1 INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA EM CAMPOS DE GALOIS GF(2 m )

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1 INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA EM CAMPOS DE GALOIS GF m.. INTRODUÇÃO O propósito deste texto é presentr conceitução básic d álgebr em Cmpos de Glois. A bordgem usd pr presentção deste ssunto é descritiv e com vários exemplos com o objetivo de fcilitr o entendimento d estrutur lgébric de códigos de bloco lineres principlmente os BCH Bose Chudhuri e Hocquenghen e Reed-Solomom RS sem nenhum compromisso com o rigor mtemático de teorems e sus respectivs provs... CAMPOS Sej F um conjunto de elementos sobre o qul dus operções bináris dição e multiplicção são definids. F junto com s dus operções bináris é um cmpo se s seguintes condições são stisfeits:. F é um grupo comuttivo sob. O elemento identidde é o zero.. O conjunto dos elementos não zero em F é um grupo comuttivo sob. O elemento identidde é o um.. A multiplicção é distributiv sob dição i.e. pr quisquer b e c em F b c b c A prtir d definição pode-se firmr que um cmpo possui pelo menos dois elementos: o elemento identidde ditivo e o elemento identiddes multiplictivo. Outrs definições preliminres sobre um cmpo são: Ordem do cmpo: é número de elementos que compõem o cmpo. Elemento ditivo inverso de : é representdo por -. Elemento multiplictivo inverso de : é representdo por - ddo que. Subtrção em um cmpo: subtrção de um elemento por outro elemento b mbos pertencentes um cmpo é definid como b b Divisão em um cmpo: divisão de um elemento por um elemento não zero b mbos pertencentes um cmpo é definid como b b _Álgebr_VRev - Gerldo Gil R. Gomes.

2 . Introdução à Álgebr em Cmpos de Glois GF m Cmpos de Glois: é um cmpo com um número finito de elementos representdo por GFp onde p é um número primo. A prtir d definição de um cmpo um número básico de proprieddes pode ser deduzido. Esss proprieddes são: Propriedde : Pr qulquer Propriedde : Pr quisquer e b não zeros b Propriedde : Se b e b Propriedde : Pr quisquer e b em um cmpo b b b Propriedde : Pr b c b c EEMPLO Considere o conjunto { } cujs operções de dição e multiplicção módulo- são presentds ns tbels seguir. Este conjunto é um cmpo de dois elementos sob dição e multiplicção módulo- ou sej é um Cmpo de Glois GF { } EEMPLO Sej p um primo. Então {... p - } é um conjunto de elementos sob dição módulo-p.os elementos não zero {... p - } formm um conjunto comuttivo sob multiplicção módulop. A prtir ds definições de dição e multiplicção módulo-p e do fto de que multiplicção de um número rel é distributiv sobre dição então multiplicção módulo-p é distributiv sobre dição módulo-p. Portnto o conjunto {... p - } é um cmpo de ordem p sob dição e multiplicção módulo-p. Este cmpo é chmdo de cmpo primo e é representdo por GF p. Pr p tem-se o cmpo binário presentdo no Exemplo. Pr p tem-se GF { } e s operções de dição e multiplicção no cmpo são: _Álgebr_VRev - Gerldo Gil R. Gomes.

3 . Introdução à Álgebr em Cmpos de Glois GF m A subtrção e divisão em GF podem ser resumids conforme s seguintes operções Pr qulquer inteiro m é possível estender um cmpo primo GFp com p elementos pr um cmpo estendido GFp m com p.m elementos. A ordem de qulquer cmpo finito estendido é potênci de um primo. A miori ds regrs d ritmétic ordinári é plicd à ritmétic dos cmpos finitos. Ms como o cmpo é fechdo sob dição e é finito deve existir dois inteiros positivos m e n tl que m < n e Isso implic que n m i m n i i λ i onde λ é o menor positivo inteiro que stisfz iguldde e é chmdo de crcterístic do cmpo GFq. A crcterístic λ de um cmpo finito é primo. Consequentemente pr dois inteiros k e m menores do que λ pois k m i i L λ. i i i i i Portnto existem λ elementos distintos em GFq. Isso mostr que existe um cmpo GFλ sob dição e multiplicção de GFq ou sej GFλ é um subcmpo de GFq Qulquer cmpo finito GFq com crcterístic λ contém um subcmpo GFλ. Se q λ então q é um potênci de λ. Considere gor um elemento não zero em GFq. Deve existir dois inteiros positivos k e m tl que m > k e k m λ λ _Álgebr_VRev - Gerldo Gil R. Gomes.

