QUESTÃO 1 ALTERNATIVA D. centímetros.

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1 Solução d prov d fse OBMEP 03 Nível 3 QUESTÃO O comprimento d mes é centímetros. 8 7 centímetros; logo, o plmo de Crolin mede 7 QUESTÃO ALTERNATIVA B Observemos que , ou sej, som dos lgrismos do número 03 é igul. Como , concluímos que o ldo esquerdo d iguldde dd no enuncido, que pode ser reescrito como! + ## 0 ++ "## 3 $ +! + ## 0 ++ "## 3 $ +! + ## 0 ++ "## 3 $ +! + ## 0 ++ "## 3 $ +!" # $# é formdo por 335 blocos d form , cd um contendo sinis de dição, e um bloco d form + 0 +, que contém sinis de dição. Portnto, o número totl de sinis de dição que form utilizdos n iguldde é igul QUESTÃO 3 Vmos nlisr s firmtivs um um, de cordo com figur o ldo. ) fls: o período de mior precipitção (º semestre 008) teve o mior número de csos notificdos de dengue, ms não foi o período de mior tempertur médi (º semestre 00). b) fls:o período com menor número de csos notificdos de dengue (º semestre 007) não foi o de mior tempertur médi (º semestre 00). c) fls:o período de mior tempertur médi (º semestre 00) não foi o de mior precipitção (º semestre 008). d) verddeir:o período de mior precipitção (º semestre 008) não foi o período de mior tempertur médi (º semestre 00) e teve o mior número de csos notificdos de dengue. e) fls: bst comprr o º semestre de 007 com o º semestre de 009: no primeiro precipitção é mior do que no segundo, ms o seu número de csos de dengue é menor.

2 Solução d prov d fse OBMEP 03 Nível 3 QUESTÃO ALTERNATIVA A Por um erro de revisão, solução envid às escols não correspondi ess questão. Pedimos desculps por ess flh. A som de tods s fces de um cubo é A som ds fces visíveis é então igul. Logo, pr que som ( som ds fces escondids) ds fces visíveis sej máxim, devemos posicionr os cubos de modo que som dos números ds fces escondids sej mínim. Vmos minimizr ess som considerndo um cubo de cd vez, de cordo com numerção d figur o ldo. Cubo : há pens um fce escondid, que deve ser de número. Cubos e : em cd um há três fces escondids. Desss fces, dus são oposts e somm 7; terceir fce deve ser de número. A som desss fces é ( + 7). Cubos3 e : em cd um há dus fces vizinhs escondids, que devem ser s de número e (como esses números não somm 7, s fces correspondentes não são oposts, logo são djcentes). Esss fces somm ( + ). Cubo 5: há dois pres de fces oposts escondids, que somm. Logo, som máxim possível é! (+ + + )! QUESTÃO 5 ALTERNATIVA A Vmos chmr de! e L, respectivmente, os ldos do qudrdo menor e do qudrdo mior, e de Q áre comum os dois qudrdos. Então Q corresponde 00! 5 8% d áre do qudrdo menor e 00! 73 7% 8 7! L d áre do qudrdo mior. Segue que ; logo 00 00!!$! 3 7 9! 3 $ #" L &% 8 #" &%, ou sej, L. QUESTÃO ALTERNATIVA E Sej r o rio comum ds circunferêncis. Unindo os centros A, D e G de três ds circunferêncis, como n figur o ldo, e lembrndo que ret que pss pelos centros de dus circunferêncis tngentes pss tmbém pelo ponto de tngênci, vemos que o triângulo ADG é equilátero, pois todos seus ldos medem r. Logo todos seus ângulos medem 0o; em prticulr, o ângulo centrl mede 0o. Segue que o rco preto corresponde o ângulo centrl de do comprimento d 0 30, ou sej, esse rco mede circunferênci, que é ; esse tmbém é o comprimento do rco preto. Já o rco preto corresponde um ângulo centrl de 0o; seu comprimento é então dus vezes o de um rco correspondente 0o, ou sej, é, que é tmbém o comprimento do 3 rco preto. Desse modo, o comprimento totl dos rcos pretos é + ; como som dos 3 comprimentos ds circunferêncis é, o comprimento dos rcos vermelhos é! 3.

