AULA: Superfícies Quádricas

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1 AULA: Superfíies Quádris Definição : Um equção gerl do gru em três vriáveis é um equção do tipo: A B C D E F G H I J (I), om pelo menos um ds onstntes A, B, C, D, E ou F é diferente de ero. Definição : Um superfíie uj equção é do tipo (I) é hmd de superfíie quádri. Os: A interseção de um superfíie quádri om um dos plnos oordendos ou por plnos prlelos eles é um ôni. Em sos prtiulres, interseção pode ser um ret, dus rets, um ponto ou o onjunto vio. Esses sos onstituem s ônis degenerds. Atrvés de um rotção e/ou trnslção de eios equção (I) pode ssumir um ds seguintes forms: (II) A B C D (quádris êntris) A B C ( III ) A B C A B C Quádris Cêntris: ( quádris não êntris) A B C D Se s onstntes A, B, C e D são não nuls, podemos esrever equção (II) n form nôni: ± ± ± (IV), om, e números reis positivos. Se todos os sinis são negtivos então o lugr geométrio d equção é vio. Logo, eistem três possiiliddes: todos os sinis são positivos, dois sinis positivos e um negtivo ou um positivo e dois negtivos. A) Todos os sinis positivos: Elipsóide: Crterístis: ) A superfíie é simétri em relção todos os eios oordendos, todos os plnos oordendos e origem.

2 (,,) (,,) (,,) ) Se dus ds onstntes, e são iguis temos um elipsóide de revolução. 3) Interseções om os eios oordendos: Eio O : A ( ),, ± Eio O: B ( ),, ± Eio O: C ( ),,± 4) Trços sore os plnos oordendos: elipses,, 5) Seções por plnos prlelos os plnos oordendos:, elipses pr - < <., elipses pr - < <, elipses pr - < <. Esoço d superfiie:

3 3 B) Dois sinis positivos e um negtivo: Hiperolóide de um folh: (, superfíie de revolução), (, superfíie de revolução), (, superfíie de revolução). Crterístis: ) A superfíie é simétri em relção todos os eios oordendos, todos os plnos oordendos e origem. ) A superfíie está o longo do eio oordendo orrespondente à vriável ujo oefiiente é negtivo n form nôni de su equção. Anlisndo equção: 3) Interseções om os eios oordendos: Eio O : A ( ),, ± Eio O: B ( ),, ± Eio O: não eiste 4) Trços sore os plnos oordendos: ( Elipse), (Hipérole) ( Hipérole)

4 4 5) Seções por plnos prlelos os plnos oordendos:, elipses pr qulquer em R,, hipéroles,, hipéroles Esoço d superfiie:

5 5 B) Dois sinis negtivos e um positivo: Hiperolóide de dus folhs: (, superfíie de revolução), (, superfíie de revolução), (, superfíie de revolução), Crterístis: ) A superfíie é simétri em relção todos os eios oordendos, todos os plnos oordendos e origem. ) A superfíie está o longo do eio oordendo orrespondente à vriável ujo oefiiente é positivo n form nôni de su equção. Anlisndo equção: 3) Interseções om os eios oordendos: Eio O : não eiste Eio O: não eiste Eio O: C ( ),,± 4) Trços sore os plnos oordendos: ( vio), (Hipérole) ( Hipérole)

6 6 5) Seções por plnos prlelos os plnos oordendos:, elipses pr < - ou >, hipéroles, R,, hipéroles R Esoço d superfiie:

7 A B C Quádris não Cêntris: ( III ) A B C A B C Se s onstntes A, B e C são não nuls, podemos esrever s equções (II) ns ± ± forms nônis: ± ± (IV), om, números reis positivos e rel não nulo. ± ± Temos dus possiiliddes: os oefiientes dos termos de gru têm sinis iguis ou ontrários. A) os oefiientes dos termos de gru têm sinis iguis: Prolóide elíptio.,,. Crterístis: ) Se temos um prolóide de revolução. ) A interseção d superfíie om os eios oordendos é O(,,). 3) A superfíie se enontr o longo do eio orrespondente à vriável do primeiro gru n form nôni d equção. 7

8 8 Anlisndo equção ( > ) 4) Oserve que pr > temos que. Logo, superfíie se enontr inteirmente im do plno. 5) A superfíie é simétri em relção o eio O, os plnos e. 6) Trços sore os plnos oordendos: (,,), (práol), ( práol) 7) Seções por plnos prlelos os plnos oordendos:, elipses pr >., práols e, práols. Esoço d superfiie: ( > ) ( < )

9 ( > ) ( < ) ( > ) ( < ) B) os oefiientes dos termos de gru têm sinis ontrários: Prolóide hiperólio (sel),,. Crterístis: ) A interseção d superfíie om os eios oordendos é O(,,). ) A superfíie se enontr o longo do eio orrespondente à vriável do primeiro gru n form nôni d equção. 9

10 Anlisndo equção ( > ). 3) A superfíie é simétri em relção o eio O, os plnos e. 4) Trços sore os plnos oordendos:, pr de rets onorrentes (práol), ( práol) 5) Seções por plnos prlelos os plnos oordendos:, hipéroles pr. Pr >, hipéroles no plno, om o eio fol prlelo o eio O e pr <, hipéroles no plno, om o eio fol prlelo o eio O., práols e, práols.

11 Esoço d superfiie: ( > ) ( < ) ( > ) ( < ) ( > ) ( < )

12 Biliogrfi: Lehmnn. Chrles, Geometri Anlíti, Editor Gloo Boulos, Pulo, Geometri Anlíti um trtmento vetoril, MAKRON Boos.

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