4 . Introdução à Álgebr em Cmpos de Glois GF m multiplicndo mbos os ldos d equção por -k obtém-se m k o que implic que deve existir um inteiro n tl que n. Este vlor de n é chmdo de ordem do elemento cmpo GFq. A sequênci... se repete pós n e sus potêncis são tods distints. De fto tis potêncis formm um grupo comuttivo sob multiplicção em GFq. Um grupo é dito ser cíclico se existir um elemento no grupo cujs potêncis constituem todo o grupo. Outrs crcterístics importntes de um cmpo finito são: Sej um elemento não zero de um cmpo finito GFq. Então q. Sej um elemento não zero de um cmpo finito GFq. Sej n ordem de. Então n divide q -. Em um cmpo GFq um elemento não zero é dito ser primitivo se ordem de é q -. As potêncis de um elemento primitivo germ todos os elementos não zero de GFq. Todo cmpo finito possui um elemento primitivo EEMPLO Considere o GF { } A crcterístic deste cmpo é. Usndo tbel de multiplicção presentd no Exemplo s potêncis de são:. Portnto ordem de é e é o elemento primitivo de GF. As potêncis de em GF são:. A ordem de é que é um ftor de... ARITMÉTICA NOS CAMPOS BINÁRIOS Códigos podem ser construídos com símbolos prtir de qulquer cmpo de Glois GFq onde q é um primo p ou um potênci de p. Em gerl são construídos prtir de GF ou GF m e consequentemente ritmétic usd é binári. N ritmétic binári subtrção é igul dição. A solução de um sistem de equções bináris pode por exemplo ser resolvido d form trivil conforme mostrdo seguir. Y Z Y Z _Álgebr_VRev - Gerldo Gil R. Gomes.

5 . Introdução à Álgebr em Cmpos de Glois GF m Somndo e obtém-se Y Y Z Z Substituindo Z em obtém-se Substituindo em obtém-se Y Y Outr solução usndo determinnte de terceir ordem seri: Y Y Y Z b Z b Z b Substituindo e em obtém-se Y Z Y Z Y Z A solução pr o determinnte de terceir ordem é D D Substituindo os vlores de em obtém-se D D De cordo com regr de Crmer solução pr cd um ds vriáveis é D D D b b b DY Y D D DZ Z D Y b b b D Z b b b 8 _Álgebr_VRev - Gerldo Gil R. Gomes.

6 . Introdução à Álgebr em Cmpos de Glois GF m _Álgebr_VRev - Gerldo Gil R. Gomes. Substituindo os vlores de e o resultdo de em 8 obtém-se Z Y Z Y D Z D Y D D D D Pr o estudo de códigos de bloco lineres s operções polinomiis são de fundmentl importânci. Um plvr binári pode ser representd por um polinômio n form: n f n f f f f L Assim plvr binári onde o bit mis significtivo é o bit mis à esquerd pode ser descrit pelo polinômio f f A dição ou subtrção de dois polinômios e b pode ser feit d form b A multiplicção dos mesmos polinômios e b é obtid fzendo b

7 . Introdução à Álgebr em Cmpos de Glois GF m Evidentemente se então e b Pode-se verificr que os polinômios sobre GF stisfzem s seguintes condições:. Comuttiv:. Associtiv:. Distributiv: b b b b [ b c ] [ b ] c [ b c ] [ b ] c [ b c ] [ b ] [ c ] A divisão entre um polinômio f e um polinômio g no cso em que f possui gru mior ou igul do que g e g não é zero result em um quociente e um resto e operção pode ser escrit n form do lgoritmo de divisão de Euclides como Se por exemplo q g r f. f e g Então divisão de f por g pode ser feit conforme mostrd seguir Vej outro exemplo: quociente resto _Álgebr_VRev - Gerldo Gil R. Gomes.

