Solução da prova da 1 fase OBMEP 2013 Nível 1

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1 Solução d prov d fse OBMEP 0 Nível QUESTÃO Qundo brir fit métric, Don Céli verá o trecho d fit representdo n figur; mnch cinzent corresponde à porção d fit que estv em volt d cintur de Mrt. A medid d cintur de Mrt é distânci entre os pontos mrcdos com 77 e, ou sej, é 77 = 5 cm. QUESTÃO O mior número de três lgrismos diferentes é 987 e o menor número de três lgrismos diferentes é 0 (observmos que o lgrismo 0 não pode precer n cs ds centens). A diferenç entre esses números é = 885. QUESTÃO A únic mneir de somr três números distintos entre,,,, e 5 e obter o resultdo 6 é + + = 6. Logo os crtões com s letrs O, B e E têm, em seu verso, os números, ou (não necessrimente ness ordem). Ao olhr pr o verso dos crtões com s letrs O e P, Cetno vê no verso do crtão O um dos números, e. Observndo s soms + 7 = 8, + 6 = 8 e + 5 = 8, e lembrndo que o número no verso do crtão P é no máximo 5, vemos que os números no verso dos crtões O e P são, respectivmente, e 5. Rest o número, que é o que está no verso do crtão M. QUESTÃO Em cd um ds nove primeirs coluns d tbel, o número d primeir linh é sempre dus uniddes mior que o d segund linh. Logo, nesss coluns, segund linh super primeir por um totl de 8 uniddes. Portnto, pr que som ds dus linhs sej igul, o número ser colocdo n cs zul deve ser 0 8 = 995. Outr solução equivlente é notr que os números de 7 estão repetidos ns dus linhs; diferenç entre els é então = 995, que é número que está escondido. QUESTÃO 5 A tbel bixo mostr s possíveis iddes d professor, clculds prtir d respost de cd menin e dos erros, e 5 nos pr mis ou pr menos: An Betriz Celin Errou em 0,, 7 8, Errou em 9, 5, 8 7, Errou em 5 7, 7 0, 0 5, 5 O único número que prece ns três linhs e ns três coluns é 7; logo, ess é idde d professor.

2 Solução d prov d fse OBMEP 0 Nível QUESTÃO 6 Como s fixs são retângulos de mesms dimensões, els têm mesm áre, que é 6 = m. Segue que: n fix inferior, áre de cd prte é = 6m ; ess é áre d prte cinz; n fix do meio, áre de cd prte é = ; s dus prtes cinzs têm então áre totl igul = 8m ; n fix do cim, áre de cd prte é = ; s três prtes cinzs têm então áre totl igul = 6m. A áre totl d região colorid de cinz é, portnto, = 0m. QUESTÃO 7 Como Abelrdo tinh extmente dois migos à su frente, o ldo d mes oposto ele tinh extmente dus pessos. Como Beto tinh um único migo à su frente, o ldo d mes oposto ele tinh extmente um pesso. Crlos tinh qutro migos à su frente, logo o ldo d mes oposto ele tinh extmente qutro pessos e Dniel tinh cinco migos à su frente, de modo que o ldo d mes oposto ele tinh cinco pessos. Como mes tem extmente qutro ldos, pode-se concluir que o número de meninos à mes er =. QUESTÃO 8 ALTERNATIVA E A tbel bixo mostr, em reis, o preço de tods s refeições possíveis: Prto Simples Prto Completo Prto Especil Suco de lrnj 8 Suco de mng 6 0 Vitmin 7 Os únicos vlores ness tbel que diferem por R$9,00 são R$0,00 e R$,00 (ssinldos em vermelho). Logo o lmoço de Betriz foi um prto simples e suco de lrnj, enqunto André pediu um prto especil e suco de mng. QUESTÃO 9 O polígono tem ldos que são segmentos verticis e que são segmentos horizontis. Seu perímetro é som dos comprimentos desses 8 segmentos; logo, o comprimento de cd segmento é 56 8 = cm. Podemos gor decompor o polígono em 5 qudrdos de cm de ldo, como n figur o ldo. A áre de cd qudrdo é = cm e do polígono é então 5 = 00 cm.