3 Solução d prov d fse OBMEP 03 Nível 3 3 QUESTÃO 7 A primeir mrc d rod dinteir será deixd um distânci de 50! d fix de tint, ou sej, qundo est rod girr tod su circunferênci; s demis mrcs serão espçds pel mesm distânci. Est observção elimin s lterntivs (A) e (B). A mesm observção se plic às rods trseirs, nesse cso com o espçmento de 0! ; em prticulr, o espçmento entre s mrcs d rod dinteir é igul,5 vezes o espçmento entre s mrcs ds rods trseirs, o que elimin s lterntivs (C) e (E) (e tmbém (A)). Segue que lterntiv corret é (D); observmos que el obedece tods s condições cim. QUESTÃO 8 ALTERNATIVA C N tbel bixo mostrmos os restos d divisão ds nots por 3 e por resto d divisão por resto d divisão por Como médi ds três primeirs nots é um número inteiro, vemos que som ds três primeirs nots é um múltiplo de 3. A consult à tbel mostr que únic mneir de somr três restos n primeir linh de modo obter um múltiplo de 3 corresponde às nots 80, 8 e 95; logo, esss form (não necessrimente ness ordem) s três primeirs nots. De modo nálogo, o fto de que som ds qutro primeirs nots é um múltiplo de mostr que esss nots devem ser 75, 8, 95 e um entre 80 ou 8, que correspondem à únic mneir possível de somr qutro números d segund linh e obter um múltiplo de. Ms já sbemos que 80 é um ds três primeirs nots; logo s qutro primeirs nots form 75, 80, 8 e 95 e últim not foi 8.

4 Solução d prov d fse OBMEP 03 Nível 3 QUESTÃO 9 Consideremos primeiro os qutro pontos destcdos n figur o ldo. Ponto P: Encontro d ret dd com o eixo y. Ele nos inform que se Ir resolver gstr os R$ 0,00 só com chocolte el comprrá um pouco menos de kg de chocolte. Ponto S: Encontro d ret com o eixo x. Ele nos inform que se Ir quiser gstr tudo em çúcr el comprrá um pouco mis do que 3 kg de çúcr. Ponto R: Encontro d ret dd com ret y x. Este ponto nos inform que Ir pode comprr quntiddes iguis de çúcr e chocolte. Notmos que, pr qulquer outro ponto d ret dd, s quntiddes de çúcr e chocolte serão diferentes. Ponto Q: Encontro d ret dd com ret y x. Este ponto indic únic situção em que quntidde de chocolte é o dobro d quntidde de çúcr. Vmos gor às opções. A) Fls: pr pontos entre P e R ocorre extmente o contrário, ou sej, quntidde de chocolte super quntidde de çúcr. B) Fls: no ponto R s quntiddes são iguis. C) Fls: por exemplo, no ponto S todo o dinheiro seri gsto em çúcr. Logo, não se pode firmr que Elis gstou mis dinheiro em chocolte do que em çúcr. D) Verddeir: como com R$0,00 Ir pode comprr um pouco mis do que 3 kg de çúcr ou um 0 pouco menos do que kg de chocolte, segue que o quilo do chocolte cust mis que 5 0 reis e o quilo de çúcr menos que 3, reis. 3 < E) Fls: quntidde de chocolte só corresponde o dobro d quntidde de çúcr no ponto Q. Portnto, não se pode firmr que isso ocorre. QUESTÃO 0 ALTERNATIVA E Suponhmos que escd tenh comprimento AB x. N figur, os pontos A e D indicm, respectivmente, s posições dos pontos A e C pós o movimento. Como C é o ponto médio de AB, o triângulo A BD é isósceles com A B x! e A D BD x. A distânci h DE do ponto D o chão pode então ser clculd pelo teorem de Pitágors como h! x$ " # % &! ' x ' $ " # % & x '. No problem, temos x 90 cm e então h 89 7 cm.