8 . Introdução à Álgebr em Cmpos de Glois GF m Um polinômio f sobre GF com número pr de termos é divisível por. EEMPLO Polinômio irredutível: Um polinômio p sobre GF de gru m é dito irredutível sobre GF se ele não for divisível por nenhum outro polinômio sobre GF de gru menor que m ms mior que zero. Como exemplo os polinômios ; ;. são irredutíveis. Pr qulquer m existe um polinômio irredutível de gru m. Qulquer polinômio irredutível sobre GFde gru m divide. m Considere o polinômio. Então e verific-se que Polinômio primitivo: um polinômio irredutível p de gru m é dito primitivo se o menor positivo inteiro n pr o p divide n é n m -. Por exemplo p é irredutível e primitivo pois p divide e nenhum n pr n <. Por outro ldo p é irredutível ms não é primitivo pois lém de p dividir ele tmbém divide. Não é fácil reconhecer um polinômio primitivo. Pr um ddo m pode hver mis do que um polinômio primitivo de gru m. A tbel presentd seguir present pens um polinômio primitivo pr cd vlor de m. Os polinômios presentdos são os que possuem o menor número de termos. _Álgebr_VRev - Gerldo Gil R. Gomes.8

9 . Introdução à Álgebr em Cmpos de Glois GF m Tbel. - List de polinômios primitivos [] m p m p Um propriedde útil de polinômios sobre GF é que i i [ f ] [ f ]. EEMPLO Considere o polinômio f. Então e Logo f f f f f _Álgebr_VRev - Gerldo Gil R. Gomes.

10 . Introdução à Álgebr em Cmpos de Glois GF m _Álgebr_VRev - Gerldo Gil R. Gomes... CONSTRUÇÃO DE CAMPOS DE GALOIS GF m Considere os dois elementos e de GF um novo símbolo e operção multiplicção. Logo M L M vezes j j. D operção de multiplicção definid cim tem-se que. j i i j j i j j j j j. Agor tem-se um conjunto de elementos sobre o qul um operção é definid: } { L L j F Note que o elemento é muits vezes escrito como. Considere gor condição sobre o elemento de form que o conjunto F contém somente m elementos e está fechdo sob multiplicção definid por.. Sej p um polinômio primitivo de gru m sobre GF. Admit que p ou sej é um riz de p. Um vez que p divide m tem-se:. p m q. Substituindo por em. m m m q q p e ind. m. Portnto existe um elemento m prtir do qul os elementos do conjunto F tornm-se repetitivos ou sej torn-se finito contendo os seguintes elementos: }. { * m F L. Um vez que o subconjunto { } form um subcmpo de GF m GF é um subcmpo de GF m tmbém chmdo de bse do cmpo ground field.

11 . Introdução à Álgebr em Cmpos de Glois GF m A construção de um Cmpo de Glois prtir de um polinômio primitivo result em dois tipos de representção pr os seus elementos: representção por potênci mostrd em. e representção polinomil obtid n construção do cmpo conforme mostrd no Exemplo. EEMPLO Sej m e considere o polinômio primitivo sobre GF p. Admitindo que sej um riz do polinômio então p ou sej A prtir d relção cim pode-se construir um GF como se segue: 8 m M Tbel. - GF gerdo por p REPRESE TAÇÕES POR POTÊ CIA POLI OMIAL VETORIAL POR POTÊ CIA POLI OMIAL VETORIAL 8 Note que pelo fto dos Cmpos de Glois serem finitos lgums operções lgébrics triviis são relizds de form singulr se comprds com s operções equivlentes d álgebr comum. _Álgebr_VRev - Gerldo Gil R. Gomes.

