ds divisões por 3 do número de trocs de cores dos qudrdinhos vizinhos que estão n primeir e n terceir colun d mesm linh. Comentário nálogo vle pr os qudrdinhos d linh do meio. Esss observções nos permitem reconstruir o qudriculdo completo, conforme figur bixo. O problem não cb qui, pois ind não mostrmos que esse qudriculdo pode, de fto, ser obtido por um sequênci de Adão. Que isso de fto contece pode ser visto bixo.