5 Solução d prov d fse OBMEP 03 Nível 3 5 QUESTÃO ALTERNATIVA A Vmos dividir os possíveis horários de An em dois csos: () se el tem ul os sábdos e () se el não tem ul os sábdos. No cso (), el deve escolher su ul de sábdo (3 possibiliddes) e depois su ul à trde ( possibiliddes) em lgum di de segund quint ( possibiliddes). Temos então 3 horários possíveis nesse cso. No cso (), el deve escolher dois dis não consecutivos d semn ( possibiliddes), escolher um deles pr ter ul pel mnhã ( possibiliddes; utomticmente, no outro di escolhido el terá ul à trde), escolher seu horário d mnhã (3 possibiliddes) e seu horário d trde ( possibiliddes). Temos então 3 7 horários possíveis nesse cso. No totl, An tem horários possíveis pr fzer sus uls com s restrições do enuncido. QUESTÃO As figurs bixo mostrm s posições reltivs ds formiguinhs em diferentes intervlos de tempo de 0s s. 0s s s 3s 3s s s s N primeir figur, observmos que em qulquer instnte o ponto de prtid e s formiguinhs formm um triângulo equilátero; desse modo, de 0s s, distânci entre s formiguinhs é igul à distânci percorrid, ou sej, vri em cm/s. N segund figur, vemos que s formiguinhs ndm um em direção à outr e que distânci entre els decresce em cm/s; desse modo, els vão se encontrr no ponto médio do ldo do triângulo no instnte 3s. N terceir figur els já estão se fstndo à velocidde de cm/s. N qurt figur els estão retornndo o ponto de prtid e, de modo nálogo à primeir figur, distânci entre els decresce em cm/s. Logo, o gráfico que melhor represent distânci entre s dus formigs em função do tempo é o d lterntiv (D).

6 Solução d prov d fse OBMEP 03 Nível 3 QUESTÃO 3 ALTERNATIVA B N tbel bixo mostrmos como nlisr s informções do enuncido. N primeir linh, supomos que Bernrdo disse verdde; n segund, que Guto disse verdde e n terceir, que Crlos disse verdde. Guto Não foi o meu mentiu disse verdde 3 mentiu logo O celulr de Guto O celulr de Guto não O celulr de Guto Crlos Foi o meu mentiu mentiu disse verdde logo O celulr de Crlos não O celulr de Crlos não O celulr de Crlos Bernrdo Não foi o de Guto disse verdde mentiu mentiu logo O celulr de Guto não O celulr de Guto O celulr de Guto Ns dus primeirs linhs, cheg-se à conclusão de que o celulr de Guto tnto qunto não (em vermelho). Ess contrdição mostr que o único cso possível é o d terceir linh, ou sej, Crlos disse verdde e os celulres de Guto e Crlos tocrm. QUESTÃO ALTERNATIVA B As probbiliddes de obter um qudrdo cinz, um círculo brnco ou um círculo 3 preto em um lnçmento desse ddo são, respectivmente,, e. A 3 probbilidde de obter dois símbolos iguis em dois lnçmentos consecutivos é 7 então + + ; segue que probbilidde de obter dois símbolos distintos é. 8 8 Um segund solução é como segue. Os mesmos dois símbolos distintos podem ser obtidos de dus mneirs diferentes em lnçmentos consecutivos. Logo, probbilidde de obtermos um qudrdo cinz e um círculo brnco é, probbilidde de obtermos um qudrdo cinz e um círculo preto é 3 3 e probbilidde de obtermos um círculo brnco e um círculo preto é. Assim, 3 9 probbilidde de obtermos dois símbolos diferentes em lnçmentos consecutivos é

7 Solução d prov d fse OBMEP 03 Nível 3 7 QUESTÃO 5 Observmos no gráfico que distânci totl percorrid por Cláudi, e tmbém por Adilson, é de 5 km (Cláudi em hors e Adilson em 5 hors). Logo, pr determinr o horário do encontro entre eles, devemos determinr em que momento som ds distâncis percorrids é igul 5 km. Os pontos ssinldos no gráfico mostrm que às hors Cláudi e Adílson hvim percorrido, respectivmente, 0 km e 5 km; logo, foi nesse horário que eles se encontrrm. QUESTÃO ALTERNATIVA C Os triângulos ADF e DEB são semelhntes por terem ldos prlelos. A rzão entre sus áres é o qudrdo d rzão de semelhnç; como, 9 3. Como DECF é um prlelogrmo, temos 3 AF AF. Os triângulos ABC e ADF são semelhntes; CF ED e dí CF ED 3 AC AF + CF CF Logo, áre su rzão de semelhnç é AF AF AF 7 do triângulo ABC é 9 e áre de DECF é 9 ( + 9). segue que ess rzão é Um segund solução, que mostr um interessnte fto gerl, é seguinte. Os triângulos ADF, DBE e ABC são semelhntes por terem ldos prlelos. Sejm A, A e A, respectivmente, sus áres. Temos então A ( A AD e A AB A + A A DB ; somndo esss igulddes, obtemos A AB ) A +A + A + A A AD + DB. Portnto, AB A A e então áre de DECF é A + A + A A! (A + A ) AA. Ou sej, áre do prlelogrmo DECF é o dobro d médi geométric ds áres dos triângulos ADF e DBE. No nosso problem temos A e A 9, logo áre de DECF é! 9. QUESTÃO 7 ALTERNATIVA A Chmemos de n o número de mneirs diferentes que Pulo pode pintr bndeir, de cordo com s condições do enuncido, usndo pelo menos 3 cores dentre s cores disponíveis, e de n o número de mneirs diferentes que Pulo pode pintr bndeir usndo 3 cores diferentes, dentre s que ele dispõe. A respost o nosso problem será n n n. Vmos supor que Pulo pinte bndeir n n Por outro 3 mneirs diferentes de escolher trios de cores diferentes, temos que sequênci ABCCB A. Pelo princípio multiplictivo, temos ldo, pr cd trio de cores diferentes temos pintr bndeir. Como Pulo tem mneirs diferentes de n 9. Logo n