12 . Introdução à Álgebr em Cmpos de Glois GF m A dição entre dois elemento de cmpo é mis fcilmente relizável com os elementos em su representção polinomil conforme mostrdo no Exemplo. EEMPLO Sej o GF gerdo por p. A dição entre os elementos e é Ou sej. A multiplicção entre elementos do cmpo é mis fcilmente relizd com os elementos em su representção por potênci observndo que o cmpo termin com o elemento m conforme. e que o próximo elemento seri m conforme.. Logo n operção de multiplicção entre elementos de um cmpo o expoente do elemento produto não deve exceder m - um vez que elementos com expoentes miores do que estes são elementos já existentes no cmpo. Assim qundo o expoente de um produto exceder m - deve-se reduzir o expoente pr o expoente de um elemento pertencente o cmpo e este expoente nd mis é do que o resto d divisão do expoente excedente por m -. Vej Exemplo 8. EEMPLO 8 Sej o GF gerdo por p. O elemento de ordem mis lt do cmpo é m Considere gor os elementos e. O produto entre esses dois elementos é. Note que > e ssim o expoente deve ser reduzido fzendo m - e o resto é. Logo A operção de divisão entre dois elementos do cmpo deve ser pode ser feit por meio do produto do dividendo pelo inverso do divisor lembrndo que i j i j i j. m _Álgebr_VRev - Gerldo Gil R. Gomes.

13 . Introdução à Álgebr em Cmpos de Glois GF m EEMPLO Sej o GF gerdo por p. A divisão de por.é Portnto m... PROPRIEDADES BÁSICAS DE UM CAMPO DE GALOIS GF m A seguir são presentds lgums proprieddes básics importntes de um Cmpo de Glois GF m. SOBRE AS RAÍZES DE UM POLI ÔMIO Um polinômio com coeficientes de GF pode não ter rízes em GF ms ter rízes em um cmpo de extensão GF m. EEMPLO é irredutível sobre GF entretnto ele tem rízes em GF. Dos elementos de GF ddos n Tbel. os elementos e são rízes de. Pode-se verificr isso pr fzendo 8 O mesmo se verific pr e. Pode-se verificr tmbém que: [ 8 ] [ ] 8 8 Sej f um polinômio com coeficientes de GF. Se um elemento β de GF m é um riz de f então o polinômio f tmbém tem como rízes é chmdo de conjugdo de β. l β pr qulquer l. O elemento Os m - elementos não zero de GF m formm tods s rízes de m β l _Álgebr_VRev - Gerldo Gil R. Gomes.

14 . Introdução à Álgebr em Cmpos de Glois GF m _Álgebr_VRev - Gerldo Gil R. Gomes. EEMPLO O polinômio f tem como riz o elemento do GF presentdo n Tbel. conforme mostrdo seguir. f Os conjugdos de são 8 ; ; Note que. Assim 8 são rízes de f. Podese verificr ind que e seu conjugdo são rízes de f. Portnto f possui seis rízes.distints no GF d Tbel.. SOBRE POLI ÔMIOS MÍ IMOS Sej β um elemento em GF m e sej e o menor inteiro não negtivo tl que β β e. Então e i i β φ. é um polinômio irredutível sobre GF e é chmdo de polinômio mínimo de β. O polinômio mínimo φ de um elemento β em GF m divide m EEMPLO Considere o GF gerdo por g. Sej β. Os conjugdos de β são: β β β O polinômio mínimo de β é então ] ][ [ φ φ φ φ φ

