Geometria Analítica e Álgebra Linear

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1 NOS DE UL Geometri nlíti e Álger Liner rnsformções Lineres Professor: Lui Fernndo Nunes Dr 8/Sem_

2 Geometri nlíti e Álger Liner ii Índie 6 rnsformções Lineres 6 Definição 6 Imgem de um trnsformção liner 6 Núleo de um trnsformção liner 4 64 Mtri de um trnsformção Liner 8 65 rnsformções inertíeis 66 Eeríios Propostos Referênis iliográfis Geometri nlíti e Álger Liner

3 Prof Nunes 6 rnsformções Lineres 6 Definição Sejm V e W dois espços etoriis e : V W um função dd Diemos que é um trnsformção liner qundo stisf: i u V u u ii V Eemplos: Considere função : definid por onde Proe que est função é um trnsformção liner Pr pror isto deemos erifir que s ondições i e ii são stisfeits i u u u u u ii Logo é de fto um trnsformção liner! O gráfio dess função é um ret que pss pel origem tendo omo oefiiente liner ou t de rição Considere função : definid por Proe que est função é um trnsformção liner Nomente deemos erifir que s ondições i e ii são stisfeits Vmos onsiderr u e Neste so u e Considerndo s operções usuis i u u ii Logo é de fto um trnsformção liner! prtir de um mtri m n n m : uj regr é otid omo: onde é tomdo omo um etor olun Osere o so prtiulr: sempre podemos ssoir um trnsformção liner Geometri nlíti e Álger Liner

4 4 7 : 4 4 tl que: 7 7 Logo regr d trnsformção 4 7 Prof Nunes 4 Do mesmo modo dd um trnsformção liner por eemplo: : R R tl que: t t t podemos ssoir el mtri de ordem 4 : De fto temos que t t t Oserção: isto signifi que se multiplirmos à su direit pels oordends de um etor n se nôni oteremos s oordends tmém n se nôni d imgem do referido etor eorem: Sej : V W um trnsformção liner Então Demonstrção: V logo: Isto signifi que um trnsformção liner sempre ssoi etor nulo do domínio om etor nulo do ontrdomínio Oserção: reípro nem sempre é erddeir! Isto é nem tod trnsformção que ssoi etor nulo do domínio om etor nulo do ontrdomínio é um trnsformção liner eorem: Sej : V W um trnsformção liner Se } é um se de V isto é dimensão de V é n e } é um { n onjunto om etmente n etores ritrários de W então: Eiste um úni trnsformção liner : V W tl que: n n Eemplos: { n Geometri nlíti e Álger Liner

5 Enontre regr d trnsformção liner : 4 5 e É possíel de se erifir que os etores Geometri nlíti e Álger Liner Prof Nunes R R tl que: 4 e ; formm um se do pr isto st erifir que o onjunto formdo por estes etores é LI e que o onjunto gerdo por estes etores é etmente igul o R Primeirmente esreemos um etor genério do dos etores d se: R R omo um ominção liner 4 Logo enontrmos: e Então: Respost: Enontre regr d trnsformção liner : 789 Repre que os etores filitr stnte os álulos e formm um se do Primeirmente esreemos um etor genério do etores d se: Então: R R tl que: 45 e R É se nôni o que irá R omo um ominção liner dos [ ] Respost: Imgem de um trnsformção liner Sej : V W um trnsformção liner

6 Prof Nunes 4 Chmmos de imgem dest trnsformção liner e representmos por Im ou V o onjunto: Im V { W : V : } Oserções: Im W Im pois semos que Im é um suespço etoril de W isto é: i Im Im ii Im Im 6 Núleo de um trnsformção liner Sej : V W um trnsformção liner Chmmos de núleo dest trnsformção liner e representmos por Ker o onjunto: Ker { V : } Oserções: Ker V Ker pois semos que Ker é um suespço etoril de V isto é: i Ker Ker ii Ker Ker Ilustrção: Eemplos: Dd trnsformção liner : imgem dest trnsformção liner o Núleo dest trnsformção liner Geometri nlíti e Álger Liner R R tl que: enontre:

7 Prof Nunes 5 Geometri nlíti e Álger Liner ] [ Logo ] [ Im Logo } { Ker Dd trnsformção liner : R R tl que: enontre relção entre e pr que o etor Im Este sistem de equções lineres deerá ser possíel! Resolendo por eslonmento: Logo pr que o sistem sej possíel deemos ter Respost: Dd trnsformção liner : 4 R R tl que: t t t t enontre: Um se pr imgem dest trnsformção liner Um se pr o Núleo dest trnsformção liner Podemos reesreer regr dest trnsformção liner omo: t t t t t

8 Então podemos dier que: Geometri nlíti e Álger Liner Prof Nunes 6 Im [ ] isto é imgem de é o onjunto gerdo pelos etores: e em outrs plrs é o onjunto de tods s ominções lineres possíeis de serem formds om estes etores No entnto o onjunto { } não pode ser um se pr imgem de pois qutro etores do ssim temos que etrir um se deste onjunto R formm um onjunto LD Um mneir de se fer isso é esreer um etor sore o outro omo n mtri que segue: N sequeni trnsformmos est mtri em um mtri esd utilindo operções elementres ns linhs dest mtri ssim s linhs não erds formm os etores d referid se Respost: se d Im: { } e Dim Im = t t t t t t t eslonndo otemos: t t t t ssim s soluções são d form: t t t t Logo Ker [ ] Como { } é LI e Ker [ ] podemos dier que { } é um se pr o Ker e Dim Ker = Respost: se do Ker : { } Definições: Sej : V W um trnsformção liner é injetor u u é sorejetor Im W é ijetor é injetor e sorejetor Definição: Um trnsformção liner : V V é hmd de operdor liner eorem:

9 Sej : V W um trnsformção liner é injetor Ker {} Demonstrção: Hipótese: é injetor u u ese: Ker {} u Ker u u Ker u usndo hipótese u Ker {} Hipótese: Ker {} u Ker u ese: é injetor u u u u u u Ker usndo hipótese eorem do Núleo e d Imgem: Sej : V W um trnsformção liner Dim Ker Dim Im Dim V Consequênis: i Sej : V V um operdor liner é injetor é sorejetor Prof Nunes 7 ii Sej : V W um trnsformção liner é injetor Dim V Dim W iii Sej : V W um trnsformção liner é sorejetor Dim W Dim V i Sej : V W um trnsformção liner é ijetor Dim V Dim W Definição: Sej : V W um trnsformção liner ijetor diemos que é um isomorfismo Eemplo: Mostre que trnsformção : tl que Primeirmente temos que pror que é liner: Vmos onsiderr Neste so u e u e Considerndo s operções usuis i u Geometri nlíti e Álger Liner

10 Prof Nunes 8 Geometri nlíti e Álger Liner u ii Logo é de fto um trnsformção liner! gor lulremos o Ker : Resolendo onluímos que: D P S ssim } { Ker logo é um trnsformção liner injetor Como todo operdor liner injetor é tmém sorejetor er teorem nterior onluímos que é um ijeção e portnto um isomorfismo Oserção: Um outro minho seri lulr Im onluindo que Im o que indiri que é sorejetor Nesse so pelo mesmo teorem itdo nteriormente sendo um operdor liner podemos onluir que é tmém injetor e portnto um operdor ijetor Logo é um isomorfismo 64 Mtri de um trnsformção Liner Sejm W V : um trnsformção liner um se de V e um se de W Sem prejuío d generlição onsideremos o so em que dim V = e dim W = Sejm e ses de V e W respetimente Um etor V pode ser epresso por: isto é e imgem por: isto é Por outro ldo: Sendo e etores de W eles são ominções lineres dos etores de : 4 Sustituindo estes lores em em:

11 Prof Nunes 9 ou Comprndo est iguldde om onlui-se: Ou n form mtriil: ou simolimente: sendo mtri Oserções: denomind mtri de em relção às ses e mtri é de ordem qundo dim V = e dim W = s oluns d mtri são s oordends ds imgens dos etores d se em relção à se onforme se pode er em e 4 De um modo gerl pr : V W liner se dim V = n e dim W = m n e m ses de V e W respetimente teremos que é um mtri de ordem m n onde d olun é formd pels oordends ds imgens dos etores de em relção à se : m m n n mn Como se ê mtri depende ds ses e onsiderds isto é d dupl de ses orresponde um prtiulr mtri ssim um trnsformção liner poderá ter um infinidde de mtries pr representá-l No entnto fids s ses mtri é úni Eemplos: Sej : tl que liner Consideremos s ses om e sendo e 5 Determinr Se 4 oordends em relção à se nôni do utilindo mtri enontrd mtri é de ordem : Geometri nlíti e Álger Liner lulr e

12 Fendo: Otemos os sistems: Logo: Se-se que: Prof Nunes Como está epresso om oordends n se nôni isto é 4 4 teremos que primeirmente epressá-lo n se isto é: 4 ou: 4 que é um sistem uj solução é Portnto: ssim s oordends de n se nôni são: = 5 isto é n logo temos que 7 6 Consideremos mesm trnsformção liner do eeríio nterior Sejm s ses nôni mesm e Determinr Se 4 lulr Resposts: e utilindo mtri enontrd Geometri nlíti e Álger Liner

13 Prof Nunes Consideremos mesm trnsformção liner do eeríio nterior Sejm s ses nônis do e do Determinr Se 4 lulr Resposts: : e e utilindo mtri enontrd 4 Dds s ses do determinr trnsformção liner : uj mtri é: Se-se que o signifido de d olun dess mtri é: e logo: 5 4 e do ssim otiemos s imgens dos etores d se do Dest form sendo que: 5 4 podemos oter referid trnsformção liner: 8 5 Geometri nlíti e Álger Liner Oserção: mtri dest trnsformção em relção às ses nônis é: n n rnsformções inertíeis Pr que um trnsformção liner sej inertíel é neessário e sufiiente que el sej um isomorfismo eorem: Se : V W é um isomorfismo um se de V e um se de W então mtri d trnsformção liner : W V é tl que:

14 Prof Nunes Corolário: Sej : V W um trnsformção liner e um se de V e um se de W Então é inertíel se e só se det Eemplo: Sej de e de : um trnsformção liner dd por n Regr de : 4 n 4 Logo 4 isto é: 4 Regr de : n 4 4 n 4 [ ] n Eeríios Propostos Considere trnsformção liner : dd por = determine um se do núleo de dê dimensão d imgem de? é sorejetor? Justifique d Fç um esoço de Ker e Im Resposts: Dim Im = Não pois Sej : definid por = é um trnsformção liner? Justifique Geometri nlíti e Álger Liner 4 he s regrs Se é um etor de quis s ondições sore pr que o etor estej n imgem de? Resposts: Sim Determine plição liner : tl que = ; = e = Enontre tl que = e om Resposts: 4 Qul é trnsformção liner : tl que = e

15 Prof Nunes =? he e 5 Resposts: ; e 5 5 Sej Resposts: Ker Ker e = - e Im e Im Enontre Ker Im Ker Im 6 he todos os lores de m pr que o operdor liner : R R uj regr é: m tenh o núleo onstituído pens do etor nulo Respost: m Referênis iliográfis OLDRINI José Lui et l Álger Liner Edição São Pulo: Hrper & Ro do rsil 98 CLLIOLI Crlos et l Álger Liner e plições 6 Edição São Pulo: tul 99 LIPSCHULZ S Álger Liner São Pulo: MGr-Hill do rsil 98 4 SEINRUCH e WINERLE P Introdução à Álger Liner São Pulo: MGr-Hill do rsil 99 Geometri nlíti e Álger Liner