8 Solução d prov d fse OBMEP 03 Nível 3 8 QUESTÃO 8 Vmos representr o número de sls e o número de lunos d Escol Municipl de Pirjub, no no de 0, respectivmente, por s e por (observe que o vlor de é o mesmo pr os nos de 0, 0 e ou, s+5 s equivlentemente, s + 30s 5. Anlogmente, como número de lunos por sl nos nos de 0 e 5, ou sej, s + 5s Logo 03 tmbém é o mesmo, temos s + 0 s + 5 s + 30s 5(s + 5s + 50) e concluímos que o número s de sls stisfz equção s! 5s! 50 0, cujs soluções são s 50 e s 5. Como s > 0, temos s 50. Logo, o número totl de lunos d escol é ). Como o número de lunos por sl nos nos de 0 e 0 é o mesmo, temos de lunos por sl em 0; observmos que ms. s D informção do enuncido sobre 0 tirmos m, ou sej, (m )(s + 5) ; informção s+5 sobre 03 é m, ou sej, (m )(s + 0). Temos então s equções ms (m )(s + 5) s + 0 e ms (m )(s + 0), que nos dão o sistem liner Outr solução envolve considerr médi m 5m s 30 0m s 0 cuj solução é s 50 e m 3. O número de lunos d escol é então ms (grdecemos o professor José Luiz dos Sntos por sugerir est solução).

9 Solução d prov d fse OBMEP 03 Nível 3 9 QUESTÃO 9 ALTERNATIVA B Sejm r e R, respectivmente, os rios ds circunferêncis menor e mior, e S o centro d circunferênci menor. Notmos primeiro que r PB AB R, donde tirmos R r +. No triângulo retângulo SOQ temos SQ r, OQ OC! 3 R! 3 r! e OS OB! SB R! r. O teorem de Pitágors nos dá r (r! ) + r! r + 5 ou sej, r e segue que r 5, 5,5. QUESTÃO 0 ALTERNATIVA E Observmos inicilmente que em qulquer qudrdinho, qundo o número de trocs de cor é um múltiplo de 3, voltmos à cor originl. Assim, pr sber, em qulquer momento, qul cor de um qudrdinho, bst conhecer o resto n divisão por 3 do número de trocs de cor. Pr isso, identificmos cd qudrdinho cinz com o número 0 (o que signific que o número de trocs de cor tem resto 0 n divisão por 3, ou sej, cor pode não ter sido trocd ou foi trocd em um número múltiplo de 3); identificmos um qudrdinho zulcom o número (o que signific que o número de trocs de cor tem resto n divisão por 3); e, finlmente, identificmos um qudrdinho mrelo com o número (o número de trocs de cor tem resto n divisão por 3). Observmos gor que, sempre que trocmos cor de um qudrdinho d primeir ou d terceir colun, trocmos tmbém cor do qudrdinho seu ldo n colun do meio. Portnto, som do número de trocs de cor dos qudrdinhos de um mesm linh, que estão n primeir e terceir coluns, é igul o número de trocs de cor do qudrdinho d colun do meio que está nest mesm linh. Em prticulr, o resto d divisão do número de trocs de um qudrdinho d colun do meio por 3 é igul o resto d divisão por 3 d som dos restos ds divisões por 3 do número de trocs de cores dos qudrdinhos vizinhos que estão n primeir e n terceir colun d mesm linh. Comentário nálogo vle pr os qudrdinhos d linh do meio. Esss observções nos permitem reconstruir o qudriculdo completo, conforme figur bixo. O problem não cb qui, pois ind não mostrmos que esse qudriculdo pode, de fto, ser obtido por um sequênci de Adão. Que isso de fto contece pode ser visto bixo.