15 . Introdução à Álgebr em Cmpos de Glois GF m Todos os polinômios mínimos dos elementos do GF gerdo por g são presentdos n Tbel.. Tbel. - Polinômios mínimos dos elementos do GF gerdo por g Rízes conjugds Polinômios mínimos 8 e O gru e de um polinômio Se e é o menor inteiro tl que β β então e é tmbém o gru do polinômio mínimo φ de um elemento β em GF m. Além disso e m. Em prticulr o gru do polinômio mínimo de qulquer elemento em GF m divide m. Note que todos os grus dos polinômios mínimos dos elementos do GF presentdos n Tbel. são são ftores de. SOBRE ELEME TOS PRIMITIVOS N construção do cmpo de Glois GF m foi utilizdo um polinômio primitivo p de gru m e definido que o elemento fosse um riz de p. Um vez que s potêncis de germ todos os elementos não zero de GF m é um elemento primitivo. Se β é um elemento primitivo em GF m todos os seus conjugdos elementos primitivos de GF m. β β L são tmbém EEMPLO Considere o cmpo de Glois GF ddo pel Tbel.. As potêncis de β são β β β β β 8 β β β β 8 β β β β 8 β β 8 8 β. Observ-se clrmente que s potêncis de β germ todos os elementos não zeros de GF ssim β é um elemento primitivo de GF. Os conjugdos de β são β β β Pode-se verificr que eles são os elementos primitivos de GF m. _Álgebr_VRev - Gerldo Gil R. Gomes.

16 . Introdução à Álgebr em Cmpos de Glois GF m Se β é um elemento de ordem n em GFm todos os seus conjugdos tem mesm ordem n. Lembrr que n é o menor inteiro positivo tl que β n. EEMPLO Considere o elemento em GF gerdo por p. Um vez que então o único conjugdo de é. Ambos e tem ordem n pois. O polinômio mínimo de é cujo gru é um ftor de. Os conjugdos de são e. A ordem de todos eles é n... CÁLCULOS UTILIZANDO ARITMÉTICA DOS CAMPOS DE GALOIS GF m Nest seção serão presentdos lguns exemplos de cálculos usndo ritmétic sobre GF. EEMPLO Considere s equções lineres sobre GF gerdo por g. Y 8 Y.8. Multiplicndo. por obtém-se Y. Somndo.8 com. com o uxílio d Tbel. obtém-se Y Y Y 8 Y Y Y 8 Y. Substituindo. em.8. Alterntivmente o sistem de equções pode ser resolvido pel regr de Crmer: _Álgebr_VRev - Gerldo Gil R. Gomes.

17 . Introdução à Álgebr em Cmpos de Glois GF m Y EEMPLO Admit que se deseje resolver equção seguir sobre GF gerdo por g presentdo n Tbel.. f Não é possível plicr fórmul qudrátic porque el requer um divisão por e em GF. Se f tem lgum solução em GF solução pode ser encontrd substituindo n equção por todos os elementos do cmpo gerdo por g. Procedendo ssim encontr-se f f Assim e são rízes de f e. f Este é um procedimento de cálculo típico requerido pr decodificção de códigos tis como os BCH e Reed-Solomon... ESPAÇOS VETORIAIS Sej V conjunto de elementos sobre os quis um operção dição binári "" é definid. Considere que um operção multiplicção "" entre os elementos de um cmpo F e os elementos de V sej tmbém definid. O conjunto V é um espço vetoril sobre o cmpo F se s seguintes condições forem stisfeits: _Álgebr_VRev - Gerldo Gil R. Gomes.

18 . Introdução à Álgebr em Cmpos de Glois GF m. V é um grupo comuttivo sob dição.. Pr qulquer elemento em F e qulquer elemento v em V v é um elemento em V.. Lei distributiv: pr quisquer elementos v e u em V e quisquer elementos e b em F u v u v. b v v b v.. Lei ssocitiv: pr qulquer v em V e quisquer e b em F b v b v.. Sej o elemento unitário de F. Então pr qulquer v em V v v. Os elementos de V são chmdos vetores e os elementos do cmpo são chmdos esclres. A dição sobre V é chmd de dição vetoril e multiplicção que combin um esclr em F com um vetor em V é chmdo produto vetoril. O elemento identidde ditivo de V é. Algums proprieddes básics de um espço vetoril V sobre um cmpo F são:. Sej o elemento zero do cmpo F. Pr qulquer vetor v em V v.. Pr qulquer esclr c em F c.. Pr qulquer esclr c em F e qulquer vetor v em V -c v c -v -c v. Isto é -c v ou c -v é o ditivo inverso do vetor c v. Considere um seqüênci ordend de n componentes... n- onde cd elemento i é um elemento do cmpo binário GF i.e. i ou. Est seqüênci é gerlmente chmd um n-tupl sobre GF. Como i pode ssumir dois vlores distintos pode-se construir n n- tupls distints. Sej V n o conjunto ds n n-tupls distints sobre GF. Um dição sobre V n é definid d seguinte form: pr qulquer u u u.... u n- e v v v... v n- em V n u v u v u v... u n- v n- onde u i v i é um operção dição módulo-. Clrmente u v é tmbém um n-tupl em GF consequentemente V n é fechdo sob dição módulo- ou sej V n é um grupo comuttivo sob dição. A n-tupl tod zero... é o elemento identidde ditivo. Admit um n-tupl tod zero z.... Pr qulquer v em V n v z v z v z... v n- z n- v v... v n- O elemento ditivo inverso de cd n-tupl é el própri. _Álgebr_VRev - Gerldo Gil R. Gomes.8

