Álgebra Linear e Geometria Analítica

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1 Álger iner e Geometri nlti º Folh de poio o estudo Sumário: ü Operções lgris om mtrizes: dição de mtrizes multiplição de um eslr por um mtriz e multiplição de mtrizes. ü Crtersti de um mtriz. Eerios resolvidos. Considere s mtrizes C e lule: ) ) ) C.) plição d operção multiplição de um eslr por um mtriz 8 Verifição de que operção som de mtrizes possvel e identifição d dimensão d mtriz que se pretende lulr plição d operção som de mtrizes ) plição d operção multiplição de um eslr por um mtriz C D Verifição de que som de mtrizes possvel e identifição d dimensão d mtriz que se pretende lulr plição d operção som de mtrizes 8 8.) Verifição de que operção produto de mtrizes possvel e identifição d dimensão d mtriz que se pretende lulr C C plição d operção produto de mtrizes

2 C. Sendo determine rtersti Cr Verifição de que operção produto de mtrizes possvel e identifição d dimensão d mtriz que se pretende lulr plição d operção produto de mtrizes 9 8 Condensção d mtriz Identifição d rtersti d mtriz Eerios propostos. Considere s mtrizes D C e lule: ) ) C ) C d) C e C C e) e

3 f) ( ) g) e D. Mostre que mtriz permutável om. Determine rtersti ds seguintes mtrizes: e lule ( ) sendo C 7. Disut rtersti d mtriz em função de e Eerios de onsolidção. Dd mtriz I 7 equção. Sendo. Sendo lulr o vlor de pr o qul mtriz stisfz lule os vlores de pr os quis Cr ( ) lule mtriz X tl que ( ) X. Determine mtriz X que verifi seguinte iguldde: X ( C) C 8 8. Sej f ( ) lule ( ) f sendo. Enontre um mtriz de ª ordem sem elementos nulos tl que Soluções: Eerios propostos. ) e) ) ) 9 d) f) 8 9 g) Cr Cr ( C). Cr Eerios de onsolidção.

4 por eemplo

5 Álger iner e Geometri nlti º Folh de poio o estudo Sumário: ü Cálulo de determinntes por plição do eorem de ple. ü Cálulo de determinntes por plição ds sus proprieddes. Eerios resolvidos. Clule o determinnte D 7 9 pelo eorem de ple: Cálulo dos menores omplementres M j onsiderndo que plição do eorem de ple efetud à ªlinh. plição d regr práti pr lulr os determinntes de ªordem. D 7 9 Cálulo dos omplementos lgrios ij D i j ssoidos à ªlinh j M 7 9 Cálulo do determinnte n D å j j j ( ) ( )( 7) 7 8. Clule os seguintes determinntes utilizndo pens s proprieddes: D e D D

6 d d d d d D Eerios propostos. Clule os seguintes determinntes pelo teorem de ple: ) à ª linh ) à ª olun ) à ª linh D D. Clule os seguintes determinntes utilizndo s proprieddes: D d d d d D D D d d d d D D. Determine s rzes ds equções: ) )

7 Eerios de onsolidção. Sej D ) Identifique. ) Clule o vlor do determinnte pelo eorem de ple; ) Indique um determinnte de ª ordem de vlor simtrio o luldo e sem elementos nulos; d) Indique um determinnte de ª ordem de vlor duplo o do determinnte ddo e ujos elementos d ª linh sejm todos iguis ; e) Indique dois determinntes de ª ordem sem elementos nulos tis que D D D.. Utilizndo s proprieddes dos determinntes mostre que sendo ¹ ¹ z o determinnte D nulo se e só se z z z z. Mostre que o determinnte D 8. Determine o vlor do prâmetro tl que. Deomponh num produto de ftores lineres: z D D mltiplo de : D. Utilizndo pens s proprieddes dos determinntes represente um determinnte de ª ordem tl que D. Soluções: Eerios propostos. D 8 D D D 8d D ( )( )( ) D d n D d d d D ( ) Ú ) Ú ( riz tripl). ) Eerios de onsolidção. ). ) D 8 z D D. D