3 Solução d prov d fse OBMEP 0 Nível QUESTÃO 0 Como há lternânci de pedrs prets e brncs e mis pedrs prets do que brncs, s qutro pedrs dos cntos d piscin devem ser prets. Observndo figur o ldo, vemos que o totl de pedrs prets é 0 + (0 ) (0 ) = = 56. Alterntivmente, podemos somr o número de pedrs prets em cd ldo, obtendo = 60 e depois notr que s pedrs prets nos cntos d piscin form contds dus vezes. Isso introduz um erro de n contgem nterior; contgem corret é então 60 = 56 pedrs prets. QUESTÃO Vmos nlisr s firmtivs um um, de cordo com figur o ldo. ) fls: o período de mior precipitção (º semestre 008) teve o mior número de csos notificdos de dengue, ms não foi o período de mior tempertur médi (º semestre 00). b) fls:o período com menor número de csos notificdos de dengue (º semestre 007) não foi o de mior tempertur médi (º semestre 00). c) fls:o período de mior tempertur médi (º semestre 00) não foi o de mior precipitção (º semestre 008). d) verddeir:o período de mior precipitção (º semestre 008) não foi o período de mior tempertur médi (º semestre 00) e teve o mior número de csos notificdos de dengue. e) fls: bst comprr o º semestre de 007 com o º semestre de 009: no primeiro precipitção é mior do que no segundo, ms o seu número de csos de dengue é menor. QUESTÃO Ao somr os lgrismos ds uniddes, encontrmos 77! 7 = 59. Logo, o lgrismo ds uniddes d som é 9 e 5 deve ser diciondo à cs ds dezens. A som dos lgrismos 7 que precem ns dezens é 76 7 = 5, que somd 5 dá 585. Logo, o lgrismo ds dezens é 5. Alterntivmente, podemos observr que os lgrismos ds dezens e uniddes d som só dependem d som dos lgrismos ds uniddes e ds dezens ds prcels, ou sej, são os mesmos que os lgrismos correspondentes d som " + ## + 77!## $ = ! 77 = 5859 ; 76 vezes logo, o lgrismo ds dezens d som indicd é 9 e o ds dezens é 5.

4 Solução d prov d fse OBMEP 0 Nível QUESTÃO Crlinhos pode pintr P de verde ou mrelo. Se ele pintr o P de verde, ele poderá pintr o de zul ou de mrelo; se ele pintr o P de mrelo, ele só poderá pintr o de zul. No totl, ele pode pintr o e o P de + = mneirs diferentes. Isso feito, s outrs letrs e os outros lgrismos só podem ser pintdos de um únic cor, ou sej, Crlinhos pode pintr o letreiro de mneirs diferentes. Indicndo mrelo por A, zul por Z e verde por V, esss mneirs são VAVAVZAZA, VAVAVAZAZ e AVAVAZAZA (s letrs sublinhds indicm s cores de P e de ). QUESTÃO ALTERNATIVA E Aqui usremos os termos peso e mss como sinônimos, pr tornr o texto mis próximo d lingugem coloquil. Um melnci é constituíd de dus prtes: águ e componentes sólidos (fibrs, çúcres, etc.). Durnte desidrtção somente ocorre perd de águ; o peso dos demis componentes, ntes e depois d desidrtção, permnece o mesmo. O enuncido diz que, pós ser desidrtd, melnci pes 6 kg, dos quis 90% correspondem 6 águ; os 0% restntes, cujo peso é 6 = = 0,6 kg, correspondem os componentes 0 0 sólidos. Por outro ldo, ntes de ser desidrtd, melnci tinh 95% de águ, logo el continh 5% de componentes sólidos; como o peso desses componentes não mud, vemos que 5% do peso originl d melnci er 0,6 kg. Portnto 0%, ou sej, décim prte, do peso originl d melnci er igul, kg; logo, o peso originl d melnci er 0, = kg. A solução cim pode ser visulizd n figur seguir, que consiste de dois retângulos que representm o peso d melnci ntes e depois de ser desidrtd; em mbos, o retângulo sombredo represent o peso dos componentes sólidos. No primeiro retângulo, o pequeno retângulo sombredo corresponde 5% do peso d melnci, que corresponde então 0 desses retângulos, pois 0! 5% = 00%. Já no segundo retângulo, o pequeno retângulo sombredo corresponde 0% do peso d melnci, que corresponde então 0 desses retângulos, pois 0! 0% = 00%. Logo o peso d melnci ntes de ser desidrtd (correspondente 0 retângulos), er igul dus vezes o peso d melnci pós desidrtção (correspondente 0 retângulos), ou sej, er kg.

5 Solução d prov d fse OBMEP 0 Nível 5 QUESTÃO 5 Como L de águ enche um cnec, segue que = L de águ enchem = cnecs. Logo, = L de águ encherá = de um cnec. Outr solução pode ser obtid considerndo figur o ldo. A colun d direit, em verde, represent L de águ; cd qudrdinho corresponde L. A colun d 6 esquerd, em zul, represent cpcidde d cnec, que é de = L; 6 observmos que cd qudrdinho zul corresponde d cpcidde d cnec. Dividindo figur o meio pel linh vermelh, vemos que três qudrdos verdes ( L de águ) correspondem três qudrdos zuis ( d cpcidde d cnec). Logo, L de águ enche d cnec. QUESTÃO 6 A som de tods s fces de um cubo é =. A som ds fces visíveis é então igul 6! = 6 " ( som ds fces escondids). Logo, pr que som ds fces visíveis sej máxim, devemos posicionr os cubos de modo que som dos números ds fces escondids sej mínim. Vmos minimizr ess som considerndo um cubo de cd vez, de cordo com numerção d figur o ldo. Cubo : há pens um fce escondid, que deve ser de número. Cubos e : em cd um há três fces escondids. Desss fces, dus são oposts e somm 7; terceir fce deve ser de número. A som desss fces é (+ 7) = 6. Cubos e 6: em cd um há dus fces vizinhs escondids, que devem ser s de número e (como esses números não somm 7, s fces correspondentes não são oposts, logo são djcentes). Esss fces somm (+ ) = 6. Cubo 5: há dois pres de fces oposts escondids, que somm. Logo, som máxim possível é 6! ( ) = 6! 7 = 89.