19 . Introdução à Álgebr em Cmpos de Glois GF m Um multiplicção esclr de um n-tupl em V n por um elemento em GF é como se segue. Pr qulquer e qulquer de GF v v v... v n- em V n v v v... v n- v v... v n- onde v i é um operção multiplicção módulo-. Clrmente v v... v n- é tmbém um n-tupl em V n. Se v v... v n- v v... v n- v v... v n-. O conjunto V n de tods s n-tupls sobre GF formm um espço vetoril sobre GF. EEMPLO Sej n. O espçõ vetoril V de tods s -tupls sobre GF consistem dos seguintes vetores: EEMPLO 8. A som de e é. Usndo regr de multiplicção esclr definid nteriormente obtém-se:.. Se S é um subconjunto não vzio de um espço vetoril V sobre um cmpo F e ntão S é um subespço de V se s seguintes condições são stisfeits:. Pr qulquer dois vetores u e v em S u v é tmbém um vetor em S.. Pr qulquer elemento em F e qulquer vetor u em S u está tmbém em S. _Álgebr_VRev - Gerldo Gil R. Gomes.

20 . Introdução à Álgebr em Cmpos de Glois GF m EEMPLO Considere o espço vetoril V de tods s n-tupls sobre GF ddo no Exemplo 8. O conjunto { e } é um subespço vetoril de V pois stisfz s dus condições estbelecids pr tl. Sejm v v... v k k vetores num espço vetoril V sobre um cmpo F. Sej... k k esclres de F. A som v v... k v k é chmd de combinção liner de v v... v k. A som de dus combinções lineres de v v... v k v v... k v k b v b v... b k v k b v b v... k b k v k é um combinção liner de v v... v k. O produto de um esclr c em F e um combinção liner de v v... v k c v v... k v k c v c v... c k v k é tmbém um combinção liner de v v... v k. Se v v... v k k vetores em um espço vetoril V sobre um cmpo F então o conjunto de tods s combinções lineres v v... v k formm um subespço de V. EEMPLO Considere o espço vetoril V de tods s n-tupls sobre GF ddo no Exemplo. A combinção liner de e são Estes qutro vetores formm o mesmo subespço vetoril do Exemplo. Um conjunto de vetores v v... v k em um espço vetoril V sobre um cmpo F é dito ser linermente dependente se e somente se existem k esclres... k de F não todo zero tl que v v... k v k. _Álgebr_VRev - Gerldo Gil R. Gomes.

21 . Introdução à Álgebr em Cmpos de Glois GF m Um conjunto de vetores v v... v k é dito ser linermente independente se ele não é linermente dependente. Isto é se v v... v k são linermente independentes então Exceto... k. EEMPLO v v... k v k. Os vetores e são linermente dependes um vez que ; entretnto os vetores e são linermente independentes. Tods s oito combinções lineres desses vetores são presentds seguir.. Considere o espço vetoril V n de tods s n-tupls sobre GF. Considere s n-tupls e i que possuem um único elemento não zero n i-ésim posição conforme mostrdo seguir. e... e... : e n-.... As n-tupls e i são linermente independentes e tods s n n-tupl... n- em V n podem ser obtids prtir de combinções lineres de e i como se segue.... n- e e e... n- e n-.. Portnto s n-tupls e i formm um bse do espço vetoril V n cuj dimensão é n. Se k < n e v v... v k são k vetores linermente independentes em V n então tods s combinções lineres de v v... v k d form u c v c v... c k v k _Álgebr_VRev - Gerldo Gil R. Gomes.