8 Álger iner e Geometri nlti º Folh de poio o estudo Sumário: ü Determinção d mtriz invers de um mtriz qudrd pelo mtodo d ondensção ü plição ds operções lgris om mtrizes n resolução de equções mtriiis Eerios resolvidos. Dd mtriz lulr su invers: «««7 7. Determine mtriz X tl que X sendo e [ ]

9 Resolução d equção mtriil X X IX X X X Cálulo d mtriz X [ ] Verifição de que operção produto de mtrizes possvel e identifição d dimensão d mtriz que se pretende lulr [ ] X plição d operção produto de mtrizes 9 9 X

10 Eerios propostos. Clulr invers ds seguintes mtrizes pelos dois proessos que onhee. Sendo lule ) mtriz X tl que X ) mtriz Y tl que Y I. Dds s mtrizes ) lulr X tl que X I ) lulr Cr ( ) Eerios de onsolidção. Dds s seguintes mtrizes: C e dtermine mtriz X tl que: ) X C X C ) ) ( ) X C I d) X ( C) e) ( C ) X ( C ) X C f). Determine pr que vlores de mtriz M tem invers. M. Dds s mtrizes e 7 determine e tis que Soluções Eerios propostos ). )

11 7. ) 7 ) Cr ( ) Eerios de onsolidção 8 ) 8 9 e) 7 f) 7 7 ¹ Ù ¹ Ù. ).. ) d) 7

12 Álger iner e Geometri nlti º Folh de poio o estudo Sumário: ü Sistems de equções lineres su representção mtriil e lssifição. ü Resolução de sistems de equções lineres nãohomogneos: O mtodo de Crmer e o mtodo d mtriz invers. ü Resolução de sistems de equções lineres nãohomogneos: o mtodo de eliminção de Guss (om nálise d rtersti d mtriz do sistem e determinção o seu gru de indeterminção). Resolução de sistems de equções lineres homogneos. Eerios resolvidos ì. Considere o seguinte sistem ) Prove que um sistem de Crmer ) Resolvo plindo s fórmuls de Crmer ì ) D ¹ logo o sistem de Crmer ) ì ì. Resolv por ondensção os seguintes sistems: ) ì z z z z 8z z ) ì

13 ) ì z z z z 8z z ì z z z z 8z z Cr ( ) Cr ( ) G. I nº in. Cr ( ) ì z ì z Û z Sol : [ ] ì ) 9 SPD 7 9 ì Û ì z z z z 8z z Cr ( ) Cr ( ) G. I nº in. Cr ( ) SP Ind ì ì Û Sol : 7 9 ì Û [ ] 9 9 ( )

14 Eerios propostos. Resolv por ondensção os seguintes sistems: ) d) ì ì 7 z z z z ) e) ì ) ì z t z t z t z t ì Eerios de onsolidção. Ddo o seguinte sistem ì z z z ) prove que um sistem de Crmer ) lule utilizndo s igulddes de Crmer ) lule e z trvs d mtriz invers.. Resolv por ondensção os seguintes sistems: ) ) ì z t z t 7 z t ì z w z w z w ) ì w z w z w z w Soluções Eerios propostos ) : [ ] e) Sol ).I. Sol : t t t t S ) 7 Sol : d) S.I. Eerios de onsolidção. ). ) ) Sol :[ ] z t z 7t Sol : z t ) z w 8w Sol : z w

15 ) Sol : z z

16 ì z z z z 8z então z ì z z z z 8z então z Álger iner e Geometri nlti º Folh de poio o estudo Sumário: ü Disussão de sistems de equções lineres om se no oneito de rtersti de um mtriz e gru de indeterminção. Eerios resolvidos. Disut o seguinte sistem ì z z z ì z z z ì z z z z 8z z Se Se Se Se Cr ( ) Cr( ) G. I nº in. Cr ì z z z z 8z z ì z z z z 8z z ( ) 8 então então Cr Cr Cr ( ) SI ( ) ( ) Cr( ) G. I nº in. Cr ( ) SPD SP ind.