6 Solução d prov d fse OBMEP 0 Nível 6 QUESTÃO 7 Os 0 lunos d sl podem ser divididos em qutro grupos disjuntos: SS: responderm sim às dus pergunts; SN: responderm sim à primeir pergunt e não à segund; NS: responderm sim à primeir pergunt e não à segund; NN: responderm não às dus pergunts. N figur o ldo, representmos esquemticmente s informções do enuncido: os grupos, juntos, formm turm, que tem 0 lunos; SS e SN, juntos, têm 8 lunos; NS e SS, juntos, têm lunos; NN tem 5 lunos. Como NN tem 5 lunos, os grupos NS, SS e SN têm, juntos, 0! 5 = 5 lunos. O digrm mostr que, se somrmos o número de lunos dos grupos NS e SN com dus vezes o número de lunos do grupo SS, o totl será + 8 = 50. Como o número totl de lunos desses três grupos é 5, segue que o número de lunos do grupo SS é 50! 5 = 5. QUESTÃO 8 ALTERNATIVA E O enuncido pode ser expresso, em centvos, n form AB9 8 = C 7D, onde A, B, C e D representm os lgrismos que form pgdos. O lgrismo D é o lgrismo ds uniddes de 8 =, ou sej, é ; o resultdo d multiplicção é então C7. Observmos que o resultdo, por ser múltiplo de 8, tmbém é múltiplo de 9; logo, som de seus lgrismos deve ser tmbém um múltiplo de 9. Como = 6, o único vlor possível pr C é, ou sej, o resultdo é 7. Como 7 8 = 79, concluímos que A corresponde e B corresponde 7. A som dos lgrismos pgdos é então =. QUESTÃO 9 N tbel bixo mostrmos como nlisr s informções do enuncido. N primeir linh, supomos que Bernrdo disse verdde; n segund, que Guto disse verdde e n terceir, que Crlos disse verdde. Guto Não foi o meu disse verdde logo Guto tocou Guto não tocou Guto tocou Crlos Foi o meu disse verdde logo Crlos não tocou Crlos não tocou Crlos tocou Bernrdo Não foi o de Guto disse verdde logo Guto não tocou Guto tocou Guto tocou Ns dus primeirs linhs, cheg-se à conclusão de que o celulr de Guto tnto tocou qunto não tocou (em vermelho). Ess contrdição mostr que o único cso possível é o d terceir linh, ou sej, Crlos disse verdde e os celulres de Guto e Crlos tocrm.

7 Solução d prov d fse OBMEP 0 Nível 7 QUESTÃO 0 Pr que diferenç sej mínim, os lgrismos ds dezens de milhres devem ser consecutivos. Além disso, o número formdo pelos qutro últimos lgrismos do mior número deve ser o menor possível, enqunto o formdo pelos qutro últimos lgrismos do menor deve ser o mior possível. Com qutro lgrismos distintos, o mior número que podemos formr é 9876 e o menor é 0 (note que qui podemos usr o 0, pois não estmos trblhndo com primeir posição à esquerd). Assim, os lgrismos consecutivos serem usdos pr s dezens de milhres são e 5. Os dois números são, portnto, 50 e 9876, cuj diferenç é = 7. Podemos enxergr o rgumento cim n ret numéric, d seguinte mneir. A figur seguir mostr os pontos (em vermelho) que correspondem dezens de milhres. Observmos que se dois números quisquer (em preto n figur bixo) correspondem números cujos lgrismos n cs ds dezens de milhres não são consecutivos, su diferenç é mior que Como é possível escrever dois números de cinco lgrismos usndo todos os lgrismos de 0 9 cuj diferenç é menor que 0000 (por exemplo, 096! 578= 55 ), segue que os dois desses números cuj diferenç é mínim devem ter lgrismos ds dezens de unidde consecutivos. Um vez escolhidos esses dois lgrismos, figur bixo mostr como devemos posicionr os números (em preto) n ret. Finlmente, observmos que escolh de e 5 pr cs ds dezens de unidde de nossos números permite escolher, pr os milhres do menor número, o mior número possível (9876) e, pr os milhres do mior número, o menor número possível (0). Logo nossos números são 9876 e 50, cuj diferenç é 50! 9876 = 7.