22 . Introdução à Álgebr em Cmpos de Glois GF m formm um subsespço S de V n k-dimensionl ou sej existem k possíveis versões distints de v i. Sej u u u... u n- e v v v... v n- dus n-tupls em V n. O produto interno de u e v é definido como u v u v u v... u n- v n- onde s dições e produtos são operções módulo-. Assim o produto interno u v é um esclr em GF. Se u v u e v são ditos ortogonis entre si. O produto interno tem s seguintes proprieddes:. u v v u.. u v w u v u w.. u v u v. Sej S um subespço k-dimensionl de V n e S d um conjunto de vetores em V n tl que pr qulquer u em S e v em S d u v. O conjunto S d contém pelo menos n-tupl tod zero... um vez que pr qulquer u em S u. Assim pr qulquer elemento em GF e qulquer v em S d Portnto v está tmbém em S d. Sej v e w quisdquer dois vetores em S d. Pr qulquer vetor u em S u v w u v u w. Isso signific que se v e w são ortogonis u o vetor v w é tmbém ortogonl u. Consequentemente v w é um vetor em S d. Dest form S d é tmbém um subespço vetoril de V n. Este subespço S d é chmdo de espço nulo ou espço dul de S. Se S um subespço vetoril do espço vetoril V n de tods s n-tupls sobre GF dimensão do seu espço nulo S d é n - k. Em outrs plvrs EEMPLO dim S dim S d n. Considere o espço vetoril V de tods s n-tupls sobre GF do Exemplo. Os oito vetores seguintes formm um subespço tridimensionl S de V.. O espço nulo S d de S consiste dos seguintes qutro vetores:. S d pode ser construído prtir dos vetores e que são linermente independentes. Assim dimensão de S d é. _Álgebr_VRev - Gerldo Gil R. Gomes.

23 . Introdução à Álgebr em Cmpos de Glois GF m.8. MATRIZES Um mtriz k n sobre GF é um rrnjo retngulr com k linhs e n coluns g g G M gk g g g k g g g k g g g n n k n onde cd g ij com i < k e j < n é um elemento do cmpo binário GF. A mtriz G pode tmbém ser representd pels sus k linhs g g... g k- como se segue g g G M g k Se s k k n linhs de G são linermente independentes então s k combinções ds linhs formm um subespço k-dimensionl do espço vetoril V n. A troc de posições ds linhs de G ou som de um linh com um outr constituem o que é chmdo de operções elementres de linhs. Fzendo operções elementres ns linhs de G pode-se obter um outr mtriz G que ger o mesmo subespço k-dimensionl. EEMPLO Considere um mtriz G sobre GF G Somndo terceir linh com primeir e trocndo terceir linh com segund obtém-se G ' Ambs s mtrizes G e G germ o seguinte subespço. Este é um subespço tridimensionl do espço vetoril V de tods s -tupls sobre GF. _Álgebr_VRev - Gerldo Gil R. Gomes.