17 Eerios propostos. Ddo o sistem: ì z z z 7 z ) Clssifique à priori o sistem ) lssifique o sistem pr os diferentes vlores de ) resolvo pr ¹ 7. Considere o sistem: ì : ) Mostre que pr o sistem possvel e determindo e enontre su solução. Sol sej solução do sistem ddo. ) Determine de modo que [ ]. Disut os seguintes sistems: ) ì z z z ) ì z z z ) ì d) f) i) ì ( ) z ì( ) z ( ) ( ) z e) z ( ) ( ) ( ) z ( ) ( ) z ì z ì z ì g) z z h) z z z ì z z z z Eerios de onsolidção. Ddo o sistem ì z t z t z t z t ) lulr os vlores de pr os quis o sistem de Crmer ) verifique que sendo o sistem de Crmer e determine o vlor orrespondente de t utilizndo fórmul de Crmer respetiv ) resolv o sistem pr pelo mtodo d ondensção

18 . Ddo o seguinte sistem ì ) disuto e resolvo num so de indeterminção ) resolvo pr o so. Comente seguinte firmção: Um sistem de equções inógnits um sistem determindo. Eemplifique o omentário feito.. Considere o seguinte sistem de Crmer: ì z 8 z z Sol : ) determine os vlores dos prâmetros e sendo que [ ] ) onsidere que os termos independentes são multiplidos por. Nest situção dig justifindo qul solução do sistem.. Considere o seguinte sistem: ì z t z t 7 z t 9 z t ) lssifique o sistem utilizndo ondensção de mtrizes ) reesrev o sistem não lterndo o nmero de equções e inógnits e fzendo unimente s lterções neessáris pr tornr o sistem possvel

19 Álger iner e Geometri nlti º Folh de poio o estudo Sumário: Espços vetoriis sore o orpo R e suespços vetoriis. Cominção liner de vetores. Vetores linermente independentes e dependentes. Vetores gerdores de um espço liner. se e dimensão de um espço liner. Construção de um se. Eerios resolvidos. Verifir se o onjunto ( ) Sej ìv v { Î R : } V ( ) ( ) ( ) ( ) um suespço vetoril i. Verifição d eistni d operção som de vetores V $ ( v v ) ÎV ( ) ( ) ( ( )) " v v Î v v ii. Verifição d eistni d operção multiplição de um eslr por um vetor ÎV $ (. v ) ÎV ( ) ( ) ( ( )) " Î R v v ogo verifids s ondições i) e ii) posso onluir que o onjunto V um suespço vetoril. Verifir se o onjunto ( ) Sej ì v v { Î R : } V ( ) ( ) ( ) ( ) um suespço vetoril i. Verifição d eistni d operção som de vetores ( v v ) ÎV " v v ÎV $ v v ¹ ( ) ogo omo ondição i) não verifid posso onluir que o onjunto V não um suespço vetoril. Verifir se o vetor v v v 89 u ( ) ogo omo 8 9 v sendo u. Sejm os vetores v ( ) ominção liner dos vetores 8 8 SPD Þ u e Ù v. eistem e são não nulos posso onluir que v ominção liner de v e sejm linermente dependentes u e v. Determine v v v v tl que

20 u Pr que v v v sejm linermente dependentes o sistem tem de ser indetermindo. ogo Þ ind SP Por eemplo pr Þ v ( ). Sejm v u e v. Determine v tl que v v v sejm linermente independentes u Pr que v v v sejm linermente independentes o sistem tem de ser determindo. ogo ¹ Þ SPD Por eemplo pr ¹ Þ v ( ). Sej o onjunto { } z R z V Î :. verige se os vetores v e v formm um se desse suespço. i. os vetores v v germ n n n n m m mn n m ì "? ì Como este sistem sempre possvel pr qulquer z eistem n n n n m m mn n m ì " logo u são gerdores de V ii. os vetores v v são linermente independentes? ì

21 ì n n n n " m m mn n m n n n n m m mn n m ì n n n n " m m mn n m ì Como este sistem possvel e determindo n n n n " logo m m mn n u são linermente independentes m ogo verifids s ondições i) e ii) posso onluir que os vetores u formm um se de V SPD ì 7. Verifir se os vetores i. ii. n n n n m m mn n m ì " u são gerdores? ( z ) ( ) ( ) ( ) ì z Û z formm um se de z z Como este sistem sempre possvel pr qulquer gerdores de R u são linermente independentes? ( ) ( ) ( ) ( ) ì Û Como este sistem possvel e determindo independentes z ì eistem n n n n " logo n n n m m mn n m ì n " ogo verifids s ondições i) e ii) posso onluir que os vetores de R 8. Construir um se do espço liner V " ÎR i. u n m m m mn logo u Podemos esrever {( ) }. Neste so dim ( V ) Esolho vetores que pertençm o espço liner u : u são gerdores? ( ) ( ) ( ) ì Û z Como este sistem sempre possvel pr qulquer gerdores de ii. u são linermente independentes? ( ) ( ) ( ) ì Û ì " u ì eistem n n n n " logo m m mn n m u são formm um se são linermente u são