24 . Introdução à Álgebr em Cmpos de Glois GF m Se existe um subespço S gerdo por G k n sobre GF então existe um subespço S d cuj dimensão é n - k. Sejm h h... h n-k- vetores linermente independentes de S d. Se esses vetores germ S d então pode-se formr um mtriz H n - k n usndo h h... h n-k- como linhs: h h h L h n h h h L h n H M M M M h h n k n k hn k L hn k n Devido o fto de que cd linh g i de G é um vetor em S e cd linh h j de H é um vetor em S d o produto interno de g i e h j deve ser zero g i h j. Pr qulquer mtriz G k n sobre GF com k linhs linermente independentes existe um mtriz H n - k n sobre GF com n - k linhs linermente independentes tl que pr qulquer linh em g i em G e qulquer linh h j em H g i h j. O subespço gerdo por G é o espço nulo gerdo por H e vice-vers. EEMPLO Considere seguinte mtriz sobre GF: G A mtriz que ger o espço nulo do subespço gerdo por G é H Pode-se verificr fcilmente que cd linh de G é ortogonl cd linh de H e vice-vers. Dus mtrizes podem ser somds se els possuírem o mesmo número de linhs e o mesmo número de coluns. Se A [ ij ] e B [b ij ] são mtrizes k n então [ ij ] [b ij ] [ ij b ij ] que tmbém é um mtriz k n. Dus mtrizes podem ser multiplicds desde que o número de coluns d primeir mtriz sej igul o número de linhs d segund mtriz. Se A [ ij ] é um mtriz k n e B [b ij ] é um mtriz k l então C A B [c ij ]. _Álgebr_VRev - Gerldo Gil R. Gomes.

25 . Introdução à Álgebr em Cmpos de Glois GF m N mtriz resultnte k l c ij é igul o produto interno d i-ésim linh i em A e j-ésim colun b j em B; isto é c ij i b j Sej G um mtriz k n sobre GF. A mtriz trnspost de G denotd por G T é um mtriz n k cujs linhs são coluns de G e cujs coluns são linhs de G. Um mtriz k k denotd por I k é chmd de mtriz identidde se el tem s n su digonl principl e o resto é zero. Um submtriz de um mtriz G é um mtriz que foi obtid por descrte de determinds linhs ou coluns de G. n t it b tj.. EERCÍCIOS. Resolv o sistem de equções bixo utilizndo ritmétic módulo-. Y W Z W Y Z W Y Z W. Mostre que é irredutível sobre GF.. Encontre todos os polinômios irredutíveis de gru sobre GF.. Constru um tbel pr GF prtir do polinômio primitivo p mostrndo todos os elementos em su form de potênci polinomil e vetoril. Encontre ordem de todos os elementos.. Constru um tbel pr GF prtir do polinômio primitivo p. Sej um elemento primitivo de GF. Encontre os polinômios mínimos de e.. Sej um elemento primitivo de GF. Use Tbel. pr encontrr s rízes do polinômio f.. Sej um elemento primitivo de GF. Divid o polinômio f sobre GF pelo polinômio g sobre GF. Encontre o quociente e o resto use Tbel.. 8. Sej um elemento primitivo de GF. Use Tbel. pr resolver o sistem de equções bixo. _Álgebr_VRev - Gerldo Gil R. Gomes.

26 . Introdução à Álgebr em Cmpos de Glois GF m _Álgebr_VRev - Gerldo Gil R. Gomes. Z Y Z Y Z Y. Dds s mtrizes H G. Encontre um subespço vetoril tridimensionl de V sobre GF e determine seu espço nulo... REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA [] LIN S.; COSTELO JR D. J. Error Control Coding: Fundmentls nd Applictions. Englewood Cliffs: Prentice Hll 8. ISBN 8.

27 . Introdução à Álgebr em Cmpos de Glois GF m ANEO. TABELAS DE GF m PARA < m < 8 [] Os elementos dos cmpos presentdos ns tbels seguir estão representdos em su form vetoril ntecedido pel potênci do elemento. O bit mis à direit d plvr binári é o bit de ordem mis lt do vetor. Por exemplo em GF o elemento é representdo como Que n form polinomil fic. Ou sej.. GF gerdo por p - GF gerdo por p - 8. GF gerdo por p GF gerdo por p _Álgebr_VRev - Gerldo Gil R. Gomes.

28 . Introdução à Álgebr em Cmpos de Glois GF m. GF gerdo por p continução GF gerdo por p _Álgebr_VRev - Gerldo Gil R. Gomes.8

29 . Introdução à Álgebr em Cmpos de Glois GF m. GF 8 gerdo por p _Álgebr_VRev - Gerldo Gil R. Gomes.

30 . Introdução à Álgebr em Cmpos de Glois GF m. GF 8 gerdo por p 8 continução _Álgebr_VRev - Gerldo Gil R. Gomes.