22 ì n n n n " m m mn n m ì n n n n " m m mn n m ì Como este sistem possvel e determindo n n n n " logo m m mn n u são linermente independentes m ogo verifids s ondições i) e ii) posso onluir que os vetores u formm um se de 9. Ddos os vetores n n n n m m mn n m ì " determine um suespço liner de gerdo pelos vetores e indique um se e dimensão desse suespço O espço liner gerdo pelos vetores otido pels ondições que tornm ominção liner possvel. n n n n m m mn n m ì " ì z Û z z Pr que este sistem sej sempre possvel terseá de ter z ì n n n n " m m mn n m ì z pelo que o suespço ddo por n n n n " Neste sistem u logo u. O nmero de vetores que onstitui se ddo pel e m m mn n m v (Not: qulquer outro pr de vetores do E.V. que grntisse tmm um se) ( ) ( ) ( ) ì Û z Como este sistem sempre possvel pr qulquer gerdores de S ( ) ( ) ( ) ì Û. ogo u logo esolho por eemplo u ì eistem n n n n " logo m m mn n m u formri u são ì Como este sistem possvel e determindo n n n n " logo m m mn n u são linermente independentes m ogo verifids s ondições i) e ii) posso onluir que os vetores u formm um se de S. Clule os vlores e os vetores próprios d mtriz Mtriz rtersti: Determinnte rterstio: li l. l li l l l

23 Equção rtersti: ì n n n n " m m mn n m Vlores próprios: l l Û l Ú l Vetores próprios: pr o vlor próprio l ì n n n n " m m mn n m ìu ü logo os vetores próprios ssoidos l formm o onjunto : u ¹ ý u þ pr o vlor próprio l ì n n n n " m m mn n m ìu ü logo os vetores próprios ssoidos l formm o onjunto : u ¹ ý u þ Eerios propostos { } { }. verige se os onjuntos ( z) Î R : z ( z) C ( z) Î R : ( z) Î R : { }. Considere os seguintes vetores do espço vetoril rel ( 78) v. ) Verifique que v v v formm um se de v. ) Qul o espço vetoril gerdo por { } v { Î R : } D são suespços vetoriis. R.. Considere os seguintes vetores do espço vetoril rel v. R : ( ) v ( ) R : ( ) v e v ( ) v e ) Determine o vlor do prâmetro pr o qul os trs vetores são linermente independentes ) Pr esrev o vetor v ( ) omo ominção liner dos vetores v v v ) Pr enontre o suonjunto de R que gerdo pelos vetores v v v. Clule os vlores e os vetores próprios d mtriz Soluções. Nenhum dos onjuntos suespço vetoril.

24 { Î R : z }. ( z) S v v v v. ) ¹ ) ) ( z) { Î R : z} S. Os vetores próprios ssoidos l formm o onjunto vetores próprios ssoidos l formm o onjunto u ìu u u u : u ¹ Ù u ì u ü u : u ¹ ý u þ ¹ ü ý þ os Eerios de onsolidção ì ü ý þ ) Verifique que os elementos de são linermente independente ) Verifique se os elementos de germ o espço ds mtrizes qudrds de ªordem.. Considere o onjunto { }. Mostre que o onjunto ( ) ( ) ( ).. Ddos os vetores v ( ) e ( ) v ger um espço de polinómios reis de gru v v formem um se de. Ddo o onjunto ( z) R. v otenh um vetor { Î R : } z. ) Verifique que um suespço de R. v tl que os vetores ) Indique justifindo um onjunto de vetores que emor sendo gerdores de não Soluções formm um se.. v ( ) por eemplo. ) v ( ) v ( ) v ( ) por eemplo